第一篇:高中數學教案
高中數學教案:高一數學《等差數列的前n項和》教學設計方
案
時間:201*-12-3 13:14:45 點擊:672 【大 中 小】
教學目標
1.掌握等差數列前 項和的公式,并能運用公式解決簡單的問題.
(1)了解等差數列前 項和的定義,了解逆項相加的原理,理解等差數列前 項和公式推導的過程,記憶公式的兩種形式;
(2)用方程思想認識等差數列前 項和的公式,利用公式求 ;等差數列通項公式與前 項和的公式兩套公式涉及五個字母,已知其中三個量求另兩個值;
(3)會利用等差數列通項公式與前 項和的公式研究 的最值.
2.通過公式的推導和公式的運用,使學生體會從特殊到一般,再從一般到特殊的思維規(guī)律,初步形成認識問題,解決問題的一般思路和方法.
3.通過公式推導的過程教學,對學生進行思維靈活性與廣闊性的訓練,發(fā)展學生的思維水平.
4.通過公式的推導過程,展現數學中的對稱美;通過有關內容在實際生活中的應用,使學生再一次感受數學源于生活,又服務于生活的實用性,引導學生要善于觀察生活,從生活中發(fā)現問題,并數學地解決問題.
教學建議
(1)知識結構
本節(jié)內容是等差數列前 項和公式的推導和應用,首先通過具體的例子給出了求等差數列前 項和的思路,而后導出了一般的公式,并加以應用;再與等差數列通項公式組成方程組,共同運用,解決有關問題.
(2)重點、難點分析
教學重點是等差數列前 項和公式的推導和應用,難點是公式推導的思路.
推導過程的展示體現了人類解決問題的一般思路,即從特殊問題的解決中提煉一般方法,再
試圖運用這一方法解決一般情況,所以推導公式的過程中所蘊含的思想方法比公式本身更為重要.等差數列前 項和公式有兩種形式,應根據條件選擇適當的形式進行計算;另外反用公式、變用公式、前 項和公式與通項公式的綜合運用體現了方程(組)思想.
高斯算法表現了大數學家的智慧和巧思,對一般學生來說有很大難度,但大多數學生都聽說過這個故事,所以難點在于一般等差數列求和的思路上.
(3)教法建議
①本節(jié)內容分為兩課時,一節(jié)為公式推導及簡單應用,一節(jié)側重于通項公式與前 項和公式綜合運用.
②前 項和公式的推導,建議由具體問題引入,使學生體會問題源于生活.
③強調從特殊到一般,再從一般到特殊的思考方法與研究方法.
④補充等差數列前 項和的最大值、最小值問題.
⑤用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式.
等差數列的前項和公式教學設計示例
教學目標
1.通過教學使學生理解等差數列的前 項和公式的推導過程,并能用公式解決簡單的問題.
2.通過公式推導的教學使學生進一步體會從特殊到一般,再從一般到特殊的思想方法,通過公式的運用體會方程的思想.
教學重點,難點
教學重點是等差數列的前 項和公式的推導和應用,難點是獲得推導公式的思路. 教學用具
實物投影儀,多媒體軟件,電腦.
教學方法
講授法.
教學過程
一.新課引入
提出問題(播放媒體資料):一個堆放鉛筆的v形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支,最上面一層放100支.這個v形架上共放著多少支鉛筆?(課件設計見課件展示)
問題就是(板書)“ ”
這是小學時就知道的一個故事,高斯的算法非常高明,回憶他是怎樣算的.(由一名學生回答,再由學生討論其高明之處)高斯算法的高明之處在于他發(fā)現這100個數可以分為50組,第一個數與最后一個數一組,第二個數與倒數第二個數一組,第三個數與倒數第三個數一組,?,每組數的和均相等,都等于101,50個101就等于5050了.高斯算法將加法問題轉化為乘法運算,迅速準確得到了結果.
我們希望求一般的等差數列的和,高斯算法對我們有何啟發(fā)?
二.講解新課
(板書)等差數列前 項和公式
1.公式推導(板書)
問題(幻燈片):設等差數列 的首項為 ,公差為 , 由學生討論,研究高斯算法對一般等差數列求和的指導意義.
思路一:運用基本量思想,將各項用 和 表示,得
,有以下等式
,問題是一共有多少個 ,似乎與 的奇偶有關.這個思路似乎進行不下去了.
思路二:
上面的等式其實就是 ,為回避個數問題,做一個改寫 , ,兩式左右分別相加,得
,
于是有: .這就是倒序相加法.
思路三:受思路二的啟發(fā),重新調整思路一,可得 ,于是 .
于是得到了兩個公式(投影片): 和 .
2.公式記憶
用梯形面積公式記憶等差數列前 項和公式,這里對圖形進行了割、補兩種處理,對應著等差數列前 項和的兩個公式.
3.公式的應用
公式中含有四個量,運用方程的思想,知三求一.
例1.求和:(1) ;
(2) (結果用 表示)
解題的關鍵是數清項數,小結數項數的方法.
例2.等差數列 中前多少項的和是9900?
本題實質是反用公式,解一個關于 的一元二次函數,注意得到的項數 必須是正整數.
三.小結
1.推導等差數列前 項和公式的思路;
2.公式的應用中的數學思想.
四.板書設計
第二篇:初高中數學教案
排列與組合
一、教學目標
1、知識傳授目標:正確理解和掌握加法原理和乘法原理
2、能力培養(yǎng)目標:能準確地應用它們分析和解決一些簡單的問題
3、思想教育目標:發(fā)展學生的思維能力,培養(yǎng)學生分析問題和解決問題的能力
二、教材分析
1.重點:加法原理,乘法原理。 解決方法:利用簡單的舉例得到一般的結論.
2.難點:加法原理,乘法原理的區(qū)分。解決方法:運用對比的方法比較它們的異同.
三、活動設計
1.活動:思考,討論,對比,練習.
2.教具:多媒體課件.
四、教學過程正
1.新課導入
隨著社會發(fā)展,先進技術,使得各種問題解決方法多樣化,高標準嚴要求,使得商品生產工序復雜化,解決一件事常常有多種方法完成,或幾個過程才能完成。 排列組合這一章都是討論簡單的計數問題,而排列、組合的基礎就是基本原理,用好基本原理是排列組合的關鍵.
2.新課
我們先看下面兩個問題.
(l)從甲地到乙地,可以乘火車,也可以乘汽車,還可以乘輪船.一天中,火車有4班,汽車有 2班,輪船有 3班,問一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的走法?
板書:圖
因為一天中乘火車有4種走法,乘汽車有2種走法,乘輪船有3種走法,每一種走法都可以從甲地到達乙地,因此,一天中乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有 4十2十3=9種不同的走法.
一般地,有如下原理:
加法原理:做一件事,完成它可以有n類辦法,在第一類辦法中有m1種不同的方法,在第二類辦法中有m2種不同的方法,……,
在第n類辦法中有mn種不同的方法.那么完成這件事共有n=m1十m2十…十mn種不同的方法.
(2) 我們再看下面的問題:
由a村去b村的道路有3條,由b村去c村的道路有2條.從a村經b村去c村,共有多少種不同的走法?
板書:圖
這里,從a村到b村有3種不同的走法,按這3種走法中的每一
種走法到達b村后,再從b村到c村又有2種不同的走法.因此,從a村經b村去c村共有 3x2=6種不同的走法.
一般地,有如下原理:
乘法原理:做一件事,完成它需要分成n個步驟,做第一步有m1種不同的方法,做第二步有m2種不同的方法,……,做第n步有
mn種不同的方法.那么完成這件事共有n=m1 m2…mn種不同的方法.
例1 書架上層放有6本不同的數學書,下層放有5本不同的語文書.
1)從中任取一本,有多少種不同的取法?
2)從中任取數學書與語文書各一本,有多少的取法?
解:(1)從書架上任取一本書,有兩類辦法:第一類辦法是從上層取數學書,可以從6本書中任取一本,有6種方法;第二類辦法是從下層取語文書,可以從5本書中任取一本,有5種方法.根據加法原理,得到不同的取法的種數是6十5=11.
答:從書架l任取一本書,有11種不同的取法.
(2)從書架上任取數學書與語文書各一本,可以分成兩個步驟完成:第一步取一本數學書,有6種方法;第二步取一本語文書,有5種方法.根據乘法原理,得到不同的取法的種數是 n=6x5=30.
答:從書架上取數學書與語文書各一本,有30種不同的方法. 練習:一同學有4枚明朝不同古幣和6枚清朝不同古幣
1)從中任取一枚,有多少種不同取法?2)從中任取明清古幣各一枚,有多少種不同取法?
例2:(1)由數字l,2,3,4,5可以組成多少個數字允許重復三位數?
(2)由數字l,2,3,4,5可以組成多少個數字不允許重復三位數?
(3)由數字0,l,2,3,4,5可以組成多少個數字不允許重復三位數?
解:要組成一個三位數可以分成三個步驟完成:第一步確定百位上的數字,從5個數字中任選一個數字,共有5種選法;第二步確定十位上的數字,由于數字允許重復,
這仍有5種選法,第三步確定個位上的數字,同理,它也有5種選法.根據乘法原理,得到可以組成的三位數的個數是n=5x5x5=125.
答:可以組成125個三位數.
練習:
1、從甲地到乙地有2條陸路可走,從乙地到丙地有3條陸路可走,又從甲地不經過乙地到丙地有2條水路可走.
(1)從甲地經乙地到丙地有多少種不同的走法?
(2)從甲地到丙地共有多少種不同的走法?
2.一名兒童做加法游戲.在一個紅口袋中裝著2o張分別標有數1、2、…、19、20的紅卡片,從中任抽一張,把上面的數作為被加數;在另一個黃口袋中裝著10張分別標有數1、2、…、9、1o的黃卡片,從中任抽一張,把上面的數作為加數.這名兒童一共可以列出
多少個加法式子?
3.由0-9這10個數字可以組成多少個沒有重復數字的三位數? 小結:要解決某個此類問題,首先要判斷是分類,還是分步?分類時用加法,分步時用乘法
其次要注意怎樣分類和分步,以后會進一步學習
練習與作業(yè)
1.(口答)一件工作可以用兩種方法完成.有 5人會用第一種方法完成,另有4人會用第二種方法完成.選出一個人來完成這件工作,共有多少種選法?
2.在讀書活動中,一個學生要從 2本科技書、 2本政治書、3本文藝書里任選一本,共有多少種不同的選法?
3.乘積(a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項?
4.從甲地到乙地有2條路可通,從乙地到丙地有3條路可通;從甲地到丁地有4條路可通,從丁地到丙地有2條路可通.從甲地到丙地共有多少種不同的走法?
5.一個口袋內裝有5個小球,另一個口袋內裝有4個小球,所有這些小球的顏色互不相同.
(1)從兩個口袋內任取一個小球,有多少種不同的取法?
(2)從兩個口袋內各取一個小球,有多少種不同的取法?
第三篇:高中數學教案23
第二十三教時
教材: 充要條件(1)
目的: 通過實例要求學生理解充分條件、必要條件、充要條件的意義,并能夠初步判斷給定的兩個命題之間的關系。 過程:
一、復習:寫出下列命題的逆命題、否命題、逆否命題,并判斷它們的真假:
1) 若x>0則x2>0;2) 若兩個三角形全等,則兩三角形的面積相等;
3) 等腰三角形兩底角相等; 4) 若x2=y2則 x=y。
(解答略)
二、給出推斷符號,緊接著給出充分條件、必要條件、充要條件的意義
1.由上例一: 由x>0,經過推理可得出x2>0
記作:x>0 ? x2>0表示x>0是x2>0的充分條件
即: 只要x>0成立 x2>0就一定成立x>0蘊含著x2>0;
同樣表示:x2>0是x>0的必要條件。
一般:若p則q, 記作p?q 其中p是q的充分條件, q是p的必要條件
顯然:x2>0 x>0 我們說x2>0不是x>0的充分條件
x>0也不是x2>0的必要條件
由上例二: 兩個三角形全等 ? 兩個三角形面積相等
顯然, 逆命題兩個三角形面積相等兩個三角形全等
∴我們說: 兩個三角形全等是兩個三角形面積相等的充分不必要條件
兩個三角形面積相等是兩個三角形全等的必要不充分條件
由上例三: 三角形為等腰三角形 ? 三角形兩底角相等
我們說三角形為等腰三角形是三角形兩底角相等的充分且必要條件,這種既充分又必要條件,稱為充要條件。由上例四:顯然 x2=y2 ?x=y
x2=y2 是x=y的必要不充分條件;x=y 是x2=y2的充分不必要條件。
三、小結: 要判斷兩個命題之間的關系,關鍵是用什么樣的推斷符號把兩個命題聯(lián)結起來。
四、例一:(課本p34例一)
例二:(課本p35-36 例二)
練習 p35 、p36
五、作業(yè):p36-37習題1.8
第四篇:高中數學教案
高中數學教案:不等式的證明
教學目標
1。掌握分析法證明不等式;
2。理解分析法實質——執(zhí)果索因;
3。提高證明不等式證法靈活性.
教學重點 分析法
教學難點 分析法實質的理解
教學方法 啟發(fā)引導式
教學活動
(一)導入新課
(教師活動)教師提出問題,待學生回答和思考后點評。
(學生活動)回答和思考教師提出的問題。
[問題1]我們已經學習了哪幾種不等式的證明方法?什么是比較法?什么是綜合法? [問題 2]能否用比較法或綜合法證明不等式:
[點評]在證明不等式時,若用比較法或綜合法難以下手時,可采用另一種證明方法:分析法。(板書課題)
設計意圖:復習已學證明不等式的方法。指出用比較法和綜合法證明不等式的不足之處, 激發(fā)學生學習新的證明不等式知識的積極性,導入本節(jié)課學習內容:用分析法證明不等式。
(二)新課講授
【嘗試探索、建立新知】
(教師活動)教師講解綜合法證明不等式的邏輯關系,然后提出問題供學生研究,并點評。幫助學生建立分析法證明不等式的知識體系。投影分析法證明不等式的概念。
(學生活動)與教師一道分析綜合法的邏輯關系,在教師啟發(fā)、引導下嘗試探索,構建新知。
[講解]綜合法證明不等式的邏輯關系:以已知條件中的不等式或基本不等式作為結論,逐步尋找它成立的必要條件,直到必要條件就是要證明的不等式。
[問題1]我們能不能用同樣的思考問題的方式,把要證明的不等式作為結論,逐步去尋找它成立的充分條件呢?bet365備用器
[問題2]當我們尋找的充分條件已經是成立的不等式時,說明了什么呢?
[問題3]說明要證明的不等式成立的理由是什么呢?
[點評]從要證明的結論入手,逆求使它成立的充分條件,直到充分條件顯然成立為止,從而得出要證明的結論成立。就是分析法的邏輯關系。
[投影]分析法證明不等式的概念。(見課本)
設計意圖:對比綜合法的邏輯關系,教師層層設置問題,激發(fā)學生積極思考、研究。建立新的知識;分析法證明不等式。培養(yǎng)學習創(chuàng)新意識。
【例題示范、學會應用】
(教師活動)教師板書或投影例題,引導學生研究問題,構思證題方法,學會用分析法證明不等式,并點評用分析法證明不等式必須注意的問題。
(學生活動)學生在教師引導下,研究問題,與教師一道完成問題的論證。
例1 求證
[分析]此題用比較法和綜合法都很難入手,應考慮用分析法。
證明:(見課本)
[點評]證明某些含有根式的不等式時,用綜合法比較困難。此例中,我們很難想到從“ ”入手,因此,在不等式的證明中,分析法占有重要的位置,我們常用分析法探索證明途徑,然后用綜合法的形式寫出證明過程,這是(推薦打開范文網:www.taixiivf.comn
知識點6幾何概型 (1) 幾何概型的概念
事件a理解為區(qū)域?的某一子區(qū)域a,a的概率只與子區(qū)域a的幾何度量(長度,面積或體積)成正比,而與a的位置和形狀無關。滿足以上條件的實驗稱為幾何概型。
注意:①古典概型適用于所有實驗結果是有限個且結果是等可能出現的情況,而幾何概型則適用于實驗結果是無窮多的情形。
③ 幾何概型的特征:每個實驗結果有無限多個,且全體結果可以用一個有度量的幾何區(qū)域來表示;每次試驗結果的各種結果是等可能的
(2) 幾何概型的概率計算公式
在幾何概型中,事件a的概率定義為:p(a)=
?a??
,其中??表示區(qū)域?的幾何度量,?a表
示子區(qū)域a的幾何度量。 (3) 古典概型與幾何概型的區(qū)別
古典概型與幾何概型要求基本事件發(fā)生的可能性都是相等的,但古典概型要求基本事件有有限個,幾何概型要求事件有無限多個。
四例題分析
【例題1 】(1)單選題是標準化考試中常用的題型,一般是從a、b、c、d四個選項中選擇一個正確答案,如果考生掌握了考查內容,他可以選擇唯一正確的答案,假設考生不會做,他隨機選擇一個答案,問他答對的概率是多少?
(2)國家安全機關監(jiān)聽錄音機記錄了兩個間諜的談話,發(fā)現30min長的磁帶上,從開始30s處起,有10s長的一段內容含兩間諜犯罪的信息,后來發(fā)現,這段談話的一部分被某工作人員擦掉了,該工作人員聲稱他完全是無意中按錯了鍵,使從此處起往后的所有內容都被擦掉了,那么由于按錯鍵
使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率有多大?
【分析】(1)中考生隨機地選擇一個答案是指選擇a、b、c、d的可能性是相等的,且實驗的可能結果只有4;選擇a、選擇b、選擇c、選擇d,基本事件共有4,是有限個,故該實驗是古典概
m
型,基本事件個數為4個,答對只有一種結果,即m=1,n=4,可利用古典概率公式,求出事件的
n
概率。
(2)中工作人員在0min到30min之間的時間段內任一時刻按錯鍵的可能性是相等的,且按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率只與從開始到談話內容結束的時間長度有關,故該實驗是幾何概型。工作人員在0s-30s內任一時刻按錯鍵,則含有犯罪內容的談話會被全部擦掉,若在30s-40s內任一時刻按錯鍵,則含有犯罪內容的談話被部分擦掉,所以所求事件占的長度為40s,即
23
min,而整個長度為30min,可利用幾何概型的概率公式p(a)=
?a??
,求得事件的概率。
【解析】(1)有古典概型的概率計算公式得: p(答對)=
答對所包含的基本事件
的個數
=
14
=0.25;
(2)設事件a“按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉”,事件a發(fā)生就是在0min到
23
min
時間段內按錯鍵,所以?a=
23
min,??=30min,p(a)=
?a??
=
30
=
145
145
【答】(1)考生答對的概率為0.25;(2)按錯鍵使含有犯罪內容的談話被部分或全部擦掉的概率為
【例題2】(1)向假設的三個相鄰的軍火庫投擲一顆炸彈,炸中第一個軍火庫的概率為0.025,炸中其余兩個軍火庫的概率為0.1,只要炸中其中一個,另外兩個也要發(fā)生爆炸,求軍火庫發(fā)生爆炸的概率。
(2)甲乙兩人各射擊一次,命中率各為0.8和0.5,兩人同時命中的概率為0.4,求甲乙兩人至少有一人命中的概率。
【分析】(1)中投擲的一顆炸彈,只要炸中了其中的一個軍火庫,其余也要發(fā)生爆炸,所以“軍火庫發(fā)生爆炸”這一事件,就是炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件之和,且它們彼此互斥,由于是三個彼此互斥事件的并的概率,可利用公p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)求得(2)中至少有一人命中,可看成是甲命中和乙命中這兩事件的并事件,但“甲命中”和“乙命中”可能會同時發(fā)生不是互斥事件,由于是求兩個不互斥事件的概率,可利用一般的概率加法公式p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)求得
【解析】(1)設以a、b、c分別表示炸中第一、第二、第三個軍火庫這三個事件,于是
p(a)=0.025,p(b)=p(c)=0.1.設d表示軍火庫爆炸,則有d=a?b?c,由于a、b、c彼此互斥,?p(d)= p(a?b?c)?p(a)?p(b)?p(c)=0.025+0.1+0.1=0.225
(2)設事件a為“甲命中”,事件b為“乙命中”,則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件a?b,所以p(a?b)?p(a)?p(a)?p(a?b)=0.8+0.5-0.4=0.9
【答】(1)甲乙兩人至少有一人命中的概率0.225 (2)甲乙兩人至少有一人命中的概率0.9
【例題3 】同時拋擲兩個骰子(各個面上分別標有數1,2,3,4,5,6)求向上的數之積為偶數的概率。
【分析】每擲一個骰子都有6種情況,同時擲兩個骰子總的結果數為n=6×6,由于每個結果出現的可能性都相等,所以是古典概型。關鍵是求“向上的數之積為偶數”這一事件所包含的結果數m,然后利用p(a)=
,即可求得概率,向上的數之積為偶數的情況比較多,可以先考慮其對立事件,n
即向上的數之積為奇數,向上的數之積為奇數的基本事件有(1,1)
m
,(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5),共9個,即m=9
【解析】基本事件空間?(x,y)?x?6,1?y?6,x?n?,y?n??共包含36個基本事件,設“向上的數之積為偶數”為事件a,則a為“向上的數之積為奇數”,a={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)}共包含9個事件,根據古典概型的概率公式可得
?
?
?
p(a)?
936
?
14
,由對立事件的性質知,1-p(a)=1-34
?
14
=
34
【答】向上的數之積為偶數的概率為
【小結】
在求等可能事件的概率時,一定要先根據事件的個數是否有限,判斷該試驗是古典概型還是幾何概型。①對于古典概型試驗概率的計算,關鍵是分清楚基本事件的個數n與事件a中包含的結果
m
數m,有時需用列舉法把基本事件一一列舉出來,在利用公式p(a)= 求出事件的概率,這是一
n
個比較直觀的好方法,但列舉時必須按某一順序做到不重復,不遺漏;②對于幾何概型試驗概率的計算,關鍵是求得事件a所占的區(qū)域和整個區(qū)域的幾何度量,然后代入公式即可求解。幾何概型常用來解決與長度、面積、體積有關的問題。③互斥事件的概率加法公式僅適用于彼此互斥的事件的和(并)事件的概率求解,因此在應用公式之前,應先判斷各個事件彼此是否互斥,若不互斥,則需要用一般概率加法公式。④利用對立事件概率公式解題
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