第一篇：《勾股定理》教案

學(xué)英語報社http://全新課標(biāo)理念，優(yōu)質(zhì)課程資源 ·勾股定理

·教學(xué)目標(biāo)

知識目標(biāo): 掌握勾股定理的幾種證明方法，能夠熟練地運(yùn)用勾股定理由直角

三角形的任意兩邊求得第三邊．

能力目標(biāo): 通過探究勾股定理的發(fā)現(xiàn)與證明，滲透數(shù)形結(jié)合的思想方法，增

強(qiáng)邏輯思維能力，操作探究能力和培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和合作交

流的能力.

情感目標(biāo): 通過對勾股定理的探索，培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)問題孜孜以求的探究精

神和科學(xué)態(tài)度.通過了解我國古代在勾股定理研究方面的成就，

激發(fā)熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情．

·教學(xué)重點從具體的圖形得出直角三角形的邊與邊的關(guān)系,探討勾股定理的證

明與應(yīng)用.

·教學(xué)難點勾股定理的證明，勾股定理在實際生活中的應(yīng)用.

·教學(xué)方法啟發(fā)、合作交流和直觀演示.

·教學(xué)過程:

一、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

問題1: 隨著社會的進(jìn)步，人類的發(fā)展，人們渴望對地球以外的世界了

解更多.許多科學(xué)家正在試探著尋找“外星人”，人們?yōu)榱巳〉门c外星人的聯(lián)系，想了很多方法.我國偉大數(shù)學(xué)家華羅庚教授也曾提出：若要溝通兩個不同星球的信息交往，最好利用太空飛船帶上一副數(shù)形關(guān)系圖，并發(fā)射到太空中去.

⑴你知道這副圖是什么嗎？

⑵這副圖蘊(yùn)含了怎樣的道理？

(目的:通過此情境的創(chuàng)設(shè)，能較快調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生的探究欲望，為課程的學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)了情緒準(zhǔn)備.)

二、動手操作，初步體驗

出示問題1中的數(shù)形關(guān)系圖（如圖1）：這副圖是由一個

直角三角形和以直角三角形三邊為邊的三個正方形構(gòu)成的.

直角三角形三邊有怎樣的關(guān)系，我們不妨從直角邊分別

為3、4的特殊直角三角形開始研究.

請同學(xué)們在已經(jīng)拿到的一張畫有圖1的紙上，量一量斜

邊的長度，猜一猜三條邊長的關(guān)系（目的：設(shè)計這個直角三角形的邊長分別為：3，4，5.學(xué)生易

發(fā)現(xiàn)三邊關(guān)系為32?42?52.通過學(xué)生的動手實踐讓學(xué)生初步體

驗到：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.這樣做也能

培養(yǎng)學(xué)生的操作能力，使學(xué)生體會到“數(shù)學(xué)好玩”.）

優(yōu)課軒資源網(wǎng)http://未經(jīng)授權(quán)，本站資源禁止用于任何商業(yè)目的第 1 頁 共 6 頁 圖1

緊接著再問學(xué)生：我們是通過測量的方式發(fā)現(xiàn)了直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方或者說兩小正方形的面積和大正方形的面積.這種做法往往并不可靠，我們能否證出兩直角邊為3、4的直角三角形斜邊是5.

（目的：數(shù)學(xué)需要合情推理，但也要邏輯證明.通過此問題證明過程，關(guān)鍵是這里滲透了面積法的證明思想.）

三、自主探索、發(fā)現(xiàn)新知

為了解決好這個問題我們不妨把圖19.2置于方格圖中，計算大正方形的面積等于25.于是讓學(xué)生計算大正方形的面積，但大正方形r的面積不易求出，可引導(dǎo)學(xué)生利用網(wǎng)格對大正方形嘗試割或補(bǔ)兩種方法解決.

1(3?4)2?4??3?4?25.方法一：將圖2補(bǔ)成圖3，則要求正方形的面積為：2

因此直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.

1方法二：將圖2補(bǔ)成圖4，則要求正方形的面積為：4??3?4?1?25.2

因此直角邊分別為3、4直角三角形斜邊是5即32?42?52.

（目的：在方格圖中利用割補(bǔ)的思想通過計算面積的方法證明了直角邊分別為3、4的直角三角形斜邊是5即32?42?52.為探索一般的直角三角形也有兩直角邊的平方和等于斜邊的平方以及證明它的成立做好鋪墊.）

此時老師提出問題：對于這個直角三角形滿足兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，那么對于任何一個直角三角形都有這種關(guān)系嗎？

通過以上探索，相信有學(xué)生能用文字語言概括猜想出一般的結(jié)論：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.符號表示為a2?b2?c2（a、b是直角邊，c是斜邊.）.

教師要鼓勵這位同學(xué)講的好，敢于猜想是一種難能可貴的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，這位同學(xué)用精確的語言敘述了直角三角形三邊的關(guān)系，那么這一結(jié)論是否正確，怎樣論證？

（目的：在學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，既要學(xué)會證明又要學(xué)會猜想；既要學(xué)會演繹推理又要學(xué)會合情推理.鼓勵學(xué)生在討論的基礎(chǔ)上大膽猜想，能培養(yǎng)學(xué)生的探索創(chuàng)新精神.）

老師用多媒體將圖2的方格線隱去得圖5，設(shè)rt?acb直角邊為a,b

及斜邊

c，試證明a2?b2?c2.

通過與學(xué)生的合作交流，只要證明出斜邊上的正方形的面積，等于兩直角邊上的正方形的面積和即可.有前面的證明過程，學(xué)生可以想到通過割補(bǔ)利用面積法進(jìn)行證明.這個地方要留夠充足的時間讓學(xué)生討論交流，證好的同學(xué)請上臺來解釋他是如何證明的.

方案一：，用三個與rt?acb一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形補(bǔ)

1成圖6，則s?c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2. 2

方案二：用三個與rt?acb一樣的直角三角形將圖5中斜邊上的正方形割成

1圖7，則s=c2?(a?b)2?4?ab.化簡整理得到a2?b2?c2.

aa-b bc圖7 圖6

教師介紹：我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦.圖7稱為“弦圖”，最早是由三國時期的數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作法時給出的.圖19.2.8是在北京召開的201*

年國際數(shù)學(xué)家大會（icm－201*）的會標(biāo)，其圖案正是“弦圖”，

它標(biāo)志著中國古代的數(shù)學(xué)成就.

此時，教師極力夸贊學(xué)生已成功探索出5000多年前人類歷史

上的一個重大發(fā)現(xiàn)，真是太偉大了！a2?b2?c2，

這就是赫赫有名的勾股定理（板書課題）.接著用多媒體展

示勾股定理的歷史. 圖19.2.8

勾股定理史話

勾股定理從被發(fā)現(xiàn)到現(xiàn)在已有五千年的歷史.遠(yuǎn)在公元

前三千年的巴比倫人就知道和應(yīng)用它了.我國古代也發(fā)現(xiàn)了

這個定理.據(jù)《周髀算經(jīng)》記載，商高（公元前1120年）關(guān)

于勾股定理已有明確的認(rèn)識，《周髀算經(jīng)》中有商高答周公

的話：“勾廣三，股修四，徑隅五.”同書中還有另一位學(xué)者陳子（公元前六七世紀(jì)）與榮方（公元前六世紀(jì)）的一段對話：“求邪（斜）至日者，以日下為勾，日高為股，勾、股各自乘，并而開方除之，得邪至日”（如圖所示），即

邪至日＝2＋股2.

這里陳子已不限于“三、四、五”的特殊情形，而是推廣到一般情況了. 人們對勾股定理的認(rèn)識，經(jīng)歷過一個從特殊到一般的過程，其特殊情況，在世界很多地區(qū)的現(xiàn)存文獻(xiàn)中都有記載，很難區(qū)分這個定理是誰最先發(fā)明的.國外一般認(rèn)為這個定理是畢達(dá)哥拉斯學(xué)派（pythagoras，公元前580~前500）首先發(fā)現(xiàn)的，因而稱為畢達(dá)哥拉斯定理.

勾股定理曾引起很多人的興趣，世界上對這個定理的證明方法很多.1940年盧米斯（e.s.loomis）專門編輯了一本勾股定理證明的小冊子――《畢氏命題》，作者收集了這個著名定理的370種證明，其中包括大畫家達(dá)?芬奇和美國總統(tǒng)詹姆士????阿?加菲爾德（james abram

garfield,1831~1881）的證法.

美國總統(tǒng)詹姆士??阿?加菲爾德的證法如下：

1112s梯形＝a+b）＝a2?ab?b2,222如圖：因為 111s梯形?2?ab?c2?ab?c2.222a

b所以a2?b2?c2.

勾股定理是一條古老而又應(yīng)用十分廣泛的定理.例如從勾股定理出發(fā)逐漸發(fā)展了開平方、開立方；用勾股定理求圓周率.據(jù)說4000多年前，中國的大禹曾在治理洪水的過程中利用勾股定理來測量兩地的地勢差.勾股定理以其簡單、優(yōu)美的形式，豐富、深刻的內(nèi)容，充分反映了自然界的和諧關(guān)系.人們對勾股定理一直保持著極高的熱情，僅定理的證明就多達(dá)四百多種，甚至著名的大物理學(xué)家愛因斯坦也給出了一個證明.中國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在談?wù)摰揭坏┤祟愑龅搅恕巴庑侨恕�，該怎樣與他們交談時，曾建議用一幅反映勾股定理的數(shù)形關(guān)系圖來作為與“外星人”交談的語言.這充分說明了勾股定理是自然界最本質(zhì)、最基本的規(guī)律之一，而在對這樣一個重要規(guī)律的發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用上，中國人走在了前面.方案三（教師介紹歐幾里得證法） 證明：證明：在rt△abc的三邊上向外各作一個正方

形（如圖8），

作cn⊥de交ab于m，那么正方形被分成兩個矩形．連結(jié)cd和kb． ∵由于矩形adnm和△adc有公共的底ad和相等的高， ∴ｓ矩形adnm＝2ｓ△adc

又∵正方形achk和△abk有公共的底ak和相等的高，

∴ｓ正方形achk＝2ｓ△abk

在△adc和△abk中

∵ad＝ab，ac＝ak，∠cad＝∠kab

∴△adc≌△abk

由此可得ｓ矩形adnm＝ｓ正方形achk 同理可證

圖8

ｓ矩形benm＝ｓ正方形bcgf

∴ｓ正方形abed＝ｓ矩形adnm＋ｓ矩形benm＝ｓ正方形achk＋ｓ正方形bcgf

即a2?b2?c2.

（目的：在勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程中，充分鼓勵學(xué)生不同的拼圖方法得出不同的驗證方法，幫助學(xué)生自主建構(gòu)新知識.另外要介紹學(xué)生所拼的圖7就是古代的弦圖，也是在北京召開的201*年國際數(shù)學(xué)家大會的會標(biāo)，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的成就感.讓學(xué)生充分體驗到探索創(chuàng)新所帶來的成功的喜悅.）

四、應(yīng)用新知、解決問題

例1如圖19.2.4，將長為5.41米的梯子ac斜靠在墻上，bc長為2.16米，

求梯子上端a到墻的底端b的距離ab.（精確到0.01米）

解 在rt△abc中,∠abc=90゜,bc=2.16, ca=5.41,

根據(jù)勾股定理得

ab?ac2?bc2?5.412?2.162

≈4.96（米）

答：梯子上端a到墻的底端b的距離約為4.96米. 圖

19.2.4例2 （趣味剪紙）如圖兩個邊長分別為4個單位和3

個單位的正方形連在一起的“l(fā)”形紙片，請你剪兩刀，再將所得到的圖形拼成正方形.

（目的：本段內(nèi)容主要通過教師啟發(fā)引導(dǎo)，學(xué)生共同探究完成，一方面讓學(xué)生感受解決問題的愉悅與強(qiáng)烈的成就感，培養(yǎng)學(xué)生動手能力和學(xué)習(xí)興趣以及加強(qiáng)對勾股定理的理解.另一方面讓學(xué)生知道：（1）勾股定理應(yīng)用的前提條件（在直角三角形中）；（2）已知直角三角形的兩邊會用勾股定理求第三邊.）

五、自我評價、形成知識

⑴這節(jié)課我的收獲是.

⑵我感興趣的地方是.

⑶我想進(jìn)一步研究的問題是.

（目的：通過這幾個問題，可以很好的揭示學(xué)生新建立的不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)了不同的人學(xué)數(shù)學(xué)有不同的收獲.把學(xué)習(xí)的權(quán)利交給學(xué)生，使學(xué)生體驗做數(shù)學(xué)的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘?qū)W生的潛能.）

六、作業(yè)

⑴課本p104習(xí)題19.2 1，2，3

⑵通過上網(wǎng)，搜索有關(guān)勾股定理的知識：如（1）勾股定理的歷史；（2）勾股定

理的證明方法；（3）勾股定理在實際生活中的應(yīng)用等.然后寫一篇以勾股定理為

主題的小論文.

（目的：鞏固勾股定理，進(jìn)一步體會定理與實際生活的聯(lián)系.促進(jìn)學(xué)生學(xué)知識，用知識的意識.新課程標(biāo)準(zhǔn)提倡課題學(xué)習(xí)（研究性學(xué)習(xí)），通過課題學(xué)習(xí)與研究更多地把數(shù)學(xué)與社會生活和其他學(xué)科知識聯(lián)系起來，使學(xué)生進(jìn)一步體會不同的數(shù)學(xué)知識以及數(shù)學(xué)與外界之間的聯(lián)系，初步學(xué)習(xí)研究問題的方法，提高學(xué)生的實踐能力和創(chuàng)新意識.）

· 關(guān)于教學(xué)設(shè)計的幾點說明：

1、這節(jié)課是定理課，針對八年級學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)和心理特征，本節(jié)課我準(zhǔn)備以“問題情境-----實驗、猜測-----驗證、證明----實際應(yīng)用”的模式展開，引導(dǎo)學(xué)生從已有的知識和生活經(jīng)驗出發(fā)，提出問題與學(xué)生共同探索、討論.讓學(xué)生經(jīng)歷知識的發(fā)生、形成與應(yīng)用的過程，從而更好地理解數(shù)學(xué)知識的意義.讓學(xué)生體會到觀察、猜想、歸納、驗證的思想和數(shù)形結(jié)合的思想；

2、由于學(xué)生的個體差異表現(xiàn)為認(rèn)知方式與思維策略的的不同，以及認(rèn)知水平和學(xué)習(xí)能力的差異，所以在整個教學(xué)過程中，我都將尊重學(xué)生在解決問題過程中所表現(xiàn)出的不同水平，盡可能讓所有學(xué)生都能主動參與，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中提高思維水平.在學(xué)生回答時，我通過語言、目光、動作給予鼓勵與贊許，發(fā)揮評價的積極功能；

3、探索定理采用了面積法，通過用割補(bǔ)兩種方法對直角邊為3、4這一特殊直角三角形的斜邊上的正方形的面積的計算，得到此直角三角形的兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.由此自然的過渡到對一般直角三角形三邊關(guān)系的研究，當(dāng)然也自然的用此方法證明了勾股定理.這種方法是認(rèn)識事物規(guī)律的重要方法之一(來源好范 文網(wǎng)：www.taixiivf.com)，通過教學(xué)讓學(xué)生初步掌握這種方法，對于學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成有重要作用，對學(xué)生的終身發(fā)展也有一定的作用；

4、本課小結(jié)也很有新意，通過這短短的幾個問題，可以很好的揭示學(xué)生新建立的不同的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，也體現(xiàn)了不同的人學(xué)數(shù)學(xué)有不同的收獲.把學(xué)習(xí)的權(quán)利交給學(xué)生，使學(xué)生體驗做數(shù)學(xué)的樂趣.同時，把探究陣地從課堂延伸到課外，有利于充分挖掘?qū)W生的潛能。

第二篇：勾股定理教案

一，課題：勾股定理（八年級下冊第十八章——勾股定理）

二，教學(xué)類型：新知課

三，教學(xué)目的：讓學(xué)生了解勾股定理的產(chǎn)生及其內(nèi)容。

四，教學(xué)方法：講解法

五，教學(xué)重難點：如何引入勾股定理，如何讓學(xué)生理解勾股定理的內(nèi)容。 六，教具：粉筆，直角三角板，畫好網(wǎng)格的a4紙，正方形彩紙。

七，教學(xué)過程：1，引入新課：相傳2500年前，大數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時發(fā)現(xiàn)家里的地板放映了直角三角邊的某種數(shù)量，請同學(xué)們仔細(xì)觀察書p72的圖，看是否能發(fā)現(xiàn)途中隱藏的玄機(jī)？

2，講解新課：我們能發(fā)現(xiàn)，圖中，以等腰直角三角形的兩直角邊為邊長的小正方形面積和，等于以斜邊為邊長的正方形的面積，因此我們大膽提出猜想，等腰直角三角形的三邊之間有特殊關(guān)系：斜邊的平方和等于兩直角邊的平方和。見書p73圖。這即是我們的命題一：如果是角三角形的兩直角邊長分變?yōu)閍，b，斜邊長為c,那么a^2+b^2=c^2.那么我們?nèi)绾悟炞C命題的正確性呢？請拿出我們的兩張正方形彩紙，按照書上給出的步驟進(jìn)行折疊，并把中間的小正方形描畫出來。我們所折出的四個全等三角形中短邊長為a，長直角邊長為b，斜邊長為c，且斜邊長即為新折出的正方形的邊長。原來沒有折疊前，兩張彩紙的面積一共為a^2+b^2,折疊后的面積為c^2,但是折疊前后并沒有改變其面積的大小，因此有a^2+b^2=c^2.這樣命題就等到了驗證。（這種方法是我國古代的數(shù)學(xué)家趙爽想出來的，同學(xué)們是否有其他方法來驗證命題的正確性？）命題一就是我們所說的勾股定理。

3，小結(jié)：勾股定理的內(nèi)容是什么？驗證勾股定理的方法是什么？

4，鞏固：我們來研究勾股定理在實際中是如何被利用的。有一個門框，寬3米，高4米，請問有個人拿了五米高的薄木板，請問他能否通過此門？若能應(yīng)如何通過？若不能請給出理由。（能。運(yùn)用勾股定理，3^2+4^2=5^2，把木板按照門的對角線放置就能經(jīng)過此門）

5，作業(yè)：書p781，2，5，8題

八，思考：我們知道直角三角形一定滿足勾股定理，那么滿足勾股定理的三角形一定是直角三角形嗎？你是否能找到滿足勾股定理但不是直角三角形的例子呢？請同學(xué)們回家思考，明天給我答案。

第三篇：勾股定理教案

勾股定理

作者：范丹初中 耿占華

一、素質(zhì)教育目標(biāo)

（一）知識教育點

1、用驗證法發(fā)現(xiàn)直角三角形中存在的邊的關(guān)系。

2、掌握定理證明的基本方法。

（二）能力訓(xùn)練點

觀察和分析直角三角形中，兩邊的變化對第三邊的影響，總結(jié)出直角三角形各邊的基本關(guān)系。

（三）德育滲透點

培養(yǎng)學(xué)生掌握由特殊到一般的化歸思想，從具體到抽象的思維方法，以及化歸的思想，從而達(dá)到從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識的飛躍；又從一般到特殊，從抽象到具體，應(yīng)用到實踐中去。

二、教學(xué)重點、難點及解決辦法

1、重點：發(fā)現(xiàn)并證明勾股定理。

2、難點：圖形面積的轉(zhuǎn)化。

3、突出重點，突破難點的辦法：《幾何畫板》輔助教學(xué)。

三、教學(xué)手段 ：

利用計算機(jī)輔助面積轉(zhuǎn)化的探求。

四、課時安排：

本課題安排1課時

五、教學(xué)設(shè)想：

想培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，為學(xué)生提供一個豐富的思維空間，使學(xué)生能夠根據(jù)“式，數(shù)、形”等不同的結(jié)構(gòu)從不同的角度去分析問解決問題

六、教學(xué)過程（略）

第四篇：初二勾股定理教案

協(xié) 議 書

經(jīng)雙方協(xié)議，達(dá)成共識。竹園行政村村民劉永會自愿同意，將南地伍畝三分（5.3）的責(zé)任田，永久轉(zhuǎn)給本村村民劉永田耕種，南頂大路，北頂小坑，東靠劉紅志，西靠劉永遠(yuǎn)。雙方同意，永不反悔，誰反悔誰負(fù)責(zé)全部責(zé)任。此地可埋人。（不包括劉永會糧補(bǔ)資金）雙方糧補(bǔ)資金仍舊歸各自所有。

協(xié)議人：

證明人:

201*年11月20日

第五篇：18.1勾股定理教學(xué)教案

18.1勾股定理教學(xué)教案

【教學(xué)目標(biāo)】

1、體驗勾股定理的探索過程并理解勾股定理反映的直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.

數(shù)學(xué)思考：

2、讓學(xué)生經(jīng)歷“觀察—猜想—歸納—驗證”的數(shù)學(xué)過程，并體會數(shù)形結(jié)合和由特殊到一般的思想方法.

3、在探索勾股定理的過程中，讓學(xué)生體驗解決問題方法的多樣性，培養(yǎng)學(xué)生的合作交流意識和探索精神．通過獲得成功的經(jīng)驗和克服困難的經(jīng)歷，增進(jìn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的信心.

4、在勾股定理的探索過程中，發(fā)展合情推理能力，體會數(shù)形結(jié)合的思想．了解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程．

5、通過拼圖活動，體驗數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，發(fā)展形象思維．在探究活動中，學(xué)會與人合作并能與他人交流思維的過程和探究結(jié)果．

【教學(xué)重點與難點】

教學(xué)重點：（1）探索和驗證勾股定理. （2）通過數(shù)學(xué)活動體驗獲取數(shù)學(xué)知識的感受.

教學(xué)難點：在方格紙上通過計算面積的方法探索勾股定理及用拼圖的方法證明勾股定理．

【教具】多媒體課件（演示文稿）.

【教學(xué)方法】講授法、討論法.

【教學(xué)過程】

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