第一篇：如何證明等差數(shù)列

如何證明等差數(shù)列

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

1三個(gè)數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數(shù)列

等差：an-(an-1)=常數(shù)(n≥2)

等比：an/(an-1=常數(shù)(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我們推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5n-4

下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來(lái)證明：

1)容易驗(yàn)證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測(cè)均成立

2)假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)，推測(cè)是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由題意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時(shí)，推測(cè)仍成立。

3

在新的數(shù)列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數(shù)列公差)

20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項(xiàng)公式，故它為一等差數(shù)列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)兩邊同時(shí)除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差為3/4an除以2的n次方為首項(xiàng)為1/2公差為3/4的等差數(shù)列

5

那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)²=(a+2b)²

所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²

化簡(jiǎn)得a²=2ab+3b²

兩邊同時(shí)除以b²

解得a/b=3即a=3b

所以三邊可以寫(xiě)為3b，3b+b。3b+2b

所以三邊之比為3：4：5

6

設(shè)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d

最大數(shù)加最小數(shù)除以二即

/2=a1+(n-1)d/2

{an}的平均數(shù)為

sn/n=/n=a1+(n-1)d/2

得證

第二篇：等差數(shù)列的證明

等差數(shù)列的證明

1三個(gè)數(shù)abc成等差數(shù)列，則c-b=b-a

c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)

b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)

因c-b=b-a，則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)

即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)

所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數(shù)列

等差：an-(an-1)=常數(shù)(n≥2)

等比：an/(an-1=常數(shù)(n≥2)

等差：an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)

等比：an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).

2

我們推測(cè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=5n-4

下面用數(shù)學(xué)規(guī)納法來(lái)證明：

1)容易驗(yàn)證a1=5*1-4=4，a2=5*2-4=6，a3=5*3-4=11，推測(cè)均成立

2)假設(shè)當(dāng)n≤k時(shí)，推測(cè)是成立的，即有aj=5(j-1)-4，(j≤k)

則sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2

于是s(k+1)=a(k+1)+sk

而由題意知：(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8

即：(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8

所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8

即：(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)

所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4

即知n=k+1時(shí)，推測(cè)仍成立。

3

在新的數(shù)列中

an=s

=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)

a(n-1)=s

=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)

=4d+4d+4d+4d+4d

=20d(d為原數(shù)列公差)

20d為常數(shù),所以新數(shù)列為等差數(shù)列上，an=5n-4即為數(shù)列的通項(xiàng)公式，故它為一等差數(shù)列。

4

a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)兩邊同時(shí)除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差為3/4an除以2的n次方為首項(xiàng)為1/2公差為3/4的等差數(shù)列

5

證明：

an=sn-sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2

2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1

(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)

同理

(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)

(1)-(2)

得到

(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)

2an=an-1+an+1

所以an+1-an=an-an-1

所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列

那么你就設(shè)直角三角形地三條邊為a，a+b,a+2b

于是它是直角三角形得到

a²+(a+b)&su(感謝訪問(wèn)公文素材庫(kù)：www.taixiivf.com的軌跡方程為橢圓。然后在根據(jù)圓的性質(zhì)：切點(diǎn)與圓心的連線與切線垂直，切點(diǎn)與圓心的距離等于半徑，再加上向量垂直，即可求解。

?12x2

222?y2?1 解：?b?x?y?1?0?x?4y?4?44

設(shè)圓的切線的切點(diǎn)坐標(biāo)為p(x0,y0)，則k0p?y0x，因?yàn)閛p和ab垂直，所以kab??0，x0y0則設(shè)直線ab的方程：y?y0??x0(x?x0)帶入到橢圓方程中，得： y0

2(y0?4x0)x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222

r2?x0x1r2?x0x2又因?yàn)?a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?()()?0y0y0

?x1x2?r2?x0(x1?x2)?0

將上面求得的x1?x2?8x0r2

y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222帶入到上式中，整理可求得

r2?4422，即圓的方程為x?y? 55

⊙設(shè)ａ＞１，則雙曲線ｘ2÷ａ2－ｙ2÷（ａ＋１）2＝１的離心率ｅ的取值范圍是？ a2?(a?1)21解：e??2a??2?5 aa

總結(jié);最后求范圍是根據(jù)對(duì)勾函數(shù)求的，如果不懂，可以參考函數(shù)課程中的“分式函數(shù)”這節(jié)課。

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