第一篇：證明極限不存在

證明極限不存在

二元函數(shù)的極限是高等數(shù)學(xué)中一個(gè)很重要的內(nèi)容,因?yàn)槠涠�義與一元函數(shù)極限的定義有所不同,需要定義域上的點(diǎn)趨于定點(diǎn)時(shí)必須以任意方式趨近,所以與之對(duì)應(yīng)的證明極限不存在的方法有幾種.其中有一種是找一種含參數(shù)的方式趨近,代入二元函數(shù),使之變?yōu)橐辉�函�?shù)求極限.若最后的極限值與參數(shù)有關(guān),則說(shuō)明二重極限不存在.但在證明這類型的題目時(shí),除了選y=kx這種趨近方式外,許多學(xué)生不知該如何選擇趨近方式.本文給出證明一類常見的有理分式函數(shù)極限不存在的一種簡(jiǎn)單方法.例1證明下列極限不存在:(1)lim(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6;(2)lim(x,y)→(0,0)x2y2x2y2+(x-y)2.證明一般地,對(duì)于(1)選擇當(dāng)(x,y)沿直線y=kxy=kx趨近于(0,0)時(shí),有l(wèi)im(x,y)→(0,0)x4y2x6+y6=limx→0k2x6(1+k6)x6=k21+k6.顯然它隨著k值的不同而改變,故原極限不存在.對(duì)于(2)若仍然選擇以上的趨近方式,則不能得到證明.實(shí)際上,若選擇(x,y)沿拋物線y=kx2+x(k≠0)(x,y)→(0,0)趨近于(0,0),則有l(wèi)..

2

是因?yàn)槎�義域d={(x,y)|x不等于y}嗎，從哪兒入手呢，請(qǐng)高手指點(diǎn)

沿著兩條直線y=2x

y=-2x趨于(0,0)時(shí)

極限分別為-3和-1/3不相等

極限存在的定義要求延任何過(guò)(0,0)直線求極限時(shí)極限都相等

所以極限不存在

3

lim(x和y)趨向于無(wú)窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

證明該極限不存在

lim(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

=lim(x^2+3y^2)/(x^2+3y^2)-8y^2/(x^2+3y^2)

=1-lim8/

因?yàn)椴恢�道x、y的大校

所以lim(x和y)趨向于無(wú)窮大(x^2-5y^2)/(x^2+3y^2)

極限不存在

4

如圖用定義證明極限不存在~謝謝!!

反證法

若存在實(shí)數(shù)l，使limsin(1/x)=l，

取ε=1/2，

在x=0點(diǎn)的任意小的鄰域x內(nèi)，總存在整數(shù)n，

①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，

②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，

使|sin-l|<1/3，

和|sin-l|<1/3，

同時(shí)成立。

即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同時(shí)成立。

這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=l成立的實(shí)數(shù)l不存在。

第二篇：如何證明極限不存在

如何證明極限不存在

反證法

若存在實(shí)數(shù)l，使limsin(1/x)=l，

取ε=1/2，

在x=0點(diǎn)的任意小的鄰域x內(nèi)，總存在整數(shù)n，

①記x1(n)=1/(2nπ+π/2)∈x，有sin=1，

②記x2(n)=1/(2nπ-π/2)∈x，有sin=-1，

使|sin-l|<1/3，

和|sin-l|<1/3，

同時(shí)成立。

即|1-l|<1/2，|-1-l|<1/2，同時(shí)成立。

這與|1-l|+|-1-l|≥|(1-l)-(-1-l)|=2發(fā)生矛盾。

所以，使limsin(1/x)=l成立的實(shí)數(shù)l不存在。

反證法：

一個(gè)數(shù)列{an}極限存在,另一個(gè)數(shù)列{bn}極限不存在

假設(shè)兩數(shù)列之和{cn}的極限存在，那么bn=cn-an極限也存在(兩個(gè)數(shù)列和的極限等于兩個(gè)數(shù)列極限的和)

矛盾

所以原命題成立

令y=x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^2/(2x)=0

令y=x^2-x,lim(x,y)趨于(0,0)xy/x+y

=lim(x趨于0)x^3-x^2/x^2=-1

兩種情況極限值不同，故原極限不存在

2答案：首先需要二項(xiàng)式定理：

(a+b)^n=∑c(i=0–i=n)nia^(n-i)*b^i(式一)

用數(shù)學(xué)歸納法證此定理：

n=1(a+b)^1a^(1-0)*b^0+a^(1-1)*b^1

a+b

故此，n=1時(shí)，式一成立。

設(shè)n1為任一自然數(shù)，假設(shè)n=n1時(shí)，(式一)成立，即：

(a+b)^n1=∑c(i=0–i=n1)n1ia^(n1-i)*b^i(式二)

則，當(dāng)n=n1+1時(shí):

式二兩端同乘(a+b)

*(a+b)=*(a+b)

=(a+b)^(n1+1)=∑c(i=0–i=(n1+1))(n1+1)ia^((n1+1)-i)*b^i(據(jù)乘法分配律)

因此二項(xiàng)式定理(即式一成立)

下面用二項(xiàng)式定理計(jì)算這一極限：

(1+1/n)^n(式一)

用二項(xiàng)式展開得：

(1+1/n)^n=1^n+(n/1)(1/n)+*(1/n)^2+*(1/n)^3+…+*(1/n)^(n-2)+*(1/n)^(n-1)+*(1/n)^n

由于二項(xiàng)展開式系數(shù)項(xiàng)的分子乘積的最高次項(xiàng)與(1/n)的次數(shù)相同，而系數(shù)為1，因此，最高次項(xiàng)與(1/n)的相應(yīng)次方剛好相約，得1，低次項(xiàng)與1/n的相應(yīng)次方相約后，分子剩下常數(shù)，而分母總余下n的若干次方，當(dāng)n-+∞,得0。因此總的結(jié)果是當(dāng)n-+∞，二項(xiàng)展開式系數(shù)項(xiàng)的各項(xiàng)分子乘積與(1/n)的相應(yīng)項(xiàng)的次方相約，得1。余下分母。于是式一化為：

(1+1/n)^n=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+1/5!+1/6!+…+1/n!(式二)

當(dāng)n-+∞時(shí)，你可以用計(jì)算機(jī)，或筆計(jì)算此值。這一數(shù)值定義為e。

第三篇：證明二重極限不存在

證明二重極限不存在

如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在,是二元函數(shù)這一節(jié)的難點(diǎn),在這里筆者對(duì)這一問題不打算做詳細(xì)的討論,只是略談一下在判斷二重極限不存在時(shí),一個(gè)值得注意的問題。由二重極限的定義知,要討論limx→x0y→y0f(x,y)不存在,通常的方法是:找?guī)讞l通過(guò)(或趨于)定點(diǎn)(x0,y0)的特殊曲線,如果動(dòng)點(diǎn)(x,y)沿這些曲線趨于(x0,y0)時(shí),f(x,y)趨于不同的值,則可判定二重極限limx→x0y→y0f(x,y)不存在,這一方法一般人都能掌握,但是在找一些特殊曲線時(shí),是有一定技巧的,不過(guò)不管找哪條曲線,這條曲線一定要經(jīng)過(guò)(x0,y0),并且定點(diǎn)是這條曲線的非孤立點(diǎn),這一點(diǎn)很容易疏忽大意,特別是為圖方便,對(duì)于型如limx→x0y→y0f(x,y)g(x,y)的極限,在判斷其不存在時(shí),不少人找的曲線是f(x,y)-g(x,y)=0,這樣做就很容易出錯(cuò)。例如,容易知道limx→0y→0x+yx2+y2=0,但是若沿曲線x2y-(x2+y2)=0→(0,0)時(shí),所得的結(jié)論就不同(這時(shí)f(x,y)→1)。為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況呢?仔細(xì)分析一下就不難得到答案

2

若用沿曲線，(，y)一g(，y)=0趨近于(，y0)來(lái)討論，一0g，y。�？赡軙�(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤，只有證明了(，)不是孤立點(diǎn)后才不會(huì)出錯(cuò)。o13a1673-3878(201*)0l__0l02__02如何判斷二重極限(即二元函數(shù)極限)不存在。是二元函數(shù)這一節(jié)的難點(diǎn)，在這里筆者對(duì)這一問題不打算做詳細(xì)的討論。只是略談一下在判斷二重極限不存在時(shí)。一個(gè)值得注意的問題。由二重極限的定義知，要討論limf(x，y)不存在，通常x—’10y—’y0的方法是：找?guī)讞l通過(guò)(或趨于)定點(diǎn)(xo，yo)的特殊曲線，如果動(dòng)點(diǎn)(x，y)沿這些曲線趨于(xo，y。)時(shí)，f(x，y)趨于不同的值，則可判定二重極限limf(x，y)不存在，這一方i—’10r’y0法一般人都能掌握，但是在找一些特殊曲線時(shí)，是有一定技巧的，不過(guò)不管找哪條曲線，這條曲線一定要經(jīng)過(guò)(xo，y。)，并且定點(diǎn)是這條曲線的非孤立點(diǎn)，這一點(diǎn)很容易疏忽大意，特別是為圖方便，對(duì)于型如2的極限，在判卜’iogx，yy—·y0斷其不存在時(shí)，不少人找的曲線是f(x，y)一g(x，y)：0，這樣做就很容易出錯(cuò)。

3

當(dāng)沿曲線y=-x+x^2趨于(00)時(shí)，極限為lim(-x^2+x^3)/x^2=-1;

當(dāng)沿直線y=x趨于(00)時(shí)，極限為limx^2/2x=0。故極限不存在。

4

x-y+x^2+y^2

f(x,y)=————————

x+y

它的累次極限存在：

x-y+x^2+y^2

limlim————————=-1

y->0x->0x+y

x-y+x^2+y^2

limlim————————=1

x->0y->0x+y

當(dāng)沿斜率不同的直線y=mx,(x,y)->(0,0)時(shí)，易證極限不同，所以它的二重極限不存在。

第四篇：極限不存在的證明

不如何證明極限不存在

一、歸結(jié)原則

原理:設(shè)f在u0(x0;?")內(nèi)有定義，limf(x)存在的充要條件是：對(duì)任何含于

x?x0

u(x0;?)且以x0為極限的數(shù)列?xn?極限limf(xn)都存在且相等。

"

n??

例如：證明極限limsin

x?0

1x

不存在

12n??

證：設(shè)xn??

1n?

?,xn?

?

2

(n?1,2,?)，則顯然有

xn?0,xn?0(n??)，si由歸結(jié)原則即得結(jié)論。

??

?0?0,si?1?1(n??)??xnxn

二、左右極限法

原理：判斷當(dāng)x?x0時(shí)的極限，只要考察左、右極限，如果兩者相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?arctan(因?yàn)閘imarctan(

x?0

?

1x

)

當(dāng)x

?0

時(shí)的極限不存在。

1x)?

1x

)??

?

2

x=0，limarctan(

x?0

?

?

2

，limarctan(

x?0

?

1x

)?lim?arctan(

x?0

1x

)，

所以當(dāng)x?0時(shí)，arctan(

1x

)的極限不存在。

三、證明x??時(shí)的極限不存在

原理：判斷當(dāng)x?

?

時(shí)的極限，只要考察x???與x???時(shí)的極限，如果兩者

相等，則極限存在，否則極限不存在。例如：證明f(x)?ex在x?

x???

?

時(shí)的極限不存在

x???

x???

xxxx

因?yàn)閘ime?0，lime???；因此，lime?lime

x???

所以當(dāng)x?

四、柯西準(zhǔn)則

?

時(shí)，ex的極限不存在。

0"

原理：設(shè)f在u(x0;?)內(nèi)有定義，limf(x)存在的充要條件是：任給?

x?x0

?0

，存

在正數(shù)?(???)，使得對(duì)任何x?,x???u0(x0;?)，使得f(x?)?f(x??)??0。 例如：在方法一的例題中，取?0?1，對(duì)任何??0，設(shè)正數(shù)n?

x??1

n?,x???1

n??1?，令?

2即證。

五、定義法

原理：設(shè)函數(shù)f(x)在一個(gè)形如(a,??)的區(qū)間中有定義，對(duì)任何a?r，如果存在

?0?0，使對(duì)任何x?0都存在x0?x,使得f(x0)?a??0,則f(x)在x???

x???時(shí)沒有極限。 例如：證明limcosx不存在

設(shè)函數(shù)f(x)?cosx，f(x)在(0,??)中有定義，對(duì)任何a?r，不妨設(shè)a?取?0?120,，于是對(duì)任何??0，取?0?0 反證法（利用極限定義） 數(shù)學(xué)歸納法

第五篇：極限證明

極限證明

1.設(shè)f(x)在(??,??)上無(wú)窮次可微，且f(x)??(xn)(n???)，求證當(dāng)k?n?1時(shí)，?x， limf(k)(x)?0． x???

2.設(shè)f(x)??0sinntdt，求證：當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，f(x)是以2?為周期的周期函數(shù)；當(dāng)n為

偶數(shù)時(shí)f(x)是一線性函數(shù)與一以2?為周期的周期函數(shù)之和． x

f(n)(x)?0．?{xn}?3.設(shè)f(x)在(??,??)上無(wú)窮次可微；f(0)f?(0)?0xlim求證：n?1，???

?n，0?xn?xn?1，使f(n)(xn)?0．

sin(f(x))?1．求證limf(x)存在． 4.設(shè)f(x)在(a,??)上連續(xù)，且xlim???x???

5.設(shè)a?0,x1?2?a,xn?1?2?xn,n?1,2?,證明權(quán)限limn??xn存在并求極限值。

6.設(shè)xn?0,n?1,2,?.證明：若limxn?1?x,則limxn?x. n??xn??n

7.用肯定語(yǔ)氣敘述：limx???f?x????.

8.a1?1,an?1?1,求證：ai有極限存在。 an?1

t?x9.設(shè)函數(shù)f定義在?a,b?上，如果對(duì)每點(diǎn)x??a,b?,極限limf?t?存在且有限（當(dāng)x?a或b時(shí)，

為單側(cè)極限）。證明：函數(shù)f在?a,b?上有界。

10.設(shè)limn??an?a,證明：lima1?2a2???nana?. n??2n2

11.敘述數(shù)列?an?發(fā)散的定義，并證明數(shù)列?cosn?發(fā)散。

12.證明：若???

af?x?dx收斂且limx???f?x???，則??0.

11?an?收斂。?,n?1,2,?.求證：22an?1an13.a?0,b?0.a1?a,a2?b,an?2?2?

n

14.證明公式?k?11k?2n?c??n，其中c是與n無(wú)關(guān)的常數(shù)，limn???n?0.

15.設(shè)f?x?在[a,??)上可微且有界。證明存在一個(gè)數(shù)列?xn??[a,?),使得limn??xn???且limn??f"?xn??0.

16.設(shè)f?u?具有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，且limu???f"?u??a?0,d??x,y?|x2?y2?r2,x,y?0

??

?r?0?.

i

?1?證明：limu??f?u????;?2?求ir???f"?x2?y2?dxdy;?3?求limr2

r??

d

r

17.設(shè)f?x?于[a,??)可導(dǎo)，且f"?x??c?0?c為常數(shù)?,證明：

?1?limx???f?x????;?2?f?x?于[a,??)必有最小值。

18.設(shè)limn???an?a,limn???bn?b,其中b?0,用??n語(yǔ)言證明lim

ana?.

n???bbn

?sn?x??19.設(shè)函數(shù)列?sn?x??的每一項(xiàng)sn?x?都在x0連續(xù)，u是以x0為中心的某個(gè)開區(qū)間，

在u??x0?內(nèi)閉一致收斂于s?x?,又limn??sn?x0????,證明：lims?x????.

x?x0

20.敘述并證明limx???f?x?存在且有限的充分必要條件?柯西收斂原理?

??a

23.設(shè)?

f(x)= 0. 證明xlimf(x)dx收斂,且f(x)在?a,???上一致連續(xù)，???

24.設(shè)a1>0，an?1＝an＋，證明＝1 nan25.設(shè)f?x?在a的某領(lǐng)域內(nèi)有定義且有界，對(duì)于充分小的h，m?h?與m?h?分別表示f?x?在

?a?h,a?h?上的上、下確界，又設(shè)?hn?是一趨于0的遞減數(shù)列，證明：

1）limn??m?hn?與limn??m?hn?都存在；

2)limn?0m?h??limn??m?hn?,limn?0m?h??limn??m?hn?;

3)f?x?在x?a處連續(xù)的充要條件是llimn??m?hn??imn??m?hn?26設(shè)?xn?滿足：|xn?1?xn|?|qn||xn?xn?1|,|qn|?r?1|,證明?xn?收斂。

27.設(shè)an?a,用定義證明:limn???an?a

28.設(shè)x1?0，xn?1?

31?xn

,(n?1,2,?)，證明limxn存在并求出來(lái)。

n??3?xn

??

29.用“???語(yǔ)言”證明lim30.設(shè)f(x)?

(x?2)(x?1)

?0

x?1x?3

x?2

，數(shù)列?xn?由如下遞推公式定義：x0?1，xn?1?f(xn)，(n?0，x?1

n??

1，2，?)，求證：limxn?2。

31.設(shè)fn(x)?cosx?cos2x???cosnx，求證：

（a）對(duì)任意自然數(shù)n，方程fn(x)?1在[0,?/3)內(nèi)有且僅有一個(gè)正根；

（b）設(shè)xn?[0,1/3)是fn(x)?1的根，則limxn??/3。

n??

32.設(shè)函數(shù)f(t)在(a,b)連續(xù)，若有數(shù)列xn?a,yn?a(xn,yn?(a,b))使

limf(xn)?a(n??)及l(fā)imf(yn)?b(n??)，則對(duì)a，b之間的任意數(shù)?，

可找到數(shù)列xn?a，使得limf(zn)??

33.設(shè)函數(shù)f在[a,b]上連續(xù)，且

f?0,記fvn?f(a?v?n),?n?

?exp{

b?a

，試證明：n

1b

lnf(x)dx}(n??)并利用上述等式證明下?ab?a

式

2?

?

2?

ln(1?2rcosx?r2)dx?2lnr(r?1)

f(b)?f(a)

?k

b?a

34.設(shè)f‘(0)?k,試證明lim

a?0?b?0?

35.設(shè)f(x)連續(xù)，?(x)??0f(xt)dt，且lim

x?0

論?"(x)在x?0處的連續(xù)性。

f(x)

，求?"(x)，并討?a（常數(shù)）

x

36． 給出riemann積分?af(x)dx的定義，并確定實(shí)數(shù)s的范圍使下列極限收斂

i1

lim?()s。 n??ni?0n

?x322

,x?y?0?2

37.定義函數(shù)f?x???x?y2. 證明f?x?在?0,0?處連續(xù)但不可微。

?0,x?y?0?

n?1

b

38.設(shè)f是?0,??上有界連續(xù)函數(shù)，并設(shè)r1,r2,?是任意給定的無(wú)窮正實(shí)數(shù)列，試證存在無(wú)窮正實(shí)數(shù)列x1,x2,?,使得：limn???f?xn?rn??f?xn???0.

39.設(shè)函數(shù)f?x?在x?0連續(xù)，且limx?0

f?2x??f?x??a,求證：f"?0?存在且等于a.

x

1n

40.無(wú)窮數(shù)列?an??,bn?滿足limn??an?a,limn??bn?b,證明:lim?aibn?1-i?ab.

n??ni?1

41.設(shè)f是?0,??上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)的正函數(shù)，且f"?x??0,f""有界，則limt??f"?t??0

42.用???分析定義證明limt??1

x?31

? x2?92

43.證明下列各題

?1?設(shè)an??0,1?，n?1,2,?,試證明級(jí)數(shù)?2nann?1?an?n收斂；

n?1

?

?2?設(shè)?an?為單調(diào)遞減的正項(xiàng)數(shù)列，級(jí)數(shù)?n201*an收斂，試證明limn201*an?0;

n??

n?1

?

?3?設(shè)f?x?在x?0附近有定義，試證明權(quán)限limx?0f?x?存在的充要條件是：對(duì)任何趨于0的數(shù)列?xn??,yn?都有l(wèi)imn???f?xn??f?yn???0.

?1?44.設(shè)?an?為單調(diào)遞減數(shù)列的正項(xiàng)數(shù)列，級(jí)數(shù)?anln?1?an?0???收斂，試證明limn??n?n?1?

a?1。 45.設(shè)an?0，n=1,2， an?a?0,(n??),證 limn

n??

?

46.設(shè)f為上實(shí)值函數(shù)，且f（1）＝1，f?（x）＝〔1(內(nèi)容來(lái)源好 范文網(wǎng)www.taixiivf.comf（x）存在且小于1＋。

x?＋?4

，證明x?1）2

x2＋f（x）

?

47.已知數(shù)列{an}收斂于a，且

a?a???asn?，用定義證明{sn}也收斂于a

n

48.若f?x?在?0,???上可微，lim

n??

f(x)

?0，求證?0,???內(nèi)存在一個(gè)單

x??x

調(diào)數(shù)列{?n}，使得lim?n???且limf?(?n)?0

n??

x??e?sinx?cosx?,x?0

49.設(shè)f?x???2,確定常數(shù)a,b,c,使得f""?x?在???,??處處存在。

??ax?bx?c,x?0

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