第一篇：勾股定理的證明方法

勾股定理的證明方法

緒論

勾股定理是世界上應(yīng)用最廣泛,歷史最悠久,研究最深入的定理之一,是數(shù)學(xué)、幾何中的重要且基本的工具。而數(shù)千年來(lái)，許多民族、許多個(gè)人對(duì)于這個(gè)定理之證明數(shù)不勝數(shù)，達(dá)三百余種。可見(jiàn)，勾股定理是人類利用代數(shù)思想、數(shù)學(xué)思想解決幾何問(wèn)題、生活實(shí)際問(wèn)題的共同智慧之結(jié)晶，也是公理化證明體系的開(kāi)端。

第一節(jié) 勾股定理的基本內(nèi)容

文字表述：在任何一個(gè)的直角三角形中，兩條直角邊的長(zhǎng)度的平方和等于斜邊長(zhǎng)度的平方。 數(shù)學(xué)表達(dá)：如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么a^2+b^2=c^2 事實(shí)上，它是余弦定理之一種特殊形式。

第二節(jié)勾股定理的證明

2.1歐洲

在歐洲,相傳最早證明勾股定理的是畢達(dá)哥拉斯，故在歐洲該定理得名畢達(dá)哥拉斯定理；又因畢達(dá)哥拉斯在證畢此定理后宰殺一百頭牛慶祝，故亦稱百牛定理。

歐洲最早記載這一定理之書(shū)籍，屬歐幾里得《幾何原本》。

畢達(dá)哥拉斯的證明方法（相傳）：

一說(shuō)采用拼圖法，一說(shuō)采用定理法。

做8個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c，再做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們像左圖那樣拼成兩個(gè)正方形。

從圖上可以看到，這兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都是a + b，所以面積相等。

a2+b2+4×1/2ab = c2+4×1/2ab ，整理即可得到。

定理法就是幾何原本當(dāng)中的證法：

設(shè)△abc為一直角三角形，其中a為直角。從a點(diǎn)劃一直線至對(duì)邊，使其垂直于對(duì)邊上的正方形。此線把對(duì)邊上的正方形一分為二，其面積分別與其余兩個(gè)正方形相等。

在正式的證明中，我們需要四個(gè)輔助定理如下：如果兩個(gè)三角形有兩組對(duì)應(yīng)邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（sas定理） 三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個(gè)正方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積。任意一個(gè)四方形的面積等于其二邊長(zhǎng)的乘積（據(jù)輔助定理3）。證明的概念為：把上方的兩個(gè)正方形轉(zhuǎn)換成兩個(gè)同等面積的平行四邊形，再旋轉(zhuǎn)并轉(zhuǎn)換成下方的兩個(gè)同等面積的長(zhǎng)方(本文來(lái)源公文素材庫(kù)：www.taixiivf.comld的面積。類似地，正方形ackh的面積=長(zhǎng)方形mcel的面積。即正方形bced的面積=正方形abfg的面積+正方形ackh的面積，亦即是ab2+ac2=bc2。由此證實(shí)了勾股定理。

這個(gè)證明巧妙地運(yùn)用了全等三角形和三角形面積與長(zhǎng)方形面積的關(guān)系來(lái)進(jìn)行。不單如此，它更具體地解釋了，「兩條直角邊邊長(zhǎng)平方之和」的幾何意義，這就是以ml將正方形分成bmld和mcel的兩個(gè)部分!

這個(gè)證明的另一個(gè)重要意義，是在於它的出處。這個(gè)證明是出自古希臘大數(shù)學(xué)歐幾里得之手。

歐幾里得(euclidofalexandria)約生於公元前325年，卒於約公元前265年。他曾經(jīng)在古希臘的文化中心亞歷山大城工作，并完成了著作《幾何原本》�！稁缀卧�本》是一部劃時(shí)代的著作，它收集了過(guò)去人類對(duì)數(shù)學(xué)的知識(shí)，并利用公理法建立起演繹體系，對(duì)后世數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。而書(shū)中的第一卷命題47，就記載著以上的一個(gè)對(duì)勾股定理的證明。

圖二中，我們將4個(gè)大小相同的直角三角形放在一個(gè)大正方形之內(nèi)，留意大正方形中間的淺黃色部分，亦都是一個(gè)正方形。設(shè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)度為c，其余兩邊的長(zhǎng)度為a和b，則由於大正方形的面積應(yīng)該等於4個(gè)直角三角形和中間淺黃色正方形的面積之和，所以我們有

(a+b)2=4(1/2ab)+c2

展開(kāi)得a2+2ab+b2=2ab+c2

化簡(jiǎn)得a2+b2=c2

由此得知勾股定理成立。

第五篇：勾股定理證明方法

勾股定理證明方法

勾股定理的種證明方法(部分)

【證法1】(梅文鼎證明)

做四個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b，斜邊長(zhǎng)為c.把它們拼成如圖那樣的一個(gè)多邊形，使d、e、f在一條直線上.過(guò)c作ac的延長(zhǎng)線交df于點(diǎn)p.

∵d、e、f在一條直線上,且rtδgef≌rtδebd,

∴∠egf=∠bed，

∵∠egf+∠gef=90°，

∴∠bed+∠gef=90°，

∴∠beg=180º―90º=90º.

又∵ab=be=eg=ga=c，

∴abeg是一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.

∴∠abc+∠cbe=90º.

∵rtδabc≌rtδebd,

∴∠abc=∠ebd.

∴∠ebd+∠cbe=90º.

即∠cbd=90º.

又∵∠bde=90º，∠bcp=90º，

bc=bd=a.

∴bdpc是一個(gè)邊長(zhǎng)為a的正方形.

同理，hpfg是一個(gè)邊長(zhǎng)為b的正方形.

設(shè)多邊形ghcbe的面積為s，則

,

∴.

【證法2】(項(xiàng)明達(dá)證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形，使e、a、c三點(diǎn)在一條直線上.

過(guò)點(diǎn)q作qp‖bc，交ac于點(diǎn)p.

過(guò)點(diǎn)b作bm⊥pq，垂足為m;再過(guò)點(diǎn)

f作fn⊥pq，垂足為n.

∵∠bca=90º，qp‖bc，

∴∠mpc=90º，

∵bm⊥pq，

∴∠bmp=90º，

∴bcpm是一個(gè)矩形，即∠mbc=90º.

∵∠qbm+∠mba=∠qba=90º，

∠abc+∠mba=∠mbc=90º，

∴∠qbm=∠abc，

又∵∠bmp=90º，∠bca=90º，bq=ba=c，

∴rtδbmq≌rtδbca.

同理可證rtδqnf≌rtδaef.

【證法3】(趙浩杰證明)

做兩個(gè)全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直角邊長(zhǎng)分別為a、b(b>a)，斜邊長(zhǎng)為c.再做一個(gè)邊長(zhǎng)為c的正方形.把它們拼成如圖所示的多邊形.

分別以cf，ae為邊長(zhǎng)做正方形fcji和aeig，

∵ef=df-de=b-a，ei=b，

∴fi=a，

∴g,i,j在同一直線上，

∵cj=cf=a，cb=cd=c，

∠cjb=∠cfd=90º，

∴rtδcjb≌rtδcfd，

同理，rtδabg≌rtδade，

∴rtδcjb≌rtδcfd≌rtδabg≌rtδade

∴∠abg=∠bcj,

∵∠bcj+∠cbj=90º,

∴∠abg+∠cbj=90º,

∵∠abc=90º,

∴g,b,i,j在同一直線上，

【證法4】(歐幾里得證明)

做三個(gè)邊長(zhǎng)分別為a、b、c的正方形，把它們拼成如圖所示形狀，使h、c、b三點(diǎn)在一條直線上，連結(jié)

bf、cd.過(guò)c作cl⊥de，

交ab于點(diǎn)m，交de于點(diǎn)

l.

∵af=ac，ab=ad，

∠fab=∠gad，

∴δfab≌δgad，

∵δfab的面積等于，

δgad的面積等于矩形adlm

的面積的一半，

∴矩形adlm的面積=.

同理可證，矩形mleb的面積=.

∵正方形adeb的面積

=矩形adlm的面積+矩形mleb的面積

∴，即.

勾股定理的別名

勾股定理，是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，被稱為“幾何學(xué)的基石”，而且在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著極為廣泛的應(yīng)用。正因?yàn)檫@樣，世界上幾個(gè)文明古國(guó)都已發(fā)現(xiàn)并且進(jìn)行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

我國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家。我國(guó)古代數(shù)學(xué)家稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，所以勾股定理也稱為勾股弦定理。在公元前1000多年，據(jù)記載，商高(約公元前1120年)答周公曰“勾廣三，股修四，經(jīng)隅五”，其意為，在直角三角形中“勾三，股四，弦五”.因此，勾股定理在我國(guó)又稱“商高定理”.在公元前7至6世紀(jì)一中國(guó)學(xué)者陳子，曾經(jīng)給出過(guò)任意直角三角形的三邊關(guān)系即“以日下為勾，日高為股，勾、股各乘并開(kāi)方除之得邪至日。

在法國(guó)和比利時(shí)，勾股定理又叫“驢橋定理”。還有的國(guó)家稱勾股定理為“平方定理”。

在陳子后一二百年，希臘的著名數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)了這個(gè)定理，因此世界上許多國(guó)家都稱勾股定理為“畢達(dá)哥拉斯”定理.為了慶祝這一定理的發(fā)現(xiàn)，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個(gè)定理又有人叫做“百牛定理”.

前任美國(guó)第二十屆總統(tǒng)加菲爾德證明了勾股定理(1876年4月1日)。

證明

這個(gè)定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數(shù)學(xué)眾多定理中最多的。路明思(elishascottloomis)的pythagoreanproposition一書(shū)中總共提到367種證明方式。

有人會(huì)嘗試以三角恒等式(例如：正弦和余弦函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù))來(lái)證明勾股定理，但是，因?yàn)樗�有的基本三角恒等式都是建基于勾股定理，所以不能作為勾股定理的證明(參見(jiàn)循環(huán)論證)。

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