化動(dòng)為靜—解圓錐曲線中的定值問題

摘 要：探索性問題中的定值問題，主要考查學(xué)生解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，以函數(shù)為藍(lán)本,將數(shù)學(xué)知識(shí)有機(jī)融合，并賦予新的情景創(chuàng)設(shè)而成的。在圓錐曲線中,某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中,不受相關(guān)變?cè)�的制約而恒定不變,則稱該幾何量具有定值特征,這類問題稱之為定值問題。那么如何動(dòng)中覓靜、動(dòng)靜互化以動(dòng)制動(dòng)，這就要求學(xué)生學(xué)會(huì)觀察分析，“創(chuàng)造性”地綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題。這類問題其過程可以用下圖表示為：觀察→猜測(cè)→抽象→概括→證明。

關(guān)鍵詞：定值定點(diǎn) 圓錐曲線 特例 求解策略 動(dòng)中覓靜 以動(dòng)制動(dòng)

縱觀近幾年全國(guó)各地高考數(shù)學(xué)題的命制，都非常注重對(duì)學(xué)生能力的考查。定值問題作為探索性問題之一，很好地具備了內(nèi)容涉及面廣、重點(diǎn)題型豐富，而結(jié)論封閉、客觀等命題要求，方便考查考生的分析、比較、猜測(cè)、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛。本文僅就圓錐曲線中的定值問題，作一點(diǎn)解法上的探討。

探求之一： 特值探路, 方向明確

在解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們應(yīng)該根據(jù)題目的特點(diǎn)，選取靈活的方法求解，而選擇題和填空題是一類只注重結(jié)果而不需寫出解題過程的特殊問題﹒而大題解答中可以根據(jù)特殊性與普遍性( 個(gè)性與共性) 的辨證關(guān)系, 以特例探路, 從特例中求出幾何量的定值。從而化繁為簡(jiǎn)，有了方向繼而進(jìn)行計(jì)算和推證。

例1：（山東理22） 已知?jiǎng)又本�與橢圓C: 交于P、Q兩不同點(diǎn)，且△OPQ的面積=,其中O為坐標(biāo)原點(diǎn).

（Ⅰ）證明和均為定值;

（Ⅱ）設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為M，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓C上是否存在點(diǎn)D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（I）解：（1）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，P，Q兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，所以

因?yàn)樵跈E圓上，因此 ①又因?yàn)?/p>

所以 ②由①、②得

此時(shí)

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為

由題意知m，將其代入，得，

其中即 …………（*）

又

所以

因?yàn)辄c(diǎn)O到直線的距離為

又整理得且符合（*）式，

此時(shí)

綜上所述，結(jié)論成立。

波利亞所說(shuō):“特殊化石從考慮一組給定的對(duì)象集合過渡到考慮該集合的一個(gè)較小的子集,或僅僅一個(gè)對(duì)象。” 特殊化策略是一種退的策略，通過特殊探索法借助“退”的結(jié)果不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。

探求之二：利用恒等，方程架橋

例2：.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，

橢圓與拋物線在第一象限的交點(diǎn)為，.圓的圓心是拋物線上的動(dòng)點(diǎn), 圓與軸交于兩點(diǎn)，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).

解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為， ∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

∴橢圓的左焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線的準(zhǔn)線方程為.

設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由拋物線的定義可知,∵,

∴，解得.

由，且,得.∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.

. .

∴.∴橢圓的方程為.

（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的半徑為，

∵ 圓與軸交于兩點(diǎn)，且,

∴ .∴.

∴圓的方程為.

∵ 點(diǎn)是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),∴ ().

∴.把代入消去整理

得:. 方程對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立， ∴ 解得 ∵點(diǎn)在橢圓:上,

∴無(wú)論點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點(diǎn).

探求之三：設(shè)參消參，借梯借船

從整體考慮,瞄準(zhǔn)所求,抓住本質(zhì),巧設(shè)未知數(shù),設(shè)而不求,或整體求解,或代換轉(zhuǎn)化,不僅會(huì)使問題化繁為簡(jiǎn),化難為易,而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們創(chuàng)造性思維,提高同學(xué)們的分析問題、解決問題的能力.

例3：. 已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)，F為其焦點(diǎn)，離心率為e。

（Ⅰ）若拋物線x＝y2的準(zhǔn)線經(jīng)過F點(diǎn)且橢圓C經(jīng)過P(2,3)，求此時(shí)橢圓C的方程；

（Ⅱ）過A(0, a)的直線與橢圓C相切于M，交x軸于B，且＝，求證：μ＋c2＝0。

解：（Ⅰ）依題意知(-2，0)，即

由橢圓定義知：,

所以,即橢圓的方程為：.

(Ⅱ)證明：由題意可設(shè)直線的方程為：

根據(jù)過的直線與橢圓相切 ,可得：

易知設(shè),則由上知

由知

，

探求之四：數(shù)形結(jié)合,依舊好用

“數(shù)缺形時(shí)少直覺 ,形少數(shù)時(shí)難入微 ,數(shù)形結(jié)合百般好 ,隔離分離萬(wàn)事非”.這說(shuō)明以形助數(shù)可以使許多抽象的概念和復(fù)雜的關(guān)系直觀化、形象化 .那么“形”從何來(lái) ?“形”從我們學(xué)過的知識(shí)中來(lái) ,解析幾何中大量存在著我們需要的“形”,所以我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)幾何模型與數(shù)學(xué)問題的轉(zhuǎn)換。結(jié)合圖象合理選取求弦長(zhǎng)問題的方法。

例4：設(shè)，點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)在軸上，且．

（1）當(dāng)點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）若，是否存在垂直軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長(zhǎng)恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

解：（1），故為的中點(diǎn)．設(shè)，由點(diǎn)在軸的負(fù)半軸上，

則 又，

又， 所以，點(diǎn)的軌跡的方程為

（2）設(shè)的中點(diǎn)為，垂直于軸的直線方程為，

以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為．

，

-------9分

所以，令，則對(duì)任意滿足條件的，

都有（與無(wú)關(guān)），即為定值．

求定值是解析幾何中頗有難度的一類問題，由于它在解題之前不知道定值的結(jié)果，因而更增添了題目的神秘色彩。解決這類問題時(shí)，要善于運(yùn)用辯證的觀點(diǎn)去思考分析，在動(dòng)點(diǎn)的“變”中尋求定值的“不變”性。因此面對(duì)高考試題的命題原則, 應(yīng)逐步養(yǎng)成分析條件、探究方向、選擇方法、設(shè)計(jì)程序的良好思維習(xí)慣,是從根本上提高數(shù)學(xué)能力的重要保證

參考文獻(xiàn)：

[1]蔣大明. 構(gòu)造齊二次式解決圓錐曲線的兩類定值問題.

[2]李云果. 圓錐曲線中定值問題的求解策略

[3]李文賓. 探究“一定二動(dòng)斜率定值”問題

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