化動為靜—解圓錐曲線中的定值問題

摘 要：探索性問題中的定值問題，主要考查學生解決非傳統(tǒng)完備問題的能力，以函數(shù)為藍本,將數(shù)學知識有機融合，并賦予新的情景創(chuàng)設而成的。在圓錐曲線中,某些幾何量在特定的關系結構中,不受相關變元的制約而恒定不變,則稱該幾何量具有定值特征,這類問題稱之為定值問題。那么如何動中覓靜、動靜互化以動制動，這就要求學生學會觀察分析，“創(chuàng)造性”地綜合運用所學知識解決問題。這類問題其過程可以用下圖表示為：觀察→猜測→抽象→概括→證明。

關鍵詞：定值定點 圓錐曲線 特例 求解策略 動中覓靜 以動制動

縱觀近幾年全國各地高考數(shù)學題的命制，都非常注重對學生能力的考查。定值問題作為探索性問題之一，很好地具備了內容涉及面廣、重點題型豐富，而結論封閉、客觀等命題要求，方便考查考生的分析、比較、猜測、歸納等綜合能力，因而受到命題人的喜愛。本文僅就圓錐曲線中的定值問題，作一點解法上的探討。

探求之一： 特值探路, 方向明確

在解數(shù)學題時，我們應該根據(jù)題目的特點，選取靈活的方法求解，而選擇題和填空題是一類只注重結果而不需寫出解題過程的特殊問題﹒而大題解答中可以根據(jù)特殊性與普遍性( 個性與共性) 的辨證關系, 以特例探路, 從特例中求出幾何量的定值。從而化繁為簡，有了方向繼而進行計算和推證。

例1：（山東理22） 已知動直線與橢圓C: 交于P、Q兩不同點，且△OPQ的面積=,其中O為坐標原點.

（Ⅰ）證明和均為定值;

（Ⅱ）設線段PQ的中點為M，求的最大值；

（Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得?若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由.

（I）解：（1）當直線的斜率不存在時，P，Q兩點關于x軸對稱，所以

因為在橢圓上，因此 ①又因為

所以 ②由①、②得

此時

（2）當直線的斜率存在時，設直線的方程為

由題意知m，將其代入，得，

其中即 …………（*）

又

所以

因為點O到直線的距離為

又整理得且符合（*）式，

此時

綜上所述，結論成立。

波利亞所說:“特殊化石從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小的子集,或僅僅一個對象。” 特殊化策略是一種退的策略，通過特殊探索法借助“退”的結果不但能夠確定出定值，還可以為我們提供解題的線索。

探求之二：利用恒等，方程架橋

例2：.已知橢圓的右焦點與拋物線的焦點重合，

橢圓與拋物線在第一象限的交點為，.圓的圓心是拋物線上的動點, 圓與軸交于兩點，且.

（1）求橢圓的方程；

（2）證明:無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.

解：（1）∵拋物線的焦點坐標為， ∴點的坐標為.

∴橢圓的左焦點的坐標為，拋物線的準線方程為.

設點的坐標為，由拋物線的定義可知,∵,

∴，解得.

由，且,得.∴點的坐標為.

. .

∴.∴橢圓的方程為.

（2）設點的坐標為,圓的半徑為，

∵ 圓與軸交于兩點，且,

∴ .∴.

∴圓的方程為.

∵ 點是拋物線上的動點,∴ ().

∴.把代入消去整理

得:. 方程對任意實數(shù)恒成立， ∴ 解得 ∵點在橢圓:上,

∴無論點運動到何處,圓恒經(jīng)過橢圓上一定點.

探求之三：設參消參，借梯借船

從整體考慮,瞄準所求,抓住本質,巧設未知數(shù),設而不求,或整體求解,或代換轉化,不僅會使問題化繁為簡,化難為易,而且有助于培養(yǎng)同學們創(chuàng)造性思維,提高同學們的分析問題、解決問題的能力.

例3：. 已知橢圓C：＝1(a＞b＞0)，F為其焦點，離心率為e。

（Ⅰ）若拋物線x＝y2的準線經(jīng)過F點且橢圓C經(jīng)過P(2,3)，求此時橢圓C的方程；

（Ⅱ）過A(0, a)的直線與橢圓C相切于M，交x軸于B，且＝，求證：μ＋c2＝0。

解：（Ⅰ）依題意知(-2，0)，即

由橢圓定義知：,

所以,即橢圓的方程為：.

(Ⅱ)證明：由題意可設直線的方程為：

根據(jù)過的直線與橢圓相切 ,可得：

易知設,則由上知

由知

，

探求之四：數(shù)形結合,依舊好用

“數(shù)缺形時少直覺 ,形少數(shù)時難入微 ,數(shù)形結合百般好 ,隔離分離萬事非”.這說明以形助數(shù)可以使許多抽象的概念和復雜的關系直觀化、形象化 .那么“形”從何來 ?“形”從我們學過的知識中來 ,解析幾何中大量存在著我們需要的“形”,所以我們在教學中應強調幾何模型與數(shù)學問題的轉換。結合圖象合理選取求弦長問題的方法。

例4：設，點在軸的負半軸上，點在軸上，且．

（1）當點在軸上運動時，求點的軌跡的方程；

（2）若，是否存在垂直軸的直線被以為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

解：（1），故為的中點．設，由點在軸的負半軸上，

則 又，

又， 所以，點的軌跡的方程為

（2）設的中點為，垂直于軸的直線方程為，

以為直徑的圓交于兩點，的中點為．

，

-------9分

所以，令，則對任意滿足條件的，

都有（與無關），即為定值．

求定值是解析幾何中頗有難度的一類問題，由于它在解題之前不知道定值的結果，因而更增添了題目的神秘色彩。解決這類問題時，要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性。因此面對高考試題的命題原則, 應逐步養(yǎng)成分析條件、探究方向、選擇方法、設計程序的良好思維習慣,是從根本上提高數(shù)學能力的重要保證

參考文獻：

[1]蔣大明. 構造齊二次式解決圓錐曲線的兩類定值問題.

[2]李云果. 圓錐曲線中定值問題的求解策略

[3]李文賓. 探究“一定二動斜率定值”問題

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