高一數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)
正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角,確定
nnn所在象限的方法:先把各象限均分n等
*份,再從x軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為
終邊所落在的區(qū)域.
lr5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.
6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是1807、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3.180.
8、若扇形的圓心角為為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl,S12lr12r.
29、設(shè)是一個任意大小的角,的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是x,y,它與原點(diǎn)的距離是rrxy022,則sinyr,cosxr,tanyxx0.
10、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.
11、三角函數(shù)線:sin,cos,tan.12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:1sincos1
22yPTsin1cos,cos1sin2222;2sincostan
OvMAxsinsintancos,cos.
tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:
1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.
5sincos2cos2,cossin2.
6sin,cossin2.
口訣:奇變偶不變,符號看象限.
14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮
短)到原來的
1倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)
ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),
得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx1倍(縱坐標(biāo)不變),
的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移
個單位
長度,得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)
的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì):
①振幅:;②周期:.
2;③頻率:f12;④相位:x;⑤初相:
函數(shù)ysinx,當(dāng)xx1時,取得最小值為ymin;當(dāng)xx2時,取得最大值為ymax,則12ymaxymin,12ymaxymin,
2x2x1x1x2.
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):函ycosx
性質(zhì)
數(shù)ysinxytanx
圖象
定義域值域
RRxxk,k
2R1,1
當(dāng)x2k21,1
k當(dāng)x2kk時,
ymax1;當(dāng)x2k
最值時,ymax1;當(dāng)
x2k
既無最大值也無最小值
21.
k時,ymin1.
k時,ymin2周
期性奇奇函數(shù)偶性單
調(diào)在2k,2k
22性
2偶函數(shù)奇函數(shù)
在2k,2kk上是
增函-3-在k2,k數(shù);在
k上是增函數(shù);在2k,2k
32k,2k22k上是增函數(shù).
k上是減函數(shù).
k上是減函數(shù).
對稱中心k,0k對
對稱軸稱
性xkk
2對稱中心
對稱中心
k,0k
2k,0k2對稱軸xkk
無對稱軸
16、向量:既有大小,又有方向的量.?dāng)?shù)量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點(diǎn)、方向、長度.
零向量:長度為0的向量.
單位向量:長度等于1個單位的向量.平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運(yùn)算:
⑴三角形法則的特點(diǎn):首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn).
⑶三角形不等式:ababab.
⑷運(yùn)算性質(zhì):①交換律:abba;②結(jié)合律:abcabc;③
a00aa.
⑸坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.
Ca18、向量減法運(yùn)算:
⑴三角形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向指向被減向量.
⑵坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1,x2,y2,則x1x2y,1y2
b.abCC
19、向量數(shù)乘運(yùn)算:
⑴實(shí)數(shù)與向量a的積是一個向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘,記作a.
①aa;
②當(dāng)0時,a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時,a的方向與a的方向相反;當(dāng)0時,a0.
⑵運(yùn)算律:①aa;②aaa;③abab.
⑶坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax,y,則ax,yx,y.
20、向量共線定理:向量aa0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實(shí)數(shù),使ba.
設(shè)ax1,y1,bx2,y2,其中b0,則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時,向量a、bb0共線.
21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實(shí)數(shù)1、2,使a1e12e2.(不共線的向量e1、e2作為
這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)
22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn),1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1,x2,y2,xx2y1y2當(dāng)12時,點(diǎn)的坐標(biāo)是1,.
1123、平面向量的數(shù)量積:
⑴ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
⑵性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①abab0.②當(dāng)a與b同向時,abab;22當(dāng)a與b反向時,abab;aaaa或aaa.③abab.
⑶運(yùn)算律:①abba;②ababab;③abcacbc.
⑷坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)兩個非零向量ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y2.
若ax,y,則a222xy,或axy.
22設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y20.
設(shè)a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a與b的夾角,則
abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222.
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;
⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan1tantantantan1tantan(tantantan1tantan);
⑹tan(tantantan1tantan).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincos.⑵
2cos2cossin2cos112sin1cos222222(cos2cos212,
sin).
⑶tan22tan1tan2.
26、sincossin,其中tan22.
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高中數(shù)學(xué)必修4知識點(diǎn)總結(jié)
第一章三角函數(shù)
1、特殊角的集合:
第一象限角的集合:{|k360k36090,kZ}第二象限角的集合:{|k36090k360180,kZ}第三象限角的集合:{|k360180k360270,kZ}第四象限角的集合:{|k360270k360360,kZ}終邊落在x軸非負(fù)半軸上的角的集合:{|k360,kZ}終邊落在x軸非正半軸上的角的集合:{|k360180,kZ}終邊落在x軸上的角的集合:{|k180,kZ}
終邊落在y軸非負(fù)半軸上的角的集合:{|k36090,kZ}終邊落在y軸非正半軸上的角的集合:{|k360270,kZ}終邊落在y軸上的角的集合:{|k18090,kZ}終邊落在坐標(biāo)軸上的角的集合:{|k90,kZ}
2、終邊相同的角:所有與角終邊相同的角,連同角在內(nèi),可構(gòu)成一個集合
S{|k360,kZ},即任一與角終邊相同的角都可以表示成角與整
數(shù)個周角和的形式.3、弧度制與角度制的換算:(1)1rad(180(3)3602rad,180rad
4、弧長公式和扇形面積公式:
)57.305718"(2)1180rad01745rad
(1)弧長公式:l||r(2)扇形面積公式:S5、常見結(jié)論:
11lr||r222(1)若與的終邊關(guān)于x軸對稱,則2k,kZ(2)若與的終邊關(guān)于y軸對稱,則(2k1),kZ(3)若與的終邊關(guān)于原點(diǎn)對稱,則(2k1),kZ(4)若與的終邊在同一直線上,則k,kZ
6、定義:是一個任意大小的角,以的頂點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),以的始邊為x軸的非負(fù)半軸,建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)P(x,y)是定:siny,cosx,tan的終邊與單位圓的交點(diǎn),規(guī)
yx7、設(shè)是一個任意角,點(diǎn)P(x,y)為終邊上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn)O),則點(diǎn)P與原點(diǎn)的距離
yxy叫做的正弦,記作sin;比值叫做的余弦,記
rrrxyy作cos;比值叫做的正切,記作tan。
rxxrx2y20,那么比值
第1頁共8頁8、三角函數(shù)的定義域和值域:
(1)正弦函數(shù)ysinx,xR,y[1,1](2)余弦函數(shù)ycosx,xR,y[1,1](3)正切函數(shù)ytanx,x{x|xk2,kZ},yR
9、記憶口訣:“一全正,二正弦,三正切,四余弦”.其含義時在第一象限各三角函數(shù)值全為正,在第二象限只有正弦值為正,在第三象限只有正切值為正,在第四象限只有余弦值為正.10、誘導(dǎo)公式(1)誘導(dǎo)公式
誘導(dǎo)公式(一):sin(2k)sin(kZ)cos(2k)cos(kZ)
tan(2k)tan(kZ)
誘導(dǎo)公式(二):sin()sincos()costan()tan誘導(dǎo)公式(三):sin()sincos()costan()tan誘導(dǎo)公式(四):sin()sincos()costan()tan誘導(dǎo)公式(五):sin(誘導(dǎo)公式(六):sin((2)記憶口訣
角的三角函數(shù)的所有誘導(dǎo)公式可以概括為:“奇變偶不變,符號看象限”.①把角化為
)coscos()sin
22)coscos()sin22k(kZ)的形式.若k為偶數(shù),則函數(shù)名不變;若k為奇數(shù),則函數(shù)名2作改變:正余.
k②看象限的過程中,一律將角看成銳角,再根據(jù)(kZ)的象限決定三角函數(shù)
2的符號(正負(fù)).
11、三角函數(shù)線:(1)單位圓和有向線段
單位圓:半徑等于單位長度,圓心在原點(diǎn)的圓叫做單位圓.有向線段(非嚴(yán)格定義):帶有方向的線段叫做有向線段.
設(shè)任意角
的頂點(diǎn)在原點(diǎn)O,始邊與x軸非負(fù)半軸重合,終邊與單位圓的相交于
第2頁共8頁P(yáng)(x,y),過P作x軸的垂線,垂足為M,過A(1,0)作單位圓的切線交終邊(當(dāng)在第
一,四象限時)或其反向延長線(當(dāng)在第二,三象限時)于T.規(guī)定:當(dāng)OM與x軸同向時為正值,與x軸反向時為負(fù)值當(dāng)MP與y軸同向時為正值,與y軸方向時為負(fù)值當(dāng)AT與y軸同向時為正值,與y軸反向時為負(fù)值根據(jù)上面規(guī)定,則OMx,MPy.(2)三角函數(shù)線:
根據(jù)正弦,余弦,正切的定義,則有
sinyMP,cosxOM,tanyMPATATxOPOA這三條與單位圓有關(guān)的有向線段MP,OM,AT分別叫做角的正弦線,余弦線,正
切線.
當(dāng)角的終邊落在x軸上時,M與P重合,A與T重合,此時正弦線,正切線分別
變成一個點(diǎn);當(dāng)角的終邊在y軸上時,O與M重合,余弦線變成一個點(diǎn),過A的切線平行于y軸,不能與角的終邊相交,所以正切線不存在,此時角的正切值不存在.
12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系公式:sincos113、常用到的同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式變形:(1)sincos1的變形:
1sincos,sin1cos,cos1sinsin1cos,cos1sin(2)tan2222sintancos22222222sin的變形:cossintan(3)sincos,sincos,sincos之間的關(guān)系:
22(sincos)12sincos(sincos)12sincos
sincostan,cos(sincos)(sincos)2
14、用五點(diǎn)法作正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的簡圖(描點(diǎn)法):正弦函數(shù)ysinx,x[0,2]的圖象中,
223,1),(,0),(,1),(2,0)22余弦函數(shù)ycosx,x[0,2]的圖像中,
3五個關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,1),(,0),(,1),(,0),(2,1)
22五個關(guān)鍵點(diǎn)是:(0,0),(只要這五個點(diǎn)描出后,圖象的形狀就基本確定了.
正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):
第3頁共8頁
{"Error":{"code":"8","Message":"badrequest","LogId":"1053756867"}}15、綜合探究:函數(shù)yAsin(x)k的圖象
畫出函數(shù)y3sin(2x
綜合結(jié)論:平移法過程:(1)先平移后收縮(2)先收縮后平移
得y=sin(x+φ)橫坐標(biāo)伸長或縮短得y=sin(ωx+φ)縱坐標(biāo)伸長或縮短作y=sinx(長度為2的某閉區(qū)間)沿x軸平移|φ|個單位橫坐標(biāo)伸長或縮短得y=sinωx沿x軸平移|3),xR的簡圖.
|個單位得y=sin(ωx+φ)縱坐標(biāo)伸長或縮短得y=Asin(ωx+φ)的圖象,先在一個周期閉區(qū)間上再擴(kuò)充到R上。兩種方法殊途同歸
(1)y=sinx相位變換(平移)y=sin(x+φ)周期變換y=sin(ωx+φ)
振幅變換yAsin(x)
(2)y=sinxφ)
周期變換y=sinωx相位變換(平移)y=sin(ωx+
振幅變換yAsin(x)
注:(1)函數(shù)yAsin(x)(a0,0)中,A影響函數(shù)圖象的最高點(diǎn)和最低點(diǎn),即函
數(shù)的最值;影響函數(shù)圖象每隔多少重復(fù)出現(xiàn),即函數(shù)的周期;影響函數(shù)的初相.
(2)對于函數(shù)yAsin(x)(a0,0)的圖象,相鄰的兩個對稱中心或兩條對稱
軸相距半個周期;相鄰的一個對稱中心和一條對稱軸相交周期的四分之一.
16、求三角函數(shù)周期的方法
(1)定義法,即利用周期函數(shù)的定義求解.
(2)公式法,對形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(A,ω,φ是常數(shù),A≠0,ω≠0)的函數(shù),(3)觀察法,即通過觀察函數(shù)圖象求其周期.
17、求與正、余弦函數(shù)有關(guān)的單調(diào)區(qū)間的策略及注意點(diǎn)(1)結(jié)合正、余弦函數(shù)的圖象,熟記它們的單調(diào)區(qū)間.
(2)在求形如y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間時,應(yīng)采用“換元法”整體代換,將“ωx+φ”看作一個整體“z”,即通過求y=Asinz的單調(diào)區(qū)間而求出原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.求形如y=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間同上.
(3)①ω0后求解;②若A
高一數(shù)學(xué)必修4第一章三角函數(shù)單元訓(xùn)練題
201*1130
一、選擇題:共12小題,在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.(48
分)
1、已知A={第一象限角},B={銳角},C={小于90°的角},那么A、B、C關(guān)系是()
A.B=A∩C
B.B∪C=C
C.AC
D.A=B=C
()
2、將分針撥慢5分鐘,則分鐘轉(zhuǎn)過的弧度數(shù)是
A.
3sin2cos3sin5cosB.-
3C.
6D.-
6()
3、已知
5,那么tan的值為
B.2
C.
16164、已知角的余弦線是單位長度的有向線段;那么角的終邊()A.在x軸上B.在直線yx上
C.在y軸上D.在直線yx或yx上5、若f(cosx)cos2x,則f(sin15)等于()
A.-2
23D.-
23A.32B.
32C.
12D.
12()
6、要得到y(tǒng)3sin(2xA.向左平移位
4)的圖象只需將y=3sin2x的圖象
個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單44887、如圖,曲線對應(yīng)的函數(shù)是()
A.y=|sinx|C.y=-sin|x|
2B.y=sin|x|D.y=-|sinx|
8、化簡1sin160的結(jié)果是()
A.cos160B.cos160C.cos160D.cos1609、A為三角形ABC的一個內(nèi)角,若sinAcosA12,則這個三角形的形狀為()25A.銳角三角形B.鈍角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形
第6頁共8頁10、函數(shù)y2sin(2x3)的圖象
()
A.關(guān)于原點(diǎn)對稱B.關(guān)于點(diǎn)(-11、函數(shù)ysin(xA.[,0)對稱C.關(guān)于y軸對稱D.關(guān)于直線x=對稱662),xR是()
,]上是增函數(shù)B.[0,]上是減函數(shù)
22C.[,0]上是減函數(shù)D.[,]上是減函數(shù)12、函數(shù)yA.2k2cosx1的定義域是()3,2kB.2k,2k(kZ)(kZ)
36623C.2k3,2k(kZ)D.2k23,2k2(kZ)3二、填空題:共4小題,把答案填在題中橫線上.(20分)13、已知4,,則2的取值范圍是.3314、f(x)為奇函數(shù),x0時,f(x)sin2xcosx,則x0時f(x).
2)(x[,])的最小值是.863116、已知sincos,且,則cossin.84215、函數(shù)ycos(x三、解答題:共6小題,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17、(8分)求值sin120cos180tan45cos(330)sin(210)
18、(8分)已知tan2233,,求sincos的值.
219、(8分)繩子繞在半徑為50cm的輪圈上,繩子的下端B處懸掛著物體W,如果輪子按
逆時針方向每分鐘勻速旋轉(zhuǎn)4圈,那么需要多少秒鐘才能把物體W的位置向上提升100cm?
第7頁共8頁
20、(10分)已知α是第三角限的角,化簡
21、(10分)求函數(shù)f1(t)tanx2atanx5在x[
21sin1sin
1sin1sin,]時的值域(其中a為常數(shù))
42第8頁共8頁
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