初一上冊(cè)數(shù)學(xué)一二章總結(jié)

授課內(nèi)容：有理數(shù)加減乘除混合運(yùn)算的練習(xí)授課知識(shí)：數(shù)的分類

正整數(shù)正有理數(shù)整數(shù)零正分?jǐn)?shù)負(fù)整數(shù)有理數(shù)有理數(shù)零

負(fù)整數(shù)分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)負(fù)有理數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)負(fù)分?jǐn)?shù)有理數(shù)的大小比較方法

1.數(shù)軸比較法

將兩個(gè)實(shí)數(shù)分別在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，兩數(shù)在同一點(diǎn)則相等2.差值比較法

設(shè)a,b是任意兩實(shí)數(shù)。則a-b>0+=>a>b;a-b異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除”．如果有了分?jǐn)?shù)，則采用“除以一個(gè)不等于0的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)”，再約分．乘除混合運(yùn)算時(shí)一定注意兩個(gè)原則：①變除為乘，②從左到右．2）

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七年級(jí)上冊(cè)（人民教育出版社）第一二章

數(shù)學(xué)要點(diǎn)難點(diǎn)歸納

第一章有理數(shù)

1.1正數(shù)和負(fù)數(shù)

一、定義

１．大于0的數(shù)叫做正數(shù)。

２．在正數(shù)前面加上負(fù)號(hào)“－”的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。說(shuō)明：

⑴０既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，０是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界，０的意義已不僅是表示“沒(méi)有”。⑵一個(gè)數(shù)前面的“＋”與“－”叫做它的符號(hào)。

⑶判斷一個(gè)數(shù)是不是負(fù)數(shù)，要看是不是在正數(shù)的前面加上“－”號(hào)，而不能看它是否帶有“－”

號(hào)。

⑷有時(shí)根據(jù)需要，在正數(shù)前面也加上“＋”（正號(hào)），在一般情況下，正數(shù)前面的“＋”號(hào)省略不

寫，本書絕大多數(shù)的地方，正數(shù)都不帶正號(hào)。

⑸用正負(fù)數(shù)描述指定方向變化的情況：

①向指定方向變化用正數(shù)表示；

②向指定方向的相反方向變化用負(fù)數(shù)表示。

二、相反意義的量

相反意義的量的要素：⑴表示的意義相反；⑵都具有數(shù)量。

1.2有理數(shù)

一、有理數(shù)

１．定義

整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱有理數(shù)。說(shuō)明：

⑴正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)。⑵有理數(shù)可以寫成形如

mn（m,n是整數(shù)，n≠０）的形式；

mn（m,n是整數(shù)，n≠０）的數(shù)是有理數(shù)；

故有理數(shù)可以用（分析如下：

mn（m,n是整數(shù)，n≠０）表示。

m（m是正整數(shù)或０，n是正整數(shù)）的形式；nm②負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)可以寫成－（m，n是正整數(shù)）的形式；

nm③學(xué)習(xí)負(fù)數(shù)的除法后，可以知道有理數(shù)可以寫成（m，n是整數(shù)，n≠０）的形式；

n①正整數(shù)、0、正分?jǐn)?shù)可以寫成⑶到目前為止，學(xué)過(guò)的數(shù)（除π外）都是有理數(shù)。２．分類

整數(shù)：正整數(shù)、０、負(fù)整數(shù)

按整數(shù)、分?jǐn)?shù)（定義）分類

分?jǐn)?shù)：正分?jǐn)?shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)

有理數(shù)

正有理數(shù)：正整數(shù)、正分?jǐn)?shù)

按正、負(fù)性（符號(hào)）分類0

負(fù)有理數(shù)：負(fù)整數(shù)、負(fù)分?jǐn)?shù)

二、數(shù)軸

1．定義

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸。說(shuō)明：

⑴數(shù)軸有三要素：原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度，三者缺一不可；

⑵數(shù)軸是直線，可以向兩端無(wú)限延伸；

⑶定義中“規(guī)定”是說(shuō)原點(diǎn)的選取、正方向規(guī)定、單位長(zhǎng)度大小的確定，都是根據(jù)需要規(guī)定的。2．畫法

⑴畫：畫一條直線；說(shuō)明：

為了讀畫方便，通常把直線畫成水平或豎直，一般畫成水平；⑵標(biāo):在直線上適當(dāng)選取一點(diǎn)為原點(diǎn)，并標(biāo)上數(shù)字０；說(shuō)明：

原點(diǎn)是“任取”一點(diǎn)，通常取適中的位置，如所需的數(shù)都是正數(shù)，也可以偏向左邊；⑶定:確定正方向；說(shuō)明：

通常規(guī)定直線上原點(diǎn)向右（或上）為正方向，用箭頭表示出來(lái)（箭頭標(biāo)在畫線部分的最右端），

不要畫成射線或線段。（當(dāng)然數(shù)軸的方向是可以任取的）

⑷統(tǒng)一:統(tǒng)一單位長(zhǎng)度根據(jù)需要，選取適當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)度為單位長(zhǎng)度，并標(biāo)上刻度，最后標(biāo)上數(shù)字。說(shuō)明：

單位長(zhǎng)度的大小要根據(jù)實(shí)際需要選取，因此加“適當(dāng)”二字，要表示絕對(duì)值大的數(shù)，單位長(zhǎng)度

可以取小些。

（畫法不一定按上面順序，如⑵⑶可以調(diào)換）

3．?dāng)?shù)軸上的點(diǎn)與有理數(shù)之間的關(guān)系

⑴任意一個(gè)有理數(shù)，都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)表示，但反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上任意一點(diǎn)，卻并不一定表示一個(gè)有理數(shù)，因?yàn)閿?shù)軸上除了表示有理數(shù)的點(diǎn)外，還有表示無(wú)理數(shù)的點(diǎn)。

⑵是數(shù)形的初步結(jié)合。

４．此時(shí)引入數(shù)軸，后續(xù)應(yīng)用數(shù)軸理解數(shù)學(xué)知識(shí)，更加直觀，正所謂數(shù)學(xué)家華羅庚所言：“數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事休”。三、相反數(shù)

1．定義：

只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)。

說(shuō)明：

⑴“只有”二字理解：兩個(gè)數(shù)只有符號(hào)不同，其它相同。⑵特別地，0的相反數(shù)是0。2．幾何意義：在數(shù)軸上位于原點(diǎn)兩側(cè)并且到原點(diǎn)距離相等的兩個(gè)點(diǎn)所表示的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)。說(shuō)明:

數(shù)軸上表示相反數(shù)的兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

3．表示與求法

⑴一般地，a的相反數(shù)可表示為-a，特別的０的相反數(shù)仍是０。

說(shuō)明：０是唯一一個(gè)相反數(shù)等于本身的數(shù)，即，如果a=－a,那么a一定是0。

⑵求一個(gè)數(shù)的相反數(shù)，只要在它前面添上“－”號(hào)即可求。

四、絕對(duì)值1．定義：

一般地，數(shù)軸上表示a的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離叫做數(shù)a的絕對(duì)值。記做a，讀做a的絕對(duì)值。2．重要性質(zhì)

非負(fù)性，即a≥０。3．求法

一個(gè)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身；一個(gè)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)：0的絕對(duì)值是0。即a（a＞０）

a=0（a＝０）－a（a＜０）

說(shuō)明：

⑴0是絕對(duì)值最小的有理數(shù)；

⑵互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對(duì)值相等，反之，絕對(duì)值相等的兩個(gè)數(shù)，可能相等，也可能互為相反

數(shù)。

五、有理數(shù)大小的比較

1．利用數(shù)軸比較大小（直觀但麻煩）

在數(shù)軸上表示有理數(shù)，它們從左到右的順序，就是從小到大的順序，即左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)。2．利用法則比較大�。ū容^方便）

⑴正數(shù)大于0，0大于負(fù)數(shù)，正數(shù)大于負(fù)數(shù)。⑵兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

即：異號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的正負(fù)；同號(hào)兩數(shù)比較大小，要考慮它們的絕對(duì)值。說(shuō)明：

⑴法則是根據(jù)數(shù)軸比較得出，有了法則就可以不必通過(guò)數(shù)軸，直接用絕對(duì)值比較；

⑵法則要結(jié)合圖形理解，不要死記硬背。例如：兩個(gè)負(fù)數(shù)在數(shù)軸上，絕對(duì)值大的在左邊，這就容

易記住絕對(duì)值大的負(fù)數(shù)反而小的結(jié)論。

1.3有理數(shù)的加減法

一、有理數(shù)加法

1．加法法則

⑴同號(hào)兩數(shù)相加，取相同的符號(hào)，并把絕對(duì)值相加；

⑵絕對(duì)值不相等的異號(hào)兩數(shù)相加，取絕對(duì)值較大的加數(shù)的符號(hào)，并用較大的絕對(duì)值減去較小的絕對(duì)值�；�為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)相加得0；

⑶一個(gè)數(shù)同0相加，仍得這個(gè)數(shù)。

說(shuō)明：

如果兩個(gè)數(shù)的和為０，那么這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．2．加法運(yùn)算律⑴加法交換律：有理數(shù)的加法中，兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a

⑵加法結(jié)合律：有理數(shù)的加法中，三個(gè)數(shù)相加，先把前面兩個(gè)數(shù)相加，或者先把后面兩個(gè)數(shù)相加，和不變。即(a+b)+c=a+(b+c)

說(shuō)明:

⑴根據(jù)加法交換律和加法結(jié)合律可以得出:多個(gè)有理數(shù)相加,可以任意交換加數(shù)的位置,也可以先把其中的幾個(gè)加數(shù)相加。（上述簡(jiǎn)化計(jì)算技巧源于此）

⑵加法交換律和加法結(jié)合律對(duì)兩個(gè)以上或三個(gè)以上的有理數(shù)仍然適用。3．簡(jiǎn)化計(jì)算技巧：

⑴把符號(hào)相同的加數(shù)先相加。

⑵把分母相同的加數(shù)先相加。⑶相加得0的加數(shù)先相加。⑷相加得整數(shù)的加數(shù)先相加。

三、有理數(shù)減法

１．法則

減去一個(gè)數(shù)，等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)。即a－b=b+（－a）２．運(yùn)算步驟：

⑴將減法變加法（要“兩變”，即一是減號(hào)變加號(hào)，二是把減數(shù)變?yōu)樗�的相反�?shù)）。⑵按有理數(shù)的加法法則和加法運(yùn)算律計(jì)算。四、有理數(shù)加減混合運(yùn)算

１．步驟和方法

⑴運(yùn)用減法法則，將加減混合運(yùn)算中的減法轉(zhuǎn)化為加法，然后省略加號(hào)和括號(hào)；⑵運(yùn)用加法法則、運(yùn)用加法交換律、加法結(jié)合律、有理數(shù)加法的計(jì)算技巧，使運(yùn)算簡(jiǎn)便。說(shuō)明：

⑴將有理數(shù)的加減混合運(yùn)算中減法轉(zhuǎn)化為加法后，為書寫簡(jiǎn)單，可省略式中的加號(hào)和括號(hào)，看成是這些正數(shù)與負(fù)數(shù)之和；

⑵省略加號(hào)和括號(hào)的方法

①先統(tǒng)一成加號(hào)，再省略加號(hào)和括號(hào)；②利用符號(hào)化簡(jiǎn)直接寫出。

1.4有理數(shù)的乘除法

一、有理數(shù)乘法

１．法則

⑴兩數(shù)相乘，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相乘。⑵任何數(shù)同０相乘，都得０。

說(shuō)明：

有理數(shù)乘法的運(yùn)算步驟：⑴確定積的符號(hào)；⑵確定積的絕對(duì)值，計(jì)算結(jié)果。

２．倒數(shù)的定義

乘積是１的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。說(shuō)明：⑴當(dāng)a≠0時(shí)，a與

1互為倒數(shù)。amn當(dāng)m≠0，n≠０時(shí)，與互為倒數(shù)。

nm⑵０沒(méi)有倒數(shù)。

⑶－１的倒數(shù)等于－１，０～－１之間的數(shù)的倒數(shù)比本身小，小于－１的數(shù)的倒數(shù)比本身大．３．乘法運(yùn)算律

⑴乘法交換律：兩個(gè)數(shù)相乘，交換因素的位置，積相等。即ab=ba

⑵乘法結(jié)合律：三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，積相等。即（ab）c=a(bc)⑶分配律：一個(gè)數(shù)同兩個(gè)數(shù)的和相乘，等于把這個(gè)數(shù)分別同這兩個(gè)數(shù)相乘，再把積相加。

即a(b+c)=ab+ac

二、有理數(shù)除法

１．法則

除以一個(gè)不等于０的數(shù)，等于乘這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。即a÷b=a由上可以得出：

⑴兩個(gè)數(shù)相除，同號(hào)得正，異號(hào)得負(fù)，并把絕對(duì)值相除。⑵０除以任何一個(gè)不等于０的數(shù)，都得０三、有理數(shù)乘除混合運(yùn)算

１．運(yùn)用除法法則把除法化成乘法；２．確定積的符號(hào)，求出結(jié)果。四、有理數(shù)加減、乘除混合運(yùn)算

１．無(wú)括號(hào)的，先乘除，后加減

２．有括號(hào)的，先算括號(hào)里面的，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依此進(jìn)行。

1b(b≠0)

1.5有理數(shù)的乘方

一、有理數(shù)乘方的意義

１．求幾個(gè)相同因素的積的運(yùn)算，叫做乘方。

一般地aaa記作a，讀作a的次n方。當(dāng)a看作a的次n方的結(jié)果時(shí)，也可以讀作an個(gè)a的n次冪。

２．乘方的結(jié)果叫作冪，在a中，a叫做底數(shù)，n叫做指數(shù)。二、有理數(shù)乘方運(yùn)算

１．a(chǎn)是n個(gè)a相乘，所以可利用有理數(shù)的乘法運(yùn)算進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算。２．有理數(shù)乘方運(yùn)算的性質(zhì)

根據(jù)有理數(shù)的乘法法則得出：

⑴負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)；⑵正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)：⑶０的任何次冪都是０。

三、有理數(shù)的混合運(yùn)算

１．順序：⑴先乘方，再乘除，最后加減。

⑵同級(jí)運(yùn)算，從左到右進(jìn)行。

⑶如有括號(hào)，先做括號(hào)內(nèi)運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行。

２．靈活使用運(yùn)算律，是運(yùn)算準(zhǔn)確而快捷。四、科學(xué)計(jì)數(shù)法

把一個(gè)大于10的數(shù)寫成a×10的形式（其中a是整數(shù)數(shù)位只有一位的數(shù)，n是正整數(shù)）。

nnnnn即科學(xué)計(jì)數(shù)法形式為a×10，其中1≤a＜10，n為正整數(shù)，且n為這個(gè)數(shù)的整數(shù)位樹(shù)減１。五、近似數(shù)

１．近似數(shù)，就是與實(shí)際接近的數(shù)。

２．精確度，就是近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度。六、有效數(shù)字

從左邊第一個(gè)非０的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫做這個(gè)數(shù)的有效數(shù)字。

n第二章整式的加減

2.1整式

一、單項(xiàng)式

1．單項(xiàng)式的定義

2．單項(xiàng)式的系數(shù)

單項(xiàng)式中的數(shù)字因數(shù)叫做這個(gè)單項(xiàng)式的系數(shù)。說(shuō)明：

⑴單項(xiàng)式的系數(shù)包括它前面的符號(hào)；

⑵當(dāng)一個(gè)單項(xiàng)式只含有字母因數(shù)時(shí)，系數(shù)為1或-1；⑶系數(shù)為帶分?jǐn)?shù)時(shí)，通常寫成假分?jǐn)?shù)；

⑷圓周率π是常數(shù)，單項(xiàng)式中出現(xiàn)π時(shí)，應(yīng)將其看作系數(shù)。3．單項(xiàng)式的次數(shù)

一個(gè)單項(xiàng)式中，所有字母的指數(shù)的和叫做這個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)。說(shuō)明：

⑴確定一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，不把系數(shù)的指數(shù)當(dāng)做字母的指數(shù)；⑵確定一個(gè)單項(xiàng)式的次數(shù)時(shí)，不要漏掉指數(shù)為1的字母；⑶單獨(dú)一個(gè)數(shù)字的指數(shù)是0。

4．用字母表示數(shù)后，同一個(gè)式子可以表示不同的含義。二、多項(xiàng)式

1．多項(xiàng)式的定義

幾個(gè)單項(xiàng)式的和叫做多項(xiàng)式。2．多項(xiàng)式的項(xiàng)

多項(xiàng)式中，每個(gè)單項(xiàng)式叫做多項(xiàng)式的項(xiàng)。其中不含字母的項(xiàng)叫做常數(shù)項(xiàng)。一個(gè)多項(xiàng)式含有幾項(xiàng)，就叫幾項(xiàng)式。說(shuō)明：

⑴多項(xiàng)式的項(xiàng)包括它前面的正負(fù)號(hào)；

⑵判斷一個(gè)式子是不是多項(xiàng)式，關(guān)鍵是看式子能不能寫成單項(xiàng)式的和的形式。3．多項(xiàng)式的次數(shù)

多項(xiàng)式里次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)，叫做這個(gè)多項(xiàng)式的次數(shù)。說(shuō)明：

⑴多項(xiàng)式的次數(shù)取決于多項(xiàng)式中次數(shù)最高項(xiàng)的次數(shù)；⑵多項(xiàng)式的次數(shù)最高項(xiàng)不一定只有一項(xiàng)，有可能有多項(xiàng)。

三、整式1．整式的定義

單項(xiàng)式和多項(xiàng)式統(tǒng)稱為整式。

2.2整式的加減

一、同類項(xiàng)

1．同類項(xiàng)的定義

所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相同的項(xiàng)叫做同類項(xiàng)。說(shuō)明:

⑴判斷同類項(xiàng)的標(biāo)準(zhǔn):A．所含字母相同；Ｂ．同一字母的指數(shù)也相同。這其中的二個(gè)“相同”缺

一不可。

⑵同類項(xiàng)與系數(shù)無(wú)關(guān)，與字母的排列順序無(wú)關(guān)。（系數(shù)不為０的前提下）⑶同類項(xiàng)不一定是２項(xiàng)，也可以是３項(xiàng)，４項(xiàng)目項(xiàng)，，但至少是２項(xiàng)。2．合并同類項(xiàng)

把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并成一項(xiàng),叫做合并同類項(xiàng)。說(shuō)明:

⑴合并同類項(xiàng)的步驟：Ａ．找同類項(xiàng)；Ｂ．和并同類項(xiàng)；Ｃ．寫出結(jié)果。⑵合并同類項(xiàng)，同類項(xiàng)移動(dòng)位置時(shí)，不要漏掉它的性質(zhì)符號(hào)；⑶如果兩個(gè)同類項(xiàng)的系數(shù)互為相反數(shù)，合并同類項(xiàng)的結(jié)果是０。3．合并同類項(xiàng)的法則

合并同類項(xiàng)后,所得項(xiàng)的系數(shù)是合并前各同類項(xiàng)的系數(shù)的和,且字母部分不變.說(shuō)明：

⑴合并同類項(xiàng)時(shí)是運(yùn)用了加法交換律、加法結(jié)合律、乘法分配律把多項(xiàng)式中的同類項(xiàng)合并時(shí)總結(jié)出該法則的；主要是依據(jù)乘法分配律。

⑵通常把一個(gè)多項(xiàng)式各項(xiàng)按某個(gè)字母的指數(shù)降冪或升冪順序排列。二．去括號(hào)法則

１．如果括號(hào)外的因數(shù)是正數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相同；２．如果括號(hào)外的因數(shù)是負(fù)數(shù)，去括號(hào)后原括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)的符號(hào)與原來(lái)的符號(hào)相反。說(shuō)明：

⑴去括號(hào)法則依據(jù)是乘法分配律；⑵去括號(hào)法則簡(jiǎn)說(shuō)為“加不變，減全變”；⑶去括號(hào)時(shí)，要連同括號(hào)前面的符號(hào)一同去掉；⑷該變號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都變號(hào)；不該變號(hào)時(shí)，各項(xiàng)都不變號(hào)；

⑸括號(hào)前面有數(shù)字因數(shù)時(shí)，應(yīng)利用乘法分配律，先將該數(shù)與括號(hào)內(nèi)各項(xiàng)分別相乘再去括號(hào)，避免

出現(xiàn)漏乘的情況。三．整式的加減

１．運(yùn)算法則

一般地，幾個(gè)整式相加減，如果有括號(hào)就先去括號(hào)，然后再合并同類項(xiàng)目。說(shuō)明：

⑴整式的加減實(shí)質(zhì)上是去括號(hào)和合并同類項(xiàng)；

⑵整式加減的最后結(jié)果:

①不能含有同類項(xiàng)，即要合并到不能合并為止；

②合并同類項(xiàng)后，若其系數(shù)是帶分?jǐn)?shù)，要把它化成假分?jǐn)?shù)。

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