高三數(shù)學(xué) 高考公式大總結(jié)知識(shí)點(diǎn) 新人教版

高考公式大總結(jié)

【指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算】【三角函數(shù)的基本公式】

根式

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，nana；

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，nanaa,a0.a,a0正數(shù)的正（負(fù)）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：

m1.annam(a0,m,nN*，且n1）2.amn1m(a0,m,nN*，且n1an）.

整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)：

（1）arasarsa0,r,sQ;（2）arsarsa0,r,sQ；

（3）abrarbra0,b0,rQ.

（4）arasarsa0,r,sQ;

對(duì)數(shù)

（1）對(duì)數(shù)的性質(zhì)：①alogaNN；②logNaaN;

③logaNlogbNlog；

ba（換底公式）（2）對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：①logaMNlogaMlogaN;

②logMaNlogaMlogaN;

③logaMnnlogaM；

④lognaM1nlogaM

⑤lognnamMmlogaM

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

sin2cos21

sincostan（2k,kZ）

補(bǔ)充：tan21sec2，

cot21csc2，cotcossin，

tancot1，

sincsc1，

cossec1.

2.誘導(dǎo)公式

（1）角與k2kZ的三角函數(shù)間的關(guān)系

sink2sin

cosk2cos

tank2tan，其中kZ.

（2）角與的三角函數(shù)間的關(guān)系sinsin；

coscos；

tantan；

1

（3）角與的三角函數(shù)間的cottan

2（7）角與2的三角函數(shù)間的關(guān)系

關(guān)系

sinsin

coscos

tantan

sinsincoscostantan

（4）角與2的三角函數(shù)間的關(guān)系

sin2cos

cos2sin

tan2cot

cot2tan

（6）角與2的三角函數(shù)間的關(guān)系sin2cos

cos2sin

tancot2

sin22sincos;

cos2cos2sin2=2cos21

=12sin2;

tan22tan1tan2

三角恒等變換

sinsincoscossin；

簡(jiǎn)記作：S

coscoscossinsin；

簡(jiǎn)記作：C

tantantan1簡(jiǎn)記作：

tantan；T

解三角形

1.正弦定理：

asinAbsinBcsinC2R正弦定理的三種變式：

aa2RsinA,b2RsinB,

c2RsinC

b.2

sinAa2R,sinBb2R,sinCc2R.

c.a:b:csinA:sinB:sinC.

2.余弦定理：222cosAbca2bc,

22cosBacb22ac,

2cosCab2c22ab,

3.常用公式①ABC②S112absinC2bcsinA

12acsinB

③

sin(AB)sinC,cos(AB)cosC;

④

cosCB2sinA2,sinC2cosAB2;

⑤A、B、C成等差數(shù)列的充要條件是

B60

⑥abABsinAsinB;

【導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算】

（1）基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式

①fxc，則f"x0；

②fxxnnN*，則f"xnxn1；③fxsinx，則f"xcosx；④fxcosx，則f"xsinx；

⑤fxax，則f"xaxlna；

⑥fxex，則f"xex；

⑦fxlogf"ax，則x1xlogae；

⑧fxlnx，則f"x1x．

（2）導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則①fxgxf"xg"x；

②

fxgxf"xgxfxg"x

③fxf"xgxfxg"x；gxg2x

（3）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

yx"y"uu"x或f"xf"ux.

3

1.特殊角的三角函數(shù)值熟記，做到“見(jiàn)角知值，見(jiàn)值知角”。角角的弧度數(shù)sin0304560901201*023180270001061242332561230223222110不存在32－10cos2tan2－12－23－133133－330不存在2.正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)（以下kZ）函數(shù)圖象定義域值域周期性奇偶性ysinxycosxytanxxxR,且xk,kZ2RRR1,121,12奇函數(shù)奇函數(shù)2k,2k22偶函數(shù)單調(diào)性2k,2k2k為減為增；32k,2k22,2k為增k,k為增22為減對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)軸

4

k,0xkk,02k,022xk無(wú)

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高中數(shù)學(xué)必修1知識(shí)點(diǎn)第一章集合與函數(shù)概念

【1.1.1】集合的含義與表示

（1）集合的概念

集合中的元素具有確定性、互異性和無(wú)序性.（2）常用數(shù)集及其記法

N表示自然數(shù)集，N或N表示正整數(shù)集，Z表示整數(shù)集，Q表示有理數(shù)集，R表示實(shí)數(shù)集.

（3）集合與元素間的關(guān)系

對(duì)象a與集合M的關(guān)系是aM，或者aM，兩者必居其一.（4）集合的表示法

①自然語(yǔ)言法：用文字?jǐn)⑹龅男问絹?lái)描述集合.

②列舉法：把集合中的元素一一列舉出來(lái)，寫(xiě)在大括號(hào)內(nèi)表示集合.③描述法：{x|x具有的性質(zhì)}，其中x為集合的代表元素.④圖示法：用數(shù)軸或韋恩圖來(lái)表示集合.（5）集合的分類(lèi)

①含有有限個(gè)元素的集合叫做有限集.②含有無(wú)限個(gè)元素的集合叫做無(wú)限集.③不含有任何元素的集合叫做空集().

【1.1.2】集合間的基本關(guān)系

（6）子集、真子集、集合相等名稱(chēng)記號(hào)意義(1)AAA中的任一元素都屬于B(2)性質(zhì)示意圖AB子集（或BA)ABA(3)若AB且BC，則AC(4)若AB且BA，則AB（1）A（A為非空子集）A(B)BA或真子集（或BA）AB，且B中至少有一元素不屬于ABA(2)若AB且BC，則AC集合相等A中的任一元素都屬AB于B，B中的任一元素都屬于A(1)AB(2)BAA(B)（7）已知集合它有2nA有n(n1)個(gè)元素，則它有2n個(gè)子集，它有2n1個(gè)真子集，它有2n1個(gè)非空子集，

2非空真子集.

【1.1.3】集合的基本運(yùn)算

（8）交集、并集、補(bǔ)集

名稱(chēng)記號(hào)意義性質(zhì)示意圖交集AB{x|xA,且xB}并集AB{x|xA,或xB}AAA（2）A（3）ABAABB（1）AAA（2）AA（3）ABAABB（1）1A(2A(UA)UUA)ABAB補(bǔ)集UA{x|xU,且xA}痧U(AB)(UA)(UB)痧U(AB)(UA)(UB)

【補(bǔ)充知識(shí)】含絕對(duì)值的不等式與一元二次不等式的解法

（1）含絕對(duì)值的不等式的解法

不等式解集|x|a(a0)|x|a(a0)把{x|axa}x|xa或xa}axb看成一個(gè)整體，化成|x|a，|axb|c,|axb|c(c0)|x|a(a0)型不等式來(lái)求解（2）一元二次不等式的解法

判別式b4ac二次函數(shù)201*yax2bxc(a0)的圖象O一元二次方程ax2bxc0(a0)的根bb24acx1,22a（其中x1x1x2b2a無(wú)實(shí)根x2)

ax2bxc0(a0)的解集{x|xx1或xx2}{x|xb}2aRax2bxc0(a0)的解集{x|x1xx2}

〖1.2〗函數(shù)及其表示【1.2.1】函數(shù)的概念

（1）函數(shù)的概念

①設(shè)

A、B是兩個(gè)非空的數(shù)集，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合

A中任何一個(gè)數(shù)x，在集合B）

中都有唯一確定的數(shù)叫做集合

那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則ff(x)和它對(duì)應(yīng)，

A到B的一個(gè)函數(shù)，記作f:AB．

②函數(shù)的三要素:定義域、值域和對(duì)應(yīng)法則．

③只有定義域相同，且對(duì)應(yīng)法則也相同的兩個(gè)函數(shù)才是同一函數(shù)．（2）區(qū)間的概念及表示法

①設(shè)a,b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且ab，滿(mǎn)足axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做閉區(qū)間，記做[a,b]；滿(mǎn)足

axb的實(shí)數(shù)x的集合叫做開(kāi)區(qū)間，記做(a,b)；滿(mǎn)足axb，或axb的實(shí)數(shù)x的

集合叫做半開(kāi)半閉區(qū)間，分別記做[a,b)，(a,b]；滿(mǎn)足xa,x合分別記做[a,),(a,),(,b],(,b)．注意：對(duì)于集合{x|aa,xb,xb的實(shí)數(shù)x的集

xb}與區(qū)間(a,b)，前者a可以大于或等于b，而后者必須

ab．

（3）求函數(shù)的定義域時(shí)，一般遵循以下原則：

①②③

f(x)是整式時(shí)，定義域是全體實(shí)數(shù)．

f(x)是分式函數(shù)時(shí)，定義域是使分母不為零的一切實(shí)數(shù)．

f(x)是偶次根式時(shí)，定義域是使被開(kāi)方式為非負(fù)值時(shí)的實(shí)數(shù)的集合．

④對(duì)數(shù)函數(shù)的真數(shù)大于零，當(dāng)對(duì)數(shù)或指數(shù)函數(shù)的底數(shù)中含變量時(shí)，底數(shù)須大于零且不等于1．⑤

ytanx中，xk2(kZ)．

⑥零（負(fù)）指數(shù)冪的底數(shù)不能為零．⑦若

f(x)是由有限個(gè)基本初等函數(shù)的四則運(yùn)算而合成的函數(shù)時(shí)，則其定義域一般是各基本初等函數(shù)

的定義域的交集．

⑧對(duì)于求復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題，一般步驟是：若已知的定義域應(yīng)由不等式af(x)的定義域?yàn)閇a,b]，其復(fù)合函數(shù)f[g(x)]g(x)b解出．

⑨對(duì)于含字母參數(shù)的函數(shù)，求其定義域，根據(jù)問(wèn)題具體情況需對(duì)字母參數(shù)進(jìn)行分類(lèi)討論．⑩由實(shí)際問(wèn)題確定的函數(shù)，其定義域除使函數(shù)有意義外，還要符合問(wèn)題的實(shí)際意義．（4）求函數(shù)的值域或最值

求函數(shù)最值的常用方法和求函數(shù)值域的方法基本上是相同的．事實(shí)上，如果在函數(shù)的值域中存在一個(gè)最�。ù螅�數(shù)，這個(gè)數(shù)就是函數(shù)的最�。ù螅┲担�因此求函數(shù)的最值與值域，其實(shí)質(zhì)是相同的，只是提問(wèn)的角度不同．求函數(shù)值域與最值的常用方法：

①觀察法：對(duì)于比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，我們可以通過(guò)觀察直接得到值域或最值．

②配方法：將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)的和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域或最值．③判別式法：若函數(shù)

yf(x)可以化成一個(gè)系數(shù)含有y的關(guān)于x的二次方程

a(y)x2b(y)xc(y)0，則在a(y)0時(shí)，由于x,y為實(shí)數(shù)，故必須有b2(y)4a(y)c(y)0，從而確定函數(shù)的值域或最值．

④不等式法：利用基本不等式確定函數(shù)的值域或最值．

⑤換元法：通過(guò)變量代換達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的目的，三角代換可將代數(shù)函數(shù)的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為

三角函數(shù)的最值問(wèn)題．

⑥反函數(shù)法：利用函數(shù)和它的反函數(shù)的定義域與值域的互逆關(guān)系確定函數(shù)的值域或最值．⑦數(shù)形結(jié)合法：利用函數(shù)圖象或幾何方法確定函數(shù)的值域或最值．⑧函數(shù)的單調(diào)性法．

【1.2.2】函數(shù)的表示法

（5）函數(shù)的表示方法

表示函數(shù)的方法，常用的有解析法、列表法、圖象法三種．

解析法：就是用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．列表法：就是列出表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間

的對(duì)應(yīng)關(guān)系．圖象法：就是用圖象表示兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系．（6）映射的概念

①設(shè)

A、B是兩個(gè)集合，如果按照某種對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)于集合

A中任何一個(gè)元素，在集合B中都

）叫做集合

有唯一的元素和它對(duì)應(yīng)，那么這樣的對(duì)應(yīng)（包括集合到B的映射，記作②給定一個(gè)集合

A，B以及A到B的對(duì)應(yīng)法則fAf:AB．

A到集合B的映射，且aA,bB．如果元素a和元素b對(duì)應(yīng)，那么我們把元素

b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象．

〖1.3〗函數(shù)的基本性質(zhì)【1.3.1】單調(diào)性與最大（小）值

（1）函數(shù)的單調(diào)性

①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義如果對(duì)于屬于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1、x2,當(dāng)x

yf[g(x)]，令ug(x)，若

yf(u)為增，

ug(x)為增，則

yf[g(x)]為增；若yf(u)為減，ug(x)為減，則yf[g(x)]為增；若yf(u)為

增，ug(x)為減，則yf[g(x)]為減；若yf(u)為減，ug(x)為增，則y

yf[g(x)]為減．

（2）打“√”函數(shù)

af(x)x(a0)的圖象與性質(zhì)

xox

f(x)分別在(,a]、[a,)上為增函數(shù)，分別在[a,0)、(0,a]上為減函數(shù)．

（3）最大（小）值定義①一般地，設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域?yàn)镮f(x)M；

，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足：（1）

對(duì)于任意的xI，都有（2）存在

x0I，使得f(x0)M．那么，我們稱(chēng)M是函數(shù)f(x)的最大值，記作

fmax(x)M．

②一般地，設(shè)函數(shù)

yf(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)m滿(mǎn)足：（1）對(duì)于任意的xI，都有

（2）存在x0I，使得f(x0)m．那么，我們稱(chēng)m是函數(shù)f(x)的最小值，記作f(x)m；

fmax(x)m．

【1.3.2】奇偶性

（4）函數(shù)的奇偶性

①定義及判定方法函數(shù)的性質(zhì)定義如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有．f(－x)=－．．．．．．f(x),那么函數(shù)f(x)叫做奇函．．．．．．?dāng)?shù)．．函數(shù)的奇偶性如果對(duì)于函數(shù)f(x)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有．f(－x)=f(x),．．．．．．．．．那么函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．．．．（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（2）利用圖象（圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)）②若函數(shù)

圖象判定方法（1）利用定義（要先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）（2）利用圖象（圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)）f(x)為奇函數(shù)，且在x0處有定義，則f(0)0．

③奇函數(shù)在

y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相同，偶函數(shù)在y軸兩側(cè)相對(duì)稱(chēng)的區(qū)間增減性相反．

④在公共定義域內(nèi)，兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的和（或差）仍是偶函數(shù)（或奇函數(shù)），兩個(gè)偶函數(shù)（或奇函數(shù)）的積（或商）是偶函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)的積（或商）是奇函數(shù)．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗函數(shù)的圖象

（1）作圖

利用描點(diǎn)法作圖：

①確定函數(shù)的定義域；②化解函數(shù)解析式；③討論函數(shù)的性質(zhì)（奇偶性、單調(diào)性）；④畫(huà)出函數(shù)的圖象．利用基本函數(shù)圖象的變換作圖：

要準(zhǔn)確記憶一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、三角函數(shù)等各種基本初等函數(shù)的圖象．①平移變換

h0,左移h個(gè)單位yf(x)yf(xh)h0,右移|h|個(gè)單位k0,上移k個(gè)單位yf(x)yf(x)k

k0,下移|k|個(gè)單位②伸縮變換

01,伸yf(x)yf(x)

1,縮0A1,縮yf(x)yAf(x)

A1,伸③對(duì)稱(chēng)變換

y軸x軸yf(x)yf(x)yf(x)yf(x)

直線(xiàn)yx原點(diǎn)yf(x)yf(x)yf(x)yf1(x)

去掉y軸左邊圖象yf(x)yf(|x|)

保留y軸右邊圖象，并作其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)圖象保留x軸上方圖象yf(x)y|f(x)|

將x軸下方圖象翻折上去（2）識(shí)圖

對(duì)于給定函數(shù)的圖象，要能從圖象的左右、上下分別范圍、變化趨勢(shì)、對(duì)稱(chēng)性等方面研究函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性，注意圖象與函數(shù)解析式中參數(shù)的關(guān)系．（3）用圖

函數(shù)圖象形象地顯示了函數(shù)的性質(zhì)，為研究數(shù)量關(guān)系問(wèn)題提供了“形”的直觀性，它是探求解題途徑，

獲得問(wèn)題結(jié)果的重要工具．要重視數(shù)形結(jié)合解題的思想方法．

第二章基本初等函數(shù)(Ⅰ)〖2.1〗指數(shù)函數(shù)

【2.1.1】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算

（1）根式的概念

①如果xna,aR,xR,n1，且nN，那么x叫做a的n次方根．當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，

a的n次方根用符號(hào)na表示；當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)na表示，負(fù)的n次方

根用符號(hào)na表示；0的n次方根是0；負(fù)數(shù)a沒(méi)有n次方根．

a叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a為任意實(shí)數(shù)；當(dāng)

②式子nn為偶數(shù)時(shí)，a0．

③根式的性質(zhì)：

(na)na；當(dāng)

n為奇數(shù)時(shí)，

nana；當(dāng)

n為偶數(shù)時(shí)，

na(a0)an|a|．

a(a0)mn（2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念

①正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a冪等于0．

②正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：amnnam(a0,m,nN,且n1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)

1m1()nn()m(a0,m,nN,且n1)．0

aa

的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．注意口訣：底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)．（3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)

①arasars(a0,r,sR)②(ar)sars(a0,r,sR)

r③(ab)arbr(a0,b0,rR)

【2.1.2】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)定義函數(shù)指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)a10a1yaxy圖象yaxyy1y1(0,1)(0,1)O定義域值域xR(0,)Ox過(guò)定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性圖象過(guò)定點(diǎn)(0,1)，即當(dāng)x0時(shí)，非奇非偶在R上是增函數(shù)y1．在R上是減函數(shù)ax1(x0)函數(shù)值的變化情況ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)ax1(x0)a變化對(duì)圖象的影響

在第一象限內(nèi)，a越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a越大圖象越低．〖2.2〗對(duì)數(shù)函數(shù)【2.2.1】對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算

（1）對(duì)數(shù)的定義①若axN(a0,且a1)，則x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做底數(shù)，

N叫做真數(shù)．

②負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù)．③對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：x

logaNaxN(a0,a1,N0)．

（2）幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式

loga10，logaa1，logaabb．

（3）常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)

常用對(duì)數(shù)：lgN，即log10N；自然對(duì)數(shù)：lnN，即logeN（其中e2.71828）．

0,N0，那么

（4）對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果a0,a1,M①加法：logaMlogaNloga(MN)②減法：logaMlogaNlogaMlogaMn(nR)④alogaNN

MN

③數(shù)乘：nloga⑤logabMnlogbNn(b0,且b1)logaM(b0,nR)⑥換底公式：logaNlogbab【2.2.2】對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

（5）對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱(chēng)定義函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax(a0且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)a10a1ylogaxyx1yx1ylogax圖象(1,0)O(1,0)xOx定義域值域過(guò)定點(diǎn)奇偶性單調(diào)性在(0,)上是增函數(shù)(0,)R圖象過(guò)定點(diǎn)(1,0)，即當(dāng)x1時(shí)，y0．非奇非偶在(0,)上是減函數(shù)

logax0(x1)函數(shù)值的變化情況logax0(x1)logax0(x1)logax0(0x1)logax0(x1)logax0(0x1)a變化對(duì)圖象的影響(6)反函數(shù)的概念

設(shè)函數(shù)果對(duì)于子x在第一象限內(nèi)，a越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a越大圖象越靠高．值域?yàn)镃，從式子yf(x)中解出x，得式子x(y)．如yf(x)的定義域?yàn)锳，

y在C中的任何一個(gè)值，通過(guò)式子x(y)，x在A中都有唯一確定的值和它對(duì)應(yīng)，那么式

(y)表示x是y的函數(shù)，函數(shù)x(y)叫做函數(shù)yf(x)的反函數(shù)，記作xf1(y)，

習(xí)慣上改寫(xiě)成

yf1(x)．

（7）反函數(shù)的求法

①確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；②從原函數(shù)式③將xyf(x)中反解出xf1(y)；

f1(y)改寫(xiě)成yf1(x)，并注明反函數(shù)的定義域．

（8）反函數(shù)的性質(zhì)①原函數(shù)

②函數(shù)

yf(x)與反函數(shù)yf1(x)的圖象關(guān)于直線(xiàn)yx對(duì)稱(chēng)．

yf(x)的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf1(x)的值域、定義域．

yf(x)的圖象上，則P"(b,a)在反函數(shù)yf1(x)的圖象上．

③若P(a,b)在原函數(shù)④一般地，函數(shù)

yf(x)要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù)．

〖2.3〗冪函數(shù)

（1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)

yx叫做冪函數(shù)，其中x為自變量，是常數(shù)．

（2）冪函數(shù)的圖象

（3）冪函數(shù)的性質(zhì)

①圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無(wú)圖象．冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于

y軸對(duì)稱(chēng))；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng))；是非奇非偶

函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限．

②過(guò)定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,)都有定義，并且圖象都通過(guò)點(diǎn)(1,1)．③單調(diào)性：如果0，則冪函數(shù)的圖象過(guò)原點(diǎn)，并且在[0,)上為增函數(shù)．如果0，則冪函數(shù)

y軸．

的圖象在(0,)上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無(wú)限接近x軸與

④奇偶性：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為奇函數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，冪函數(shù)為偶函數(shù)．當(dāng)qpq（其中p,q互pqp質(zhì)，p和qZ），若是偶函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yxqp是奇函數(shù)，若

p為奇數(shù)q為偶數(shù)時(shí)，則yxp為偶數(shù)q為奇數(shù)時(shí)，則yx是非奇非偶函數(shù)．

⑤圖象特征：冪函數(shù)

yx,x(0,)，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線(xiàn)yx下方，若

x1，其圖象在直線(xiàn)yx上方，當(dāng)1時(shí)，若0x1，其圖象在直線(xiàn)yx上方，若x1，

其圖象在直線(xiàn)

yx下方．

〖補(bǔ)充知識(shí)〗二次函數(shù)

（1）二次函數(shù)解析式的三種形式①一般式：

f(x)ax2bxc(a0)②頂點(diǎn)式：f(x)a(xh)2k(a0)③兩根式：

f(x)a(xx1)(xx2)(a0)（2）求二次函數(shù)解析式的方法

①已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式．

②已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對(duì)稱(chēng)軸有關(guān)或與最大（小）值有關(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式．③若已知拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線(xiàn)坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求

（3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)①二次函數(shù)

f(x)更方便．

f(x)ax2bxc(a0)的圖象是一條拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸方程為xb,頂點(diǎn)坐標(biāo)是2a

b4acb2(,)．

2a4a②當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，函數(shù)在(,bbb]上遞減，在[,)上遞增，當(dāng)x2a2a2a時(shí)，

4acb2fmin(x)4ab遞減，當(dāng)x2a③二次函數(shù)

；當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，函數(shù)在(,bb]上遞增，在[,)上2a2a時(shí)，

4acb2fmax(x)4a．

f(x)ax2bxc(a0)當(dāng)b24ac0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)

|a|．

M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2||x1x2|（4）一元二次方程ax2bxc0(a0)根的分布

一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識(shí)在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來(lái)分析一元二次方程實(shí)根的分布．設(shè)一元二次方程ax2bxc0(a0)的兩實(shí)根為x1,x2，且x1x2．令

b2a

f(x)ax2bxc，從以下四個(gè)方面來(lái)分析此類(lèi)問(wèn)題：①開(kāi)口方向：a②對(duì)稱(chēng)軸位置：x③判別式：④端點(diǎn)函數(shù)值符號(hào)．①k＜x1≤x2

yf(k)0ya0xb2ax2Okx1x2kOx1xxx②x1≤x2＜k

b2af(k)0

a0

ya0Ox1f(k)0yxOb2ax2kxxb2ax1x2kxa0

f(k)0

③x1＜k＜x2af(k)＜0

ya0yf(k)0x2Ox1kx2f(k)0xx1Okxa0

④k1＜x1≤x2＜k2

yf(k1)0a0yk1xf(k2)0x1b2ak2Ok1x1x2k2xOx2xbx2af(k1)0a0f(k2)0⑤有且僅有一個(gè)根x1（或x2）滿(mǎn)足k1＜x1（或x2）＜k2f(k1)f(k2)0，并同時(shí)考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合

yf(k1)0a0yf(k1)0Ok1x1k2x2xOx1k1x2k2xf(k2)0

⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2此結(jié)論可直接由⑤推出．（5）二次函數(shù)設(shè)

a0f(k2)0

f(x)ax2bxc(a0)在閉區(qū)間[p,q]上的最值

，最小值為m，令x0f(x)在區(qū)間[p,q]上的最大值為M（Ⅰ）當(dāng)a1(pq)．20時(shí)（開(kāi)口向上）

①若bbbbq，則p，則mf(p)②若pq，則mf()③若2a2a2a2amf(q)

f(q)Of(p)x

Of(q)x

f(p)Obbf()(p))f(ba2Maf(q)②bx2①若，則Mf(p)x0，則0fx

b)2aff((q)2a2af(p)x0bbbbx(q)①若q，則p，則Mq，則Mf()③若0f(p)②若pO2a2a2a2ax

O(Ⅱ)當(dāng)a0時(shí)(開(kāi)口向下)fx

Mf(q)

①若

fbf((p))2aff((q)bf()2ab)2abf()2aff(f(p)Of(p)x

O(q)x

Ob)2ax

f

(q)

(q)

f

(p)fbbx0，則mf(q)②x0，則mf(p)．2a2af(b)2af(p)Off((q)x0b)2ax0x

fOf

(q)

x

(p)第三章函數(shù)的應(yīng)用一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)

yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)

yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：

方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．

3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

yf(x)的零點(diǎn)：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

求函數(shù)

2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)○

yf(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利

用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：二次函數(shù)

yax2bxc(a0)．

2１）△＞０，方程ax函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

bxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次

２）△＝０，方程axbxc0有兩相等實(shí)根（二重根），二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．３）△＜０，方程ax22bxc0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1三視圖：

正視圖：從前往后側(cè)視圖：從左往右俯視圖：從上往下2畫(huà)三視圖的原則：

長(zhǎng)對(duì)齊、高對(duì)齊、寬相等3直觀圖：斜二測(cè)畫(huà)法4斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：

（1）.平行于坐標(biāo)軸的線(xiàn)依然平行于坐標(biāo)軸；

（2）.平行于y軸的線(xiàn)長(zhǎng)度變半，平行于x，z軸的線(xiàn)長(zhǎng)度不變；（3）.畫(huà)法要寫(xiě)好。

5用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)出長(zhǎng)方體的步驟：（1）畫(huà)軸（2）畫(huà)底面（3）畫(huà)側(cè)棱（4）成圖

1.3空間幾何體的表面積與體積

（一）空間幾何體的表面積

1棱柱、棱錐的表面積：各個(gè)面面積之和

2圓柱的表面積Srl2r23圓錐的表面積S2rlr2

222SrlrRlRS4R4圓臺(tái)的表面積5球的表面積

（二）空間幾何體的體積

1VS底h2錐體的體積VS底h

31433臺(tái)體的體積V（S上S上S下S下)h4球體的體積VR

331柱體的體積

第二章直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系

2.1空間點(diǎn)、直線(xiàn)、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1

1平面含義：平面是無(wú)限延展的2平面的畫(huà)法及表示

（1）平面的畫(huà)法：水平放置的平面通常畫(huà)成一個(gè)平行四邊形，銳角畫(huà)成45，且橫邊畫(huà)

0

DαA

BC

成鄰邊的2倍長(zhǎng)（如圖）

（2）平面通常用希臘字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)或者相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)的大寫(xiě)字母來(lái)表示，如平面AC、平面ABCD等。3三個(gè)公理：

（1）公理1：如果一條直線(xiàn)上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線(xiàn)在此平面內(nèi)符號(hào)表示為

A∈L

B∈L=>LαA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)

（2）公理2：過(guò)不在一條直線(xiàn)上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號(hào)表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線(xiàn)=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。

（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線(xiàn)。符號(hào)表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)

Aα

LαC

AB

βLPα2.1.2空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系

1空間的兩條直線(xiàn)有如下三種關(guān)系：

相交直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；

共面直線(xiàn)

平行直線(xiàn)：同一平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)；

異面直線(xiàn)：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒(méi)有公共點(diǎn)。2公理4：平行于同一條直線(xiàn)的兩條直線(xiàn)互相平行。符號(hào)表示為：設(shè)a、b、c是三條直線(xiàn)

a∥bc∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說(shuō)平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線(xiàn)平行的依據(jù)。

3等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)4注意點(diǎn)：

①a"與b"所成的角的大小只由a、b的相互位置來(lái)確定，與O的選擇無(wú)關(guān)，為簡(jiǎn)便，點(diǎn)O一般取在兩直線(xiàn)中的一條上；

②兩條異面直線(xiàn)所成的角θ

=>a∥c

③當(dāng)兩條異面直線(xiàn)所成的角是直角時(shí)，我們就說(shuō)這兩條異面直線(xiàn)互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線(xiàn)互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形；

⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線(xiàn)所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線(xiàn)所成的角。

∈(0，)；22.1.32.1.4空間中直線(xiàn)與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系

1、直線(xiàn)與平面有三種位置關(guān)系：

（1）直線(xiàn)在平面內(nèi)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線(xiàn)與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線(xiàn)在平面平行沒(méi)有公共點(diǎn)

指出：直線(xiàn)與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱(chēng)為直線(xiàn)在平面外，可用aα來(lái)表示

aαa∩α=Aa∥α

2.2.直線(xiàn)、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線(xiàn)與平面平行的判定

1、直線(xiàn)與平面平行的判定定理：平面外一條直線(xiàn)與此平面內(nèi)的一條直線(xiàn)平行，則該直線(xiàn)與此平面平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)線(xiàn)平行，則線(xiàn)面平行。符號(hào)表示：

aα

bβ=>a∥αa∥b

2.2.2平面與平面平行的判定

1、兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線(xiàn)與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。

符號(hào)表示：

aβbβ

a∩b=Pβ∥αa∥αb∥α

2、判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；

（3）垂直于同一條直線(xiàn)的兩個(gè)平面平行。

2.2.32.2.4直線(xiàn)與平面、平面與平面平行的性質(zhì)

1、定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線(xiàn)的任一平面與此平面的交線(xiàn)與該直線(xiàn)平行。簡(jiǎn)記為：線(xiàn)面平行則線(xiàn)線(xiàn)平行。符號(hào)表示：

a∥α

aβa∥bα∩β=b

作用：利用該定理可解決直線(xiàn)間的平行問(wèn)題。

2、定理：如果兩個(gè)平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線(xiàn)平行。符號(hào)表示：

α∥β

α∩γ=aa∥bβ∩γ=b

作用：可以由平面與平面平行得出直線(xiàn)與直線(xiàn)平行2.3直線(xiàn)、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線(xiàn)與平面垂直的判定

1、定義

如果直線(xiàn)L與平面α內(nèi)的任意一條直線(xiàn)都垂直，我們就說(shuō)直線(xiàn)L與平面α互相垂直，記作L⊥α，直線(xiàn)L叫做平面α的垂線(xiàn)，平面α叫做直線(xiàn)L的垂面。如圖，直線(xiàn)與平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。

Lpα

2、判定定理：一條直線(xiàn)與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線(xiàn)都垂直，則該直線(xiàn)與此平面垂直。

注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線(xiàn)”這一條件不可忽視；

b)定理體現(xiàn)了“直線(xiàn)與平面垂直”與“直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。

2.3.2平面與平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示從空間一直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形

A

梭lβ

B

α2、二面角的記法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線(xiàn)，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.32.3.4直線(xiàn)與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)1、定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線(xiàn)平行。

2性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線(xiàn)的直線(xiàn)與另一個(gè)平面垂直。

本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖

平面（公理1、公理2、公理3、公理4）空間直線(xiàn)、平面的位置關(guān)系直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系平面與平面的位置關(guān)系第三章直線(xiàn)與方程

3.1直線(xiàn)的傾斜角和斜率3.1傾斜角和斜率

1、直線(xiàn)的傾斜角的概念：當(dāng)直線(xiàn)l與x軸相交時(shí),取x軸作為基準(zhǔn),x軸正向與直線(xiàn)l向上方向之間所成的角α叫做直線(xiàn)l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí),規(guī)定α=0°.2、傾斜角α的取值范圍：0°≤α＜180°.當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),α=90°.3、直線(xiàn)的斜率:

一條直線(xiàn)的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線(xiàn)的斜率,斜率常用小寫(xiě)字母k表示,也就是k=tanα

當(dāng)直線(xiàn)l與x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=tan0°=0;當(dāng)直線(xiàn)l與x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.

由此可知,一條直線(xiàn)l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.4、直線(xiàn)的斜率公式:

給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線(xiàn)P1P2的斜率：斜率公式:k=y2-y1/x2-x1

3.1.2兩條直線(xiàn)的平行與垂直

1、兩條直線(xiàn)都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那

么它們平行，即

注意:上面的等價(jià)是在兩條直線(xiàn)不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2,那么一定有L1∥L2

2、兩條直線(xiàn)都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

3.2.1直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程

(x0,y0)，且斜率為k1、直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程：直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P02、、直線(xiàn)的斜截式方程：已知直線(xiàn)l的斜率為k，且與

yy0k(xx0)

y軸的交點(diǎn)為(0,b)ykxb

其中

3.2.2直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程

1、直線(xiàn)的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)y-y1/y-y2=x-x1/x-x22、直線(xiàn)的截距式方A(a,0)，與

程：已知直線(xiàn)的交點(diǎn)為

P(x1,x2),P2(x2,y2)1(x1x2,y1y2)

lB與

x軸的交點(diǎn)為

，其中

y軸(0,b)a0,b0

3.2.3直線(xiàn)的一般式方程

1、直線(xiàn)的一般式方程：關(guān)于x,2、各種直線(xiàn)方程之間的互化。

y的二元一次方程AxByC0（A，B不同時(shí)為0）

3.3直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

3.3.1兩直線(xiàn)的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、給出例題：兩直線(xiàn)交點(diǎn)坐標(biāo)

L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解：解方程組

3x4y20得x=-2，y=22x2y20所以L(fǎng)1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）

3.3.23.3.3

兩點(diǎn)間距離點(diǎn)

兩點(diǎn)間的距

PP12x2x2y2y122離公式

到直線(xiàn)的距離公式

1．點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式：點(diǎn)P(x0,y0)到直線(xiàn)l:AxByC0的距離為：dAx0By0CAB22

2、兩平行線(xiàn)間的距離公式：

已知兩條平行線(xiàn)直線(xiàn)l1和l2的一般式方程為l1：

AxByC10，C1C2AB22l2：AxByC20，則l1與l2的距離為d第四章

4.1.1圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(xa)2

圓與方程

(yb)2r2

圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程

2、點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)（1）(x0（3）(x02(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：

a)2(y0b)2>r2，點(diǎn)在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點(diǎn)在圓上a)2(y0b)2

4.2.1圓與圓的位置關(guān)系

1、用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離來(lái)判斷直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系．

設(shè)直線(xiàn)l：圓C：xyDxEyF0，圓的半徑為r，圓心(axbyc0，到直線(xiàn)的距離為d，則判別直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)dr時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相離；（2）當(dāng)dr時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相切；（3）當(dāng)dr時(shí)，直線(xiàn)l與圓C相交；

22DE,)224.2.2圓與圓的位置關(guān)系

兩圓的位置關(guān)系．

設(shè)兩圓的連心線(xiàn)長(zhǎng)為l，則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)：

（1）當(dāng)lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2相離；（2）當(dāng)lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2外切；（3）當(dāng)|r1r2|lr1r2時(shí)，圓C1與圓C2相交；

（4）當(dāng)l|r1r2|時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)切；（5）當(dāng)l|r1r2|時(shí)，圓C1與圓C2內(nèi)含；

4.2.3直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用

1、利用平面直角坐標(biāo)系解決直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系；2、過(guò)程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問(wèn)題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問(wèn)題中的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題；

第二步：通過(guò)代數(shù)運(yùn)算，解決代數(shù)問(wèn)題；第三步：將代數(shù)運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

RMOPQM"y4.3.1空間直角坐標(biāo)系

1、點(diǎn)M對(duì)應(yīng)著唯一確定的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，x、y、z分別是P、Q、R在x、y、

z軸上的坐標(biāo)

2、有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，對(duì)應(yīng)著空間直角坐標(biāo)系中的一點(diǎn)

x3、空間中任意點(diǎn)M的坐標(biāo)都可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來(lái)表示，該數(shù)組叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記M(x,y,z)，x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo)，y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo)。

z4.3.2空間兩點(diǎn)間的距離公式

1、空間中任意一點(diǎn)P1(x1,y1,z1)到點(diǎn)P2(x2,y2,z2)之間的距離公式

P1OP2

M1N1xMM2HN2yN

P1P2(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2

高中數(shù)學(xué)必修3知識(shí)點(diǎn)

第一章算法初步

1.1.1

算法的概念

1、算法概念：

在數(shù)學(xué)上，現(xiàn)代意義上的“算法”通常是指可以用計(jì)算機(jī)來(lái)解決的某一類(lèi)問(wèn)題是程序或步驟，這些程序或步驟必須是明確和有效的，而且能夠在有限步之內(nèi)完成.2.算法的特點(diǎn):

(1)有限性：一個(gè)算法的步驟序列是有限的，必須在有限操作之后停止，不能是無(wú)限的.

(2)確定性：算法中的每一步應(yīng)該是確定的并且能有效地執(zhí)行且得到確定的結(jié)果，而不應(yīng)當(dāng)是模棱兩可.(3)順序性與正確性：算法從初始步驟開(kāi)始，分為若干明確的步驟，每一個(gè)步驟只能有一個(gè)確定的后繼步驟，前一步是后一步的前提，只有執(zhí)行完前一步才能進(jìn)行下一步，并且每一步都準(zhǔn)確無(wú)誤，才能完成問(wèn)題.(4)不唯一性：求解某一個(gè)問(wèn)題的解法不一定是唯一的，對(duì)于一個(gè)問(wèn)題可以有不同的算法.

(5)普遍性：很多具體的問(wèn)題，都可以設(shè)計(jì)合理的算法去解決，如心算、計(jì)算器計(jì)算都要經(jīng)過(guò)有限、事先設(shè)計(jì)好的步驟加以解決.

1.1.2程序框圖

1、程序框圖基本概念：

（一）程序構(gòu)圖的概念：程序框圖又稱(chēng)流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線(xiàn)及文字說(shuō)明來(lái)準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形。

一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：表示相應(yīng)操作的程序框；帶箭頭的流程線(xiàn)；程序框外必要文字說(shuō)明。（二）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框起止框輸入、輸出框處理框判斷框分別寫(xiě)在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi)。判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”何需要輸入、輸出的位置。賦值、計(jì)算，算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等的。表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任名稱(chēng)功能表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何流程圖不可少

或“Y”；不成立時(shí)標(biāo)明“否”或“N”。學(xué)習(xí)這部分知識(shí)的時(shí)候，要掌握各個(gè)圖形的形狀、作用及使用規(guī)則，畫(huà)程序框圖的規(guī)則如下：

1、使用標(biāo)準(zhǔn)的圖形符號(hào)。2、框圖一般按從上到下、從左到右的方向畫(huà)。3、除判斷框外，大多數(shù)流程圖符號(hào)只有一個(gè)進(jìn)入點(diǎn)和一個(gè)退出點(diǎn)。判斷框具有超過(guò)一個(gè)退出點(diǎn)的唯一符號(hào)。4、判斷框分兩大類(lèi)，一類(lèi)判斷框“是”與“否”兩分支的判斷，而且有且僅有兩個(gè)結(jié)果；另一類(lèi)是多分支判斷，有幾種不同的結(jié)果。5、在圖形符號(hào)內(nèi)描述的語(yǔ)言要非常簡(jiǎn)練清楚。

（三）、算法的三種基本邏輯結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)、條件結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)。

1、順序結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)是最簡(jiǎn)單的算法結(jié)構(gòu)，語(yǔ)句與語(yǔ)句之間，框與框之間是按從上到下的順序進(jìn)行的，它是由若干個(gè)依次執(zhí)行的處理步驟組成的，它是任何一個(gè)算法都離不開(kāi)的一種基本算法結(jié)構(gòu)。

順序結(jié)構(gòu)在程序框圖中的體現(xiàn)就是用流程線(xiàn)將程序框自上而下地連接起來(lái)，按順序執(zhí)行算法步驟。如在示意圖中，A框和B框是依次執(zhí)行的，只有在執(zhí)行完A框指定的操作后，才能接著執(zhí)行B框所指定的操作。2、條件結(jié)構(gòu)：

條件結(jié)構(gòu)是指在算法中通過(guò)對(duì)條件的判斷根據(jù)條件是否成立而選擇不同流向的算法結(jié)構(gòu)。

條件P是否成立而選擇執(zhí)行A框或B框。無(wú)論P(yáng)條件是否成立，只能執(zhí)行A框或B框之一，不可能同時(shí)執(zhí)行A框和B框，也不可能A框、B框都不執(zhí)行。一個(gè)判斷結(jié)構(gòu)可以有多個(gè)判斷框。

3、循環(huán)結(jié)構(gòu)：在一些算法中，經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)從某處開(kāi)始，按照一定條件，反復(fù)執(zhí)行某一處理步驟的情況，這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)，反復(fù)執(zhí)行的處理步驟為循環(huán)體，顯然，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)。循環(huán)結(jié)構(gòu)又稱(chēng)重復(fù)結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)可細(xì)分為兩類(lèi)：

（1）、一類(lèi)是當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下左圖所示，它的功能是當(dāng)給定的條件P成立時(shí)，執(zhí)行A框，A框執(zhí)行完畢后，再判斷條件P是否成立，如果仍然成立，再執(zhí)行A框，如此反復(fù)執(zhí)行A框，直到某一次條件P不成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。

（2）、另一類(lèi)是直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，如下右圖所示，它的功能是先執(zhí)行，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則繼續(xù)執(zhí)行A框，直到某一次給定的條件P成立為止，此時(shí)不再執(zhí)行A框，離開(kāi)循環(huán)結(jié)構(gòu)。

ABA

AP成立不成立P不成立成立

當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)

注意：1循環(huán)結(jié)構(gòu)要在某個(gè)條件下終止循環(huán)，這就需要條件結(jié)構(gòu)來(lái)判斷。因此，循環(huán)結(jié)構(gòu)中一定包含條件結(jié)構(gòu)，但不允許“死循環(huán)”。2在循環(huán)結(jié)構(gòu)中都有一個(gè)計(jì)數(shù)變量和累加變量。計(jì)數(shù)變量用于記錄循環(huán)次數(shù)，累加變量用于輸出結(jié)果。計(jì)數(shù)變量和累加變量一般是同步執(zhí)行的，累加一次，計(jì)數(shù)一次。

1.2.1輸入、輸出語(yǔ)句和賦值語(yǔ)句

1、輸入語(yǔ)句

（1）輸入語(yǔ)句的一般格式

INPUT“提示內(nèi)容”；變量圖形計(jì)算器格式INPUT“提示內(nèi)容”，變量（2）輸入語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸入信息功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶(hù)輸入什么樣的信息，變量是指程序在運(yùn)行時(shí)其值是可以變化的量；（4）輸入語(yǔ)句要求輸入的值只能是具體的常數(shù)，不能是函數(shù)、變量或表達(dá)式；（5）提示內(nèi)容與變量之間用分號(hào)“；”隔開(kāi)，若輸入多個(gè)變量，變量與變量之間用逗號(hào)“，”隔開(kāi)。2、輸出語(yǔ)句

（1）輸出語(yǔ)句的一般格式

PRINT“提示內(nèi)容”；表達(dá)式圖形計(jì)算器格式Disp“提示內(nèi)容”，變量（2）輸出語(yǔ)句的作用是實(shí)現(xiàn)算法的輸出結(jié)果功能；（3）“提示內(nèi)容”提示用戶(hù)輸入什么樣的信息，表達(dá)式是指程序要輸出的數(shù)據(jù)；（4）輸出語(yǔ)句可以輸出常量、變量或表達(dá)式的值以及字符。3、賦值語(yǔ)句

（1）賦值語(yǔ)句的一般格式

（2）賦值語(yǔ)句的作用是將表達(dá)式所代表的值賦給變量；（3）賦值語(yǔ)句中的“＝”稱(chēng)作賦值號(hào)，與數(shù)學(xué)中的等號(hào)的意義是不同的。賦值號(hào)的左右兩邊不能對(duì)換，它將賦值號(hào)右邊的表達(dá)式的值賦給賦值號(hào)左邊的變量；（4）賦值語(yǔ)句左邊只能是變量名字，而不是表達(dá)式，右邊表達(dá)式可以是一個(gè)數(shù)據(jù)、常量或算式；（5）對(duì)于一個(gè)變量可以多次賦值。

注意：①賦值號(hào)左邊只能是變量名字，而不能是表達(dá)式。如：2=X是錯(cuò)誤的。②賦值號(hào)左右不能對(duì)換。如“A=B”“B=A”的含義運(yùn)行結(jié)果是不同的。③不能利用賦值語(yǔ)句進(jìn)行代數(shù)式的演算。（如化簡(jiǎn)、因式分解、解方程等）④賦值號(hào)“=”與數(shù)學(xué)中的等號(hào)意義不同。1．2．2條件語(yǔ)句

1、條件語(yǔ)句的一般格式有兩種：（1）IFTHENELSE語(yǔ)句；（2）IFTHEN語(yǔ)句。2、IFTHENELSE語(yǔ)句

IFTHENELSE語(yǔ)句的一般格式為圖1，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖2。

變量＝表達(dá)式圖形計(jì)算器格式表達(dá)式變量

IF條件THEN語(yǔ)句1ELSE語(yǔ)句2否滿(mǎn)足條件？是語(yǔ)句1語(yǔ)句2

ENDIF圖1圖2

分析：在IFTHENELSE語(yǔ)句中，“條件”表示判斷的條件，“語(yǔ)句1”表示滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；“語(yǔ)句2”表示不滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作內(nèi)容；ENDIF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)，首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合，則執(zhí)行THEN后面的語(yǔ)句1；若條件不符合，則執(zhí)行ELSE后面的語(yǔ)句2。

3、IFTHEN語(yǔ)句

IFTHEN語(yǔ)句的一般格式為圖3，對(duì)應(yīng)的程序框圖為圖4。

IF條件THEN語(yǔ)句ENDIF（圖3）

是滿(mǎn)足條件？否內(nèi)容，條件語(yǔ)句注意：“條件”表示判斷的條件；“語(yǔ)句”表示滿(mǎn)足條件時(shí)執(zhí)行的操作

不滿(mǎn)足時(shí)，結(jié)束程序；ENDIF表示條件語(yǔ)句的結(jié)束。計(jì)算機(jī)在執(zhí)行時(shí)首先對(duì)IF后的條件進(jìn)行判斷，如果條件符合就執(zhí)行THEN后邊的語(yǔ)句，若條件不符合則直接結(jié)束該條件語(yǔ)句，轉(zhuǎn)而執(zhí)行其它語(yǔ)句。

（圖4）1．2．3循環(huán)語(yǔ)句

循環(huán)結(jié)構(gòu)是由循環(huán)語(yǔ)句來(lái)實(shí)現(xiàn)的。對(duì)應(yīng)于程序框圖中的兩種循環(huán)結(jié)構(gòu)，一般程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言中也有當(dāng)型（WHILE型）和直到型（UNTIL型）兩種語(yǔ)句結(jié)構(gòu)。即WHILE語(yǔ)句和UNTIL語(yǔ)句。1、WHILE語(yǔ)句

（1）WHILE語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是

循環(huán)體WHILE條件循環(huán)體WEND滿(mǎn)足條件？否是（2）當(dāng)計(jì)算機(jī)遇到WHILE語(yǔ)句時(shí)，先判斷條件的真假，如果條件符合，就執(zhí)行WHILE與WEND之間的循環(huán)體；然后再檢查上述條件，如果條件仍符合，再次執(zhí)行循環(huán)體，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件不符合為止。這時(shí)，計(jì)算機(jī)將不執(zhí)行循環(huán)體，直接跳到WEND語(yǔ)句后，接著執(zhí)行WEND之后的語(yǔ)句。因此，當(dāng)型循環(huán)有時(shí)也稱(chēng)為“前測(cè)試型”循環(huán)。

2、UNTIL語(yǔ)句

（1）UNTIL語(yǔ)句的一般格式是對(duì)應(yīng)的程序框圖是

（2）直到型循環(huán)又稱(chēng)為“后測(cè)試型”循環(huán)，從UNTIL型循環(huán)結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算機(jī)執(zhí)行該語(yǔ)句時(shí)，先執(zhí)行一次循環(huán)體，然后進(jìn)行條件的判斷，如果條件不滿(mǎn)足，繼續(xù)返回執(zhí)行循環(huán)體，然后再進(jìn)行條件的判斷，這個(gè)過(guò)程反復(fù)進(jìn)行，直到某一次條件滿(mǎn)足時(shí)，不再執(zhí)行循環(huán)體，跳到LOOPUNTIL語(yǔ)句后執(zhí)行其他語(yǔ)句，是先執(zhí)行循環(huán)體后進(jìn)行條件判斷的循環(huán)語(yǔ)句。

分析：當(dāng)型循環(huán)與直到型循環(huán)的區(qū)別：（先由學(xué)生討論再歸納）（1）當(dāng)型循環(huán)先判斷后執(zhí)行，直到型循環(huán)先執(zhí)行后判斷；

在WHILE語(yǔ)句中，是當(dāng)條件滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)體，在UNTIL語(yǔ)句中，是當(dāng)條件不滿(mǎn)足時(shí)執(zhí)行循環(huán)

DO循環(huán)體LOOPUNTIL條件循環(huán)體滿(mǎn)足條件？是否1.3.1輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)

1、輾轉(zhuǎn)相除法。也叫歐幾里德算法，用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的步驟如下：（1）：用較大的數(shù)m除以較小的數(shù)n得到一個(gè)商公約數(shù)；若

S0和一個(gè)余數(shù)

R0；（2）：若

R0＝0，則n為m，n的最大

R0≠0，則用除數(shù)n除以余數(shù)

R0得到一個(gè)商

S1和一個(gè)余數(shù)

R1；（3）：若

R1＝0，則

R1為m，

n的最大公約數(shù)；若算直至

R1≠0，則用除數(shù)

R0除以余數(shù)

R1得到一個(gè)商

S2和一個(gè)余數(shù)

R2；依次計(jì)

Rn＝0，此時(shí)所得到的

Rn1即為所求的最大公約數(shù)。

2、更相減損術(shù)

我國(guó)早期也有求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù)。在《九章算術(shù)》中有更相減損術(shù)求最大公約數(shù)的步驟：可半者半之，不可半者，副置分母子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也，以等數(shù)約之。翻譯為：（1）：任意給出兩個(gè)正數(shù)；判斷它們是否都是偶數(shù)。若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步。（2）：以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把較小的數(shù)與所得的差比較，并以大數(shù)減小數(shù)。繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）就是所求的最大公約數(shù)。例2用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù).分析：（略）

3、輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)的區(qū)別：

（1）都是求最大公約數(shù)的方法，計(jì)算上輾轉(zhuǎn)相除法以除法為主，更相減損術(shù)以減法為主，計(jì)算次數(shù)上輾轉(zhuǎn)相除法計(jì)算次數(shù)相對(duì)較少，特別當(dāng)兩個(gè)數(shù)字大小區(qū)別較大時(shí)計(jì)算次數(shù)的區(qū)別較明顯。

（2）從結(jié)果體現(xiàn)形式來(lái)看，輾轉(zhuǎn)相除法體現(xiàn)結(jié)果是以相除余數(shù)為0則得到，而更相減損術(shù)則以減數(shù)與差相

等而得到

1.3.2秦九韶算法與排序

1、秦九韶算法概念：

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0求值問(wèn)題

f(x)=anxn+an-1xn-1+….+a1x+a0=(anxn-1+an-1xn-2+….+a1)x+a0=((anxn-2+an-1xn-3+….+a2)x+a1)x+a0

=......=(...(anx+an-1)x+an-2)x+...+a1)x+a0

求多項(xiàng)式的值時(shí)，首先計(jì)算最內(nèi)層括號(hào)內(nèi)依次多項(xiàng)式的值，即v1=anx+an-1然后由內(nèi)向外逐層計(jì)算一次多項(xiàng)式的值，即v2=v1x+an-2v3=v2x+an-3......vn=vn-1x+a0

這樣，把n次多項(xiàng)式的求值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求n個(gè)一次多項(xiàng)式的值的問(wèn)題。2、兩種排序方法：直接插入排序和冒泡排序1、直接插入排序

基本思想：插入排序的思想就是讀一個(gè)，排一個(gè)。將第１個(gè)數(shù)放入數(shù)組的第１個(gè)元素中，以后讀入的數(shù)與已存入數(shù)組的數(shù)進(jìn)行比較，確定它在從大到小的排列中應(yīng)處的位置．將該位置以及以后的元素向后推移一個(gè)位置，將讀入的新數(shù)填入空出的位置中．（由于算法簡(jiǎn)單，可以舉例說(shuō)明）2、冒泡排序

基本思想：依次比較相鄰的兩個(gè)數(shù),把大的放前面,小的放后面.即首先比較第1個(gè)數(shù)和第2個(gè)數(shù),大數(shù)放前,小數(shù)放后.然后比較第2個(gè)數(shù)和第3個(gè)數(shù)......直到比較最后兩個(gè)數(shù).第一趟結(jié)束,最小的一定沉到最后.重復(fù)上過(guò)程,仍從第1個(gè)數(shù)開(kāi)始,到最后第2個(gè)數(shù)......由于在排序過(guò)程中總是大數(shù)往前,小數(shù)往后,相當(dāng)氣泡上升,所以叫冒泡排序.

1.3.3進(jìn)位制

1、概念：進(jìn)位制是一種記數(shù)方式，用有限的數(shù)字在不同的位置表示不同的數(shù)值�？墒褂脭�(shù)字符號(hào)的個(gè)數(shù)稱(chēng)為基數(shù)，基數(shù)為n，即可稱(chēng)n進(jìn)位制，簡(jiǎn)稱(chēng)n進(jìn)制�，F(xiàn)在最常用的是十進(jìn)制，通常使用10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字0-9進(jìn)行記數(shù)。對(duì)于任何一個(gè)數(shù)，我們可以用不同的進(jìn)位制來(lái)表示。比如：十進(jìn)數(shù)57，可以用二進(jìn)制表示為111001，也可以用八進(jìn)制表示為71、用十六進(jìn)制表示為39，它們所代表的數(shù)值都是一樣的。一般地，若k是一個(gè)大于一的整數(shù)，那么以k為基數(shù)的k進(jìn)制可以表示為：

anan1...a1a0(k)(0ank,0an1,...,a1,a0k)，

而表示各種進(jìn)位制數(shù)一般在數(shù)字右下腳加注來(lái)表示,如111001(2)表示二進(jìn)制數(shù),34(5)表示5進(jìn)制數(shù)

第二章統(tǒng)計(jì)

2.1.1簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣

1．總體和樣本

在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,把研究對(duì)象的全體叫做總體．把每個(gè)研究對(duì)象叫做個(gè)體．把總體中個(gè)體的總數(shù)叫做總體容量．

為了研究總體的有關(guān)性質(zhì)，一般從總體中隨機(jī)抽取一部分：，，，

研究，我們稱(chēng)它為樣本．其中個(gè)體的個(gè)數(shù)稱(chēng)為樣本容量．

2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，也叫純隨機(jī)抽樣。就是從總體中不加任何分組、劃類(lèi)、排隊(duì)等，完全隨

機(jī)地抽取調(diào)查單位。特點(diǎn)是：每個(gè)樣本單位被抽中的可能性相同（概率相等），樣本的每個(gè)單位完全獨(dú)立，彼此間無(wú)一定的關(guān)聯(lián)性和排斥性。簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是其它各種抽樣形式的基礎(chǔ)。通常只是在總體單位之間差異程度較小和數(shù)目較少時(shí)，才采用這種方法。3．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法：

（1）抽簽法；隨機(jī)數(shù)表法；計(jì)算機(jī)模擬法；使用統(tǒng)計(jì)軟件直接抽取。

在簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的樣本容量設(shè)計(jì)中，主要考慮：①總體變異情況；②允許誤差范圍；③概率保證程度。

4．抽簽法:

（1）給調(diào)查對(duì)象群體中的每一個(gè)對(duì)象編號(hào)；（2）準(zhǔn)備抽簽的工具，實(shí)施抽簽

（3）對(duì)樣本中的每一個(gè)個(gè)體進(jìn)行測(cè)量或調(diào)查

例：請(qǐng)調(diào)查你所在的學(xué)校的學(xué)生做喜歡的體育活動(dòng)情況。5．隨機(jī)數(shù)表法：

例：利用隨機(jī)數(shù)表在所在的班級(jí)中抽取10位同學(xué)參加某項(xiàng)活動(dòng)。

2.1.2系統(tǒng)抽樣

1．系統(tǒng)抽樣（等距抽樣或機(jī)械抽樣）：

把總體的單位進(jìn)行排序，再計(jì)算出抽樣距離，然后按照這一固定的抽樣距離抽取樣本。第一個(gè)樣本采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的辦法抽取。

K（抽樣距離）=N（總體規(guī)模）/n（樣本規(guī)模）

前提條件：總體中個(gè)體的排列對(duì)于研究的變量來(lái)說(shuō)，應(yīng)是隨機(jī)的，即不存在某種與研究變量相關(guān)的規(guī)則分布。可以在調(diào)查允許的條件下，從不同的樣本開(kāi)始抽樣，對(duì)比幾次樣本的特點(diǎn)。如果有明顯差別，說(shuō)明樣本在總體中的分布承某種循環(huán)性規(guī)律，且這種循環(huán)和抽樣距離重合。

2．系統(tǒng)抽樣，即等距抽樣是實(shí)際中最為常用的抽樣方法之一。因?yàn)樗鼘?duì)抽樣框的要求較低，實(shí)施也比較簡(jiǎn)單。更為重要的是，如果有某種與調(diào)查指標(biāo)相關(guān)的輔助變量可供使用，總體單元按輔助變量的大小順序排隊(duì)的話(huà)，使用系統(tǒng)抽樣可以大大提高估計(jì)精度。

2.1.3分層抽樣

1．分層抽樣（類(lèi)型抽樣）：

先將總體中的所有單位按照某種特征或標(biāo)志（性別、年齡等）劃分成若干類(lèi)型或?qū)哟�，然后再在各個(gè)類(lèi)型或?qū)哟沃胁捎煤?jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系用抽樣的辦法抽取一個(gè)子樣本，最后，將這些子樣本合起來(lái)構(gòu)成總體的樣本。

兩種方法：

1．先以分層變量將總體劃分為若干層，再按照各層在總體中的比例從各層中抽取。

2．先以分層變量將總體劃分為若干層，再將各層中的元素按分層的順序整齊排列，最后用系統(tǒng)抽樣的方法抽取樣本。

2．分層抽樣是把異質(zhì)性較強(qiáng)的總體分成一個(gè)個(gè)同質(zhì)性較強(qiáng)的子總體，再抽取不同的子總體中的樣本分別代表該子總體，所有的樣本進(jìn)而代表總體。

分層標(biāo)準(zhǔn)：

（1）以調(diào)查所要分析和研究的主要變量或相關(guān)的變量作為分層的標(biāo)準(zhǔn)。

（2）以保證各層內(nèi)部同質(zhì)性強(qiáng)、各層之間異質(zhì)性強(qiáng)、突出總體內(nèi)在結(jié)構(gòu)的變量作為分層變量。（3）以那些有明顯分層區(qū)分的變量作為分層變量。3．分層的比例問(wèn)題：

（1）按比例分層抽樣：根據(jù)各種類(lèi)型或?qū)哟沃械膯挝粩?shù)目占總體單位數(shù)目的比重來(lái)抽取子樣本的方法。（2）不按比例分層抽樣：有的層次在總體中的比重太小，其樣本量就會(huì)非常少，此時(shí)采用該方法，主要是便于對(duì)不同層次的子總體進(jìn)行專(zhuān)門(mén)研究或進(jìn)行相互比較。如果要用樣本資料推斷總體時(shí)，則需要先對(duì)各層的數(shù)據(jù)資料進(jìn)行加權(quán)處理，調(diào)整樣本中各層的比例，使數(shù)據(jù)恢復(fù)到總體中各層實(shí)際的比例結(jié)構(gòu)。

2.2.2用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征

1、本均值：xx1x2xnns2

2、．樣本標(biāo)準(zhǔn)差：s(x1x)2(x2x)2(xnx)2n

3．用樣本估計(jì)總體時(shí)，如果抽樣的方法比較合理，那么樣本可以反映總體的信息，但從樣本得到的信息會(huì)

有偏差。在隨機(jī)抽樣中，這種偏差是不可避免的。

雖然我們用樣本數(shù)據(jù)得到的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)差并不是總體的真正的分布、均值和標(biāo)準(zhǔn)

差，而只是一個(gè)估計(jì)，但這種估計(jì)是合理的，特別是當(dāng)樣本量很大時(shí)，它們確實(shí)反映了總體的信息。

4．（1）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都加上或減去同一個(gè)共同的常數(shù)，標(biāo)準(zhǔn)差不變（2）如果把一組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)乘以一個(gè)共同的常數(shù)k，標(biāo)準(zhǔn)差變?yōu)樵瓉?lái)的k倍（3）一組數(shù)據(jù)中的最大值和最小值對(duì)標(biāo)準(zhǔn)差的影響，區(qū)間(x3s,x3s)的應(yīng)用；“去掉一個(gè)最高分，去掉一個(gè)最低分”中的科學(xué)道理

2.3.2兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)

1、概念:

（1）回歸直線(xiàn)方程（2）回歸系數(shù)2．最小二乘法

3．直線(xiàn)回歸方程的應(yīng)用

（1）描述兩變量之間的依存關(guān)系；利用直線(xiàn)回歸方程即可定量描述兩個(gè)變量間依存的數(shù)量關(guān)系（2）利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)；把預(yù)報(bào)因子（即自變量x）代入回歸方程對(duì)預(yù)報(bào)量（即因變量Y）進(jìn)

行估計(jì)，即可得到個(gè)體Y值的容許區(qū)間。

（3）利用回歸方程進(jìn)行統(tǒng)計(jì)控制規(guī)定Y值的變化，通過(guò)控制x的范圍來(lái)實(shí)現(xiàn)統(tǒng)計(jì)控制的目標(biāo)。如

已經(jīng)得到了空氣中NO2的濃度和汽車(chē)流量間的回歸方程，即可通過(guò)控制汽車(chē)流量來(lái)控制空氣中NO2的濃度。

4．應(yīng)用直線(xiàn)回歸的注意事項(xiàng)

（1）做回歸分析要有實(shí)際意義；（2）回歸分析前,最好先作出散點(diǎn)圖；（3）回歸直線(xiàn)不要外延。

第三章概率

3.1.13.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱(chēng)為相對(duì)于條件S的確定事件；

（4）隨機(jī)事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的隨機(jī)事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱(chēng)n次試驗(yàn)中事件A出

nA現(xiàn)的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱(chēng)事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：

對(duì)于給定的隨機(jī)事件A，如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作P（A），稱(chēng)為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值n，

它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率

3.1.3概率的基本性質(zhì)

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱(chēng)事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱(chēng)事件A與事件B互為對(duì)立事件；

（4）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿(mǎn)足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B

為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

2、概率的基本性質(zhì)：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿(mǎn)足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對(duì)立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A

與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；

（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.13.2.2古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=

A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個(gè)數(shù)

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：

構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）P（A）=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體積）；

（2）幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出

現(xiàn)的可能性相等．

高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)

第一章三角函數(shù)

正角:按逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)形成的角

零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱(chēng)為第幾象限角．第一象限角的集合為第二象限角的集合為第三象限角的集合為第四象限角的集合為

k360k36090,k

k36090k360180,kk360180k360270,k

k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為終邊在

k180,k

k90,k

y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為

3、與角終邊相同的角的集合為

k360,k

4、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

5、半徑為r的圓的圓心角所對(duì)弧的長(zhǎng)為l，則角的弧度數(shù)的絕對(duì)值是

lr．

1806、弧度制與角度制的換算公式：2360，1，157.3．

1807、若扇形的圓心角為為弧度制，半徑為r，弧長(zhǎng)為l，周長(zhǎng)為C，面積為S，則lr，

11C2rl，Slrr2．

228、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)

的坐標(biāo)是x,y，它與原點(diǎn)的距離是

yPTO本

關(guān)系

：；

rrx2y20，則sinyxy，cos，tanx0．rrx9、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為正，第四象限余弦為正．10、三角函數(shù)線(xiàn)：sin11

、角

，cos，tan．

角函數(shù)

2MAx三的基

1sin2cos21sin1cos2,cos21sin22sintancossinsintancos,cos．

tan12、函數(shù)的誘導(dǎo)公式：

1sin2ksin，cos2kcos，tan2ktank．2sinsin，coscos，tantan．3sinsin，coscos，tantan．4sinsin，coscos，tantan．

口訣：函數(shù)名稱(chēng)不變，符號(hào)看象限．

5sincos2，

cossin2．

6sincos2，

cossin．

2口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限．13、①的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)

ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)

的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象．

②數(shù)

ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)的

1倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左（右）平移

個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)

ysinx的圖象；再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（縮短）到原來(lái)

的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)14、函數(shù)

ysinx的圖象．

ysinx0,0的性質(zhì)：

①振幅：；②周期：函數(shù)

2；③頻率：

f12；④相位：x；⑤初相：．

ysinx，當(dāng)xx1時(shí)，取得最小值為ymin；當(dāng)xx2時(shí)，取得最大值為ymax，

則

11ymaxymin，ymaxymin，x2x1x1x2．22215、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：

性質(zhì)函數(shù)ysinxycosxytanx圖象定義域值域當(dāng)時(shí)RRxxk,k21,1x2k，1,1k；當(dāng)當(dāng)xR22kk時(shí)，最值ymax1ymax1；當(dāng)x2k既無(wú)最大值也無(wú)最小值x2k2k時(shí)，ymin1．k時(shí)，ymin1．周期性奇奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)2

偶性在2k,2k22在單調(diào)性k上是增函數(shù)；在32k,2k222k,2kk上2k,2k在k是增函數(shù)；在2,k2k上是減函數(shù)．k上是增函數(shù)．k上是減函數(shù)．對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)性對(duì)稱(chēng)軸xk,0kk對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心無(wú)對(duì)稱(chēng)軸2kk,0k2對(duì)稱(chēng)軸xk,0k2kk第二章平面向量

16、向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．有向線(xiàn)段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．

平行向量（共線(xiàn)向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量與任一向量平行．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．

17、向量加法運(yùn)算：

三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連．平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)．三角形不等式：

ababab．

運(yùn)算性質(zhì)：①交換律：abba；

②結(jié)合律：

abcabc；③a00aa．

C

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．

18、向量減法運(yùn)算：

三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量．

ab

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2,y1y2．設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1，x2,y2，則x1x2,y1y2．

19、向量數(shù)乘運(yùn)算：

實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a．

abCC

①

aa；

②當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)，a0．

運(yùn)算律：①aa；②aaa；③abab．

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)ax,y，則ax,yx,y．

20、向量共線(xiàn)定理：向量aa0與b共線(xiàn)，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，其中b0，則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí)，向量a、bb0共

線(xiàn)．

21、平面向量基本定理：如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，

有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2，使a1e12e2．（不共線(xiàn)的向量e1、e2作為這一平面內(nèi)所有向量的一

組基底）

22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式：設(shè)點(diǎn)是線(xiàn)段12上的一點(diǎn)，1、2的坐標(biāo)分別是

x1,y1，x2,y2，當(dāng)

xx2y1y212時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)是1（當(dāng)1,時(shí)，就為中點(diǎn)公式。）．

1123、平面向量的數(shù)量積：

ababcosa0,b0,0180．零向量與任一向量的數(shù)量積為0．

；當(dāng)a性質(zhì)：設(shè)a和b都是非零向量，則①abab0．②當(dāng)a與b同向時(shí)，abab與b反向時(shí)，abab22；aaaa或aaa．③

abab．

運(yùn)算律：①abba；②ababab；③abcacbc．

坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1，bx2,y2，則abx1x2y1y2．

若ax,y，則

2ax2y2，或

ax2y2．

設(shè)ax1,y1，bx2,y2，則

abx0．1x2y1y2設(shè)

a、

b都是非零向量，

ax1,y1．

22，

bx2,y2，

是

a與

b的夾角，則

x1x2y1y2abcos2abx12y12x2y

第三章三角恒等變換

24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式：cossincoscossinsin；coscoscossinsin；

sincoscossin；sinsincoscossin；

tantantan（tantantan1tantan）；

1tantantantantan（tantantan1tantan）．

1tantan25、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

sin22sincos．1sin2sin2cos22sincos(sincos)2

cos2cos2sin22cos2112sin2

升冪公式1cos2cos222cos211cos22，sin降冪公式cos222tan2,1cos2sin2．

2tan1tan2．

萬(wàn)能公式:αα2tan1tan22;cosα2sinααα1tan21tan22226、半角公式:

α1cosαα1cosαcos;sin2222tanα1αsinα1cosαcos1α1cosαsin2cosα（后兩個(gè)不用判斷符號(hào)，更加好用）27、合一變形

把兩個(gè)三角函數(shù)的和或差化為“一個(gè)三角函數(shù)，一個(gè)角，一次方”的

yAsin(x)B形式。sincos22sin，其中tan．

28、三角變換是運(yùn)算化簡(jiǎn)的過(guò)程中運(yùn)用較多的變換，提高三角變換能力，要學(xué)會(huì)創(chuàng)設(shè)條件，靈活運(yùn)用三角公式，掌握運(yùn)算，化簡(jiǎn)的方法和技能．常用的數(shù)學(xué)思想方法技巧如下：

（1）角的變換：在三角化簡(jiǎn)，求值，證明中，表達(dá)式中往往出現(xiàn)較多的相異角，可根據(jù)角與角之間的和差，

倍半，互補(bǔ)，互余的關(guān)系，運(yùn)用角的變換，溝通條件與結(jié)論中角的差異，使問(wèn)題獲解，對(duì)角的變形如：①2是的二倍；4是2的二倍；是

2的二倍；

2是

4的二倍；

30o②15453060452ooooo；問(wèn)：sin12；cos12；

③()；④

42(4)；

⑤2()()(4)(4)；等等

（2）函數(shù)名稱(chēng)變換：三角變形中，常常需要變函數(shù)名稱(chēng)為同名函數(shù)。如在三角函數(shù)中正余弦是基礎(chǔ)，通常

化切為弦，變異名為同名。

（3）常數(shù)代換：在三角函數(shù)運(yùn)算，求值，證明中，有時(shí)需要將常數(shù)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值，例如常數(shù)“1”的

代換變形有：

1sin2cos2tancotsin90otan45o

降冪公式有：；。降冪并非絕對(duì)，有時(shí)需要升冪，如對(duì)無(wú)理式

（4）冪的變換：降冪是三角變換時(shí)常用方法，對(duì)次數(shù)較高的三角函數(shù)式，一般采用降冪處理的方法。常用

1cos常用升冪化為有理式，常用升冪公式有：；；

（5）公式變形：三角公式是變換的依據(jù)，應(yīng)熟練掌握三角公式的順用，逆用及變形應(yīng)用。如：

1tan1tan_______________；______________；

1tan1tantantan____________；1tantan___________；tantan____________；1tantan___________；

2tan；1tan2；tan20otan40o3tan20otan40o；

sincos=；

（其中asinbcos=；）tan；1cos；1cos；

（6）三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)運(yùn)算通常從：“角、名、形、冪”四方面入手；

基本規(guī)則是：見(jiàn)切化弦，異角化同角，復(fù)角化單角，異名化同名，高次化低次，無(wú)理化有理，特殊

值與特殊角的三角函數(shù)互化。

如：sin50o(13tan10o)；

tancot。

高中數(shù)學(xué)必修5知識(shí)點(diǎn)

（一）解三角形：

1、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角、、C的對(duì)邊，，則有(R為C的外接圓的半徑)

2、正弦定理的變形公式：①a2Rsin，b2Rsin，c2RsinC；

abc2RsinsinsinC

②sinabc；③a:b:csin:sin:sinC；，sin，sinC2R2R2RC3、三角形面積公式：S111bcsinabsinCacsin．2222222b2c22bccos，推論：cosbca

4、余弦定理：在C中，有a2bc（二）數(shù)列：

1.數(shù)列的有關(guān)概念：

（1）數(shù)列：按照一定次序排列的一列數(shù)。數(shù)列是有序的。數(shù)列是定義在自然數(shù)N*或它的有限子

集{1,2,3,,n}上的函數(shù)。

（2）通項(xiàng)公式：數(shù)列的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式即是該數(shù)列的

通項(xiàng)公式。如:

an2n21。

（3）遞推公式：已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)an與他的前一項(xiàng)an-1（或前幾項(xiàng)）

可以用一個(gè)公式來(lái)表示，這個(gè)公式即是該數(shù)列的遞推公式。如:

a11,a22,anan1an2(n2)。

2．?dāng)?shù)列的表示方法：

（1）列舉法：如1，3，5，7，9，…（2）圖象法：用（n,an）孤立點(diǎn)表示。（3）解析法：用通項(xiàng)公式表示。（4）遞推法：用遞推公式表示。

3．?dāng)?shù)列的分類(lèi)：

有窮數(shù)列按項(xiàng)數(shù)無(wú)窮數(shù)列4．?dāng)?shù)列{an}及前n項(xiàng)和之間的關(guān)系:

常數(shù)列:an2n遞增數(shù)列:an2n1,an2

按單調(diào)性2遞減數(shù)列:ann1擺動(dòng)數(shù)列:a(1)n2nnS1,(n1)anSnSn1,(n2)等比數(shù)列Sna1a2a3an

5．等差數(shù)列與等比數(shù)列對(duì)比小結(jié)：一、定義1．a(chǎn)na1n1d二、公式2．Sn等差數(shù)列anan1d(n2)anq(n2)an11．a(chǎn)na1qn1anamnmd,nmna1an2anamqnm,(nm)2dna1q12．Sna11qnaaqn1q11q1q1．a(chǎn),b,c成等比b2na1nn11．a(chǎn),b,c成等差2bac，三、性質(zhì)稱(chēng)b為a與c的等差中項(xiàng)2．若mnac，稱(chēng)b為a與c的等比中項(xiàng)，2．若mnpq（m、，pq（m、n、p、q*）n、p、q*）則amanapaq則amanapaq3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等差數(shù)列3．Sn，S2nSn，S3nS2n成等比數(shù)列（三）不等式

1、ab0ab；ab0ab；ab0ab．

2、不等式的性質(zhì)：①abba；②ab,bcac；③abacbc；④ab,c0acbc，ab,c0acbc；⑤ab,cdacbd；nn⑥ab0,cd0acbd；⑦ab0abn,n1；

nn⑧ab0abn,n1．

小結(jié)：代數(shù)式的大小比較或證明通常用作差比較法：作差、化積（商）、判斷、結(jié)論。在字母比較的選擇或填空題中，常采用特值法驗(yàn)證。3、一元二次不等式解法：（1）化成標(biāo)準(zhǔn)式：ax線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：

1．了解線(xiàn)性約束條件、目標(biāo)函數(shù)、可行域、可行解、最優(yōu)解

2．線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題：求線(xiàn)性目標(biāo)函數(shù)在線(xiàn)性約束條件下的最大值或最小值問(wèn)題．3．解線(xiàn)性規(guī)劃實(shí)際問(wèn)題的步驟：

（1）將數(shù)據(jù)列成表格；（2）列出約束條件與目標(biāo)函數(shù)；（3）根據(jù)求最值方法：①畫(huà)：畫(huà)可行域；②移：移與目標(biāo)函數(shù)一致的平行直線(xiàn)；③求：求最值點(diǎn)坐標(biāo)；④答；求最值；（4）驗(yàn)證。兩類(lèi)主要的目標(biāo)函數(shù)的幾何意義:①z2（2）求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根；bxc0,(a0)；

（3）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的圖象；（4）根據(jù)不等號(hào)方向取出相應(yīng)的解集。

axby-----直線(xiàn)的截距；②z(xa)2(yb)2-----兩點(diǎn)的距離或圓的半徑；

ab0，b0，則ab2ab，即ab．

2ab；aba0,b0224、均值定理：若aab稱(chēng)為正數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)，ab稱(chēng)為正數(shù)a、b的幾何平均數(shù)．25、均值定理的應(yīng)用：設(shè)x、y都為正數(shù)，則有

若x，則當(dāng)xy時(shí)，積xy取得最大值ys（和為定值）

s2．4若xy，則當(dāng)xy時(shí)，和xy取得最小值2p．p（積為定值）

注意：在應(yīng)用的時(shí)候，必須注意“一正二定三等”三個(gè)條件同時(shí)成立。

選修1-1,1-2知識(shí)點(diǎn)

第一部分簡(jiǎn)單邏輯用語(yǔ)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.

真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱(chēng)為命題的條件，q稱(chēng)為命題的結(jié)論.3、原命題：“若p，則q”逆命題：“若q，則p”否命題：“若p，則q”逆否命題：“若q，則p”4、四種命題的真假性之間的關(guān)系：

（1）兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

（2）兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒(méi)有關(guān)系．5、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

利用集合間的包含關(guān)系：例如：若AB，則A是B的充分條件或B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件；

6、邏輯聯(lián)結(jié)詞：且(and)：命題形式pq；或（or）：命題形式pq；非（not）：命題形式p.

pqpqpqp

真真假假真假真假真假假假真真真假假假真真7、全稱(chēng)量詞“所有的”、“任意一個(gè)”等，用“”表示；

全稱(chēng)命題p：xM,p(x)；全稱(chēng)命題p的否定p：xM,p(x)。存在量詞“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”等，用“”表示；

特稱(chēng)命題p：xM,p(x)；特稱(chēng)命題p的否定p：xM,p(x)；

第二部分圓錐曲線(xiàn)

1、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為橢圓．即：|MF1||MF2|2a,(2a|F1F2|)。

這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為橢圓的焦距．2、橢圓的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上焦點(diǎn)在y軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21ab0a2b2y2x21ab0a2b2范圍axa且byb1a,0、2a,0bxb且aya10,a、20,a1b,0、2b,0頂點(diǎn)10,b、20,b軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性離心率短軸的長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)cb2e120e1aa3、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡

稱(chēng)為雙曲線(xiàn)．即：||MF1||MF2||2a,(2a|F1F2|)。

這兩個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱(chēng)為雙曲線(xiàn)的焦距．4、雙曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上圖形標(biāo)準(zhǔn)方程x2y21a0,b0a2b2y2x21a0,b0a2b2范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱(chēng)性離心率xa或xa，yR1a,0、2a,0ya或ya，xR10,a、20,a虛軸的長(zhǎng)2b實(shí)軸的長(zhǎng)2aF1c,0、F2c,0F10,c、F20,cF1F22cc2a2b2關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱(chēng)，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)cb2e12e1aa漸近線(xiàn)方程ybxayaxb5、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線(xiàn)稱(chēng)為等軸雙曲線(xiàn)．

6、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線(xiàn)l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱(chēng)為拋物線(xiàn)．定點(diǎn)F稱(chēng)為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，定直線(xiàn)l稱(chēng)為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)．7、拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)：y22px標(biāo)準(zhǔn)方程y22pxx22pyx22pyp0圖形頂點(diǎn)p0p0p00,

對(duì)稱(chēng)軸x軸pF,02pF,02pF0,2y軸pF0,2焦點(diǎn)準(zhǔn)線(xiàn)方程xp2xp2yp2yp2離心率e1范圍x0x0y0y08、過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱(chēng)軸且交拋物線(xiàn)于、兩點(diǎn)的線(xiàn)段，稱(chēng)為拋物線(xiàn)的“通徑”，即2p．9、焦半徑公式：

p；2p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)x2pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0；

2若點(diǎn)x0,y0在拋物線(xiàn)y2pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx02

第三部分導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、函數(shù)fx從x1到x2的平均變化率：

fx2fx1x2x1xx0

f(x0x)f(x0)；．

x2、導(dǎo)數(shù)定義：fx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)記作yf(x0)limx03、函數(shù)yfx在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線(xiàn)線(xiàn)的斜率．

4、常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：①C0；②(x)nxx"xyfx在點(diǎn)

x0,fx0處的切

"n"n1；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

x"""⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(logax)x"11"；⑧(lnx)xlnax5、導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則：

1fxgxfxgx；

2

fxgxfxgxfxgx；

fxfxgxfxgxgx023gxgx．

6、在某個(gè)區(qū)間a,b內(nèi)，若fx0，則函數(shù)yfx在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；若fx0，則函數(shù)yfx在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．

7、求函數(shù)yfx的極值的方法是：解方程fx0．當(dāng)fx00時(shí)：

1如果在x0附近的左側(cè)fx0，右側(cè)fx0，那么fx0是極大值；2如果在x0附近的左側(cè)fx0，右側(cè)fx0，那么fx0是極小值．

8、求函數(shù)yfx在a,b上的最大值與最小值的步驟是：

1求函數(shù)yfx在a,b內(nèi)的極值；

2將函數(shù)yfx的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值fa，fb比較，其中最大的一個(gè)是最

大值，最小的一個(gè)是最小值．

9、導(dǎo)數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用：最優(yōu)化問(wèn)題。

第四部分復(fù)數(shù)

1．概念：

(1)z=a+bi∈Rb=0(a,b∈R)z=zz2≥0；(2)z=a+bi是虛數(shù)b≠0(a,b∈R)；

(3)z=a+bi是純虛數(shù)a=0且b≠0(a,b∈R)z＋z＝0（z≠0）z2

4．運(yùn)算律：（1）zzzmnmn;(2)(zm)nzmn;(3)(z1z2)mz1z2(m,nN);

z1z)1；zz。z2z2mm5．共軛的性質(zhì)：(z1z2)z1z2；z1z2z1z2；(6．模的性質(zhì)：||z1||z2|||z1z2||z1||z2|；|z1z2||z1||z2|；

|

z1|z||1；|zn||z|n；z2|z2|第五部分統(tǒng)計(jì)案例

1．線(xiàn)性回歸方程

①變量之間的兩類(lèi)關(guān)系：函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系；②制作散點(diǎn)圖，判斷線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系

③線(xiàn)性回歸方程：ybxa（最小二乘法）

nxiyinxyi1bn2注意：線(xiàn)性回歸直線(xiàn)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(x,y)。2xinxi1aybx2．相關(guān)系數(shù)（判定兩個(gè)變量線(xiàn)性相關(guān)性）：r(xi1nix)(yiy)n(xi1n

ix)2(yiy)2i1注：r>0時(shí)，變量x,y正相關(guān)；r

②R2越接近于1，，則回歸效果越好。4．獨(dú)立性檢驗(yàn)（分類(lèi)變量關(guān)系）：

隨機(jī)變量K2越大，說(shuō)明兩個(gè)分類(lèi)變量，關(guān)系越強(qiáng)，反之，越弱。

第六部分推理與證明

一．推理：

合情推理：歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有事實(shí)，經(jīng)過(guò)觀察、分析、比較、聯(lián)想，在進(jìn)行歸納、類(lèi)比，然后提出猜想的推理，我們把它們稱(chēng)為合情推理。①歸納推理：由某類(lèi)食物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類(lèi)事物的全部對(duì)象都具有這些特征的推理，或者有個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理，稱(chēng)為歸納推理，簡(jiǎn)稱(chēng)歸納。注：歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。②類(lèi)比推理：由兩類(lèi)對(duì)象具有類(lèi)似和其中一類(lèi)對(duì)象的某些已知特征，推出另一類(lèi)對(duì)象也具有這些特征的推理，稱(chēng)為類(lèi)比推理，簡(jiǎn)稱(chēng)類(lèi)比。注：類(lèi)比推理是特殊到特殊的推理。

演繹推理：從一般的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，這種推理叫演繹推理。注：演繹推理是由一般到特殊的推理。“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：大前提---------已知的一般結(jié)論；小前提---------所研究的特殊情況；結(jié)論---------根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況得出的判斷。

二．證明

⒈直接證明綜合法

一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、定理、公理等，經(jīng)過(guò)一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法。綜合法又叫順推法或由因?qū)Ч�法。分析�?/p>

一般地，從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件（已知條件、定義、定理、公理等），這種證明的方法叫分析法。分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法。2．間接證明------反證法一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過(guò)正確的推理，最后得出矛盾，因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明原命題成立，這種證明方法叫反證法。

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