高一數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

必修一一、集合

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無(wú)序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合

3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R1）列舉法：{a,b,c}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合的

方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合2

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)2

實(shí)例：設(shè)A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說(shuō)集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。nn-1

有n個(gè)元素的集合，含有2個(gè)子集，2個(gè)真子集

二、函數(shù)

1、函數(shù)定義域、值域求法綜合

2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題的解題策略3、恒成立問(wèn)題的求解策略4、反函數(shù)的幾種題型及方法

5、二次函數(shù)根的問(wèn)題一題多解&指數(shù)函數(shù)y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b屬于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬于Q)指數(shù)函數(shù)對(duì)稱規(guī)律：

1、函數(shù)y=a^x與y=a^-x關(guān)于y軸對(duì)稱2、函數(shù)y=a^x與y=-a^x關(guān)于x軸對(duì)稱

3、函數(shù)y=a^x與y=-a^-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱&對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga^x

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MMN)logaM＋logaN；○

2loga○logaM－logaN；n3○logaMNnlogaM(nR)．注意：換底公式logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．冪函數(shù)y=x^a(a屬于R)logca1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx(aR)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．

2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+∞）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；（2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸．

方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。

2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。

即：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函數(shù)yf(x)的圖○

象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：2bxc(a0)．二次函數(shù)yax2（1）△＞０，方程axbxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．2（2）△＝０，方程axbxc0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．2（3）△＜０，方程axbxc0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．

高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)數(shù)性質(zhì)三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量&向量的運(yùn)算加法運(yùn)算

AB＋BC＝AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。對(duì)于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0。設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。四、三角函數(shù)

1、善于用“1“巧解題

2、三角問(wèn)題的非三角化解題策略3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法4、三角函數(shù)向量綜合題例析5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：ysinxytanxycosx函圖象

定義域值域最值周期性奇偶性單調(diào)性

RR

1,1

當(dāng)x2kk當(dāng)x2kk時(shí)，

ymax時(shí)，21；當(dāng)ymax1；當(dāng)x2kx2kk時(shí)，ymin1．ky1．2min時(shí)，

2

1,1

xxk,k

2R

既無(wú)最大值也無(wú)最小值

2

奇函數(shù)

奇函數(shù)

在

偶函數(shù)

對(duì)稱性

必修四

角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．k36090,k第一象限角的集合為k360,k第二象限角的集合為k36090k360180第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為*k360,k4、已知是第幾象限角，確定n所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再?gòu)膞軸的正半

2k,2k在2k,2kk上232k上是增函數(shù)；在是增函數(shù)；在2k,2k2k,2kk上是減函數(shù)．22k上是減函數(shù)．對(duì)稱中心k,0中心稱k對(duì)對(duì)稱軸xkkk,0k

x2k對(duì)稱軸2k

,k

22k上是增函數(shù)．

k,0k對(duì)稱中心無(wú)對(duì)稱軸2在kn軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為區(qū)域．

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．

公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：

設(shè)α為任意角，πα的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

其他三角函數(shù)知識(shí)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:

tanαcotα＝1sinαcscα＝1cosαsecα＝1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβtan（α＋β）＝1－tanαtanβ

tanα－tanβtan（α－β）＝1＋tanαtanβ

n終邊所落在的

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)2tanαtan2α＝1－tan^2(α)半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）1－cosαsin^2(α/2)＝21＋cosαcos^2(α/2)＝21－cosαtan^2(α/2)＝1＋cosα萬(wàn)能公式⒌萬(wàn)能公式

2tan(α/2)sinα＝1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)cosα＝1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)tanα＝1－tan^2(α/2)和差化積公式

⒎三角函數(shù)的和差化積公式

α＋βα－βsinα＋sinβ＝2sin----cos---22

α＋βα－βsinα－sinβ＝2cos----sin----22

α＋βα－βcosα＋cosβ＝2cos-----cos-----22

α＋βα－βcosα－cosβ＝－2sin-----sin-----22積化和差公式

⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinαcosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosαsinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosαcosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinαsinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

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高一數(shù)學(xué)知識(shí)總結(jié)

必修一一、集合

一、集合有關(guān)概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個(gè)特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無(wú)序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集

合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊(duì)員}，{太平洋,

大西洋,印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊(duì)

員},B={1,2,3,4,5}

(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數(shù)集及其記法：

非負(fù)整數(shù)集（即自然數(shù)集）記作：N

正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R

1）列舉法：{a,b,c……}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái)，寫在大

括號(hào)內(nèi)表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3）語(yǔ)言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合

2

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝

二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與

B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作

B或BAA2．“相等”關(guān)系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

2

實(shí)例：設(shè)A={x|x-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說(shuō)集合A是集合B的真子

集，記作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n個(gè)元素的集合，含有2個(gè)子集，2個(gè)真子集

二、函數(shù)

1、函數(shù)定義域、值域求法綜合

2.、函數(shù)奇偶性與單調(diào)性問(wèn)題的解題策略3、恒成立問(wèn)題的求解策略4、反函數(shù)的幾種題型及方法

5、二次函數(shù)根的問(wèn)題一題多解&指數(shù)函數(shù)y=a^x

a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b屬于Q)(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于Q)(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬于Q)指數(shù)函數(shù)對(duì)稱規(guī)律：

1、函數(shù)y=a^x與y=a^-x關(guān)于y軸對(duì)稱2、函數(shù)y=a^x與y=-a^x關(guān)于x軸對(duì)稱

3、函數(shù)y=a^x與y=-a^-x關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱&對(duì)數(shù)函數(shù)y=loga^x

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(M〃N)logaM＋logaN；○2log○

MaNlogaM－logaN；

3logaMnnlogaM(nR)．○

注意：換底公式

logabloglogccbac0，b0）（a0，且a1；且c1；．

冪函數(shù)y=x^a(a屬于R)

1、冪函數(shù)定義：一般地，形如yx(aR)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中為常數(shù)．2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納．

（1）所有的冪函數(shù)在（0，+）都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)（1，1）；

（2）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn)，并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù)．特別地，當(dāng)1時(shí)，冪函數(shù)的圖象下凸；當(dāng)01時(shí)，冪函數(shù)的圖象上凸；（3）0時(shí)，冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸，當(dāng)x趨于時(shí)，圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸．方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)零點(diǎn)的概念：對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。2、函數(shù)零點(diǎn)的意義：函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根，亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。即：方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn)．3、函數(shù)零點(diǎn)的求法：

1（代數(shù)法）求方程f(x)0的實(shí)數(shù)根；○

2（幾何法）對(duì)于不能用求根公式的方程，可以將它與函○

數(shù)yf(x)的圖象聯(lián)系起來(lái)，并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)．4、二次函數(shù)的零點(diǎn)：

二次函數(shù)yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0有兩不等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)．

（2）△＝０，方程ax2bxc0有兩相等實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)，二次函數(shù)有一個(gè)二重零點(diǎn)或二階零點(diǎn)．

（3）△＜０，方程ax2bxc0無(wú)實(shí)根，二次函數(shù)的圖象與x軸無(wú)交點(diǎn)，二次函數(shù)無(wú)零點(diǎn)．三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向的量．

有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．零向量：長(zhǎng)度為0的向量．

單位向量：長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量．相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量&向量的運(yùn)算加法運(yùn)算

AB＋BC＝AC，這種計(jì)算法則叫做向量加法的三角形法則。已知兩個(gè)從同一點(diǎn)O出發(fā)的兩個(gè)向量OA、OB，以O(shè)A、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O(shè)為起點(diǎn)的對(duì)角線OC就是向量OA、OB的和，這種計(jì)算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對(duì)于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法滿足所有的加法運(yùn)算定律。

減法運(yùn)算

與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

數(shù)乘運(yùn)算

實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向和a的方向相同，當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向和a的方向相反，當(dāng)λ=0時(shí)，λa=0。設(shè)λ、μ是實(shí)數(shù)，那么：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。

向量的加法運(yùn)算、減法運(yùn)算、數(shù)乘運(yùn)算統(tǒng)稱線性運(yùn)算。

向量的數(shù)量積

已知兩個(gè)非零向量a、b，那么|a||b|cosθ叫做a與b的數(shù)量積或內(nèi)積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數(shù)量積為0。a?b的幾何意義：數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。四、三角函數(shù)

1、善于用“1“巧解題

2、三角問(wèn)題的非三角化解題策略3、三角函數(shù)有界性求最值解題方法4、三角函數(shù)向量綜合題例析5、三角函數(shù)中的數(shù)學(xué)思想方法

15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)：函ycosxytanx

性質(zhì)

數(shù)ysinx圖象

定義域值域最值

RR

xxk,k

2R1,1

當(dāng)x2k21,1

k當(dāng)x2kk時(shí)，

ymax1；當(dāng)x2k

時(shí)，ymax1；當(dāng)

既無(wú)最大值也無(wú)最小值x2k2

1．

k時(shí)，ymin1．

k時(shí)，ymin周期性奇偶性

22

奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)

在2k2,2k2

在2k,2kk單k上是增函數(shù)；在上是增函數(shù)；在在k,k

22調(diào)

2k,2k

3性k上是增函數(shù)．2k2,2k2k上是減函數(shù)．

k上是減函數(shù)．

對(duì)稱中

心對(duì)

稱中心對(duì)稱中心

對(duì)k,0k稱

對(duì)稱性

xk軸

k,0k

2k,0k22k對(duì)稱軸xkk

無(wú)對(duì)稱軸

必修四

角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則稱為第幾象限角．

第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角，確定

nn所在象限的方法：先把各象限均分n等n*份，再?gòu)膞軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來(lái)是第幾象限對(duì)應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為

終邊所落在的區(qū)域．

5、長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做1弧度．

口訣：奇變偶不變，符號(hào)看象限．

公式一：

設(shè)α為任意角，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等：sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα公式二：

設(shè)α為任意角，πα的三角函數(shù)值與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanαcot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α與-α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π－α）＝sinαcos（π－α）＝－cosαtan（π－α）＝－tanαcot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosαtan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα公式六：

π/2±α及3π/2±α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系：sin（π/2＋α）＝cosαcos（π/2＋α）＝－sinαtan（π/2＋α）＝－cotαcot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosαcos（π/2－α）＝sinαtan（π/2－α）＝cotαcot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

其他三角函數(shù)知識(shí)：同角三角函數(shù)基本關(guān)系

⒈同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式倒數(shù)關(guān)系:

tanαcotα＝1sinαcscα＝1cosαsecα＝1商的關(guān)系：

sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα平方關(guān)系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝11＋tan^2(α)＝sec^2(α)1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

兩角和差公式

⒉兩角和與差的三角函數(shù)公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβsin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβcos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝1－tanαtanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝1＋tanαtanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升冪縮角公式）sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降冪擴(kuò)角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝2

1－cosα

tan^2(α/2)＝1＋cosα

萬(wàn)能公式⒌萬(wàn)能公式2tan(α/2)

sinα＝1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝1－tan^2(α/2)

和差化積公式

⒎三角函數(shù)的和差化積公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin----cos---22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos----sin----22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos-----cos-----22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin-----sin-----22

積化和差公式

⒏三角函數(shù)的積化和差公式

sinαcosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]cosαsinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]cosαcosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]sinαsinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

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