高一數學必修1第一章知識點總結

高一數學必修1第一章知識點總結

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：(1)元素的確定性,(2)元素的互異性,(3)元素的無序性,

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,

印度洋,北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1）列舉法：{a,b,c……}

2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內

表示集合的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

2

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x=－5｝

二、集合間的基本關系1.包含關系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同

一集合。

B或反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AAB2．相等關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

2

實例：設A={x|x-1=0}B={-1,1}元素相同則兩集合相等即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記

作AB(或BA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

nn-1

有n個元素的集合，含有2個子集，2個真子集三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬義于B的元素所組成的集合,叫做A,B的由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組交集．記作AB（讀作‘A交B’），即AB=｛x|xA，且xB｝．韋恩圖示的并集．記作：AB（讀作‘A并B’），即AB={x|xA，或xB})．成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）記作CSA，即CSA={x|xS,且xA}SABABA圖1圖2(CuA)(CuB)=Cu(AB)(CuA)(CuB)=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．AA=A性AΦ=ΦAB=BAABA質ABBAA=AAΦ=AAB=BAABＡABB

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.

2

4.設集合A=x1x2，B=xxa，若AB，則a的取值范圍是5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有40人，化學實驗做得正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x+2x-8=0},B={x|x-5x+6=0},C={x|x-mx+m-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

2222

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數軸表示．5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作f：A→B6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．

補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1為y=f(x)的單調減區(qū)間.

注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：

1任取x，x∈D，且x1利用二次函數的性質（配方法）求函數的最大（�。┲怠�

2利用圖象求函數的最大（�。┲怠�

3利用函數單調性的判斷函數的最大（�。┲担骸�

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數的定義域：⑴yx12x22x15⑵

y1()x1x332.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則函數f(x2)的定義域為__

3.若函數f(x1)的定義域為[2，3]，則函數f(2x1)的定義域是

x2(x1)4.函數，若f(x)3，則x=f(x)x2(1x2)2x(x2)

6.已知函數f(x1)x24x，求函數f(x)，7.已知函數

f(2x1)的解析式

f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。

8.設f(x)是R上的奇函數，且當x[0,)時,f(x)x(13x),則當x(,0)時f(x)在R上的解析式為9.求下列函數的單調區(qū)間：⑴yx22x3(2)

f(x)=

yx26x1

10.判斷函數yx31的單調性并證明你的結論．

21x11.設函數f(x)判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．

21xx

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高一數學必修1各章知識點總結

第一章集合與函數概念

一、集合有關概念1.集合的含義

2.集合的中元素的三個特性：

(1)元素的確定性如：世界上最高的山

(2)元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3.集合的表示：{}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,

北冰洋}

(1)用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法：列舉法與描述法。注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N+整數集Z有理數集Q實數集R

1）列舉法：{a,b,c}2）描述法：將集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括號內表示集合

的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

3）語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}4）Venn圖:

4、集合的分類：

(1)有限集含有有限個元素的集合(2)無限集含有無限個元素的集合

(3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關系1.“包含”關系子集

注意：AB有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即：①任何一個集合是它本身的子集。AA

②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集，記作ABA)

③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時BA那么A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算交集并集補集類型定由所有屬于A且屬義于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集．記作AB（讀由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合，叫做A,B的并集．記作：ABB(或

設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中所有不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集（或余集）金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

作‘A交B’），即（讀作‘A并B’），記作CSA，即AB=｛x|xA，且即AB={x|xA，xB｝．或xB})．CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦAΦ=AAAA=Cu(AB=BB=BAB)ABAABＡ(CuA)(CuB)質ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ．

例題：

1.下列四組對象，能構成集合的是（）

A某班所有高個子的學生B著名的藝術家C一切很大的書D倒數等于它自身的實數2.集合{a，b，c}的真子集共有個

3.若集合M={y|y=x2

-2x+1,xR},N={x|x≥0}，則M與N的關系是.4.設集合A=x1x2，B=xxa，若

AB，則a的取值范圍是5.50名學生做的物理、化學兩種實驗，已知物理實驗做得正確得有人，化學實驗做得正確得有31人，

兩種實驗都做錯得有4人，則這兩種實驗都做對的有人。

6.用描述法表示圖中陰影部分的點（含邊界上的點）組成的集合M=.

7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2

-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2-19=0},若B∩C≠Φ，A∩C=Φ，求m的值

二、函數的有關概念

1．函數的概念：設A、B是非空的數集，如果按照某個確定的對應關系f，使對于集合A中的任意一個數x，在集合B中都有唯一確定的數f(x)和它對應，那么就稱f：A→B為從集合A到集合B的一個函數．記作：y=f(x)，x∈A．其中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數的定義域；與x的值相對應的y值叫做函數值，函數值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數的值域．注意：

1．定義域：能使函數式有意義的實數x的集合稱為函數的定義域。求函數的定義域時列不等式組的主要依據是：(1)分式的分母不等于零；

(2)偶次方根的被開方數不小于零；(3)對數式的真數必須大于零；

(4)指數、對數式的底必須大于零且不等于1.

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(5)如果函數是由一些基本函數通過四則運算結合而成的.那么，它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數為零底不可以等于零，

(7)實際問題中的函數的定義域還要保證實際問題有意義.

相同函數的判斷方法：①表達式相同（與表示自變量和函數值的字母無關）；②定義域一致(兩點必須同時具備)(見課本21頁相關例2)2．值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法

3.函數圖象知識歸納

(1)定義：在平面直角坐標系中，以函數y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標，函數值y為縱坐標的點P(x，y)的集合C，叫做函數y=f(x),(x∈A)的圖象．C上每一點的坐標(x，y)均滿足函數關系y=f(x)，反過來，以滿足y=f(x)的每一組有序實數對x、y為坐標的點(x，y)，均在C上.(2)畫法A、描點法：B、圖象變換法

常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換4．區(qū)間的概念

（1）區(qū)間的分類：開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間（2）無窮區(qū)間

（3）區(qū)間的數軸表示．5．映射

一般地，設A、B是兩個非空的集合，如果按某一個確定的對應法則f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應，那么就稱對應f：AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f（對應關系）：A（原象）B（象）”

對于映射f：A→B來說，則應滿足：

(1)集合A中的每一個元素，在集合B中都有象，并且象是唯一的；(2)集合A中不同的元素，在集合B中對應的象可以是同一個；(3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。6.分段函數

(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數。(2)各部分的自變量的取值情況．

(3)分段函數的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的并集．補充：復合函數

如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復合函數。

二．函數的性質

1.函數的單調性(局部性質)（1）增函數

設函數y=f(x)的定義域為I，如果對于定義域I內的某個區(qū)間D內的任意兩個自變量x1，x2，當x1金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

＞f(x2)，那么就說f(x)在這個區(qū)間上是減函數.區(qū)間D稱為y=f(x)的單調

減區(qū)間.

注意：函數的單調性是函數的局部性質；（2）圖象的特點

如果函數y=f(x)在某個區(qū)間是增函數或減函數，那么說函數y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調性，在單調區(qū)間上增函數的圖象從左到右是上升的，減函數的圖象從左到右是下降的.(3).函數單調區(qū)間與單調性的判定方法(A)定義法：

1任取x1，x2∈D，且x1金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

3利用函數單調性的判斷函數的最大（小）值：○

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞增，在區(qū)間[b，c]上單調遞減則函數y=f(x)在x=b處有最大值f(b)；

如果函數y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調遞減，在區(qū)間[b，c]上單調遞增則函數y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；例題：

1.求下列函數的定義域：⑴yx2x15x332⑵y1(x1x12)2.設函數f(x)的定義域為[0，1]，則函數f(x2)的定義域為__

3.若函數f(x1)的定義域為[2，3]，則函數f(2x1)的定義域是4.函數

x2(x1)2，若f(x)3，則xf(x)x(1x2)2x(x2)2=

5.求下列函數的值域：

⑴yx22x3(xR)⑵yx2x3x[1,2]

(3)yx12x(4)y6.已知函數

f(x1)x4x，求函數

2x4x52f(x)，f(2x1)的解析式

7.已知函數f(x)滿足2f(x)f(x)3x4，則f(x)=。8.設f(x)是R上的奇函數，且當x[0,)時,

f(x)x(13x),則當x(,0)時

f(x)=

f(x)在R上的解析式為9.求下列函數的單調區(qū)間：⑴yx22x3⑵y2x2x3⑶yx6x1

210.判斷函數yx31的單調性并證明你的結論．

211.設函數f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證：f(1)f(x)．

21xx

第二章基本初等函數

一、指數函數

（一）指數與指數冪的運算

n1．根式的概念：一般地，如果xa，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，

*

且n∈N．

n負數沒有偶次方根；0的任何次方根都是0，記作00。

當n是奇數時，anna，當n是偶數時，ann(a0)a|a|

a(a0)2．分數指數冪

正數的分數指數冪的意義，規(guī)定：

manna(a0,m,nN,n1)m*，

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amn1mn1na0的正分數指數冪等于0，0的負分數指數冪沒有意義3．實數指數冪的運算性質

am(a0,m,nN,n1)

*（1）aaa(a0,r,sR)；（2）(a)a

rrsrsrsrrrs

(a0,r,sR)；

（3）(ab)aa(a0,r,sR)．（二）指數函數及其性質

1、指數函數的概念：一般地，函數yax(a0,且a1)叫做指數函數，其中x是自變量，函數的定義域為R．

注意：指數函數的底數的取值范圍，底數不能是負數、零和1．2、指數函數的圖象和性質a>10金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

兩個重要對數：

1常用對數：以10為底的對數lgN；○

2自然對數：以無理數e2.71828為底的對數的對數lnN．○

指數式與對數式的互化

冪值真數

ba＝NlogaN＝b

底數指數對數

（二）對數的運算性質

如果a0，且a1，M0，N0，那么：1loga(MN)logaM＋logaN；○

2log○3log○

MaNMnlogaM－logaaN；

anlogM(nR)．

注意：換底公式

logcblogab（a0，且a1；c0，且c1；b0）．

logca利用換底公式推導下面的結論（1）logambnnmlogab；（2）logab1logba．

（二）對數函數

1、對數函數的概念：函數ylogax(a0，且a1)叫做對數函數，其

中x是自變量，函數的定義域是（0，+∞）．注意：○1對數函數的定義與指數函數類似，都是形式定義，注意辨別。如：

y2log2x，ylogx5都不是對數函數，而只能稱其為對數型函數．

52對數函數對底數的限制：(a0，且a1)．○

2、對數函數的性質：a>10金太陽新課標資源網wx.jtyjy.com

1、冪函數定義：一般地，形如yx(aR)的函數稱為冪函數，其中為常數．

2、冪函數性質歸納．

（1）所有的冪函數在（0，+∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

0時，（2）冪函數的圖象通過原點，并且在區(qū)間[0,)上是增函數．特別地，當1時，冪函數的圖象下凸；當01時，冪函數的圖象上凸；

（3）0時，冪函數的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨于時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．例題：1.已知a>0，a

0，函數y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()

2.計算：①

loglog26413

3;②2784log23=；25113log5272log52=;

27③0.064()[(2)]0343160.750.012=

3.函數y=log1(2x2-3x+1)的遞減區(qū)間為

24.若函數f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍，則a=5.已知f(x)log

第三章函數的應用

一、方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數yf(x)(xD)，把使f(x)0成立的實數x叫做函數yf(x)(xD)的零點。

2、函數零點的意義：函數yf(x)的零點就是方程f(x)0實數根，亦即函數yf(x)的圖象與x軸交點的橫坐標。

即：方程f(x)0有實數根函數yf(x)的圖象與x軸有交點函數yf(x)有零點．

3、函數零點的求法：

1（代數法）求方程f(x)0的實數根；○

2（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以將它與函數yf(x)的○

圖象聯(lián)系起來，并利用函數的性質找出零點．

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1xa1x(a0且a1)，（1）求f(x)的定義域（2）求使f(x)0的x的取值范圍

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4、二次函數的零點：

二次函數yax2bxc(a0)．

（1）△＞０，方程ax2bxc0有兩不等實根，二次函數的圖象與x軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．（2）△＝０，方程ax2bxc0有兩相等實根，二次函數的圖象與x軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程ax2bxc0無實根，二次函數的圖象與x軸無交點，二次函數無零點．5.函數的模型

檢驗符合實際用函數模型解釋實際問題畫散點圖收集數據不符合實際選擇函數模型金太陽新課標資源網

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