高中數(shù)學各種公式總結(jié)

高中數(shù)學公式定理記憶口訣

《集合與函數(shù)》

內(nèi)容子交并補集，還有冪指對函數(shù)。性質(zhì)奇偶與增減，觀察圖象最明顯。復合函數(shù)式出現(xiàn)，性質(zhì)乘法法則辨，若要詳細證明它，還須將那定義抓。指數(shù)與對數(shù)函數(shù)，兩者互為反函數(shù)。底數(shù)非１的正數(shù)，１兩邊增減變故。函數(shù)定義域好求。分母不能等于０，偶次方根須非負，零和負數(shù)無對數(shù)；正切函數(shù)角不直，余切函數(shù)角不平；其余函數(shù)實數(shù)集，多種情況求交集。兩個互為反函數(shù)，單調(diào)性質(zhì)都相同；圖象互為軸對稱，Ｙ＝Ｘ是對稱軸；求解非常有規(guī)律，反解換元定義域；反函數(shù)的定義域，原來函數(shù)的值域。冪函數(shù)性質(zhì)易記，指數(shù)化既約分數(shù)；函數(shù)性質(zhì)看指數(shù)，奇母奇子奇函數(shù)，奇母偶子偶函數(shù)，偶母非奇偶函數(shù)；圖象第一象限內(nèi)，函數(shù)增減看正負。

《三角函數(shù)》

三角函數(shù)是函數(shù)，象限符號坐標注。函數(shù)圖象單位圓，周期奇偶增減現(xiàn)。同角關(guān)系很重要，化簡證明都需要。正六邊形頂點處，從上到下弦切割；中心記上數(shù)字１，連結(jié)頂點三角形；向下三角平方和，倒數(shù)關(guān)系是對角，頂點任意一函數(shù)，等于后面兩根除。誘導公式就是好，負化正后大化小，變成稅角好查表，化簡證明少不了。二的一半整數(shù)倍，奇數(shù)化余偶不變，將其后者視銳角，符號原來函數(shù)判。兩角和的余弦值，化為單角好求值，余弦積減正弦積，換角變形眾公式。和差化積須同名，互余角度變名稱。計算證明角先行，注意結(jié)構(gòu)函數(shù)名，保持基本量不變，繁難向著簡易變。逆反原則作指導，升冪降次和差積。條件等式的證明，方程思想指路明。萬能公式不一般，化為有理式居先。公式順用和逆用，變形運用加巧用；１加余弦想余弦，１減余弦想正弦，冪升一次角減半，升冪降次它為范；三角函數(shù)反函數(shù)，實質(zhì)就是求角度，先求三角函數(shù)值，再判角取值范圍；利用直角三角形，形象直觀好換名，簡單三角的方程，化為最簡求解集；

《不等式》

解不等式的途徑，利用函數(shù)的性質(zhì)。對指無理不等式，化為有理不等式。高次向著低次代，步步轉(zhuǎn)化要等價。數(shù)形之間互轉(zhuǎn)化，幫助解答作用大。證不等式的方法，實數(shù)性質(zhì)威力大。求差與０比大小，作商和１爭高下。直接困難分析好，思路清晰綜合法。非負常用基本式，正面難則反證法。還有重要不等式，以及數(shù)學歸納法。圖形函數(shù)來幫助，畫圖建模構(gòu)造法。

《數(shù)列》

等差等比兩數(shù)列，通項公式Ｎ項和。兩個有限求極限，四則運算順序換。數(shù)列問題多變幻，方程化歸整體算。數(shù)列求和比較難，錯位相消巧轉(zhuǎn)換，取長補短高斯法，裂項求和公式算。歸納思想非常好，編個程序好思考：一算二看三聯(lián)想，猜測證明不可少。還有數(shù)學歸納法，證明步驟程序化：首先驗證再假定，從Ｋ向著K加１，推論過程須詳盡，歸納原理來肯定。

五、《復數(shù)》

虛數(shù)單位ｉ一出，數(shù)集擴大到復數(shù)。一個復數(shù)一對數(shù)，橫縱坐標實虛部。對應(yīng)復平面上點，原點與它連成箭。箭桿與Ｘ軸正向，所成便是輻角度。箭桿的長即是模，常將數(shù)形來結(jié)合。代數(shù)幾何三角式，相互轉(zhuǎn)化試一試。代數(shù)運算的實質(zhì)，有ｉ多項式運算。ｉ的正整數(shù)次慕，四個數(shù)值周期現(xiàn)。一些重要的結(jié)論，熟記巧用得結(jié)果。虛實互化本領(lǐng)大，復數(shù)相等來轉(zhuǎn)化。利用方程思想解，注意整體代換術(shù)。幾何運算圖上看，加法平行四邊形，減法三角法則判；乘法除法的運算，逆向順向做旋轉(zhuǎn)，伸縮全年模長短。三角形式的運算，須將輻角和模辨。利用棣莫弗公式，乘方開方極方便。輻角運算很奇特，和差是由積商得。四條性質(zhì)離不得，相等和模與共軛，兩個不會為實數(shù)，比較大小要不得。復數(shù)實數(shù)很密切，須注意本質(zhì)區(qū)別。

六、《排列、組合、二項式定理》

加法乘法兩原理，貫穿始終的法則。與序無關(guān)是組合，要求有序是排列。兩個公式兩性質(zhì)，兩種思想和方法。歸納出排列組合，應(yīng)用問題須轉(zhuǎn)化。排列組合在一起，先選后排是常理。特殊元素和位置，首先注意多考慮。不重不漏多思考，捆綁插空是技巧。排列組合恒等式，定義證明建模試。關(guān)于二項式定理，中國楊輝三角形。兩條性質(zhì)兩公式，函數(shù)賦值變換式。

七、《立體幾何》

點線面三位一體，柱錐臺球為代表。距離都從點出發(fā)，角度皆為線線成。垂直平行是重點，證明須弄清概念。線線線面和面面、三對之間循環(huán)現(xiàn)。方程思想整體求，化歸意識動割補。計算之前須證明，畫好移出的圖形。立體幾何輔助線，常用垂線和平面。射影概念很重要，對于解題最關(guān)鍵。異面直線二面角，體積射影公式活。公理性質(zhì)三垂線，解決問題一大片。

八、《平面解析幾何》

有向線段直線圓，橢圓雙曲拋物線，參數(shù)方程極坐標，數(shù)形結(jié)合稱典范。笛卡爾的觀點對，點和有序?qū)崝?shù)對，兩者一來對應(yīng)，開創(chuàng)幾何新途徑。兩種思想相輝映，化歸思想打前陣；都說待定系數(shù)法，實為方程組思想。三種類型集大成，畫出曲線求方程，給了方程作曲線，曲線位置關(guān)系判。四件工具是法寶，坐標思想?yún)��?shù)好；平面幾何不能丟，旋轉(zhuǎn)變換復數(shù)求。解析幾何是幾何，得意忘形學不活。圖形直觀數(shù)入微，數(shù)學本是數(shù)形學。

擴展閱讀：高中數(shù)學公式匯總

高中數(shù)學公式結(jié)論大全

1.,.

2..

3.

4.集合

個.

的子集個數(shù)共有個；真子集有個；非空子集有個；非空的真子集有

5.二次函數(shù)的解析式的三種形式(1)一般式

;

(2)頂點式;當已知拋物線的頂點坐標時，設(shè)為此式

(3)零點式；當已知拋物線與軸的交點坐標為時，設(shè)為此式

4切線式：設(shè)為此式6.解連不等式

。當已知拋物線與直線相切且切點的橫坐標為時，

常有以下轉(zhuǎn)化形式

.

7.方程在內(nèi)有且只有一個實根,等價于或。

8.閉區(qū)間上的二次函數(shù)的最值

二次函數(shù)具體如下：

在閉區(qū)間上的最值只能在處及區(qū)間的兩端點處取得，(1)當a>0時，若，則；

，，.

(2)當a(3)在給定區(qū)間

。

的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))的有解充要條件是

(4)在給定區(qū)間

。

的子區(qū)間上含參數(shù)的不等式(為參數(shù))有解的充要條件是

對于參數(shù)及函數(shù)若若函數(shù)11.真值表ｐ真真假假

12.常見結(jié)論的否定形式原結(jié)論是都是大于小于對所有，成立對任何，不成立反設(shè)詞不是不都是不大于不小于ｑ真假真假非ｐ假假真真ｐ或ｑ真真真假有解，則

.若；若

恒成立，則有解，則

；若

；若恒成立，則有解，則

；.

無最大值或最小值的情況，可以仿此推出相應(yīng)結(jié)論

ｐ且ｑ

真假假假

原結(jié)論反設(shè)詞至少有一個一個也沒有至多有一個至少有兩個至少有個至多有個至多有個或且至少有且或個存在某，不成立存在某，成立13.四種命題的相互關(guān)系(右圖):14.充要條件記表示條件，表示結(jié)論

1充分條件：若，則是充分條件.

2必要條件：若，則是必要條件.

3充要條件：若，且，則是充要條件.

注：如果甲是乙的充分條件，則乙是甲的必要條件；反之亦然.15.函數(shù)的單調(diào)性的等價關(guān)系(1)設(shè)

那么

上是增函數(shù)；

上是減函數(shù).

(2)設(shè)函數(shù)函數(shù).16.如果函數(shù)

和

在某個區(qū)間內(nèi)可導，如果，則為增函數(shù)；如果，則為減

和都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)也是減函數(shù);如果函數(shù)

和和和

是減函數(shù).

都是增函數(shù),則在公共定義域內(nèi),和函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復合函數(shù)在其對應(yīng)的定義域上都是增函數(shù),則復合函數(shù)

也是增函數(shù);如果函數(shù)是增函數(shù)；如果函數(shù)是增函數(shù)；如果函數(shù)

在其對應(yīng)的定義域上一個是減函數(shù)而另一個是增函數(shù),則復合函數(shù)

17．奇偶函數(shù)的圖象特征

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，那么這個函數(shù)是奇函數(shù)；如果一個函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，那么這個函數(shù)是偶函數(shù)．18.常見函數(shù)的圖像：

19.對于函數(shù)(),恒成立,則函數(shù)的對稱軸是;兩個函數(shù)

與的圖象關(guān)于直線對稱.

20.若,則函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱;

若,則函數(shù)為周期為的周期函數(shù).

21．多項式函數(shù)的奇偶性

多項式函數(shù)是奇函數(shù)的偶次項(即奇數(shù)項)的系數(shù)全為零.

多項式函數(shù)是偶函數(shù)的奇次項(即偶數(shù)項)的系數(shù)全為零.

22.函數(shù)的圖象的對稱性

(1)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.

(2)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱

.

23.兩個函數(shù)圖象的對稱性(1)函數(shù)

與函數(shù)

的圖象關(guān)于直線

(即軸)對稱.

(2)函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.(3)函數(shù)和的圖象關(guān)于直線y=x對稱.

24.若將函數(shù)的圖象右移、上移個單位，得到函數(shù)的圖象；若將曲線

的圖象.

的圖象右移、上移個單位，得到曲線

25.幾個常見的函數(shù)方程(1)正比例函數(shù)

.

(2)指數(shù)函數(shù).

(3)對數(shù)函數(shù).

(4)冪函數(shù).

(5)余弦函數(shù),正弦函數(shù)，，

.

26.幾個函數(shù)方程的周期(約定a>0)1

，則

的周期T=a；

2，或,則的周期T=2a；

(3)，則的周期T=3a；

(4)

27.分數(shù)指數(shù)冪

且，則的周期T=4a；

(1)，且.(2)

28.根式的性質(zhì)1

.

，且.

2當為奇數(shù)時，；

當為偶數(shù)時，

29．有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)(1)

..

(2).

(3).

p

注：若a＞0，p是一個無理數(shù)，則a表示一個確定的實數(shù)．上述有理指數(shù)冪的運算性質(zhì)，對于無理數(shù)指數(shù)冪都適用.

30.指數(shù)式與對數(shù)式的互化式:

.

31.對數(shù)的換底公式:(,且,,且,).

對數(shù)恒等式：(,且,).

推論(,且,).

32．對數(shù)的四則運算法則:若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，則

(1);(2);(3);(4)。

33.設(shè)函數(shù)

的值域為,則

，且

。

,記.若的定義域為,則且;若

34.對數(shù)換底不等式及其推廣：設(shè)，，，且，則

1.2.

35.平均增長率的問題負增長時

如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為N，平均增長率為，則對于時間的總產(chǎn)值，有.

36.數(shù)列的通項公式與前n項的和的關(guān)系：

).

(數(shù)列的前n項的和為

37.等差數(shù)列的通項公式：；

其前n項和公式為：.

38.等比數(shù)列的通項公式：；

其前n項的和公式為39.等比差數(shù)列

:或

的通項公式為

.

；其前n項和公式為：.

40.分期付款(按揭貸款)：每次還款41．常見三角不等式

元(貸款元,次還清,每期利率為).

1若，則.

(2)若，則.

(3).

42.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：，=，.

43.正弦、余弦的誘導公式奇變偶不變，符號看象限

，

44.和角與差角公式

;;.

(平方正弦公式);

.

=(輔助角所在象限由點的象限決定,).45.二倍角公式及降冪公式

...

46.三角函數(shù)的周期公式

函數(shù)，x∈R及函數(shù)，x∈R(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期；函數(shù)

，

三角函數(shù)的圖像：

(A,ω,為常數(shù)，且A≠0)的周期.

五點法作圖列表：

0π/2π3π/22π47.正弦定理：R為外接圓的半徑.

48.余弦定理

;

53.面積定理

;.

1分別表示a、b、c邊上的高.

2.3.

49.三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，有

.

50.簡單的三角方程的通解

...

特別地,有

.

..

51.最簡單的三角不等式及其解集

......

52.實數(shù)與向量的積的運算律:設(shè)λ、μ為實數(shù)，那么(1)結(jié)合律：λ(μ

)=(λμ);

(2)第一分配律：(λ+μ)=λ+μ;

(3)第二分配律：λ(+)=λ53.向量的數(shù)量積的運算律：(1)=交換律;

+λ.

(2)===;

(3)+=+.54.平面向量基本定理如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)λ1、λ2，使得=λ

1

+λ

2．

不共線的向量、叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．

三點A、B、C共線的充要條件：55．向量平行的坐標表示設(shè)=

,=

，且

，則

(

(M為任意點)

).

56.與的數(shù)量積(或內(nèi)積)：=||||。

57.的幾何意義：

數(shù)量積等于的長度||與在的方向上的投影||的乘積．

向量在向量上的投影：||58.平面向量的坐標運算(1)設(shè)=

,=

＝．

，則+=.

(2)設(shè)=,=，則-=.

(3)設(shè)A，B,則.

(4)設(shè)=，則=.

(5)設(shè)=,=，則=.

59.兩向量的夾角公式

(=,=).60.平面兩點間的距離公式

=(A，B).

61.向量的平行與垂直：設(shè)=,=，且，則

||=λ.

()=0.

62.線段的定比分公式：設(shè)，，是線段的分點,是實數(shù)，且，

則

63.三角形的重心坐標公式△ABC三個頂點的坐標分別為

、、.

,則△ABC的重心的坐標是

.

64.點的平移公式

.

注:圖形F上的任意一點P(x，y)在平移后圖形65.“按向量平移”的幾個結(jié)論1點

按向量=

平移后得到點

上的對應(yīng)點為，且的坐標為.

.

(2)函數(shù)的圖象按向量=平移后得到圖象,則的函數(shù)解析式為.

(3)圖象按向量=.

平移后得到圖象,若的解析式,則的函數(shù)解析式為(4)曲線:按向量=平移后得到圖象,則的方程為.

(5)向量=按向量=平移后得到的向量仍然為=.

66.三角形五“心”向量形式的充要條件設(shè)

為

所在平面上一點，角

所對邊長分別為

，則

1為的外心.

2為的重心.

3為的垂心.

4為的內(nèi)心.

5為的的旁心.

67.常用不等式：1

(當且僅當a＝b時取“=”號)．

2(當且僅當a＝b時取“=”號)．

345.6

68.最值定理:已知

(當且僅當a＝b時取“=”號)。

都是正數(shù)，則有1若積是定值，則當時和有最小值；

2若和是定值，則當時積有最大值.

3已知，若則有

。

4已知，若則有

69.一元二次不等式在兩根之外；如果與

，如果與同號，則其解集

異號，則其解集在兩根之間.簡言之：同號兩根之外，異號兩根之間.

；.

70.含有絕對值的不等式：當a>0時，有

.或

71.無理不等式

.

1.2.

3

72.指數(shù)不等式與對數(shù)不等式(1)當

時,

.;

(2)當

時,

.;

73.斜率公式

、

74.直線的五種方程1點斜式

.

(直線過點，且斜率為)．

2斜截式(b為直線在y軸上的截距).

3兩點式()(、()).

兩點式的推廣：無任何限制條件！

(4)截距式(分別為直線的橫、縱截距，)5一般式(其中A、B不同時為0).

直線的法向量：，方向向量：

75.兩條直線的平行和垂直(1)若

，①;

②.

(2)若,,且A1、A2、B1、B2都不為零,

①；②；

,,，

此時直線

76．四種常用直線系方程及直線系與給定的線段相交：(1)定點直線系方程：經(jīng)過定點的系數(shù);經(jīng)過定點

的直線系方程為

,其中

(除直線

),其中是待定

的直線系方程為是待定的系數(shù)．

(2)共點直線系方程：經(jīng)過兩直線,

(除)，其中λ是待定的系數(shù)．

的交點的直線系方程為

(3)平行直線系方程：直線

平行的直線系方程是

中當斜率k一定而b變動時，表示平行直線系方程．與直線

(

)，λ是參變量．

(4)垂直直線系方程：與直線變量．(5)直線系

與線段

(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程是,λ是參

相交。77.點到直線的距離：(點,直線：).

78.或所表示的平面區(qū)域

設(shè)直線，則或所表示的平面區(qū)域是：

若，當與同號時，表示直線的上方的區(qū)域；當與異號時，表示直線的

下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下.若

，當與

同號時，表示直線的右方的區(qū)域；當

與

異號時，表示直線的

左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左。79.

或

所表示的平面區(qū)域

或所表示的平面區(qū)域是兩直線和所

成的對頂角區(qū)域上下或左右兩部分。80.圓的四種方程1圓的標準方程

.

2圓的一般方程(＞0).

3圓的參數(shù)方程.

4圓的直徑式方程81.圓系方程(1)過點

,

的圓系方程是

(圓的直徑的端點是、).

,其中

系數(shù)．

是直線的方程,λ是待定的(2)過直線:與圓:的交點的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

(3)過圓:與圓:的交點的圓系方程是

,λ是待定的系數(shù)．

特別地，當時，就是

表示：

①當兩圓相交時，為公共弦所在的直線方程；②向兩圓所引切線長相等的點的軌跡直線方程82.點與圓的位置關(guān)系：點

與圓

的位置關(guān)系有三種

若

83.直線與圓的位置關(guān)系

，則點在圓外;點在圓上;點在圓內(nèi).

直線與圓的位置關(guān)系有三種():

;;.

84.兩圓位置關(guān)系的判定方法:設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，

;;;;

.85.圓的切線方程及切線長公式(1)已知圓

．

①若已知切點在圓上，則切線只有一條，其方程是

.

當圓外時,表示過兩個切點的切點弦方程．求切點弦方

程，還可以通過連心線為直徑的圓與原圓的公共弦確定。②過圓外一點的切線方程可設(shè)為漏掉平行于y軸的切線．③斜率為k的切線方程可設(shè)為

，再利用相切條件求b，必有兩條切線．

，再利用相切條件求k，這時必有兩條切線，注意不要

(2)已知圓．

①過圓上的點的切線方程為;

②斜率為的圓的切線方程為.

(3)過圓外一點的切線長為

86.橢圓的離心率，

過焦點且垂直于長軸的弦長為：.

87.橢圓

，；。88．橢圓的的內(nèi)外部

1點在橢圓的內(nèi)部.

2點在橢圓的外部.

89.橢圓的切線方程

(1)橢圓上一點處的切線方程是.

2過橢圓外一點所引兩條切線的切點弦方程是.

3橢圓與直線相切的條件是.

90.雙曲線的離心率，過焦點且垂直于實軸的弦長為：，

，。

91.雙曲線的內(nèi)外部

(1)點在雙曲線的內(nèi)部.

(2)點在雙曲線的外部.

92.雙曲線的方程與漸近線方程的關(guān)系

(1若雙曲線方程為漸近線方程：.

(2)若漸近線方程為雙曲線可設(shè)為.

.(3)若雙曲線與有公共漸近線，可設(shè)為

，焦點在x軸上，，焦點在y軸上.

(4)焦點到漸近線的距離總是。93.雙曲線的切線方程

(1)雙曲線上一點處的切線方程是.

2過雙曲線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.

3雙曲線與直線相切的條件是.

94.拋物線的焦半徑公式

拋物線，.

(其中θ為x軸的正向繞焦點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到FC的角)

過焦點弦長.

(其中α為傾斜角)

95.拋物線上的動點可設(shè)為P或P，其中.

95.二次函數(shù)的圖象是拋物線：1頂點坐標為；2焦點的坐標為；

3準線方程是.

97.以拋物線上的點為圓心，焦半徑為半徑的圓必與準線相切；以拋物線焦點弦為直徑的圓，必與準線相切；以拋物線的半徑為直徑徑的圓必與過頂點垂直于軸的直線相切。98.拋物線的切線方程(1)拋物線

上一點

處的切線方程是

.

2過拋物線外一點所引兩條切線的切點弦方程是.

3拋物線

99.兩個常見的曲線系方程(1)過曲線

,

與直線相切的條件是.

的交點的曲線系方程是(為參數(shù)).

(2)共焦點的有心圓錐曲線系方程,其中.

當時,表示橢圓;當時,表示雙曲線.

100.直線與圓錐曲線相交的弦長公式或

弦端點A

角，為直線的斜率，

，由方程消去y得到.

，,為直線的傾斜

101.圓錐曲線的兩類對稱問題1曲線

關(guān)于點

成中心對稱的曲線是

.2曲線關(guān)于直線成軸對稱的曲線是

.

特別地，曲線關(guān)于原點成中心對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

曲線關(guān)于直線軸對稱的曲線是.

102.動點M到定點F的距離與到定直線的距離之比為常數(shù)，若的軌跡為拋物線；若

，M的軌跡為雙曲線。

，M的軌跡為橢圓；若，M

103．證明直線與直線的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定共面二直線無交點；2轉(zhuǎn)化為二直線同與第三條直線平行；3轉(zhuǎn)化為線面平行；4轉(zhuǎn)化為線面垂直；5轉(zhuǎn)化為面面平行.

104．證明直線與平面的平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為直線與平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線線平行；3轉(zhuǎn)化為面面平行.

105．證明平面與平面平行的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判定二平面無公共點；2轉(zhuǎn)化為線面平行；3轉(zhuǎn)化為線面垂直.

106．證明直線與直線的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為相交垂直；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

3轉(zhuǎn)化為線與另一線的射影垂直；4轉(zhuǎn)化為線與形成射影的斜線垂直.107．證明直線與平面垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)任一直線垂直；2轉(zhuǎn)化為該直線與平面內(nèi)相交二直線垂直；3轉(zhuǎn)化為該直線與平面的一條垂線平行；4轉(zhuǎn)化為該直線垂直于另一個平行平面。108．證明平面與平面的垂直的思考途徑1轉(zhuǎn)化為判斷二面角是直二面角；2轉(zhuǎn)化為線面垂直；

(3)轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量平行。

109.空間向量的加法與數(shù)乘向量運算的運算律(1)加法交換律：＋=＋．

(2)加法結(jié)合律：(＋)＋=＋(＋)．

(3)數(shù)乘分配律：λ(＋)=λ＋λ．

110.平面向量加法的平行四邊形法則向空間的推廣

始點相同且不在同一個平面內(nèi)的三個向量之和，等于以這三個向量為棱的平行六面體的以公共始點為始點的對角線所表示的向量.111.共線向量定理

對空間任意兩個向量、(≠)，∥

存在實數(shù)λ使=λ

．三點共線.

、

112.共面向量定理向量

共線且不共線且不共線.

與兩個不共線的向量、共面的存在實數(shù)對,使．

推論空間一點P位于平面MAB內(nèi)的存在有序?qū)崝?shù)對,使，

或?qū)�空間任一定點O，有序?qū)崝?shù)對，使.

113.對空間任一點對于空間任一點若

和不共線的三點A、B、C，滿足，總有P、A、B、C四點共面；當

時，若

，則當時，

平面ABC，則P、A、B、C四點共面；

平面ABC，則P、A、B、C四點不共面．

四點共面與、共面

平面ABC.

114.空間向量基本定理

如果三個向量、、不共面，那么對空間任一向量，存在一個唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使＝x＋y＋z．

推論設(shè)O、A、B、C是不共面的四點，則對空間任一點P，都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)x，y，z，使

.

115.射影公式已知向量則

=和軸，是上與同方向的單位向量.作A點在上的射影

，作B點在上的射影

，

116.向量的直角坐標運算設(shè)＝，＝則

(1)＋＝；

(2)－＝；

(3)λ＝(λ∈R)；

(4)＝；

117.設(shè)A，B，則

=

118．空間的線線平行或垂直設(shè)

，

，則

.；.

119.夾角公式

設(shè)＝，＝，則.

推論，此即三維柯西不等式.

120.正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則。

特別地，對于正四面體每兩個面所成的角為，有。121．異面直線所成角

=

其中122.直線

為異面直線與平面所成角

所成角，分別表示異面直線的方向向量

(為平面的法向量).

123.二面角的平面角根據(jù)具體圖形確定是銳角或是鈍角

或

124折疊角定理

，為平面，的法向量.

設(shè)AC是α內(nèi)的任一條直線，AD是α的一條斜線AB在α內(nèi)的射影，且BD⊥AD，垂足為D，設(shè)AB與α(AD)所成的角為

，AD與AC所成的角為

125.空間兩點間的距離公式

，AB與AC所成的角為．則

.

若A126.點

，B到直線距離

，則=.

(點

127.異面直線間的距離

在直線上，為直線的方向向量，=).(

128.點

是兩異面直線，其公垂向量為，分別是上任一點，為間的距離).

到平面的距離

為平面的法向量，

129.異面直線上兩點距離公式

.

，是的一條斜線段.

..

(兩條異面直線a、b所成的角為θ，其公垂線段

,,).

的長度為h.在直線a、b上分別取兩點E、F，

130.三個向量和的平方公式

131．作截面的依據(jù)

三個平面兩兩相交，有三條交線，則這三條交線交于一點或互相平行.132．棱錐的平行截面的性質(zhì)

如果棱錐被平行于底面的平面所截，那么所得的截面與底面相似，截面面積與底面面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊對應(yīng)成比例的多邊形是相似多邊形，相似多邊形面積的比等于對應(yīng)邊的比的平方；相應(yīng)小棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的立方比；相應(yīng)小棱錐的的側(cè)面積與原棱錐的的側(cè)面積的比等于頂點到截面距離與棱錐高的平方比．

133.球的半徑是R，則其體積,其表面積．134.球的組合體

(1)球與長方體的組合體:長方體的外接球的直徑是長方體的體對角線長.

(2)球與正方體的組合體:正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.

(3)球與正四面體的組合體:棱長為的正四面體的內(nèi)切球的半徑為(正四面體高的),

外接球的半徑為(正四面體高的).

135．柱體、錐體的體積

是柱體的底面積、是柱體的高.

是錐體的底面積、是錐體的高.

136.分類計數(shù)原理加法原理：.

137.分步計數(shù)原理乘法原理：.

138.排列數(shù)公式：==.(，∈N*，且)．規(guī)定.

139.排列恒等式:(1;2;

3;4;5.

(6).

140.組合數(shù)公式：===(∈N*，，且).

141.組合數(shù)的兩個性質(zhì):(1)=;(2)+=.規(guī)定.142.組合恒等式

1;2;

3;4=;

5.

(6).

(7).

(8).

(9).

(10).

143.排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系:.

個元素的排列

144．單條件排列以下各條的大前提是從個元素中取1“在位”與“不在位”①某特元必在某位有

種；②某特元不在某位有

補集思想著眼位置

著眼元素種.

2緊貼與插空即相鄰與不相鄰①定位緊貼：

個元在固定位的排列有

種.

②浮動緊貼：個元素的全排列把k個元排在一起的排法有注：此類問題常用捆綁法；

種.③插空：兩組元素分別有k、h個排列數(shù)有

種.

，把它們合在一起來作全排列，k個的一組互不能挨近的所有

3兩組元素各相同的插空

個大球個小球排成一列，小球必分開，問有多少種排法？

當時，無解；當時，有種排法.

4兩組相同元素的排列：兩組元素有m個和n個，各組元素分別相同的排列數(shù)為145．分配問題

1(平均分組有歸屬問題)將相異的

個物件等分給

.

個人，各得件，其分配方法數(shù)共有

.

2(平均分組無歸屬問題)將相異的

個物體等分為無記號或無順序的

堆，其分配方法數(shù)共有

.

3(非平均分組有歸屬問題)將相異的，

，，

件，且

，

，，

這

個物體分給個人，物件必須被分完，分別得到

個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)共有

.

4(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的得到

，

，，

件，且

，

，，

這

個物體分給個人，物件必須被分完，分別

個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)

有.

5(非平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，，件無記號的堆，

且，，，這個數(shù)彼此不相等，則其分配方法數(shù)有.6(非完全平均分組無歸屬問題)將相異的個物體分為任意的，，，件無記號

的堆，且，，，這個數(shù)中分別有a、b、c、個相等，則其分配方法數(shù)有.

7(限定分組有歸屬問題)將相異的被分完，如果指定甲得

件，乙得

件，丙得

個物體分給甲、乙、丙，等件，時，則無論

，

，，

等

個人，物體必須個數(shù)是否全相

異或不全相異其分配方法數(shù)恒有

.

146．“錯位問題”

2封信與2個信封全部錯位排列數(shù)：1；3封信與3個信封全部錯位排列數(shù)：2；4封信與4個信封全部錯位排列數(shù)：9；5封信與5個信封全部錯位排列數(shù)：44；一般記著上面的就夠了推廣

貝努利裝錯箋問題:信封信與個信封全部錯位的組合數(shù)為

.

推廣:個元素與個位置,其中至少有

個元素錯位的不同組合總數(shù)為

.

147．不定方程的解的個數(shù)

(1)方程的正整數(shù)解有個.(2)方程的非負整數(shù)解有個.

(3)方程滿足條件(,)的非負整數(shù)解有個.

148.二項式定理;

二項展開式的通項公式.

的展開式的系數(shù)關(guān)系：

；；。

149.等可能性事件的概率：.

150.互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的和：P(A＋B)=P(A)＋P(B)．151.個互斥事件分別發(fā)生的概率的和：P(A1＋A2＋＋An)=P(A1)＋P(A2)＋＋P(An)．

152.獨立事件A，B同時發(fā)生的概率：P(AB)=P(A)P(B).153.n個獨立事件同時發(fā)生的概率：

P(A1A2An)=P(A1)P(A2)P(An)154.n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概率：155.離散型隨機變量的分布列的兩個性質(zhì)1

;2.

156.數(shù)學期望：157.數(shù)學期望的性質(zhì)1

.

2若～,則.(3)若服從幾何分布,且，則.

158.方差：

159.標準差：160.方差的性質(zhì)(1)

=.；

(2若～，則.

(3)若服從幾何分布,且，則.

161.方差與期望的關(guān)系：.

162.正態(tài)分布密度函數(shù)：式中的實數(shù)μ，

，

>0是參數(shù)，分別表示個體的平均數(shù)與標準差.

163.標準正態(tài)分布密度函數(shù)：.

164.對于，取值小于x的概率：.

.

165.回歸直線方程，其中.

166.相關(guān)系數(shù)：.

|r|≤1，且|r|越接近于1，相關(guān)程度越大；|r|越接近于0，相關(guān)程度越小.167.特殊數(shù)列的極限

1.2.

3無窮等比數(shù)列()的和.

168.函數(shù)的極限定理：.

169.函數(shù)的夾逼性定理如果函數(shù)f(x)，g(x)，h(x)在點x0的附近滿足：

1;2常數(shù),

則.本定理對于單側(cè)極限和的情況仍然成立.

170.幾個常用極限

1，；2，.

171.兩個重要的極限1；2(e=2.718281845).

172.函數(shù)極限的四則運算法則

若，，則

(1)；(2);(3).

173.數(shù)列極限的四則運算法則

若，則

(1)；(2)；(3)

(4)(c是常數(shù)).

174.在處的導數(shù)或變化率或微商

.

175.瞬時速度：.

176.瞬時加速度：.

177.在的導數(shù)：.

178.函數(shù)在點處的導數(shù)的幾何意義

函數(shù)在點處的導數(shù)是曲線.

在處的切線的斜率，相應(yīng)的切線方程是179.幾種常見函數(shù)的導數(shù)(1)

C為常數(shù).(2)

.(3)

.

(4).(5)；.

(6);.

180.導數(shù)的運算法則

1.2.3.

181.復合函數(shù)的求導法則

設(shè)函數(shù)合函數(shù)

在點處有導數(shù)在點處有導數(shù)，且

，函數(shù)在點處的對應(yīng)點U處有導數(shù)

，或?qū)懽?/p>.

，則復

182.常用的近似計算公式當充分小時

(1);；(2)；；

(3)；(4)；(5)為弧度；

(6)為弧度；(7)為弧度

183.判別是極大小值的方法

當函數(shù)在點處連續(xù)時，

1如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極大值；

2如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，則是極小值.

184.復數(shù)的相等：.185.復數(shù)的�；蚪^對值==.

186.復數(shù)的四則運算法則(1)

;

(2);

(3);

(4)

187.復數(shù)的乘法的運算律對于任何

，有

.

交換律:.

結(jié)合律:.

分配律:.

188.復平面上的兩點間的距離公式

，

189.向量的垂直非零復數(shù)

，

對應(yīng)的向量分別是

，.

，則

的實部為零為純虛數(shù)

(λ為非零實數(shù)).

190.實系數(shù)一元二次方程的解實系數(shù)一元二次方程，

①若,則;

②若,則;

③若，它在實數(shù)集內(nèi)沒有實數(shù)根；在復數(shù)集內(nèi)有且僅有兩個共軛復數(shù)根

.

191.三角形的內(nèi)角平分線性質(zhì)：在中，的平分線交邊BC于D，則

。

三角形的外角平分線也有同樣的性質(zhì)

192.數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關(guān)的命題的正確性的證明方法．用數(shù)學歸納法證明一個與正整數(shù)有關(guān)的命題的步驟：(1)證明：當n取第一個值n0結(jié)論正確；

(2)假設(shè)當n=k(k∈N*，且k≥n0)時結(jié)論正確，證明當n=k+1時結(jié)論也正確.由(1)，(2)可知，命題對于從n0開始的所有正整數(shù)n都正確

193.有理不等式解集的端點，恰好就是其對應(yīng)的“零點”就是對應(yīng)方程的解和使分母為零的值.

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