初三數(shù)學(xué)圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典例題詳解
圓的基本性質(zhì)
1.半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角.2.任意一個(gè)三角形一定有一個(gè)外接圓.
3.在同一平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡,是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓.4.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等.5.同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半.6.同圓或等圓的半徑相等.7.過(guò)三個(gè)點(diǎn)一定可以作一個(gè)圓.8.長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧.
9.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弧相等.10.經(jīng)過(guò)圓心平分弦的直徑垂直于弦。
直線與圓的位置關(guān)系
1.直線與圓有唯一公共點(diǎn)時(shí),叫做直線與圓相切.2.三角形的外接圓的圓心叫做三角形的外心.3.弦切角等于所夾的弧所對(duì)的圓心角.
4.三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心.5.垂直于半徑的直線必為圓的切線.
6.過(guò)半徑的外端點(diǎn)并且垂直于半徑的直線是圓的切線.7.垂直于半徑的直線是圓的切線.8.圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑.
圓與圓的位置關(guān)系
1.兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做這兩個(gè)圓外切.2.相交兩圓的連心線垂直平分公共弦.
3.兩個(gè)圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí),叫做這兩個(gè)圓相交.4.兩個(gè)圓內(nèi)切時(shí),這兩個(gè)圓的公切線只有一條.5.相切兩圓的連心線必過(guò)切點(diǎn).
正多邊形基本性質(zhì)
1.正六邊形的中心角為60°.2.矩形是正多邊形.
3.正多邊形都是軸對(duì)稱圖形.4.正多邊形都是中心對(duì)稱圖形.圓的基本性質(zhì)
1.如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,已知∠C=80°,則∠A的度數(shù)是.A.50°B.80°C.90°D.100°2.已知:如圖,⊙O中,圓周角∠BAD=50°,則圓周角∠BCD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.50°3.已知:如圖,⊙O中,圓心角∠BOD=100°,則圓周角∠BCD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.50°
4.已知:如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,則下列結(jié)論中正確的是.A.∠A+∠C=180°B.∠A+∠C=90°C.∠A+∠B=180°D.∠A+∠B=90
5.半徑為5cm的圓中,有一條長(zhǎng)為6cm的弦,則圓心到此弦的距離為.
AOABCDOBCDABCOA.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
6.已知:如圖,圓周角∠BAD=50°,則圓心角∠BOD的度數(shù)是.A.100°B.130°C.80°D.507.已知:如圖,⊙O中,弧AB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)是.A.100°B.130°C.200°D.50O8.已知:如圖,⊙O中,圓周角∠BCD=130°,則圓心角∠BOD的度數(shù)是.AA.100°B.130°C.80°D.50°
9.在⊙O中,弦AB的長(zhǎng)為8cm,圓心O到AB的距離為3cm,則⊙O的半徑為cm.
A.3B.4C.5D.1010.已知:如圖,⊙O中,弧AB的度數(shù)為100°,則圓周角∠ACB的度數(shù)是.A.100°B.130°C.200°D.50°
12.在半徑為5cm的圓中,有一條弦長(zhǎng)為6cm,則圓心到此弦的距離為.A.3cmB.4cmC.5cmD.6cm
DACBODCBCOAB點(diǎn)、直線和圓的位置關(guān)系
1.已知⊙O的半徑為10,如果一條直線和圓心O的距離為10,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系為.
A.相離B.相切C.相交D.相交或相離
2.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為7cm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.
A.相切B.相離C.相交D.相離或相交
3.已知圓O的半徑為6.5cm,PO=6cm,那么點(diǎn)P和這個(gè)圓的位置關(guān)系是A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不能確定
4.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4.5cm,那么這條直線和這個(gè)圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是.
A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.不能確定
5.一個(gè)圓的周長(zhǎng)為acm,面積為acm2,如果一條直線到圓心的距離為πcm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.
A.相切B.相離C.相交D.不能確定
6.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為6cm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.
A.相切B.相離C.相交D.不能確定
7.已知圓的半徑為6.5cm,直線l和圓心的距離為4cm,那么這條直線和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.
A.相切B.相離C.相交D.相離或相交8.已知⊙O的半徑為7cm,PO=14cm,則PO的中點(diǎn)和這個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.點(diǎn)在圓上B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外D.不能確定
圓與圓的位置關(guān)系
1.⊙O1和⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=10cm,則這兩圓的位置關(guān)系是.A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切
2.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.內(nèi)切B.外切C.相交D.外離
3.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和5cm,若O1O2=1cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含
4.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2==7cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切
5.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,兩圓的一條外公切線長(zhǎng)43,則兩圓的位置關(guān)系是.
A.外切B.內(nèi)切C.內(nèi)含D.相交
6.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為2cm和6cm,若O1O2=6cm,則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系是.A.外切B.相交C.內(nèi)切D.內(nèi)含
公切線問(wèn)題
1.如果兩圓外離,則公切線的條數(shù)為.
A.1條B.2條C.3條D.4條2.如果兩圓外切,它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條
3.如果兩圓相交,那么它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條4.如果兩圓內(nèi)切,它們的公切線的條數(shù)為.A.1條B.2條C.3條D.4條
5.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=9cm,則這兩個(gè)圓的公切線有條.A.1條B.2條C.3條D.4條
6.已知⊙O1、⊙O2的半徑分別為3cm和4cm,若O1O2=7cm,則這兩個(gè)圓的公切線有條.A.1條B.2條C.3條D.4條
正多邊形和圓
1.如果⊙O的周長(zhǎng)為10πcm,那么它的半徑為.A.5cmB.10cmC.10cmD.5πcm2.正三角形外接圓的半徑為2,那么它內(nèi)切圓的半徑為.A.2B.
3C.1D.3.已知,正方形的邊長(zhǎng)為2,那么這個(gè)正方形內(nèi)切圓的半徑為.A.2B.1C.2D.34.扇形的面積為
2,半徑為2,那么這個(gè)扇形的圓心角為=.3A.30°B.60°C.90°D.120°
5.已知,正六邊形的半徑為R,那么這個(gè)正六邊形的邊長(zhǎng)為.A.
1RB.RC.2RD.3R2C26.圓的周長(zhǎng)為C,那么這個(gè)圓的面積S=.
C2C2A.CB.C.D.
2427.正三角形內(nèi)切圓與外接圓的半徑之比為.A.1:2B.1:3C.3:2D.1:28.圓的周長(zhǎng)為C,那么這個(gè)圓的半徑R=.A.2CB.CC.
CCD.29.已知,正方形的邊長(zhǎng)為2,那么這個(gè)正方形外接圓的半徑為.A.2B.4C.22D.23
10.已知,正三角形的半徑為3,那么這個(gè)正三角形的邊長(zhǎng)為.A.3B.
3C.32D.
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初三數(shù)學(xué)上冊(cè)期末復(fù)習(xí)資料加經(jīng)典例題
第一章、圖形與證明(二)
(一)、知識(shí)框架
1.等腰三角形
等腰三角形的性質(zhì)和判定等邊三角形的性質(zhì)和判定線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定角的平分線的性質(zhì)和判定
注意:若等邊三角形的邊長(zhǎng)為a,則:其高為:,面積為:。
2.直角三角形全等的判定:HL平行四邊形的性質(zhì)和判定:4個(gè)判定定理3.平行四邊形
矩形的性質(zhì)和判定
菱形的性質(zhì)和判定:3個(gè)判定定理正方形的性質(zhì)和判定:2個(gè)判定定理
注注意:(1)中點(diǎn)四邊形
①順次連接任意四邊形各邊中點(diǎn),所得的新四邊形是;②順次連接對(duì)角線相等的四邊形各邊中點(diǎn),所得的新四邊形是;③順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn),所得的新四邊形是;
④順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形各邊中點(diǎn),所得的新四邊形是。
1(2)菱形的面積公式:Sab(a,b是兩條對(duì)角線的長(zhǎng))
24.等腰梯形的性質(zhì)和判定
注意:(1)解決梯形問(wèn)題的基本思路:通過(guò)分割和拼接轉(zhuǎn)化成三角形和平行四邊形進(jìn)行解決。
即需要掌握常作的輔助線。
(2)梯形的面積公式:S5.中位線三角形的中位線梯形的中位線
1abhlh(l-中位線長(zhǎng))2
(二)知識(shí)詳解
2.1、等腰三角形的判定、性質(zhì)及推論性質(zhì):等腰三角形的兩個(gè)底角相等(等邊對(duì)等角)判定:有兩個(gè)角相等的三角形是等腰三角形(等角對(duì)等邊)
推論:等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合(即“三線合一”)
2.2、等邊三角形的性質(zhì)及判定定理
性質(zhì)定理:等邊三角形的三個(gè)角都相等,并且每個(gè)角都等于60度;等邊三角形的三條邊都滿足“三
線合一”的性質(zhì);等邊三角形是軸對(duì)稱圖形,有3條對(duì)稱軸。
判定定理:有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形;蛘呷齻(gè)角都相等的三角形是等邊三角形。
2.3、線段的垂直平分線
(1)線段垂直平分線的性質(zhì)及判定
性質(zhì):線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。判定:到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上。(2)三角形三邊的垂直平分線的性質(zhì)
三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。(3)如何用尺規(guī)作圖法作線段的垂直平分線
分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)A、B為圓心,以大于AB的一半長(zhǎng)為半徑作弧,兩弧交于點(diǎn)M、N;作直線MN,則直線MN就是線段AB的垂直平分線。2.4、角平分線
(1)角平分線的性質(zhì)及判定定理
性質(zhì):角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等;
判定:在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊的距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上。(2)三角形三條角平分線的性質(zhì)定理
性質(zhì):三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等。(3)如何用尺規(guī)作圖法作出角平分線2.5、直角三角形(1)勾股定理及其逆定理
定理:直角三角形的兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。
逆定理:如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方,那么這個(gè)三角形是直角三角形。(2)直角三角形全等的判定定理
定理:斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等(HL)2.6、幾種特殊四邊形的性質(zhì)
矩形菱形正方形等腰梯形邊對(duì)邊平行且相等角對(duì)角相等對(duì)角線對(duì)角線互相平分對(duì)角線互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角平行四邊形對(duì)邊平行且相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相平分且相等對(duì)邊平行,四條邊對(duì)角相等都相等對(duì)邊平行,四條邊四個(gè)角都是直角對(duì)角線互相垂直平分且相等,每一都相等條對(duì)角線平分一組對(duì)角兩條底邊平行,兩同一底上的兩個(gè)對(duì)角線相等腰相等角相等2.7.幾種特殊四邊形的判定方法
平行四邊形(1)兩組對(duì)邊分別平行(2)兩組對(duì)邊分別相等(3)一組對(duì)邊平行且相等(4)兩條對(duì)角線互相平分(5)兩組對(duì)角分別相等矩形菱形正方形等腰梯形(1)有三個(gè)角是直角(2)是平行四邊形,并且有一個(gè)角是直角(3)是平行四邊形,并且兩條對(duì)角線相等(1)四條邊都相等(2)是平行四邊形,并且有一組鄰邊相等(3)是平行四邊形,并且兩條對(duì)角線互相垂直(1)是矩形,并且有一組鄰邊相等(2)是菱形,并且有一個(gè)角是直角(1)是梯形,并且兩條腰相等(2)是梯形,并且同一底上的兩個(gè)角相等(3)是梯形,并且對(duì)角線相等A2.8、三角形的中位線:
⑴連結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線.區(qū)別三角形的中位線與三角形的中線。⑵三角形中位線的性質(zhì)
三角形的中位線平行于第三邊并且等于它的一半.
BDECF2.9、梯形的中位線:
⑴連結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線段叫做梯形的中位線。
注意:中位線是兩腰中點(diǎn)的連線,而不是兩底中點(diǎn)的連線。⑵梯形中位線的性質(zhì)
梯形的中位線平行于兩底,并且等于兩底和的一半。
(三)典型例題
例題1、下列命題正確的個(gè)數(shù)是
①如果一個(gè)三角形有兩個(gè)內(nèi)角相等,則此三角形是軸對(duì)稱圖形;②等腰鈍角三角形是軸對(duì)稱圖形;③有一個(gè)角是30°角的直角三角形時(shí)軸對(duì)稱圖形;④有一個(gè)內(nèi)角是30°,一個(gè)內(nèi)角為120°的三角形是軸對(duì)稱圖形
A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)D、4個(gè)答案:C
解析:①兩個(gè)內(nèi)角相等,根據(jù)“等角對(duì)等邊”知此三角形是等腰三角形,④根據(jù)三角形的內(nèi)角和為180°,判斷出此三角形是等腰三角形,所以①②④都是等腰三角形,是軸對(duì)稱圖形,故①②④正確,故選C。
例題2、下列性質(zhì)中,等腰三角形具有而直角三角形不一定具有的是
A、兩邊之和大于第三邊B、有一個(gè)角平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊C、有兩個(gè)銳角的和等于90°D、內(nèi)角和等于180°答案:B
解析:A、D是任何三角形都必須滿足的,C項(xiàng)直角三角形的兩個(gè)銳角的和等于90°,等腰三角形不一定具有,B項(xiàng)等腰三角形的頂角平分線垂直于底邊,直角三角形不具有這個(gè)性質(zhì),故選B。
例題3、等腰三角形的腰長(zhǎng)為5,底邊長(zhǎng)為8,則等腰三角形的面積為。答案:12
解析:根據(jù)等腰三角形的性質(zhì),底邊上的高垂直平分底邊,所以由勾股定理得到底邊的高為54=9=3,所以等腰三角形的面積為
22183=12,故填12。2例題4、在□ABCD中,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn),連接BE,交AC于點(diǎn)F,則AF:CF=()
A.1:2
B.1:3
C.2:3
D.2:5
【答案】A
例題5、在□ABCD中,∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E,交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖1中證明CE=CF;
(2)若,G是EF的中點(diǎn)(如圖2),直接寫(xiě)出∠BDG的度數(shù);
(3)若∠ABC=120°,F(xiàn)G∥CE,F(xiàn)G=CE.,分別連結(jié)DB、DG(如圖3),求∠BDG的度數(shù).
ABDE圖1ADADCBECFG圖2BFE132圖3CF【答案】
G(1)證明:如圖1.
∵AF平分∠BAD,∴∠BAF=∠DAF
∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,AB∥CD.∴∠DAF=∠CEF,∠BAF=∠F.∴∠CEF=∠F.∴CE=CF(2)∠BDG=45°
(3)解:分別連結(jié)GB、GE、GC(如圖3)∵AB∥DC,∠ABC=120°∴∠ECF=∠ABC=120°∵FG∥CE且FG=CE.
∴四邊形CEGF是平行四邊形.由(1)得CE=CF,
平行四邊形CEGF是菱形.
1∴EG=EC,∠GCF=∠GCE=∠ECF=60°
2∴△ECG是等邊三角形∴EG=CG,①∠GEC=∠EGC=60°
∴∠GEC=∠GCF.∴∠BEG=∠DCG.②由AD∥BC及AF平分∠BAD可得∠BAE=∠AEB.∴AB=BE.
在平行四邊形ABCD中,AB=DC.∴BE=DC.③由①②③得△BEG≌△DCG.
∴BG=DG.∠1=∠2.∴∠BGD=∠1+∠3=∠2+∠3=∠EGC=60°180°-∠BGD∴∠BDG==60°.
2例題6、如圖,D是△ABC內(nèi)一點(diǎn),BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分別是AB、AC、CD、BD的中點(diǎn),則四邊形EFGH的周長(zhǎng)是()
A.7B.9C.10D.11
【答案】D
例題7、已知:如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC,E、F、M、N分別是AD、BC、BD、AC的中點(diǎn)。試說(shuō)明:EF與MN互相垂直平分。
(學(xué)生自己思考)
第四章、一元二次方程
(一)知識(shí)框架
一元二次方程一元二次方程的概念ax2bxc0(a0)直接配方法因式分解法配方法公式法一元二次方程的解法bb24acx2a等量關(guān)系
(二)、知識(shí)詳解1、一元二次方程定義
含有一個(gè)未知數(shù),并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫做一元二次方程。(二)、一元二次方程的一般形式
ax2bxc0(a0),它的特征是:等式左邊是一個(gè)關(guān)于未知數(shù)x的二次多項(xiàng)式,等式右邊是零,其中ax2叫做二次項(xiàng),a叫做二次項(xiàng)系數(shù);bx叫做一次項(xiàng),b叫做一次項(xiàng)系數(shù);c叫做常數(shù)項(xiàng)。2、一元二次方程的解法1、直接開(kāi)平方法
直接開(kāi)平方法適用于解形如(xa)2b的一元二次方程。當(dāng)b0時(shí),xab,
xab;當(dāng)b(1)方程ax2bxc0(a0)兩邊同時(shí)除以a,將二次項(xiàng)系數(shù)化為1.(2)將所得方程的常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊。
(3)所得方程的兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方(4)配方,化成(xa)2b
(5)開(kāi)方。當(dāng)b0時(shí),xab;當(dāng)bbb24ac11415x2a212x11515x222(3)原方程變?yōu)椋簒2-3x=0,解得:x1=0,x2=3
例題3、已知關(guān)于x的一元二次方程x2-mx-2=0.……①(1)若x=-1是方程①的一個(gè)根,求m的值和方程①的另一根;(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)m,判斷方程①的根的情況,并說(shuō)明理由.
解:(1)x=-1是方程①的一個(gè)根,所以1+m-2=0,
解得m=1.
方程為x2-x-2=0,解得,x1=-1,x2=2.
所以方程的另一根為x=2.(2)b24ac=m2+8,
因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)m,m2≥0,所以m2+8>0,
所以對(duì)于任意的實(shí)數(shù)m,方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.
例題4、某商品經(jīng)過(guò)兩次連續(xù)降價(jià),每件售價(jià)由原來(lái)的55元降到了35元.設(shè)平均每次降價(jià)的百分
率為x,則下列方程中正確的是()
A.55(1+x)2=35B.35(1+x)2=55C.55(1-x)2=35D.35(1-x)2=55
解:C
例5:(201*南京)西瓜經(jīng)營(yíng)戶以2元/千克的價(jià)格購(gòu)進(jìn)一批小型西瓜,以3元/千克的價(jià)格出售,每天可售出200千克.為了促銷,該經(jīng)營(yíng)戶決定降價(jià)銷售.經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn),這種小型西瓜每降價(jià)O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.該經(jīng)營(yíng)戶要想每天盈利2O0元,應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低多少元?
解:設(shè)應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低x元根據(jù)題意,得:(32x)(200x40)24201*.1解得:x1=0.2,x2=0.3答:應(yīng)將每千克小型西瓜的售價(jià)降低0.2或0.3元。
第五章、中心對(duì)稱圖形二(圓的有關(guān)知識(shí))
(一)、知識(shí)框架
與圓有
關(guān)的位
置關(guān)系
圓正多邊
形與圓
圓的定義,弧、弦等概念垂徑定理及其推論圓的對(duì)稱性基本性質(zhì)弧、弦、弦心距、圓心角關(guān)系定理及其推論圓周角定理及其推論不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)圓確定圓的條件三角形的外接圓點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)和圓的位置關(guān)系點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)在圓內(nèi)dr相交dr圓內(nèi)接正多邊形正多邊形和圓直線與圓的位置關(guān)系相切dr判定切線長(zhǎng)定理正多邊形的有關(guān)計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形作法----等份圓圓與圓的位置關(guān)系相離性質(zhì)正多邊形的半徑、邊心距、相離dr正多邊形的內(nèi)角、中心角、外角、正多邊形的周長(zhǎng)、三角形的內(nèi)切圓ldRr正三、六、十二邊形外離dRr正四、八邊形內(nèi)含外切dRr內(nèi)切dRrnR180S扇形nR21lR3602相切其中l(wèi)為弧長(zhǎng),R為半徑相切的兩圓的連心線過(guò)切點(diǎn)相交相交RrdRr相交的兩圓的連心線垂直平分相交弦10圓錐側(cè)面積全面積S側(cè)S展開(kāi)的扇形SSS
扇形的弧長(zhǎng)、面積(二)知識(shí)點(diǎn)詳解
一、圓的概念集合形式的概念:
1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;2、圓的外部:可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;3、圓的內(nèi)部:可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合軌跡形式的概念:
1、圓:到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為半徑的圓;(補(bǔ)充)2、垂直平分線:到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線3、角的平分線:到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線;
4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線;5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是:平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。
二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
1、點(diǎn)在圓內(nèi)dr點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上dr點(diǎn)B在圓上;
BArdCdO3、點(diǎn)在圓外dr點(diǎn)A在圓外;三、直線與圓的位置關(guān)系
1、直線與圓相離dr無(wú)交點(diǎn);2、直線與圓相切dr有一個(gè)交點(diǎn);3、直線與圓相交dr有兩個(gè)交點(diǎn);
rdd=rrd
四、圓與圓的位置關(guān)系
11Rdr圖外離(圖1)無(wú)交點(diǎn)dRr;外切(圖2)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;相交(圖3)有兩個(gè)交點(diǎn)RrdRr;內(nèi)切(圖4)有一個(gè)交點(diǎn)dRr;內(nèi)含(圖5)無(wú)交點(diǎn)dRr;
五、垂徑定理
垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。
推論1:(1)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對(duì)的兩條弧;(2)弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心,并且平分弦所對(duì)的兩條。
(3)平分弦所對(duì)的一條弧的直徑,垂直平分弦,并且平分弦所對(duì)的另一條弧
以上共4個(gè)定理,簡(jiǎn)稱2推3定理:此定理中共5個(gè)結(jié)論中,只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論,即:
①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在⊙O中,∵AB∥CD∴弧AC弧BD六、圓心角定理
COABCBAdR圖2rdR圖3圖4dRdrrRr圖5DOED圓心角定理:同圓或等圓中,相等的圓心角所對(duì)的弦相等,所對(duì)的弧相等,弦心距相等。此定理也稱1推3定理,即上述四個(gè)結(jié)論中,
只要知道其中的1個(gè)相等,則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論,即:①AOBDOE;②ABDE;
③OCOF;④弧BA弧BD七、圓周角定理
1、圓周角定理:同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的角的一半。
12BOAAODCEFBC即:∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論:
推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對(duì)的弧是等;
即:在⊙O中,∵C、D都是所對(duì)的圓周角∴CD
推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角;圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓,所對(duì)的弦是直徑。即:在⊙O中,∵AB是直徑或∵C90∴C90∴
BDCBOACAB是直徑
推論3:若三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形。即:在△ABC中,∵OCOAOB
∴△ABC是直角三角形或C90
注:此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論:在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。八、圓內(nèi)接四邊形
圓的內(nèi)接四邊形定理:圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ),外角等于它的內(nèi)對(duì)角。即:在⊙O中,∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形∴CBAD180BD180DAEC九、切線的性質(zhì)與判定定理
(1)切線的判定定理:過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線;
BCBOACOAD兩個(gè)條件:過(guò)半徑外端且垂直半徑,二者缺一不可
即:∵M(jìn)NOA且MN過(guò)半徑OA外端∴MN是⊙O的切線(2)性質(zhì)定理:切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1:過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切推論2:過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理:
MANOAE點(diǎn)。心。
即:①過(guò)圓心;②過(guò)切點(diǎn);③垂直切線,三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。十、切線長(zhǎng)定理
B切線長(zhǎng)定理:
OP13
A從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線,它們的切線長(zhǎng)相等,這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。即:∵PA、PB是的兩條切線∴PAPBPO平分BPA十一、兩圓公共弦定理
圓公共弦定理:兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個(gè)圓的的公共弦。如圖:O1O2垂直平分AB。
即:∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)∴O1O2垂直平分AB十二、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算
(1)正三角形:在⊙O中△ABC是正三角形
BCAO1BO2OA有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)行:OD:BD:OB1:3:2;(2)正四邊形
同理,四邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAE中進(jìn)行,
OE:AE:OA1:1:2:
OADBDC(3)正六邊形
同理,六邊形的有關(guān)計(jì)算在RtOAB中進(jìn)行,
AB:OB:OA1:3:2.
EOAB十三、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式1、扇形:(1)弧長(zhǎng)公式:lnR;180AOSlnR21lR(2)扇形面積公式:S3602Bn:圓心角R:扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l:扇形弧長(zhǎng)S:扇形面積
2、圓錐側(cè)面展開(kāi)圖
(1)S表S側(cè)S底=Rrr2
1(2)圓錐的體積:Vr2h
3OB1R
ACrB
3、圓錐與圓柱的比較名稱圖形圓柱圓錐圖形的形成過(guò)程由一個(gè)矩形旋轉(zhuǎn)得到,如矩形ADD’G繞直線由一個(gè)直角三角形旋轉(zhuǎn)得到,如AB旋轉(zhuǎn)一周Rt△SOA繞直線SO旋轉(zhuǎn)一周兩個(gè)底面圓和一個(gè)側(cè)面一個(gè)底面圓和一個(gè)側(cè)面圖形的組成面積、體積的計(jì)算公式S側(cè)=2πrhS全=S側(cè)+2S底=2πrh+2πrV=πr2h2S側(cè)=πrS全=S側(cè)+S底=πr+πr2V=πr2h(三)、典型例題例題1.某居民小區(qū)的一處圓柱形的輸水管道破裂,維修人員為更換管道,需要確定管道圓形截面的半徑,如圖所示是水平放置的破裂管道有水部分的截面.
(1)請(qǐng)你補(bǔ)全這個(gè)輸水管道的圓形截面圖;
(2)若這個(gè)輸水管道有水部分的水面寬AB=16cm,水最深的地方的高度為4cm,求這個(gè)圓形截面的半徑.思路點(diǎn)撥:本題考查圓的確定、垂徑定理以及直角三角形的性質(zhì)有關(guān)等知識(shí).解:(1)作法略.如圖所示.
于C,
(2)如圖所示,過(guò)O作OC⊥AB于D,交∵OC⊥AB,
∴由題意可知,CD=4cm.
.設(shè)半徑為xcm,則
在Rt△BOD中,由勾股定理得:∴
.∴..即這個(gè)圓形截面的半徑為10cm.
例題2、在O中,弦AD平行于弦BC,若AOC80,則DAB____度.
【考點(diǎn)要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關(guān)系.【思路點(diǎn)拔】∵∠B=∴∠B=40°∵AD∥BC
∴DAB∠B=40°【答案】填:40
1∠AOC,AOC802DOABC圖7-1
例題3、AB是的⊙O的直徑,BC、CD、DA是⊙O的弦,且BC=CD=DA,則∠BCD=()
A.1000B.1100C.1200D.1350
【考點(diǎn)要求】本題考查了圓中弧、弦、圓心(周)角之間的關(guān)系,以及直徑所對(duì)的弧是半圓等基本知識(shí).【思路點(diǎn)拔】∵AB是的⊙O的直徑∴ACB度數(shù)是1800∵BC=CD=DA
=CD=DA∴BC100∵∠BCD=(18060)=1200
2【答案】選填C
例題4、如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于半徑為2的⊙O,已知ABBC圖7-2
1AD1,4求CD的長(zhǎng)。
分析:連結(jié)BD,由AB=BC,可得DB平分∠ADC,延長(zhǎng)AB、DC交于E,易得△EBC∽△EDA,又可判定AD是⊙O的直徑,得∠ABD=90°,可證得△ABD≌△EBD,得DE=AD,利用△EBC∽△EDA,可先求出CE的長(zhǎng)。
解:延長(zhǎng)AB、DC交于E點(diǎn),連結(jié)BD∵ABBC1AD14∴ABBC,AD4,∴∠ADB∠EDB
∵⊙O的半徑為2,∴AD是⊙O的直徑∴∠ABD=∠EBD=90°,又∵BD=BD
∴△ABD≌△EBD,∴AB=BE=1,AD=DE=4∵四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,
∴∠EBC=∠EDA,∠ECB=∠EAD∴△EBC∽△EDA,∴BCCEADAE∴CEBCAEBC(ABBE)111
ADAD421722∴CDDECE41BC),以BC為直徑作半圓O,過(guò)點(diǎn)2D作半圓的切線交AB于E,切點(diǎn)為F,若AE:BE=2:1,求tan∠ADE的值。
例題5、如圖,四邊形ABCD是矩形(AB
分析:要求tan∠ADE,在Rt△AED中,若能求出AE、AD,根據(jù)正切的定義就可以得到。ED=EF+FD,而EF=EB,F(xiàn)D=CD,結(jié)合矩形的性質(zhì),可以得到ED和AE的關(guān)系,進(jìn)一步可求出AE:AD。解:∵四邊形ABCD為矩形,∴BC⊥AB,BC⊥DC∴AB、DC切⊙O于點(diǎn)B和點(diǎn)C,
∵DE切⊙O于F,∴DF=DC,EF=EB,即DE=DC+EB,又∵AE:EB=2:1,設(shè)BE=x,則AE=2x,DC=AB=3x,DE=DC+EB=4x,
在Rt△AED中,AE=2x,DE=4x,∴AD23x則tan∠ADEAE2x3AD23x3點(diǎn)撥:本題中,通過(guò)觀察圖形,兩條切線有公共點(diǎn),根據(jù)切線長(zhǎng)定理,得到相等線段。
例題6、如下圖,已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a,分別為A、B、C為圓心,
a以為半徑的圓相切于點(diǎn)O1、O2、O3,求O1O2、O2O3、O3O1圍成的圖形面2積S。(圖中陰影部分)
分析:陰影部分面積等于三角形面積減去3個(gè)扇形面積。解:S△ABC32a2a2a,3S扇3×()4628∴S陰32a2232aa488此題可變式為如下圖所示,⊙A、⊙B、⊙C兩兩不相交,且它們的半徑都
為a,求圖中三個(gè)扇形(陰影部分)的面積之和。2
分析:因三個(gè)扇形的半徑相等,把三個(gè)扇形拼成一個(gè)扇形來(lái)求,因?yàn)椤螦+∠B+∠C=180°,
因而三個(gè)扇形拼起來(lái)正好是一個(gè)半圓,故所求圖形面積為8a2,
原題可在上一題基礎(chǔ)上進(jìn)一步變形:⊙A1、⊙A2、⊙A3⊙An相外離,它們的半徑都是1,順次連結(jié)n個(gè)圓心得到的n邊形A1A2A3An,求n個(gè)扇形的面積之和。解題思路同上。解:
(n2)2
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