九年級(jí)數(shù)學(xué)圓的知識(shí)點(diǎn)總結(jié)大全

第四章：《圓》

一、知識(shí)回顧

圓的周長(zhǎng)： C=2πr或C=πd、圓的面積：S=πr

圓環(huán)面積計(jì)算方法：S=πR-πr或S=π（R-r）(R是大圓半徑，r是小圓半徑）

二、知識(shí)要點(diǎn) 一、圓的概念

集合形式的概念： 1、 圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合； 3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念：

1、圓：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；

固定的端點(diǎn)O為圓心。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦，經(jīng)過(guò)圓心的弦叫直徑。圓上任意兩點(diǎn)之間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧。

2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線； 3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；

4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長(zhǎng)的兩條直線； 5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

1、點(diǎn)在圓內(nèi) dr 點(diǎn)C在圓內(nèi)； 2、點(diǎn)在圓上 dr 點(diǎn)B在圓上； 3、點(diǎn)在圓外 dr 點(diǎn)A在圓外； 三、直線與圓的位置關(guān)系

1、直線與圓相離 dr 無(wú)交點(diǎn)； 2、直線與圓相切 dr 有一個(gè)交點(diǎn)； 3、直線與圓相交 dr 有兩個(gè)交點(diǎn)；

A

四、圓與圓的位置關(guān)系

圖1

圖2

五、垂徑定理

圖4

圖5

垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條�。� （2）弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；

（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧

以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中2個(gè)即可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：

①AB是直徑 ②ABCD ③CEDE ④ 弧BC弧BD ⑤ 弧AC弧AD 中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。 推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC弧BD

六、圓心角定理

頂點(diǎn)到圓心的角，叫圓心角。

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，

B

D只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的3個(gè)結(jié)論， 即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④ 弧BA弧BD

七、圓周角定理

頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都與圓相交的角，叫圓周角。 1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心的即：∵AOB和ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角 ∴AOB2ACB 2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對(duì)的圓周角 ∴CD

推論2：半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所所對(duì)的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑 或∵C90 ∴C90 ∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

B

O

A

角的一半。

相等的圓周角所對(duì)

對(duì)的弧是半圓，

B

A

角形是直角三

注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

八、圓內(nèi)接四邊形

圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)，外角等于它的內(nèi)對(duì)角。

∵四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形 ∴

BD180

CBAD180

DAEC

九、切線的性質(zhì)與判定定理

（1）切線的判定定理：過(guò)半徑外端且垂直于半徑的直線是切線； 兩個(gè)條件：過(guò)半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可 即：∵M(jìn)NOA且MN過(guò)半徑OA ∴MN是⊙O的切線 （2）性質(zhì)定理：切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑（如上圖） 推論1：過(guò)圓心垂直于切線的直線必過(guò)切 推論2：過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必過(guò)圓以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：

外端

點(diǎn)。 心。

即：①過(guò)圓心；②過(guò)切點(diǎn)；③垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。

十、切線長(zhǎng)定理 切線長(zhǎng)定理：

從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角。 即：∵PA、PB是的兩條切線

∴PAPB PO平分BPA

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點(diǎn)P， ∴PAPBPCPD

B

D

積相等。

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑

所成的兩條線

A

段的比例中項(xiàng)。

（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。 即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線 ∴ PAPCPB

2

線，切線長(zhǎng)是這

（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線 ∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點(diǎn) ∴O1O2垂直平分AB 十三、圓的公切線 兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)算公式： （1）公切線長(zhǎng)：Rt

O1O2C中，AB2

CO1

2

兩個(gè)圓的的公共弦。

（2）外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差； 內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和 。 十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算 （1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在RtBOD中進(jìn)

O

:

D

行

2

：

； B

1D:

O

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關(guān)計(jì)

算在

OE:

A:E

OA1: 2

RtOAE

中進(jìn)行，

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在R

tOA中進(jìn)行

，AB:

O:B

O.3

:2

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式 1、扇形：（1）弧長(zhǎng)公式：l

nR180

；

O

l

2

（2）扇形面積公式： S

nR1360

2

lR

n：圓心角 R：扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑 l：扇形弧長(zhǎng) S：扇形面積

2、圓柱：

（1）A圓柱側(cè)面展開(kāi)圖

A

D1 S表S側(cè)2S底=2rh2r2

Br2

h

C1

B圓柱的體積：V（2）A圓錐側(cè)面展開(kāi)圖

S表S側(cè)S底

=Rrr2

B圓錐的體積：V1

r23

h

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