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高中理科知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高中理科知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高中理科知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

生物

概念辨析

一、類脂與脂類

脂類:包括脂肪、固醇和類脂,因此脂類概念范圍大。類脂:脂類的一種,其概念的范圍小。二、纖維素、維生素與生物素

纖維素:由許多葡萄糖分子結(jié)合而成的多糖。是植物細(xì)胞壁的主要成分。不能為一般動(dòng)物所直接消化利用。維生素:生物生長和代謝所必需的微量有機(jī)物。大致可分為脂溶性和水溶性兩種,人和動(dòng)物缺乏維生素時(shí),不能正常生長,并發(fā)生特異性病變維生素缺乏癥。生物素:維生素的一種,肝、腎、酵母和牛奶中含量較多。是微生物的生長因子。三、大量元素、主要元素、礦質(zhì)元素、必需元素與微量元素

大量元素:指含量占生物體總重量萬分之一以上的元素,如C、H、O、N、P、S、K、Ca、Mg。其中N、P、S、K、Ca、Mg是植物必需的礦質(zhì)元素中的大量元素。C是基本元素。

主要元素:指大量元素中的前6種元素,即C、H、O、N、P、S,大約占原生質(zhì)總量的97%。

礦質(zhì)元素:指除了C、H、O以外,主要由根系從土壤中吸收的元素。

必需元素:植物生活所必需的元素。它必需具備下列條件:第一,由于該元素的缺乏,植物生長發(fā)育發(fā)生障礙,不能完成生活史;第二,除去該元素則表現(xiàn)專一的缺乏癥,而且這種缺乏癥是可以預(yù)防和恢復(fù)的:第三,該元素在植物營養(yǎng)生理上應(yīng)表現(xiàn)直接的效果,絕不是因土壤或培養(yǎng)基的物理、化學(xué)、微生物條件的改變而產(chǎn)生的間接效果。

微量元素:指生物體需要量少(占生物體總重量萬分之一以下),但維持正常生命活動(dòng)不可缺少的元素,如Fe、Mn、Zn、Cu、B、Mo,植物必需的微量元素還包括Cl、Ni。

四、還原性糖與非還原性糖還原性糖:指分子結(jié)構(gòu)中含有還原性基團(tuán)(游離醛基或α-碳原子上連有羥基的酮基)的糖,如葡萄糖、果糖、麥芽糖。與斐林試劑或改良班氏試劑共熱時(shí)產(chǎn)生磚紅色Cu2O沉淀。

非還原性糖:如蔗糖內(nèi)沒有游離的具有還原性的基團(tuán),因此叫做非還原性糖。五、斐林試劑、雙縮脲試劑與二苯胺試劑

斐林試劑:用于鑒定組織中還原性糖存在的試劑。很不穩(wěn)定,故應(yīng)將組成斐林試劑的A液(0.1g/ml的NaOH溶液)和B液(0.05g/ml的CuSO4溶液)分別配制、儲(chǔ)存。使用時(shí),再臨時(shí)配制,將4-5滴B液滴入2mlA液中,配完后立即使用。原理是還原性糖的基團(tuán)CHO與Cu(OH)2在加熱條件下生成磚紅色的Cu2O沉淀。

雙縮脲試劑:用于鑒定組織中蛋白質(zhì)存在的試劑。其包括A液(0.1g/ml的NaOH溶液)和B液(0.01g/ml的CuSO4溶液)。在使用時(shí)要分別加入。先加A液,造成堿性的反應(yīng)環(huán)境,再加B液,這樣蛋白質(zhì)(實(shí)際上是指與雙縮脲結(jié)構(gòu)相似的肽鍵)在堿性溶液中與Cu2+反應(yīng)生成紫色或紫紅色的絡(luò)合物。

二苯胺試劑:用于鑒定DNA的試劑,與DNA混勻后,置于沸水中加熱5分鐘,冷卻后呈藍(lán)色。小結(jié)

鑒定試劑是否加熱現(xiàn)象還原糖斐林試劑是磚紅色沉淀脂肪蘇丹Ⅲ否橘紅色蘇丹Ⅵ紅色蛋白質(zhì)雙縮尿否紫色DNA二苯胺是藍(lán)色

大腸桿菌伊紅、美藍(lán)否深紫、帶金屬光澤

六、血紅蛋白與單細(xì)胞蛋白

血紅蛋白:含鐵的復(fù)合蛋白的一種。是人和其他脊椎動(dòng)物的紅細(xì)胞的主要成分,主要功能是運(yùn)輸氧。

單細(xì)胞蛋白:微生物含有豐富的蛋白質(zhì),人們通過發(fā)酵獲得大量的微生物菌體,這種微生物菌體就叫做單細(xì)胞蛋白。七、顯微結(jié)構(gòu)與亞顯微結(jié)構(gòu)

顯微結(jié)構(gòu):在光學(xué)顯微鏡下能看到的結(jié)構(gòu),一般只能放大幾十倍至幾百倍。亞顯微結(jié)構(gòu):能夠在電子顯微鏡下看到的直徑小于0.2μm的細(xì)微結(jié)構(gòu)。八、原生質(zhì)與原生質(zhì)層

原生質(zhì):是細(xì)胞內(nèi)的生命物質(zhì)。動(dòng)植物細(xì)胞都具有,分化為細(xì)胞膜、細(xì)胞質(zhì)、細(xì)胞核三部分。主要由蛋白質(zhì)、脂類、核酸等物質(zhì)構(gòu)成。

原生質(zhì)層:是一種選擇透過性膜,只存在于成熟的植物細(xì)胞中,包括細(xì)胞膜、液泡膜及兩層膜之間的細(xì)胞質(zhì)。它與成熟植物細(xì)胞的原生質(zhì)相比,缺少了細(xì)胞液和細(xì)胞核兩部分。九、赤道板與細(xì)胞板

赤道板:細(xì)胞中央的一個(gè)平面,這個(gè)平面與有絲分裂中紡錘體的中軸相垂直,類似于地球赤道的位置。細(xì)胞板:植物細(xì)胞有絲分裂末期在赤道板的位置出現(xiàn)的一層結(jié)構(gòu),隨細(xì)胞分裂的進(jìn)行,它由細(xì)胞中央向四周擴(kuò)展,逐漸形成新的細(xì)胞壁。十、半透膜與選擇透過性膜

半透膜:是指某些物質(zhì)可以透過,而另一些物質(zhì)不能透過的多孔性薄膜(如動(dòng)物的膀胱膜,腸衣、玻璃紙等)。它往往只能讓小分子物質(zhì)透過,而大分子物質(zhì)則不能透過,透過的依據(jù)是分子或離子的大小。不具有選擇性,不是生物膜。選擇透過性膜:是指水分子能自由通過,細(xì)胞要選擇吸收的離子和小分子也可以通過,而其他的離子、小分子和大分子則不能通過的生物膜。如細(xì)胞膜、液泡膜和原生質(zhì)層。這些膜具有選擇性的根本原因在于膜上具有運(yùn)載不同物質(zhì)的載體。當(dāng)細(xì)胞死亡后,膜的選擇透過性消失,說明它具有生物活性,所以說選擇透過性膜是功能完善的一類半透膜。十一、載體與運(yùn)載體

載體:指某些能傳遞能量或運(yùn)載其他物質(zhì)的物質(zhì),如細(xì)胞膜上的載體。

運(yùn)載體:在遺傳工程中,用于把外源基因運(yùn)入受體細(xì)胞的運(yùn)輸工具,它必須具備的條件是:能夠在宿主細(xì)胞中復(fù)制并穩(wěn)定地保存;具有多個(gè)限制酶切點(diǎn),以便與外源基因連接;具有某些標(biāo)記基因,便于進(jìn)行篩選。常用的運(yùn)載體有質(zhì)粒、噬菌體、動(dòng)植物病毒等。十二、糖被與珠被

糖被:在細(xì)胞膜的外表,一層由細(xì)胞膜上的蛋白質(zhì)與多糖結(jié)合形成的糖蛋白。在細(xì)胞生命活動(dòng)中具有重要功能,如:保護(hù)、潤滑、細(xì)胞表面的識(shí)別。

珠被:植物胚珠組成部分之一,位于胚珠的表面,包被整個(gè)胚珠,具保護(hù)作用。胚珠形成種子時(shí),珠被發(fā)育成種皮。十三、中心體與中心粒

中心體:動(dòng)物和低等植物的一種細(xì)胞器,通常位于細(xì)胞核附近。每個(gè)中心體由兩個(gè)互相垂直的中心粒及其周圍物質(zhì)組成。與動(dòng)物細(xì)胞有絲分裂有關(guān)。

中心粒;組成中心體。細(xì)胞分裂間期,中心體的兩個(gè)中心粒各產(chǎn)生一個(gè)新的中心粒,因而細(xì)胞中有兩組中心粒,在細(xì)胞分裂中一組中心粒的位置不變,另一組中心粒移向細(xì)胞另一極。這兩組中心粒的周圍發(fā)出星射線形成紡錘體。十四、細(xì)胞液與細(xì)胞內(nèi)液細(xì)胞液:植物細(xì)胞液泡內(nèi)的水狀液體,含有細(xì)胞代謝活動(dòng)的產(chǎn)物,其成分有糖類、蛋白質(zhì)、有機(jī)酸、色素、生物堿、無機(jī)鹽等。

細(xì)胞內(nèi)液:一般是指動(dòng)物細(xì)胞內(nèi)的液體,是相對細(xì)胞外液而言的。十五、B細(xì)胞、效應(yīng)B細(xì)胞、T細(xì)胞、效應(yīng)T細(xì)胞與記憶細(xì)胞

B細(xì)胞、效應(yīng)B細(xì)胞、記憶細(xì)胞:骨髓中的一部分造血干細(xì)胞在骨髓中發(fā)育成B淋巴細(xì)胞,大部分很快死亡,一小部分在體內(nèi)流動(dòng),受到抗原刺激后,開始一系列增殖、分化,形成效應(yīng)B細(xì)胞和記憶細(xì)胞。效應(yīng)B細(xì)胞可產(chǎn)生抗體參與體液免疫。記憶細(xì)胞能保持對抗原的記憶,當(dāng)同一抗原再次進(jìn)入機(jī)體時(shí),記憶細(xì)胞會(huì)迅速增殖、分化。形成大量效應(yīng)B細(xì)胞,繼而產(chǎn)生更強(qiáng)的特異性免疫效應(yīng)。T細(xì)胞、效應(yīng)T細(xì)胞、記憶細(xì)胞:骨髓中的一部分造血干細(xì)胞隨血液流入胸腺,在胸腺內(nèi)發(fā)育成T淋巴細(xì)胞,大部分很快死亡,一部分在體內(nèi)流動(dòng),受抗原刺激后,開始一系列增殖、分化,形成效應(yīng)T細(xì)胞和記憶細(xì)胞。效應(yīng)T細(xì)胞參與細(xì)胞免疫,并釋放淋巴因子,加強(qiáng)有關(guān)細(xì)胞的作用來發(fā)揮免疫效應(yīng)。記憶細(xì)胞則當(dāng)同一種抗原再次進(jìn)入機(jī)體時(shí),會(huì)迅速增殖、分化,形成大量效應(yīng)T細(xì)胞,進(jìn)而產(chǎn)生更強(qiáng)的特異性免疫。十六、原生生物與原核生物

原生生物:指體積微小、單細(xì)胞或群體的真核生物,用鞭毛、纖毛或偽足運(yùn)動(dòng)。如草履蟲、衣藻、變形蟲等。原核生物:指由原核細(xì)胞組成的生物,它的細(xì)胞沒有成形的細(xì)胞核,細(xì)胞器較少,一般只有核糖體,如支原體、細(xì)菌、藍(lán)藻和放線菌等。

二十五、同化作用、消化作用、硝化作用與反硝化作用同化作用:(見第十九條合成代謝)

消化作用:把食物成分中不能溶解、分子結(jié)構(gòu)復(fù)雜、不能滲透的大分子物質(zhì)水解為簡單的可溶性的小分子物質(zhì)的過程。經(jīng)這個(gè)過程,使其能透過消化道上皮細(xì)胞,再由循環(huán)系統(tǒng)送到全身利用。

硝化作用:硝化細(xì)菌使土壤中的氨或銨鹽轉(zhuǎn)化成亞硝酸鹽和硝酸鹽的過程。反硝化作用:許多微生物(尤其是各種反硝化細(xì)菌),在土壤氧氣不足的條件下,將硝酸鹽還原成亞硝酸鹽,并進(jìn)一步把亞硝酸鹽還原成氨及游離氮的過程。二十六、轉(zhuǎn)氨基與脫氨基

轉(zhuǎn)氨基:一種氨基酸的氨基經(jīng)轉(zhuǎn)氨酶催化轉(zhuǎn)移給α-酮酸,形成新的氨基酸。脫氨基:把氨基酸分解成含氮部分和不含氮部分,其中氨基可轉(zhuǎn)變成尿素排出體外,不含氮部分可氧化分解成CO2和H2O,同時(shí)釋放能量,也可合成糖類或脂肪。

二十七、呼吸運(yùn)動(dòng)、呼吸作用、有氧呼吸與無氧呼吸呼吸運(yùn)動(dòng):指胸腔有節(jié)律的擴(kuò)大和縮小。呼吸作用:生物體細(xì)胞中的有機(jī)物在細(xì)胞中經(jīng)一系列的氧化分解,最終生成CO2或其他產(chǎn)物,并釋放出能量的總過程。也叫細(xì)胞呼吸或生物氧化。

有氧呼吸:細(xì)胞呼吸的一種類型,指細(xì)胞在氧的參與下,通過酶的催化作用,把糖類等有機(jī)物徹底分解,產(chǎn)生出CO2和H2O,同時(shí)釋放出大量能量的過程。通常講的呼吸作用即指有氧呼吸。無氧呼吸:細(xì)胞呼吸的一種類型。一般指細(xì)胞在無氧條件下,通過酶的催化作用,把葡萄糖等有機(jī)物質(zhì)分解成不徹底的氧化產(chǎn)物,同時(shí)釋放出少量能量的過程。二十八、自養(yǎng)型、異養(yǎng)型、需氧型、厭氧型與兼性厭氧型

自養(yǎng)型與異養(yǎng)型:同化作用的兩種類型,前者能把環(huán)境中的無機(jī)物合成有機(jī)物,滿足自身的需要。根據(jù)合成有機(jī)物所利用的能源不同,有光能自養(yǎng)型和化能自養(yǎng)型。異養(yǎng)型沒有這種本領(lǐng),只能依賴環(huán)境中現(xiàn)成的有機(jī)物來生活。

需氧型、厭氧型、兼性厭氧型:異化作用的三種類型。需氧型是在異化作用的過程中,需要不斷從外界攝取氧氣,進(jìn)行有氧呼吸,維持生命活動(dòng)。厭氧型是在缺氧條件下,依靠酶的作用,將體內(nèi)的有機(jī)物氧化分解,獲得維持自身生命活動(dòng)所需的能量。兼性厭氧型是在有氧條件下進(jìn)行有氧呼吸,在無氧條件下進(jìn)行無氧呼吸,以獲得維持自身生命活動(dòng)所需的能量。二十九、原代培養(yǎng)與傳代培養(yǎng)

原代培養(yǎng):在動(dòng)物細(xì)胞培養(yǎng)中,將動(dòng)物的組織取出來后,先用胰蛋白酶等使組織分散成單個(gè)細(xì)胞,然后配制成一定濃度的細(xì)胞懸浮液,再將該細(xì)胞懸浮液放入培養(yǎng)瓶中,在培養(yǎng)瓶中培養(yǎng)。這個(gè)過程稱為原代培養(yǎng)。也有人把第1代細(xì)胞的培養(yǎng)與傳10代以內(nèi)的細(xì)胞培養(yǎng)統(tǒng)稱為原代培養(yǎng)。

傳代培養(yǎng):細(xì)胞在培養(yǎng)瓶中貼壁生長。隨著細(xì)胞的生長和增殖,培養(yǎng)瓶中的細(xì)胞越來越多,需要定期地用胰蛋白酶使細(xì)胞從瓶壁上脫離下來,配制成細(xì)胞懸浮液,分裝到兩個(gè)或兩個(gè)以上的培養(yǎng)瓶中培養(yǎng),這稱為傳代培養(yǎng)。三十、初級(jí)代謝產(chǎn)物與次級(jí)代謝產(chǎn)物

初級(jí)代謝產(chǎn)物:指微生物通過代謝活動(dòng)產(chǎn)生的、自身生長和繁殖所必需的物質(zhì),如氨基酸、核苷酸、多糖、脂類、維生素等。在不同的微生物細(xì)胞中,初級(jí)代謝產(chǎn)物的種類基本相同。次級(jí)代謝產(chǎn)物:指微生物生長到一定階段才產(chǎn)生的化學(xué)結(jié)構(gòu)十分復(fù)雜、對該微生物無明顯生理功能,或并非是微生物生長和繁殖所必需的物質(zhì),如抗生素、毒素、激素、色素等。不同種類的微生物所產(chǎn)生的次級(jí)代謝產(chǎn)物不相同,它們可能積累在細(xì)胞內(nèi),也可能排到外環(huán)境中。三十一、適應(yīng)性與應(yīng)激性:適應(yīng)性:生物在生存斗爭中適合環(huán)境條件而形成一定性狀的現(xiàn)象,即生物與環(huán)境相適合的現(xiàn)象。

應(yīng)激性:生物對外界的刺激都能產(chǎn)生一定的反應(yīng),稱之。由于生物具有應(yīng)激性,因而能夠適應(yīng)周圍的生活環(huán)境。三十二、生長素、生長激素、生長因子與秋水仙素

生長素:一種植物激素,即吲哚乙酸,具有促進(jìn)植物生長(細(xì)胞伸長)等作用。

生長激素:一種人或動(dòng)物的激素。由腦垂體前葉分泌,是一種蛋白質(zhì),具有促進(jìn)人或動(dòng)物生長的作用。生長因子:某些微生物生長所必需的,但自身又不能合成的微量有機(jī)物。主要是維生素、氨基酸和堿基等,是微生物的五大類營養(yǎng)要素之一。一些天然物質(zhì),如酵母膏、蛋白胨、動(dòng)植物組織提取液等可以提供。秋水仙素:一種從植物秋水仙中提取出來的生物堿,能誘發(fā)基因突變,在細(xì)胞有絲分裂時(shí)能抑制紡錘體的形成。

三十三、雌激素、孕激素、催乳素和促性腺激素雌激素:主要由卵巢分泌的類固醇激素。主要作用是促進(jìn)雌性生殖器官的發(fā)育和卵子的生成,激發(fā)和維持雌性的第二性征和正常的性周期。對機(jī)體代謝也有明顯影響。孕激素;由卵巢分泌的類固醇激素。主要作用是促進(jìn)子宮內(nèi)膜和乳腺等生長發(fā)育,為受精卵著床和泌乳準(zhǔn)備條件。

催乳素:由垂體分泌。主要作用是調(diào)控某些動(dòng)物對幼仔的照顧行為,促進(jìn)某些合成食物的器官發(fā)育和生理機(jī)能的完成,如促進(jìn)哺乳動(dòng)物乳腺的發(fā)育和泌乳,促進(jìn)鴿的嗉囊分泌鴿乳的活動(dòng)等。

促性腺激素:由垂體分泌。主要作用是促進(jìn)性腺的生長發(fā)育,調(diào)節(jié)性激素的合成和分泌。

三十四、侏儒癥與呆小癥

侏儒癥:幼年時(shí)生長激素分泌不足引起,特征是身材過于矮小,一般不超過130厘米,智力正常。

呆小癥:幼年時(shí)甲狀腺激素分泌不足引起,特征除身材矮小外,最明顯的是智力低下。

三十五、中樞神經(jīng)(系統(tǒng))與神經(jīng)中樞中樞神經(jīng)(系統(tǒng)):指神經(jīng)系統(tǒng)的中樞部分,包括腦和脊髓。

神經(jīng)中樞:功能相同的神經(jīng)元細(xì)胞體匯集在一起,調(diào)節(jié)人體的某一項(xiàng)生理活動(dòng),這部分結(jié)構(gòu)叫神經(jīng)中樞,分布在中樞神經(jīng)系統(tǒng)中。三十六、趨性與向性運(yùn)動(dòng)

趨性:動(dòng)物對環(huán)境因素刺激最簡單的定向反應(yīng),如趨光性等。向性運(yùn)動(dòng):植物體受到單一方向的外界刺激而引起的定向運(yùn)動(dòng)。三十七、白細(xì)胞介素-2與干擾素

白細(xì)胞介素-2:效應(yīng)T細(xì)胞釋放的淋巴因子,能誘導(dǎo)產(chǎn)生更多的效應(yīng)T細(xì)胞,增強(qiáng)效應(yīng)T細(xì)胞的殺傷力。還能增強(qiáng)其他有關(guān)免疫細(xì)胞對靶細(xì)胞的殺傷作用。干擾素:效應(yīng)T細(xì)胞釋放的淋巴因子。能抑制病毒增殖,保護(hù)細(xì)胞不受病毒感染。

三十八、生殖、生長與發(fā)育

生殖;亦稱“繁殖”,生物孳生后代的現(xiàn)象。生長:通常指生物體的重量和體積的增加。發(fā)育:生物體生活史中,構(gòu)造和機(jī)能從簡單到復(fù)雜的變化過程。在高等動(dòng)植物中,一般指達(dá)到性機(jī)能成熟時(shí)為止。

三十九、無性生殖細(xì)胞與有性生殖細(xì)胞

無性生殖細(xì)胞:其產(chǎn)生不經(jīng)過減數(shù)分裂,無性別之分,發(fā)育成的后代也無性別之分。無需經(jīng)過兩兩結(jié)合,就能發(fā)育成新個(gè)體。如根霉產(chǎn)生的孢子。

有性生殖細(xì)胞:其產(chǎn)生需經(jīng)減數(shù)分裂,有性別之分,如精子和卵細(xì)胞。需經(jīng)過兩兩結(jié)合,形成合子,才能發(fā)育成新個(gè)體,后代有性別之分。但有些不經(jīng)過兩兩結(jié)合也能發(fā)育成新個(gè)體。如蜜蜂中的雄蜂就是由卵細(xì)胞直接發(fā)育形成的。四十、孢子和芽孢孢子:真菌和一些植物產(chǎn)生的一種有繁殖作用的生殖細(xì)胞,分為無性孢子和有性孢子,無性孢子能直接發(fā)育成新個(gè)體。芽孢:某些細(xì)菌在一定環(huán)境下在其細(xì)胞內(nèi)形成的休眠體,壁厚。具有很強(qiáng)的抗性,遇到適宜的環(huán)境又可萌發(fā)生成細(xì)菌繁殖體。四十一、芽與芽體

芽:植物尚未發(fā)育成長的枝或花的雛體。根據(jù)著生位置有頂芽、腋芽(側(cè)芽)和不定芽之分。

芽體:無脊椎動(dòng)物(如水螅)和某些微生物(如酵母菌)體旁或體后端長出的小體。能通過出芽生殖(無性生殖)形成子體。四十二、出芽生殖與營養(yǎng)生殖

出芽生殖:在母體一定部位上長出芽體,芽體長大以后,從母體上脫落下來,成為與母體一樣的新個(gè)體。

營養(yǎng)生殖:植物的營養(yǎng)器官(根、莖、葉)的一部分在與母體脫落后,能夠發(fā)育成一個(gè)新個(gè)體。四十三、極核與極體

極核:是被子植物胚囊的結(jié)構(gòu)之一。每個(gè)胚囊中有兩個(gè)極核。它是大孢子母細(xì)胞經(jīng)過減數(shù)分裂形成4個(gè)大孢子細(xì)胞(其中3個(gè)消失),一個(gè)大孢子細(xì)胞經(jīng)有絲分裂形成1個(gè)卵細(xì)胞、2個(gè)極核和5個(gè)其他細(xì)胞。它們的基因型都相同。受精時(shí)兩個(gè)極核與一個(gè)精子結(jié)合形成受精極核,以后發(fā)育成胚乳。

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高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1.

對于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“確定性、互異性、無序性”。

中元素各表示什么?

如:集合Ax|ylgx,By|ylgx,C(x,y)|ylgx,A、B、C.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運(yùn)算時(shí),不要忘記集合本身和空集的特殊情況。2注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

2如:集合Ax|x2x30,Bx|ax113若BA,則實(shí)數(shù)a的值構(gòu)成的集合為(答:,10,)3.

注意下列性質(zhì):

(1)集合a,a,,a的所有子集的個(gè)數(shù)是2;12nn2)若ABABA,ABB;((3)德摩根定律:

CABCACB,CABCACBUUUUUU4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)

ax5xa如:已知關(guān)于x的不等式0的解集為M,若3M且5M,求實(shí)數(shù)a2的取值范圍。

a35(∵3M,∴023a

a55∵5M,∴025a5.可以判斷真假的語句叫做命題,邏輯連接詞有“或”(),“且”()和“非”().

5a1,9,25)3pq為真,當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真若

pq為真,當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個(gè)為真若p為真,當(dāng)且僅當(dāng)p為假若

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么?

(互為逆否關(guān)系的命題是等價(jià)命題。)

原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的唯一性,哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射?(一對一,多對一,允許B中有元素?zé)o原象。)8.函數(shù)的三要素是什么?如何比較兩個(gè)函數(shù)是否相同?(定義域、對應(yīng)法則、值域)9.

求函數(shù)的定義域有哪些常見類型?x4x例:函數(shù)y的定義域是2lgx3(答:0,22,33,4)

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域?

如:函數(shù)f(x)的定義域是a,b,baF0,則函數(shù)(x)f(x)f(x)的定義域是_____________。(答:a,a)11.

求一個(gè)函數(shù)的解析式時(shí),注明函數(shù)的定義域了嗎?

如:fx1exf,求(x).22t1xtx1,則t0令

xt1∴

∴ft()et1∴f(x)ex1x02x12212.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?

(取值、作差、判正負(fù))如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?

(yf(uu),(x),則yf(x)(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時(shí)f(xf)為增函數(shù),否則(x)為減函數(shù)。):求ylogx2x的單調(diào)區(qū)間如1222(設(shè)ux2x,由u0則0x22loguux11,如圖:且,12uO12x

x(0,1]時(shí),u,又,logu∴y當(dāng)12x[1,2)時(shí),u,又,logu∴y當(dāng)12∴)

13.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性?

區(qū)間a,b內(nèi),若總有f"(x)0則f(x)為增函數(shù)。(在個(gè)別點(diǎn)上導(dǎo)數(shù)等于在

零,不影響函數(shù)的單調(diào)性),反之也對,若f"(x)0呢?如:已知a0,函數(shù)f(x)xax在1,上是單調(diào)增函數(shù),則a的最大值是()A.0

B.1

23a3C.2D.3

令fx"()3xa3xx0(a3x或x則a3a3a3已知f(x)在[1,)上為增函數(shù),則1,即a3由

∴a的最大值為3)

14.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?(f(x)定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱)若f(x)f(x)總成立f(x)為奇函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱若f(x)f(xf)總成立(x)為偶函數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱注意如下結(jié)論:

(1)在公共定義域內(nèi):兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一個(gè)偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點(diǎn),則f(0)0。xa22a如:若f(x)為奇函數(shù),則實(shí)數(shù)ax21(∵f(x)為奇函數(shù),xR,又0R,∴f(0)00a2a2即0,∴a1)021x2又如:f(x)為定義在(1,1)上的奇函數(shù),當(dāng)x(0,1)時(shí),f(x),x41求f(x)在1,1上的解析式。x2令x1,0,則x0,1,f(x)(x41xx22f(x)為奇函數(shù),∴f(x)x又x4114xx(1,0)2x01x4f()00,∴fx())又x2x0,1x41

15.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎?

若存在實(shí)數(shù)T(T0),在定義域內(nèi)總有fxTf(x),則f(x)為周期(函數(shù),T是一個(gè)周期。)

:若fxaf(x),則如(答:f(x)是周期函數(shù),T2a為f(x)的一個(gè)周期)如:若f(x)圖象有兩條對稱軸xa,xb又f()axf()ax,f(bx)f(bx)即則f(x)是周期函數(shù),2ab為一個(gè)周期如:

關(guān)于函數(shù)的周期性,有如下結(jié)論:

(1)若T為函數(shù)f(x)的一個(gè)周期,則kT(kZ且k0)也是f(x)的周期,即

f(xkT)f(x)。

期的函數(shù)。

(2)若f(x)是一個(gè)以T為周期的函數(shù),則f(axb)(a0)是一個(gè)以T為周a證明:

(證明的方向f[a(xT)b]f(axb))a

f[a(xT)b]f[(axb)T]a

設(shè)uaxbf(uT)由T是f(x)的周期f(u)f(axb)

T是函數(shù)f(axb)的周期a

2如:ysinx的周期為T2,則ysin(x)(0)的周期為

(3)若f(x)滿足f(xa)f(xb)恒成立,a,b為常數(shù)且ab,則Tab

是f(x)的一個(gè)周期。

這是因?yàn)閒(xab)f[(xb)a]f[(xb)b]f(x)Tab(4)若f(x)滿足f(xa)f(xb),則f(x)以T2(ab)為一個(gè)周期。證明:

f[x2(ab)]f[(x2ba)a]f[(x2ba)b]f[(xb)a][f(xbb)]f(x)T2(ab)

推論:f(xa)f(x)則f(x)以T2a為一個(gè)周期(只要令上式中的b=0即可)

16.你掌握常用的圖象變換了嗎?1.函數(shù)圖象變換:(1)平移變換:

右平移a(a>0)f(x-a)圖象f(x)圖象左平移a(a>0)f(x+a)圖象上平移b(fx)+b圖象f(x)圖象下平移b(fx)-b圖象

(2)對稱變換:

f(x)圖象關(guān)于y軸對稱f(x)圖象關(guān)于x軸對稱f(x)圖象與f(x)圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱f(2ax)圖象關(guān)于xa對稱1f(x)圖象關(guān)于yx對稱

(3)伸縮變換:設(shè)A0,0

橫坐標(biāo)縮短(1)f(x)圖象f(x)圖象1或伸長(01)到原來的倍

縱坐標(biāo)伸長(A1)f(x)圖象Af(x)圖象或縮短(0A1)到原來的A倍

(4)翻折變換:

將x軸下方部分f(x)圖象|f(x)|圖象作關(guān)于x軸對稱

保留圖象的x0部分,去掉f(x)圖象f(|x|)圖象x0部分,再作關(guān)于y軸對稱

:f(x)logx1如2出ylogx1及ylogx1的圖象作yy=log2xO1x

2.函數(shù)的應(yīng)用問題:解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的關(guān)鍵有兩點(diǎn):一是認(rèn)真讀題,縝密審題,明確問題的實(shí)際背景,然后進(jìn)行概括,歸納為相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題;二是合理選取參變數(shù),設(shè)定變元后,尋找等量(或不等量)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,求解數(shù)學(xué)模型,使問題獲解。即

讀題建模求解反饋(數(shù)學(xué)語言)(數(shù)學(xué)計(jì)算)(檢驗(yàn)作答)(文字語言)

【典型例題】

2(1)函數(shù)f(x)xbxc對任意實(shí)數(shù)x,均有f(1x)f(1x),比較例1.

f(0),f(1),f(3)的大。

2(2)若函數(shù)yf(x)的圖象關(guān)于x1對稱,且x1時(shí)f(x)x1,則當(dāng)x1

時(shí),求f(x)的表達(dá)式。

解:(1)由f(1x)f(1x),可知函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于x1對稱,又函數(shù)圖

象是開口向上的拋物線,所以f(3)f(0)f(1)。

(2)當(dāng)x1時(shí),有2x1

所以f(2x)(2x)1x4x5又由于yf(x)圖象關(guān)于x1對稱f(2x)f(x)

所以當(dāng)x1時(shí),f(x)x4x5

注:(2)題也可以根據(jù)圖象的對稱性,確定頂點(diǎn)坐標(biāo),直接寫出解析式。

例2.偶函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,若f(x1)f(x1)對任意實(shí)數(shù)都成立,又當(dāng)0

222x1時(shí),f(x)2x1。(1)求證f(x)是周期函數(shù),并確定周期。(2)求當(dāng)1x2時(shí),求f(x)的解析式。解:(1)令tx1,則x1t2由xR時(shí)f(x1)f(x1)恒成立得tR時(shí)f(t)f(t2)恒成立

因此f(x)是周期函數(shù),且2k(kZ且k0)為其周期(2)任取1x2則1x20x0x21

0x1時(shí),f(x)21f(x2)2x21

又f(x)的周期為2,且為偶函數(shù)f(x2)f(x)f(x)1x2時(shí),f(x)2x21

x-2x-1012x-x+2

17.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎?

(k0)y=bO’(a,b)Oxx=a1)一次函數(shù):ykxbk0((2)反比例函數(shù):yk0推廣為ybk0是中心O"(a,b)的雙曲線。

2b4acb(3)二次函數(shù)yaxbxcaa0x圖象為拋物線2a4a22kxkxa2b4acbb點(diǎn)坐標(biāo)為,,對稱軸x頂2a4a2a24acb開口方向:a0,向上,函數(shù)ymin4a24acba0,向下,ymax4a應(yīng)用:①“三個(gè)二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系二次方程

2的兩個(gè)交點(diǎn),也是二次不等式axbxc0(0)解集的端點(diǎn)值。22axbxc0,0時(shí),兩根x、x為二次函數(shù)yaxbxc的圖象與x軸12②求閉區(qū)間[m,n]上的最值。

③求區(qū)間定(動(dòng)),對稱軸動(dòng)(定)的最值問題。④一元二次方程根的分布問題。

0b2如:二次方程axbxc0的兩根都大于kk2af()k0y(a>0)Okx1x2x一根大于k,一根小于kf(k)0

5)對數(shù)函數(shù)yxloga0,a1(4)指數(shù)函數(shù):yaaa0,1(

ax由圖象記性質(zhì)!(注意底數(shù)的限定。

yy=ax(a>1)(0(6)“對勾函數(shù)”yxk0利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么?

ykOkx

kx18.你在基本運(yùn)算上常出現(xiàn)錯(cuò)誤嗎?

0p數(shù)運(yùn)算:a1(a0),a(a0)指p1a1(a0)nma數(shù)運(yùn)算:loglMNogMlogNM0,N0對aaaaa(a0),amnnmmnM1Nnlogxa對數(shù)恒等式:axlogbnnc對數(shù)換底公式:logblogblogbmaaalogamcnloglogMlogN,loglogMaaaaMa19.如何解抽象函數(shù)問題?(賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

如:(1)xR,f(x)滿足f(xy)f(x)f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。(先令xy0f(0)0再令yx,)(2)xR,f(x)滿足f(xy)f(x)f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。先令xytf(t)(t)f(tt)(∴f(t)f(t)f(t)f(t)∴ft()f(t))3)證明單調(diào)性:f(x)fxxx(221220.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎?(二次函數(shù)法(配方法),反函數(shù)法,換元法,均值定理法,判別式法,利用函數(shù)單調(diào)性法,導(dǎo)數(shù)法等。)

如求下列函數(shù)的最值:(1)y2x3134x2x4x322x3)x3,y(

x32)y(2(4)yx49x設(shè)x3cos,0,(5)y4x,,x(01]

9x21.你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為α,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎?

(lR,SlRR)扇12122R1弧度OR22.熟記三角函數(shù)的定義,單位圓中三角函數(shù)線的定義

yTBSPαOMAx

sinMP,,cosOMAtanT如:若0,則sin,cos,tan的大小順序是8

如:求函數(shù)y12cosx的定義域和值域。又(∵12cosx)12sinx022sinx∴2,如圖:∴2kx2kkZy,01223.

544

你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎?并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點(diǎn)、對稱軸嗎?

sinx1,cosx1yytgxxO22

對稱點(diǎn)為k,0,kZ2

sinx的增區(qū)間為2k,2kkZy區(qū)間為2k,2kkZ減222cosx的增區(qū)間為2k,2kkZy象的對稱點(diǎn)為k,0,對稱軸為xkkZ圖2減區(qū)間為2k,2k2kZ圖象的對稱點(diǎn)為k,0,對稱軸為xkkZ

226.正弦型函數(shù)y=Asinx+的圖象和性質(zhì)要熟記;騳Acosxytanx的增區(qū)間為k,kkZ22

2||若fxA,則xx為對稱軸。00(1)振幅|A|,周期T

fx0,則x,0為對稱點(diǎn),反之也對。若00322(2)五點(diǎn)作圖:令x依次為0,,,,2,求出x與y,依點(diǎn)(x,y)作圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、、值)

(x)01圖列出如(x)22解條件組求、值正切型函數(shù)yAtanx,T25.

||在三角函數(shù)中求一個(gè)角時(shí)要注意兩個(gè)方面先求出某一個(gè)三

角函數(shù)值,再判定角的范圍。

23622375513∵x,∴x,∴x,∴x)(

26636412如:cosx,x,,求x值。26.

在解含有正、余弦函數(shù)的問題時(shí),你注意(到)運(yùn)用函數(shù)的有

界性了嗎?

:函數(shù)ysinxsin|x|的值域是如

x0時(shí),y2sinx2,2,x0時(shí),y0,∴y2,2)(

27.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎?(平移變換、伸縮變換)

平移公式:

x"xha(h,k)(1)點(diǎn)P(x,y)P"(x",y"),則

y"yk平移至(2)曲線f(x,y)0沿向量a(h,k)平移后的方程為f(xh,yk)0如:函數(shù)y2sin2x1的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)sinx的圖象?

41橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(y2sin2x1y2sin2x1424上平移1個(gè)單位42sinx1y2sinx1y2sinx41縱坐標(biāo)縮短到原來的倍2ysinx)左平移個(gè)單位28.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎?

2222如:1sincossectantancotcossectan4sincos0稱為1的代換。2“k”化為的三角函數(shù)“奇變,偶不變,符號(hào)看象限”,2“奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

97

46sintan又如:函數(shù)y,則y的值為coscot如:costansin21A.正值或負(fù)值

B.負(fù)值

C.非負(fù)值

D.正值

sinsin2sincos1cos(y20,∵0)coscossin1cossin29.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎?

理解公式之間的聯(lián)系:

insincoscossinsin22sincoss令令22cosscossinsincos2cossincotantan22cos112sintan21tantan2tantan221tan

221cos22cos21cos22sin2asincbosabsin,tanba

4sin3cos2sin3sincos2sin應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求:項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少,分母中不含三角函數(shù),能求值,盡可能求值。)具體方法:

(1)角的變換:如,(2)名的變換:化弦或化切(3)次數(shù)的變換:升、降冪公式

(4)形的變換:統(tǒng)一函數(shù)形式,注意運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算。

222sincos21cos23sincoscos1(由已知得:1,∴tan22sin22sin2tan又

3如:已知1,tan,求tan2的值。21tantan312∴tan2an)t1218tantan13230.

正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎?如何實(shí)現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)

化,而解斜三角形?

222bca弦定理:abc2bccosAcosA余

2bc222(應(yīng)用:已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。)

a2RsinAabc弦定理:2Rb2RsinB正sinAsinBsinCc2RsinC1absinCS∵ABC,∴ABCABC22AB2如ABC中,2sincos21C2(1)求角C;∴sinABsinsC,incos2c(2)若ab,求cos2Acos2B的值。22((1)由已知式得:1cosAB2cosC1122ABC,∴2coscCosC10又

∴cosC或cosC1(舍)又0C,∴C

2123221223322221cos2A1cos2B2sinA2sinBsinCsin4343cos2Acos2B)∴

4(2)由正弦定理及abc得:

32.不等式的性質(zhì)有哪些?

c0acbc(2)ab,cdacbdc0acbc(3)ab0,cd0acbd1111(4)ab0,ab0

ababnnnn(5)ab0ab,ab(6)|x|aa0axa,|x|axa或xa11如:若0,則下列結(jié)論不正確的是()

ab222A.abB.abb

abC.|a||b||ab|D.2答案:C

ba22(1)ab,

33.利用均值不等式:

abb2aba,bR;ab2ab;ab求最值時(shí),你是否注a2意到“a,bR”且“等號(hào)成立”時(shí)的條件,積(ab)或和(ab)其中之一為定

2值?(一正、二定、三相等)注意如下結(jié)論:

22abab2ababa,bR且僅當(dāng)ab時(shí)等號(hào)成立。當(dāng)22ab222bcabbccaa,bRa當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)取等號(hào)。ab0,m0,n0,則bbmana1

aambnb4x4(設(shè)y23x2212243x如:若x0,23x的最大值為

423x3xy又如:x2y1,則24的最小值為x2yx2y1當(dāng)且僅當(dāng)3x,又x0,∴x時(shí),y243)max(∵222222,∴最小值為22)34.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

11123n11111111(2221223n1n23n如:證明122221111111223n1n

122)nf(x)37.解分式不等式aa0的一般步驟是什么?g(x)(移項(xiàng)通分,分子分母因式分解,x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)

36.用“穿軸法”解高次不等式“奇穿,偶切”,從最大根的右上方開始

:x1x1x20如23

37.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

如:對數(shù)或指數(shù)的底分a1或0a1討論38.對含有兩個(gè)絕對值的不等式如何去解?

(找零點(diǎn),分段討論,去掉絕對值符號(hào),最后取各段的并集。)

121.會(huì)用不等式|a||b||ab||a||b|證明較簡單的不等問題4

如:解不等式|xx31|1例(解集為x|x):設(shè)f(x)xx13,實(shí)數(shù)a滿足|xa|1如

2證:f(x)f(a)2(|a|1)求

f(x)f(a)||(xx13)(aa13)|證明:|

|(xa)(xa1)|(|xa|1)|xax||a1||xa1|

|x||a|1又∴f(x)f(aa)2||22|a|1|x||a||xa|1,∴|x||a|1(按不等號(hào)方向放縮)

40.不等式恒成立問題,常用的處理方式是什么?(可轉(zhuǎn)化為最值問題,或“△”問題)

如:af(x)恒成立af(x)的最小值af(x)恒成立af(x)的最大值af(x)能成立af(x)的最小值例如:對于一切實(shí)數(shù)x,若x3x2a恒成立,則a的取值范圍是設(shè)ux3x2,它表示數(shù)軸上到兩定點(diǎn)2和3距離之和(

325,∴5a,即a5umin者:x3x2x3x25,∴a5)或

41.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義:aad(d為常數(shù)),aan1dnn1n1等差中項(xiàng):x,A,y成等差數(shù)列2Axy前n項(xiàng)和Sn22性質(zhì):a是等差數(shù)列naannn11nnad11)若mnpq,則aaaa;(mnpq(2)數(shù)列a,a,kab仍為等差數(shù)列;2n12nnS,SS,SS仍為等差數(shù)列;n2nn3n2n3)若三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列,可設(shè)為ad,a,ad;(

m2m1(4)若a,b是等差數(shù)列S,T為前n項(xiàng)和,則;nnnn2aSbTm2m1(5)a為等差數(shù)列Sanbn(a,b為常數(shù),是關(guān)于n的常數(shù)項(xiàng)為nn0的二次函數(shù))

2S的最值可求二次函數(shù)Sanbn的最值;或者求出a中的正、負(fù)分界nnn項(xiàng),即:

a0n當(dāng)a0,d0,解不等式組得S達(dá)到最大值時(shí)的n值?1na0n1a0na0,d0,由得S達(dá)到最小值時(shí)的n值。當(dāng)可1na0n1如:等差數(shù)列a,S18,aaa3,S1,則nnnnn1n23(由aaa33a3,∴a1nn1n2n1n1S又3aa113331a,∴a

2211naanaan31n2n1n27)∴S18n22242.

等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

aann1n1定義:q(q為常數(shù),q0),aaqn1等比中項(xiàng):x、G、y成等比數(shù)列Gxy,或Gxy2na(q1)1n前n項(xiàng)和:S(要注意!)a1qn1(q1)q1性質(zhì):a是等比數(shù)列n1)若mnpq,則aaaa(mnpq(2)S,SS,SS仍為等比數(shù)列n2nn3n2n45.由S求a時(shí)應(yīng)注意什么?nn(n1時(shí),aS,na2時(shí),SS)11nnn144.你熟悉求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法嗎?例如:(1)求差(商)法

1112221解:n1時(shí),a215,∴a141121112時(shí),aaa2n152n122n1n1222112得:a2nn214(n1)n1a∴a2∴nnn12(n2)5列a滿足SS,a4,求a[練習(xí)]數(shù)nnn1an11n3Sn1(注意到aSS代入得:4n1n1nSn如:a滿足aaa2n51n12n2nn又S4,∴S是等比數(shù)列,S41nn

n1n2時(shí),aSS34nnn1an1n如:數(shù)列a中,a3,,求a(2)疊乘法例n1nan1naaa2n1a3n1n1解:2,∴aaa23nan12n113a3,∴a又1nn(3)等差型遞推公式由aaf(n),aa,求a,用迭加法nn110nn2時(shí),aaf(2)21aaf()332兩邊相加,得:aaf(n)nn1aaf(2)(f3)f(n)n1∴aaf(2)f(3)f(n)n0[

練習(xí)]

n1數(shù)列a,a1,a3an2,求an1nn1n1n(a31)n2(4)等比型遞推公式

acadc、d為常數(shù),c0,c1,d0nn1可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列,設(shè)axcaxnn1acacx1nn1令(c1)xd,∴xdc1ddc1c1ddn1∴aacn1c1c1ddn1∴aacn1c1c1列a滿足a9,3aa4,求a[練習(xí)]數(shù)n1n1nn∴是a首項(xiàng)為a,c為公比的等比數(shù)列n14(a81)n32an,求ana2n2111a111n已知得:∴由a2a2aaa2n1nnn1n(5)倒數(shù)法例如:a1,a1n1n1111111為等差數(shù)列,1,公差為1n1n1aa2a22n1n2an∴

n145.你熟悉求數(shù)列前n項(xiàng)和的常用方法嗎?例如:(1)裂項(xiàng)法:把數(shù)列各項(xiàng)拆成兩項(xiàng)或多項(xiàng)之和,使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項(xiàng)。

:a是公差為d的等差數(shù)列,求如n解:由1aak1kk1n11111d0addaaakkkak1kk1an1111∴aadaak1kk11kkk1n1111111daaaaaa23nn112

111da1an1111[練習(xí)]求和:112123123n1(a,S2)nnn1(2)錯(cuò)位相減法:

和,可由SqS求S,其中q為b的公比。nnnn如:S12x3x4xnx1nxSx2x3x4xn1xnx2n234nn123n1若a為等差數(shù)列,b為等比數(shù)列,求數(shù)列ab(差比數(shù)列)前n項(xiàng)nnnn12:1xS1xxxnxn2n1n1xnxx1時(shí),S

nnn21x1xnn12

x1時(shí),S123nn(3)倒序相加法:把數(shù)列的各項(xiàng)順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加。

Saaan1a2n1n相加Saaannn12a12Saaaaaan1n2n11n[練習(xí)]

2x111知f(x),則ff(1)(2)ff(3)ff(4)f已22341x1221x1xx由fx()f21(2221xx1x1x11x12111113)22原式f(1)f(2)ff(3)ff(4)f∴1314246.你知道儲(chǔ)蓄、貸款問題嗎?

△零存整取儲(chǔ)蓄(單利)本利和計(jì)算模型:

若每期存入本金p元,每期利率為r,n期后,本利和為:nn1p11rp2rp1nrpnr等差問題Sn2△若按復(fù)利,如貸款問題按揭貸款的每期還款計(jì)算模型(按揭貸款分期等額歸

還本息的借款種類)

若貸款(向銀行借款)p元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利),那么每期應(yīng)還x元,滿足

p(1r)x1rx1rx1rxnnn11r1r1xx11rrn1n2∴xpr1rnn1r1

p貸款數(shù),r利率,n還款期數(shù)

47.解排列、組合問題的依據(jù)是:分類相加,分步相乘,有序排列,

無序組合。

(1)分類計(jì)數(shù)原理:Nmmm12n(m為各類辦法中的方法數(shù))i分步計(jì)數(shù)原理:Nmmm12n(m為各步驟中的方法數(shù))i(2)排列:從n個(gè)不同元素中,任取m(m≤n)個(gè)元素,按照一定的順序排成一

m列,叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列,所有排列的個(gè)數(shù)記為A.nn!mnnn12nm1mnAnnm!定:0!1規(guī)

(3)組合:從n個(gè)不同元素中任取m(m≤n)個(gè)元素并組成一組,叫做從n個(gè)不

m同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合,所有組合個(gè)數(shù)記為C.nC規(guī)定:C1n0mmnnmmnn1nm1An!

m!m!nm!A4)組合數(shù)性質(zhì):(

CC,CCC,CCC2nnnnn1nnn48.解排列與組合問題的規(guī)律是:

相鄰問題捆綁法;相間隔問題插空法;定位問題優(yōu)先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可采用隔板法,數(shù)量不大時(shí)可以逐一排出結(jié)果。如:學(xué)號(hào)為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

mnmmm1m01nnx89,90,91,92,93,(i1,2,3,4)且滿足xxxx,i1234則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是()A.24B.15C.12D.10解析:可分成兩類:

1)中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)不相等,(

4有C5(種)5(2)中間兩個(gè)分?jǐn)?shù)相等xx12xx34相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來,分別有3,4,3種,∴有10種!喙灿5+10=15(種)情況49.

二項(xiàng)式定理

n0n1n12n22rnrrnn(ab)CaCabCabCabCbnnnnnrnrr二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式:TCab(r0,1n)r1nrC為二項(xiàng)式系數(shù)(區(qū)別于該項(xiàng)的系數(shù))n性質(zhì):

(1)對稱性:CCr0,1,2,,nnn(2)系數(shù)和:CCC2nnnCCCCCC2nnnnnn(3)最值:n為偶數(shù)時(shí),n+1為奇數(shù),中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大且為第

135024n101nnrnrn21項(xiàng),二項(xiàng)式系數(shù)為C;n為奇數(shù)時(shí),(n1)為偶數(shù),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式n2n1n1nn1n122系數(shù)最大即第項(xiàng)及第1項(xiàng),其二項(xiàng)式系數(shù)為CCnn2211如:在二項(xiàng)式x1的展開式中,系數(shù)最小的項(xiàng)系數(shù)為(用數(shù)字表示)

∵n=11(

12∴共有12項(xiàng),中間兩項(xiàng)系數(shù)的絕對值最大,且為第6或第7項(xiàng)2r11rr由Cx(15),∴取r即第6項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值為最。11CC426111165如:12xaaxaxaxxR,則又012201*2201*201*aaaaaaaa(用數(shù)字作答)0102030201*(令x0,得:a10令x1,得:aaa102201*∴原式201*aaaa201*11201*)001201*50.

你對隨機(jī)事件之間的關(guān)系熟悉嗎?

1)必然事件,P)1,不可能事件,P()0(

2)包含關(guān)系:AB,“A發(fā)生必導(dǎo)致B發(fā)生”稱B包含A。(

AB(3)事件的和(并):AB或AB“A與BA至少有一個(gè)發(fā)生”叫做與B的和(并)。

(4)事件的積(交):AB或AB“A與B同時(shí)發(fā)生”叫做A與B的積。(5)互斥事件(互不相容事件):“A與B不能同時(shí)發(fā)生”叫做A、B互斥。AB

(6)對立事件(互逆事件):AA,AA

A不發(fā)生”叫做A發(fā)生的對立(逆)事件,A“

(7)獨(dú)立事件:A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個(gè)事件叫做相互獨(dú)立事件。

與B獨(dú)立,A與B,A與B,A與B也相互獨(dú)立。A

51.對某一事件概率的求法:分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法,即

A包含的等可能結(jié)果mn一次試驗(yàn)的等可能結(jié)果的總數(shù)(2)若A、B互斥,則PABP(A)P(B)(A)P(3)若A、B相互獨(dú)立,則PABPAPB(4)P()A1P()A(5)如果在一次試驗(yàn)中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中A恰好發(fā)生

kkk次的概率:P(k)Cpp1nnnk如:設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。

2C24(1)從中任取2件都是次品;P1215C1023CC1046(2)從中任取5件恰有2件次品;P2521C(3)從中有放回地任取3件至少有2件次品;解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103

而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

223C464443∴∴PmC464331251023213(4)從中依次取5件恰有2件次品。

5223解析:∵一件一件抽。ㄓ许樞颍啵琻ACAA10m456223CAA10456∴P4521A10分清(1)、(2)是組合問題,(3)是可重復(fù)排列問題,(4)是無重復(fù)排列問題。

52.抽樣方法主要有:

簡單隨機(jī)抽樣(抽簽法、隨機(jī)數(shù)表法)常常用于總體個(gè)數(shù)較少時(shí),它的特征是從總體中

逐個(gè)抽。

系統(tǒng)抽樣,常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí),它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一個(gè);分層抽樣,主要特征是分層按比例抽樣,主要用于總體中有明顯差異,它們的共同特征是每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。53.

對總體分布的估計(jì)用樣本的頻率作為總體的概率,用樣本的期望(平均值)和方差去估計(jì)總體的期望和方差。

要熟悉樣本頻率直方圖的作法:

(1)算數(shù)據(jù)極差xx;maxmin(2)決定組距和組數(shù);(3)決定分點(diǎn);(4)列頻率分布表;(5)畫頻率直方圖。

中,頻率小長方形的面積組距×其本平均值:xxxx樣12n頻率組距1n12222樣本方差:Sxxxxxx12nn如:從10名女生與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽,如果按性別分層隨機(jī)抽樣,則組成此參賽隊(duì)的概率為____________。

42C1C(065)

C1554.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎?(1)向量既有大小又有方向的量。

2)向量的模有向線段的長度,|a|(

(3)單位向量|a|1,a00a|a|(4)零向量0,|00|長度相等5)相等的向量ab(方向相同在此規(guī)定下向量可以在平面(或空間)平行移動(dòng)而不改變。

(6)并線向量(平行向量)方向相同或相反的向量。規(guī)定零向量與任意向量平行。

b∥a(b0)存在唯一實(shí)數(shù),使ba(7)向量的加、減法如圖:

OAOBOCOAOBBA(8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

e,e是平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,a為該平面任一向量,則存在唯一12實(shí)數(shù)對、,使得aee,e、e叫做表示這一平面內(nèi)所有向量12121212的一組基底。

(9)向量的坐標(biāo)表示

,j是一對互相垂直的單位向量,則有且只有一對實(shí)數(shù)x,y,使得i

axiyj,稱(x,y)為向量a的坐標(biāo),記作:ax,y,即為向量的坐標(biāo)表示。

abx,yy,yxy,xy則axy,x,yAx,y,Bx,y若ABxx,yy則ax,,bxy設(shè),1y12211112111221111222122|AB|xxyy,A、B兩點(diǎn)間距離公式212155.平面向量的數(shù)量積

(1)ab|a||b|cos叫做向量a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)。為向量ab與的夾角,0,BbO數(shù)量積的幾何意義:

aDA

ab等于|a|與b在a的方向上的射影|b|cos的乘積。(2)數(shù)量積的運(yùn)算法則①abba②(ab)cacbcabx,yx,yxxyy③11221212注意:數(shù)量積不滿足結(jié)合律(ab)ca(bc)3)重要性質(zhì):設(shè)ax,y,bx,y(1122①a⊥bab0xxyy01212②a∥bab|a||b|或ab|a||b|ab(b0,惟一確定)xyxy01221③aax||ya,|b|||ab||④cos[練習(xí)]

222211xxyyab12122222yxy|a||b|x1122(1)已知正方形ABCD,邊長為1,ABa,BCb,ACc,則|abc|答案:22

2)若向量ax,1,b4,x,當(dāng)x時(shí)a與b共線且方向相同(

答案:2

(3)已知a、b均為單位向量,它們的夾角為60,那么|a3b|答案:13

56.線段的定比分點(diǎn)

oPx,y,Px,y,分點(diǎn)Px,y,設(shè)P、P是直線l上兩點(diǎn),P點(diǎn)在設(shè)11122212l上且不同于P、P,若存在一實(shí)數(shù),使PPPP,則叫做P分有向線段12PP所成的比(0,P在線段PP內(nèi),0,P在PP外),且121212xxxx1212xx12,PP為中P點(diǎn)時(shí),12yyyy212y1y12:ABC,Ax,y,Bx,y,Cx,y如11223312則ABC重心G的坐標(biāo)是xxxyy3y123,33※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎?57.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎?

平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化:

線∥線線∥面面∥面線⊥線線⊥面面⊥面判定性質(zhì)線∥線線⊥面面∥面∥b,b面,∥aa面線面平行的判定:a

ab線面平行的性質(zhì):∥面,面,ba∥b

A⊥面,AO為PO在內(nèi)射影,a面,則三垂線定理(及逆定理):P⊥OAa⊥PO;a⊥POa⊥AOa

POa

⊥b,a⊥c,b,c,bcOa⊥線面垂直:a

aOαbc

面面垂直:

⊥面,a面⊥a

面⊥面,l,a,a⊥la⊥αalβ

a⊥面,b⊥面a∥b面⊥a,面⊥∥aab58.三類角的定義及求法

(1)異面直線所成的角θ,0°<θ≤90°

(2)直線與平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

=0時(shí),b∥或b

o(3)二面角:二面角l的平面角,0180o

o

(三垂線定理法:A∈α作或證AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,連AO,則AO⊥棱l,∴∠AOB為所求。)三類角的求法:①找出或作出有關(guān)的角。

②證明其符合定義,并指出所求作的角。③計(jì)算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。[練習(xí)]

(1)如圖,OA為α的斜線OB為其在α內(nèi)射影,OC為α內(nèi)過O點(diǎn)任一直線。證明:coscoscosAθOβBCDα

(為線面成角,∠AOC=,∠BOC=)(2)如圖,正四棱柱ABCDA1B1C1D1中對角線BD1=8,BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。

①求BD1和底面ABCD所成的角;②求異面直線BD1和AD所成的角;③求二面角C1BD1B1的大小。

D1C1A1B1HGDCAB

①arcsin;②60;③arcsin)(

(3)如圖ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB與

面PCD所成的銳二面角的大小。

PFDCAEB

(∵AB∥DC,P為面PAB與面PCD的公共點(diǎn),作PF∥AB,則PF為面PCD與面PAB的交線)

59空間有幾種距離?如何求距離?

點(diǎn)與點(diǎn),點(diǎn)與線,點(diǎn)與面,線與線,線與面,面與面間距離。將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)的距離,構(gòu)造三角形,解三角形求線段的長(如:三垂線定理法,

34o或者用等積轉(zhuǎn)化法)。

如:正方形ABCDA1B1C1D1中,棱長為a,則:(1)點(diǎn)C到面AB1C1的距離為___________;(2)點(diǎn)B到面ACB1的距離為____________;

(3)直線A1D1到面AB1C1的距離為____________;(4)面AB1C與面A1DC1的距離為____________;(5)點(diǎn)B到直線A1C1的距離為_____________。

DCABD1C1A1B160.

你是否準(zhǔn)確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)?

正棱柱底面為正多邊形的直棱柱

正棱錐底面是正多邊形,頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心。

正棱錐的計(jì)算集中在四個(gè)直角三角形中:RtSOB,RtSOE,RtBOE和RtSBE它們各包含哪些元素?

SCh"(C底面周長,h"為斜高)正棱錐側(cè)12底面積×高V錐1361.球有哪些性質(zhì)?

1)球心和截面圓心的連線垂直于截面rRd(

(2)球面上兩點(diǎn)的距離是經(jīng)過這兩點(diǎn)的大圓的劣弧長。為此,要找球心角!(3)如圖,θ為緯度角,它是線面成角;α為經(jīng)度角,它是面面成角。

(4)S4R,VR球球(5)球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R:r=3:1。

2433如:一正四面體的棱長均為2,四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,則此球的表面積為()A.3答案:AB.4C.33D.664.熟記下列公式了嗎?

21(1)l直線的傾斜角0,,ktan,xx12yyxx212Px,y,Px,y是l上兩點(diǎn),直線l的方向向量a1,k111222(2)直線方程:

點(diǎn)斜式:yykxx(k存在)00斜截式:ykxbxyab一般式:AxByC0(A、B不同時(shí)為零)截距式:1(3)點(diǎn)Px,y到直線l:AxByC0的距離d002(4)l到l的到角公式:tan12AxByC00AB22

kk1

1kk12與l的夾角公式:tan2l1263.

kk1

1kk12如何判斷兩直線平行、垂直?

ABAB1221l∥l12ACAC1221kkl∥l(反之不一定成立)1212ABB0l⊥lA121212kk1l⊥l121264.怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系?

圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

直線與圓相交時(shí),注意利用圓的“垂徑定理”。65.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置?

聯(lián)立方程組關(guān)于xy(或)的一元二次方程“”0相交;0相切;0相離

66.分清圓錐曲線的定義

橢圓PFF2a,2a2cFF1P212第一定義雙曲線PFF2a,2a2cFF1P212拋物線PFPK0e1橢圓;e1雙曲線;e1拋物線2222xyxy69.與雙曲線1有相同焦點(diǎn)的雙曲線系為02222abab68.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時(shí),消元后得到的方程,要注意其二次項(xiàng)系數(shù)是否為零?△≥0的限制。(求交點(diǎn),弦長,中點(diǎn),斜率,對稱存在性問題都在△≥0下進(jìn)行。)弦長公式PP1kxx4xx121212222112yy4yy12k1269.會(huì)用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎?

yAP2OFxP1B2y2pxp0通徑是拋物線的所有焦點(diǎn)弦中最短者;以焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切。70.

有關(guān)中點(diǎn)弦問題可考慮用“代點(diǎn)法”。

22如:橢圓mxny1與直線y1x交于M、N兩點(diǎn),原點(diǎn)與MN中點(diǎn)連2m線的斜率為,則的值為2n答案:

m2n271.如何求解“對稱”問題?

(1)證明曲線C:F(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)M(a,b)成中心對稱,設(shè)A(x,y)為曲線

C上任意一點(diǎn),設(shè)A"(x",y")為A關(guān)于點(diǎn)M的對稱點(diǎn)。

xx"yy"22要證明A"2ax,2byC也在曲線上,即f(x")y"只(由a,bx"2ax,y"2by)2A)點(diǎn)、A"關(guān)于直線l對稱(kk1AA"lAA"中點(diǎn)坐標(biāo)滿足l方程AA"⊥lAA"中點(diǎn)在l上

72.求軌跡方程的常用方法有哪些?注意討論范圍。(直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法)73.對線性規(guī)劃問題:作出可行域,作出以目標(biāo)函數(shù)為截距的直線,在可行域內(nèi)平移直線,求出目標(biāo)函數(shù)的最值。

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