專題13：初中數(shù)學方法總結

專題：初中數(shù)學方法總結一，初中數(shù)學方法點滴

學了初中三年的數(shù)學，解了三年的數(shù)學題，感到學海無邊，題目無窮，在紛繁復雜的題目中，我們應總結出一些數(shù)學方法，從解題實踐中提煉出方法，用方法來指導解題實踐。以下為個人就初中數(shù)學的解題方法的一些體會。一，代入法。

如，點在直線上，則點的橫縱坐標就可以代入直線解析式。當然反比例函數(shù)，二次函數(shù)亦然。又如，已知某個數(shù)是一元二次方程的根，則該數(shù)就可以代入方程。還有，分式的先化簡再求值，則說明必須先把分式化簡，再作代入，當然這里要注意代入的數(shù)要使原分式有意義。二，整體代入法。

在代數(shù)式的變形計算中，在一元二次方程根與系數(shù)的關系類題目中常有運用。三，因式分解法。

提取公因式，平法差公式，完全平方公式，十字相乘法均屬此法。在因式分解，分式的化簡，解一元二次方程等題目中都有運用。四，配方法。

當二次項系數(shù)為1時，加上一次項系數(shù)一半的平方就叫配方法。它可以用于解一元二次方程，非負數(shù)取值的判斷，二次函數(shù)求頂點坐標或最值或對稱軸等題目。五，換元法。

我們常用的換元法是用一個未知數(shù)表示若干個較為復雜的代數(shù)量或幾何線段，往往可以問題容易理解或便于用方程解答。這是先設未知數(shù)再用方程解決問題的方程思想的典型運用。六，判別式法。

判別式除了可以判斷一元二次方程的解的情況，還可以和二次函數(shù)相聯(lián)系。七，求根公式法。

此法是由配方法演繹而得，為解一元二次方程的通用辦法。八，根與系數(shù)的關系法。

一元二次方程中，表示出兩根之和或兩根之積后，除了可以代入計算，還可以由此關系得到方程的另一根或其他系數(shù)。九，待定系數(shù)法。

初中的三大函數(shù)解析式的求法，均叫做待定系數(shù)法，它是代入法的延伸，在數(shù)學中有著廣泛的運用。（三大函數(shù)，即，一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)）十，直接得到法。

直接由數(shù)學知識點得到答案，常用與容易解決的基礎題。十一，排除法。

在選擇題中，有明顯錯誤的選項可以先排除，以縮小選擇之范圍。十二，驗證法。

我們知道，解分式方程必須檢驗，在有些選擇題中，可以將選項作逐一代入檢驗，得到正確答案。十三，特殊元素法。

在選擇題判斷一組代數(shù)式的大小時，可以選用此法，但要注意選擇的特殊元素要有代表性。十四，先易后難法。

在選擇題甚至整個試題中，先易后難可以提升效率、把握全局，也有利于思維的發(fā)揮。十五，順向思維法。

在圖形題中，可以根據(jù)已知條件，運用所學圖形的性質，進行直接的推理，從而得到正確答案或要證明的結果，即為此法。此法往往應用與較為常見或難度不大的題目。十六，逆向思維法。

在圖形題中，可以進行逆向思維。即，要得此步，則必須得到什么，要必須得到什么，則又必須得到什么，如此逆推上去，直至與已知條件相連接。然后順向書寫下來。十七，順逆雙向思維法。

在較難的圖形題中，單用順向或逆向尚不能解決問題，則采取兩個方向思維，力爭找到兩種思維方式的連接點。十八，劃歸思想法。

也在較難圖形題目中，有連續(xù)三問，第二三問的解答往往是運用前面的探究方法。十九，動中取靜、轉化問題法。

動點題目中，通常有一個或兩個動點。雖然，有其運動，但要抓住其不動的條件，是為動中取靜。其動態(tài)問題，往往需要通過分析，將問題轉化為相似（如模擬卷7的第26題）；或轉化為等腰三角形的兩腰相等、平行四邊形的對邊相等、直角三角形的勾股定理，通過方程的思想得到所求未知量；或轉化為三角形或四邊形的面積為一個函數(shù)表達式（一次函數(shù)或二次函數(shù)），通過自變量的取值（要注意其取值范圍）來確定其最值。二十，外部延伸法。

當在圖形內部分析無法解決時，思維要走向圖形整體的外部，在更廣闊的空間翱翔自己的思維。二十一，取長補短法。

往往用于證明一條較長線段等于兩條線段之和。

二十二，輔助線法（構造法）。

無論內部、外部，還是取長補短法，都可以考慮作輔助線幫助解決問題。此外，在梯形、平行四邊形等四邊形中作高，在等腰三角形中作高，在反比例函數(shù)中作直角三角形或矩形，在三角形面積中作高，在拋物線中作平行線和垂線等，都有其廣泛的運用。二十三，面積法。

求三角形或四邊形的面積，有三種手段：1，直接用公式求面積，2，間接的加法，3間接的減法。當然間接的方法也常用于求和圓有關的陰影部分的面積。二十四，幾何變換法。

三大變換（平移、旋轉、軸對稱）中有重合即相等的元素，要準確判斷，并合理選擇運用。此法往往和勾股定理、扇形弧長公式、扇形面積聯(lián)系運用。二十五，相似法。

相似可以得到對應邊成比例，還可以用來表示未知量。二十六，三角函數(shù)法。

三角函數(shù)除了運用于解直角三角形，它也是一種比值。由此，可以通過設未知數(shù)將所求問題表示成一個未知數(shù)表示的代數(shù)式，還可以得到其他對應線段的比值。二十七，圖形法。

在無圖而可以作圖的題目中，畫圖可以幫助分析。在有圖的圖形題中，根據(jù)題目的描述，依次畫出圖形，避開干擾圖形也可以幫助分析圖形問題。此法，往往用于解決圖形題目中的第一問。二十八，數(shù)形結合法。

平時常說草稿圖像法，即對函數(shù)的性質進行分析時，作出函數(shù)的草稿圖像，可以簡便快捷的進行分析。在應用題中，也可畫出圖示幫助分析。數(shù)學結合思想將代數(shù)與幾何相聯(lián)系，往往收到意想不到的效果，在數(shù)學中有著廣泛的運用。二十九，反復降次法。

我們曾兩次做過一類小題，用到此法。三十，共加共減法。

在圖形的重疊部分運用此法，可以得到兩個角相等。在直角頂點位于直線上時，根據(jù)角的傳遞性，可以得到兩角相等，帶來相似甚至全等。在判定切線或運用切線時，也有此法的運用，它也可以看做等量代換或等式的性質。在圖形題中有著廣泛的運用。

三十一，圖形轉化法。

將角所在的不規(guī)則三角形轉化為直角三角形，將不規(guī)則圖形轉化為規(guī)則的三角形，是轉化思想的運用。三十二，代數(shù)轉化法。

解分式方程的第一步是兩邊同乘最簡公分母，轉化為一次方程。運用因式分解法、配方法解一元二次方程是轉化為一元一次方程。解二元一次方程組，無論加減法還是代入法都是轉化為一元一次方程。

三十三，反證法。

先假設結論成立，然后從此結論推理出與已知或定理相矛盾的情形，則可以說明結論不成立。但我們的所學和所解中很少運用此法，同學們不到萬不得已之時，不可采用此法。

三十四，動手折紙法。

在三視圖、立方體展開圖、圖形的折疊中，運用此法可以幫助用空間想象難以想清楚的問題。三十五，就地取材法。

當題目的主干條件不變，只是在第二問、第三問中添加條件時，那么，第前面所得的結論可以作為后問的已知條件。三十六，數(shù)學感覺法。

如，已知一個點是中點，則迅速聯(lián)想到中線、中位線、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。如，已知30°，除了分析度數(shù)外，還應聯(lián)想直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。如，已知直徑，則聯(lián)想所對的圓周角為90°。如見切點，連圓心。如看到切線，想到切線垂直于過切點的半徑。如垂徑定理知二推三，弦、圓心角、弧、弦心距四者關系知一推三。

三十七，數(shù)學公式法。

初中數(shù)學中，有很多公式需要記憶，當然也可推理。如三角形面積公式、直角三角形面積公式、等邊三角形面積公式、平行四邊形面積公式、菱形面積公式、矩形面積公式、正方形面積公式、梯形面積公式、等腰直角三角形斜邊與直角邊的關系、圓面積公式、圓周長公式、扇形弧長公式、扇形的兩個面積公式、圓錐的側面積公式等等都有著廣泛的計算運用。

三十八，數(shù)學定理法。

如，角平分線、等腰三角形、等邊三角形、直角三角形、平行四邊形、菱形、矩形、正方形、切線的判定定理和性質定理需要有系統(tǒng)的熟記，它們在圖形的計算和證明中均有著廣泛的運用。

以上方法來自數(shù)學解題和學習的總結，肯定還有更多更好的方法，因此，需不斷學習和總結。

二，直角或垂直的解題方法的聯(lián)想

判斷兩條直線的位置關系是否垂直，判斷一個三角形的形狀是否為直角三角形，已知直角三角形或垂直作何種運用，它既可在圖形性質或變化兩類題目中單列出現(xiàn)，也常在壓軸題中作為第二問中出現(xiàn)。因此，既可串聯(lián)圖形題目，也有著相當重要的地位。其解題方法不是單一的，常有以下24種。1，勾股定理的逆定理。

這常與拋物線相結合，需先做出垂直于坐標軸的輔助線，明確各個頂點的坐標，再計算出所判定三角形的各邊長，由勾股定理的逆定理可以判斷其形狀，而且，還可以斷定其直角所在。2，兩銳角互余。

這是常用手段，實際是用了三角形的內角和定理。3，平角減法。

如果所求的角的頂點是在某一直線上，如能求出它與其兩邊與直線的兩個夾角的和為180度，則也能判定角為直角。4，平行法。

已知兩直線平行，若其中一條直線垂直于第三條直線，則另一條直線也垂直于第三直線。，當然垂直于同一直線的兩條直線互相平行。也可以理解為是平行線的性質。這也是圓中判定切線的常見手段。5，逆用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，將其逆用也可得到直角。實際上蘊含著三角形的外接圓的圓周角定理，這是一種很容易被忽略而又輕便快捷的辦法。6，折疊法。

在圖形的變化類題目中，常出現(xiàn)圖形的折疊，雖然折痕常常為的分析切入點，但這里因為重合的理念也暗藏著直角的玄機。它與勾股定理結合，運用方程思想，常能打開貌似艱難的問題。7，全等三角形判定。

如能求證所求角所在的三角形與某一個已知直角三角形全等，也可達到目的。此法往往和圓相結合。8，直徑所對的圓周角為90度。

圓中，每當提到直徑，就應該有這樣本能的反應。若已知圓周角為直角，則它所對的弦是直徑。9，切線垂直于過切點的半徑。

這是切線的性質，也能帶來直角。反之切線垂直于過切點的半徑。10，垂徑定理。

如果過圓心的直線平分所對的弦，那么該直線就垂直于這條弦。垂徑定理知二推三。11，菱形和正方形的對角線互相垂直。

在小題中常見已知菱形的兩條對角線的長，求其邊長乃至周長的問題。12，等腰三角形三線合一

等腰三角形中，底邊上的高、中線、頂角的角平分線三線合一。13，共加或共減法。

在劃歸一類的題目中，常出現(xiàn)判斷兩條直線的位置關系，在較為復雜的幾個角的錯綜復雜中，常用到這種方法，當然需要先知道其中一處為90度，此類題目也常與三角形的全等相結合。14，四邊形的內角和。

在類似于上一類的題目中，有出現(xiàn)某一個四邊形的一組對角和為180度，即可用四邊形的內角和算出所求的角為90度。此外圓內接四邊形對角互補也是不可忽略的情景或手段，平行四邊形的對角相等也可理解為此類之列。15，作輔助線構造直角三角形。

如在解直角三角形中，已知一個鈍角三角形，往往需要構造直角三角形來求得所求，當然解直角三角形的前提是已知兩邊或一邊一銳。在等腰梯形中常作底邊的高來構建直角三角形，在直角三角形中做斜邊上的高能帶來直角三角形的面積有兩種求法。在平行四邊形中作高也有用處。16，反比函數(shù)k的幾何意義。

過反比例函數(shù)的圖像即雙曲線上的一點，作坐標軸的垂線段，并連接原點，可以構造直角三角形，則此直角三角形的面積等于斜率K的絕對值的一半。17，兩坐標軸的夾角為90度。

有一種題目，在坐標系中求某一個圓周角的三角函數(shù)，那么可以把這個角轉化到一個直角三角形中求解。18，斜率k的乘積為-1，則兩直線平行。

19，軸對稱圖形中，對稱軸必垂直平分對應點的連線段。20，三角形的外心是三條垂直平分線的交點。21，圓錐頂點與底面圓心的連線必垂直于底面。22,30度角所對的直角邊等于斜邊的一半。

23，直角三角形的直角頂點共邊，可利用其角的傳遞性帶來相似或全等。24，直角三角形全等的HL，相似的兩角均只差一個條件就可以得到。

以上或許只是判定直角或垂直的諸多方法中的少數(shù)，如同滄海之一粟，更多方法尚待不斷學習中。

三，二次函數(shù)綜合題的解題方法體會

二次函數(shù)綜合題，是以二次函數(shù)的圖像性質為主，結合其他圖形，涉及知識點較多，綜合性較強的一種壓軸題。它是代數(shù)知識和幾何圖形的綜合，因此蘊含了數(shù)形結合的思想。

一，題目結構。

第一問，求拋物線的解析式，第二三問為難度題目。二，解題思想。

數(shù)形結合思想，分類討論思想，方程思想，函數(shù)思想，轉化思想二，題目類型和解題思路方法。

第一問，求拋物線的解析式。常見有三種以上方法可以選用。1.一般式。如全部代入，組成三元一次方程組，2.頂點式。如在已知頂點坐標的情況下用頂點式，

3.雙根式。如已知拋物線與橫軸的兩個交點坐標的情況下用雙根式。

其他，如果已知拋物線的對稱軸則可根據(jù)對稱軸公式表示或求出a、b，如果已知拋物線與y軸交點坐標可先得c，或利用拋物線的對稱性可以有變化的求法。

第二問或第三問則為難度題目。常見的題型有以下等等。1，判斷三角形的形狀。勾股定理法：通常是利用勾股定理的逆定理來判斷是否直角三角形甚至等腰直角三角形（201*安順題即201*菏澤題，如201*昭通題即201*臨沂題，如201*湛江題，如201*年山東棗莊題）

2，求線段之和最短時的交點坐標。

先為對稱交點法（作軸對稱點，對應兩點的連線即為所求點的坐標），之后可用相似法（相似三角形得對應邊成比例，還可以設x利用相似來表示未知線段，此法也常見與動點題目轉化為相似解決問題）或解析式法（求直線與拋物線的交點坐標，可以聯(lián)立直線解析式和拋物線解析式組成方程組，求得交點坐標）。（201*安順即201*菏澤）

3，求直角三角形形狀時與拋物線的交點坐標或在對稱軸上存在的點的坐標（前者如201*遵義題，201*遵義題，201*徐州題，后者如201*濟南題）

分類討論法（當已知三角形的直角頂點未知時，當兩個三角形相似但對應頂點不明確是，要分情況討論），、解析式法。

4，當三角形為等腰三角形時求對稱軸上存在的點的坐標（如201*年張家界題，201*來賓題，201*湖北十堰題）分類討論法（等腰三角形的兩腰不確定時采用，其中暗藏勾股定理，圓的定義，垂直平分線的知識）。5,與圓結合求三角形面積最小時或最大時動點的坐標（201*遵義題，201*安徽卷）圖形形狀分析法（結合圓和其他圖形的性質判斷圖形形狀），如201*遵義題第三位需要分析三角形的形狀為等腰直角三角形。

6當未知三角形面積是已知三角形的倍數(shù)時，求在拋物線上的點坐標（201*銅仁，201*黔南，201*福建莆田題）平行法（也叫平移法，若兩條直線平行，則未知直線的斜率k等于已知直線的斜率k,再根據(jù)未知直線過某一已知點可以得到該直線的解析式），解析式法等結合。

7，求三角形面積的表達式，并求出當自變量為何取值時動點的坐標。表示三角形的面積，并求三角形的面積。（201*南寧題201*濟南題，201*成都題）

三角形面積直接表示法（直接運用三角形的面積公式，用含自變量的函數(shù)關系式來表示，而如何表示三角形的底和高將成為關鍵，此舉在動點題中也常常出現(xiàn)），用銳角三角函數(shù)或相似表示出底邊上的高很關鍵。8，當兩個三角形相似時，求在某直線上存在的點的坐標。（201*山東棗莊即201*云南曲靖題）相似法。

9，表示點和線段。

坐標表示點、線段法（通常是先設一個點的橫坐標，再根據(jù)點在直線上或在拋物線上，用相同的未知數(shù)的代數(shù)式設出縱坐標，然后縱向線段長等于上點的縱坐標減去下點橫坐標，而橫向線段長則等于右點橫坐標減去左點橫坐標）。此法常與解析式法相結合。典型題目如201*淄博題。10、判斷點是否在直線上

相似法，代入法（將點代入直線，判斷點是否在直線上）。如201*襄陽題。

11，當四邊形為平行四邊形時求拋物線上存在的點的坐標（如201*年陜西題，201*銅仁題，201*廣東湛江題，201*淄博題，201*南寧題）

圖形性質法（利用圖形的性質或判定，如一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形等來轉化問題為方程問題），坐標表示點線段法、解析式法或相似法。12，當四邊形為等腰梯形時求在拋物線上點的坐標，（201*山東臨沂題）當四邊形為直角梯形時求在拋物線上存在的點的坐標(201*年云南昭通題，201*襄陽題）當四邊形為正方形時，求拋物線上存在的點的坐標（201*成都卷）圖形性質法，解析式法，平行法13，求不規(guī)則四邊形面積的最值。（201*十堰題）

圖形面積間接表示法（通常是把一個不規(guī)則的四邊形的面積表示成兩個或兩個以上的三角形的面積之和，或用梯形減去兩個或兩個以上三角形的面積來表示，之后可以得出四邊形面積為一個二次函數(shù)解析式，從而取其最值，當然求最值時應考慮自變量的取值范圍。）而間接表示三角形的面積也為此法。

14，當直線平分平行四邊形的面積時，求拋物線上存在的點的坐標（201*徐州題）

解題方法：平分平行四邊形的面積的直線必過對角線的交點，接著可用解析式法解決問題。

總之，二次函數(shù)綜合題實際上是由很多知識的組合或綜合而成的，方法多樣而新穎，難度大，應用心體會。

擴展閱讀：初中數(shù)學13

201*年臨沂市中考數(shù)學試題

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．第Ⅰ卷1至4頁，第Ⅱ卷5至12頁，滿分120分．考試時間120分鐘．

第Ⅰ卷（選擇題共42分）

注意事項：

1.答第Ⅰ卷前，考生務必將自己的姓名、準考生號、考試科目用鉛筆涂寫在答題卡上．2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上．3.考試結束，將本試卷和答題卡一并收回．

一、選擇題（本大題共14小題，每小題3分，共42分）在每小題所給的4個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．9的相反數(shù)是（）A．

19B．19C．9D．9

2．某種流感病毒的直徑是0.00000008m，這個數(shù)據(jù)用科學記數(shù)法表示為（）A．810mC．810m

86

B．810mD．810m

45

3．下列各式計算正確的是（）A．xxxC．(x)x

42834

xxB．x2242510

D．xxx(x0)

4．下列圖形中，由AB∥CD，能得到12的是（）

AA1BBBA

1122CCCDDD2A．B．C．

5．計算27A．1

131812的結果是（）

AC

1B2D．

DB．1

b2C．32D．23

6．化簡

2ab4a2b2a的結果是（）

C．2ab

D．b2a

A．2abB．b2a

7．已知⊙O1和⊙O2相切，⊙O1的直徑為9Cm，⊙O2的直徑為4cm．則O1O2的長是（）

A．5cm或13cmB．2.5cm

AC．6.5cmD．2.5cm或6.5cm

P8．如圖，OP平分AOB，PAOA，PBOB，

垂足分別為A，B．下列結論中不一定成立的是（）

OBA．PAPBB．PO平分APB

（第8題圖）

C．OAOBD．AB垂直平分OP

9．對于數(shù)據(jù)：80，88，85，85，83，83，84．下列說法中錯誤的有（）A．這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是84B．這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是85C．這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是84D．這組數(shù)據(jù)的方差是36A．1個B．2個C．3個D．4個

10．若xy，則下列式子錯誤的是（）A．x3y3C．x3y2

B．3x3yD．

x3y3

AOB

CEF

（第11題圖）

D

11．如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，對角線ACBD于

點O，AEBC，DFBC，垂足分別為E、F，設AD=a，BC=b，則四邊形AEFD的周長是（）A．3ab

B．2(ab)

C．2baD．4ab

12．如圖是一個包裝盒的三視圖，則這個包裝盒的體積是（）

12cm

4cm

（第12題圖）A．192πcm

3B．1152πcmC．2883cmD．3843cm

33313．從1，2，3，4這四個數(shù)字中，任意抽取兩個不同數(shù)字組成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)能被3整除的概率是（）A．

13B．

14C．

16D．

112

DHF

14．矩形ABCD中，AD8cm，AB6cm．動點E從點C開始A沿邊CB向點B以2cm/s的速度運動，動點F從點C同時出發(fā)沿邊CD向點D以1cm/s的速度運動至點D停止．如圖可得到矩形CFHE，設運動時間為x（單位：s），此時矩形ABCD去掉矩形CFHE后剩余

BC

E（第14題圖）

部分的面積為y(單位：cm)，則y與x之間的函數(shù)關系用圖象表示大致是下圖中的（）

y(cm2)4816

46OA．

y(cm2)4816x(s)O46B．

x(s)4816O46C．

x(s)y(cm2)4816O4D．

6x(s)y(cm2)2第Ⅱ卷（非選擇題共78分）

注意事項：

1．第Ⅱ卷共8頁，用鋼筆或圓珠筆直接答在試卷上．2．答卷前將密封線內的項目及座號填寫清楚．

二、填空題（本大題共5小題，每小題3分，共15分）把答案填在題中橫線上．15．分解因式：x2xyxy=_________________．

16．某制藥廠兩年前生產1噸某種藥品的成本是100萬元，隨著生產技術的進步，現(xiàn)在生產1噸這種藥品的成本為81萬元，．則這種藥品的成本的年平均下降率為______________．17．若一個圓錐的底面積是側面積的

132，則該圓錐側面展開圖的圓心角度數(shù)是_____度．

18．如圖，在菱形ABCD中，ADC72，AD的垂直平分線交對角線BD于點P，垂足為E，連接CP，則CPB________度．

DE

PCAB

（第18題圖）

19．如圖，過原點的直線l與反比例函數(shù)y1xlMyON（第19題圖）x的圖象交于M，N兩點，根據(jù)圖象猜想線

段MN的長的最小值是___________．

三、開動腦筋，你一定能做對！（本大題共3小題，共20分）20．（本小題滿分6分）解不等式組3(2x1)≥2102(1x)3(x1)，并把解集在數(shù)軸上表示出來．

21．（本小題滿分7分）

為了了解全校1800名學生對學校設置的體操、球類、跑步、踢毽子等課外體育活動項目的喜愛情況，在全校范圍內隨機抽取了若干名學生．對他們最喜愛的體育項目（每人只選一項）進行了問卷調查，將數(shù)據(jù)進行了統(tǒng)計并繪制成了如圖所示的頻數(shù)分布直方圖和扇形統(tǒng)計圖（均不完整）．

（1）在這次問卷調查中，一共抽查了多少名學生？（2）補全頻數(shù)分布直方圖；

（3）估計該校1800名學生中有多少人最喜愛球類活動？人數(shù)

3640其他12.5%3025%體操踢毽子20跑步

1010104球類0

體操球類踢毽子跑步其他項目

22．（本小題滿分7分）

如圖，A，B是公路l（l為東西走向）兩旁的兩個村莊，A村到公路l的距離AC=1km，B村到公路l的距離BD=2km，B村在A村的南偏東45方向上．

（1）求出A，B兩村之間的距離；

（2）為方便村民出行，計劃在公路邊新建一個公共汽車站P，要求該站到兩村的距離相等，請用尺規(guī)在圖中作出點P的位置（保留清晰的作圖痕跡，并簡要寫明作法）．

北

東ADlC

B

（第22題圖）

四、認真思考，你一定能成功�。ū敬箢}共2小題，共19分）23．（本小題滿分9分）

如圖，AC是⊙O的直徑，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，AB=6，PA=5．求（1）⊙O的半徑；（2）sinBAC的值．PBCAO

（第23題圖）

24．（本小題滿分10分）

在全市中學運動會800m比賽中，甲乙兩名運動員同時起跑，剛跑出200m后，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起來繼續(xù)投入比賽，并取得了優(yōu)異的成績．圖中分別表示甲、乙兩名運動員所跑的路程y（m）與比賽時間x（s）之間的關系，根據(jù)圖像解答下列問題：（1）甲摔倒前，________的速度快（填甲或乙）；（2）甲再次投入比賽后，在距離終點多遠處追上乙？

y(m)CD甲800

乙P

200ABO401201*5x(s)（第24題圖）

五、相信自己，加油�。。ū敬箢}共2小題，共24分）25．（本小題滿分11分）

數(shù)學課上，張老師出示了問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點．AEF90，且EF交正方形外角DCG的平行線CF于點F，求證：AE=EF．經過思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AEEF．

在此基礎上，同學們作了進一步的研究：

（1）小穎提出：如圖2，如果把“點E是邊BC的中點”改為“點E是邊BC上（除B，

C外）的任意一點”，其它條件不變，那么結論“AE=EF”仍然成立，你認為小穎的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由；

（2）小華提出：如圖3，點E是BC的延長線上（除C點外）的任意一點，其他條件不變，結論“AE=EF”仍然成立．你認為小華的觀點正確嗎？如果正確，寫出證明過程；如果不正確，請說明理由．

FDDAADA

FF

BBECECGGBCEG圖1圖2圖3

（第25題圖）

26．（本小題滿分13分）

0)，B(1，0)，C(0，2)三點．如圖，拋物線經過A(4，（1）求出拋物線的解析式；

（2）P是拋物線上一動點，過P作PMx軸，垂足為M，是否存在P點，使得以A，P，M為頂點的三角形與△OAC相似？若存在，請求出符合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由；（3）在直線AC上方的拋物線上有一點D，使得△DCA的面積最大，求出點D的坐標．

yxOB14A

2C

（第26題圖）

201*年臨沂市中考數(shù)學試題

參考答案及評分標準

說明：第三、四、五大題給出了一種或兩種解法，考生若用其它解法，應參照本評分標準給分．

一、選擇題（每小題3分，共42分）題號答案1D2C3C4B5C6A7D8D9B10B11A12C13A14A二、填空題（每小題3分，共15分）

215．x(1y)16．10%17．1201*．7219．22

三、開動腦筋，你一定能做對�。ü�20分）

20．解：解不等式32x1≥2，得x≤3．（2分）解不等式102(1x)3(x1)，得x1．（4分）所以原不等式組的解集為1x≤3．（5分）把解集在數(shù)軸上表示出來為

10123

（6分）

21．解：（1）1012.5%80（人）．一共抽查了80人．（2分）（2）8025%20（人），圖形補充正確．（4分）（3）18003680810（人）．

估計全校有810人最喜歡球類活動．（7分）

22．解：（1）方法一：設AB與CD的交點為O，根據(jù)題意可得AB45°．

（1分）△ACO和△BDO都是等腰直角三角形．AO2，BO22．

A，B兩村的距離為ABAOBO．（4分）22232（km）

方法二：過點B作直線l的平行線交AC的延長線于E．

易證四邊形CDBE是矩形，（1分）CEBD2．

在Rt△AEB中，由A45°，可得BEEA3．

AB3332（km）

22A，B兩村的距離為32km．（4分）

（2）作圖正確，痕跡清晰．（5分）作法：①分別以點A，B為圓心，以大于半徑作弧，兩弧交于兩點M，N，

作直線MN；

②直線MN交l于點P，點P即為所求．（7分）四、認真思考，你一定能成功！（共19分）23．解：（1）連接PO，OB．設PO交AB于D．PA，PB是⊙O的切線．

PAOPBO90°，

12AB的長為

ACOPNDl

MB第22題圖

PBDAC

PAPB，APOBPO．

O（第23題圖）

ADBD3，PO⊥AB．（2分）PD（3分）534．

ADPDAOPAtanAPD．

15422在Rt△PAD和Rt△POA中，

AOADPAPD354154，即⊙O的半徑為．（5分）

2（2）在Rt△AOD中，DO9sinBACAOAD2291523．（7分）44OD3（9分）4．

15AO5424．解：（1）甲．（3分）（2）設線段OD的解析式為yk1x．

800)代入yk1x，得k1把(125，線段OD的解析式為y325．

325x（0≤x≤125）．（5分）

設線段BC的解析式為yk2xb．

200)，(120，800)分別代入yk2xb．把(40，15，201*0k2b，k2得解得2800120kb．2b100.線段BC的解析式為y152x100（40≤x≤120）．（7分）

321000yx,x，511解方程組得（9分）

640015y.x100.y112800640011240011．

240011m處追上了乙．（10分）

答：甲再次投入比賽后，在距離終點

五、相信自己，加油啊�。ü�24分）

25．解：（1）正確．（1分）證明：在AB上取一點M，使AMEC，連接ME．（2分）BMBE．BME45°，AME135°．

AMBED

FCG

CF是外角平分線，DCF45°，ECF135°．AMEECF．

AEBBAE90°，AEBCEF90°，

BAECEF．

．（5分）△AME≌△BCF（ASA）

AEEF．（6分）

（2）正確．（7分）

證明：在BA的延長線上取一點N．使ANCE，連接NE．（8分）NFBNBE．DANPCE45°．四邊形ABCD是正方形，AD∥BE．

BCEGDAEBEA．

NAECEF．

．（10分）△ANE≌△ECF（ASA）

AEEF．（11分）

22)，可設該拋物線的解析式為yaxbx2．26．解：（1）該拋物線過點C(0，0)，B(1，0)代入，將A(4，1a，16a4b20，2得解得

ab20.5b.2此拋物線的解析式為y12x252x2．（3分）

（2）存在．（4分）

如圖，設P點的橫坐標為m，則P點的縱坐標為當1m4時，AM4m，PM12m212m252m2，

y52m2．

DPAMEC4x又COAPMA90°，

①當

BO12AMPMAOOC21時，

△APM∽△ACO，

（第26題圖）5m2．2即4m212m2

解得m12，m24（舍去），P(2，（6分）1)．②當

AMPMOCOA12時，△APM∽△CAO，即2(4m)12m252m2．

解得m14，m25（均不合題意，舍去）

當1m4時，P(2，1)．（7分）

2)．類似地可求出當m4時，P(5，（8分）14)．當m1時，P(3，1)或(5，14)．2)或(3，綜上所述，符合條件的點P為(2，（9分）

（3）如圖，設D點的橫坐標為t(0t4)，則D點的縱坐標為過D作y軸的平行線交AC于E．由題意可求得直線AC的解析式為y1E點的坐標為t，t2．

212212t252t2．

12x2．（10分）

DEt5121t2t2t2t．（11分）222S△DAC11222t2t4t4t(t2)4．22當t2時，△DAC面積最大．

D(2，1)．（13分）

北京一線教師家教-一線教師一對一輔導

北京一線教師家教-一線教師一對一輔導老師NO.1:本人性格開朗、樂觀，做事耐心仔細，有責任心。初高中時成績優(yōu)異，理科生，由以數(shù)學、化學家教較好。中考全鄉(xiāng)第一，高考數(shù)學140分，化學優(yōu)等。

北京一線教師家教-一線教師一對一輔導老師NO.2:我的數(shù)學成績非常好，高考數(shù)學成績是143，在物理家教方面，我曾獲得過全國物理競賽河南賽區(qū)二等獎。我姐姐是教師，我曾在她辦的假期補習班中當教員，并且到大學后也帶過家教。同時我比較有耐心，講題思路清晰。

北京一線教師家教-一線教師一對一輔導老師NO.3:性格開朗，善于交流，有耐心。曾做過高中數(shù)理化家教和初中數(shù)學方面的輔導，有豐富的教學輔導經驗，保證能很好的完成輔導任務。成績優(yōu)異（尤其在數(shù)理化方面），榮獲三好學生、人民獎學金等，在社團中擔任重要職務，有嚴謹?shù)墓ぷ鲬B(tài)度和責任心。

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