高中數(shù)學(xué)必修2第二單元知識(shí)點(diǎn)整理總結(jié)1

2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系

2.1.1平面

判定直線在平面內(nèi)：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這兩條直線在此平面內(nèi)。確定一個(gè)平面：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面推論1：一個(gè)直線外的點(diǎn)與一條直線確定一個(gè)平面推論2：兩條相交直線確定一個(gè)平面推論3：兩條平行直線確定一個(gè)平面

公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。

2.1.2空間中直線與直線的位置關(guān)系

判斷直線與直線平行：平行于同一條直線的兩直線互相平行（平行的傳遞性）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。異面直線垂直：如果兩條異面直線所成角是直角，那么這兩條線互相垂直。異面直線所成角不大于90度!

2.1.3空間中直線與平面之間的位置關(guān)系

直線與平面的位置關(guān)系：在平面內(nèi),與平面相交,與平面平行。1.1.4平面與平面之間的位置關(guān)系

平面與平面的位置關(guān)系有且只有兩種：相交于平行

2.2直線、平面平行的判定及其性質(zhì)

2.2.1.直線與平面平行的判定

定理1：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。定理2：若兩個(gè)平面平行，則其中一個(gè)面的任意一條直線與另一個(gè)面平行。

2.2.2平面與平面平行的判定

定理1：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行定理2,：若兩條相交直線與另外兩條相交直線分別平行，則這兩個(gè)平面平行

2.2.3直線與平面平行的性質(zhì)

定理1：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與此平面平行。（作用：證明線線平行做法：經(jīng)已知直線做一個(gè)平面與已知平面相交）

2.2.4平面與平面平行的性質(zhì)

定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么他們的交線平行。補(bǔ)充：證明線線平行的方法：1.平行的傳遞性

2.線面平行的性質(zhì)定理（關(guān)鍵：尋找面面的交線）3.證明為第三個(gè)平面與兩個(gè)平行平面的交線

2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)

2.3.1直線與平面垂直的判定

定義：若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線與平面互相垂直。定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。線面角：平面的一條斜線與它的射影所成的角叫做這條直線與這個(gè)平面所成的角。線面角不超過(guò)90度!補(bǔ)充知識(shí)：

1.證明線線垂直的方法：法一：a∥b,c⊥b，→a⊥b

法二：一條直線垂直于一個(gè)平面，則垂直于這個(gè)平面中的任意一條線。2.三垂線定理法：

1.平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的攝影垂直，那么也和這條斜線垂直。2.逆定理：若平面內(nèi)一條直線，和一條斜線垂直，那么也和斜線的攝影垂直。

2.3.2平面與平面垂直的判定

定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。特征：線面垂直，則面面垂直定義法：兩個(gè)平面的二面角是直角。

2.3.3直線與平面垂直的性質(zhì)

定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。

注：本單元求角的方法

異面直線所成角：1平移2.補(bǔ)形3.向量

線面角：1.定義2.等積求高法（裝模作樣法）3.向量法（關(guān)鍵是求平面的法向量）二面角：1.定義2.三垂線定理法3.向量法4.封閉圖形的射影比原圖形法。

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)歸納

必修2知識(shí)點(diǎn)歸納第一章空間幾何體

1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)：空間幾何體分為多面體和旋轉(zhuǎn)體和簡(jiǎn)單組合體⑴常見(jiàn)的多面體有：棱柱、棱錐、棱臺(tái)；常見(jiàn)的旋轉(zhuǎn)體有：圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球。簡(jiǎn)單組合體的構(gòu)成形式：一種是由簡(jiǎn)單幾何體拼接而成，例如課本圖1.1-11中（1）（2）物體表示的幾何體；一種是由簡(jiǎn)單幾何體截去或挖去一部分而成，例如課本圖1.1-11中（3）（4）物體表示的幾何體。

行，由這些面所圍成的多面體叫做棱柱。

⑶棱臺(tái)：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分，這樣的多面體叫做棱臺(tái)。

第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及其論證

1、公理1：如果一條直線上兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。

αABlAl,BllA,B公理1的作用：判斷直線是否在平面內(nèi)

2、公理2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

C若A，B，C不共線，則A，B，C確定平面BαA

推論1：過(guò)直線的直線外一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面

簡(jiǎn)單組合體

若Al，則點(diǎn)A和l確定平面

Aαl推論2：過(guò)兩條相交直線有且只有一個(gè)平面

⑵棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平

Aαl

m若mnA，則m,n確定平面

推論3：過(guò)兩條平行直線有且只有一個(gè)平面

1、空間幾何體的三視圖和直觀圖把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影的投影線交于一點(diǎn)；把在一束平行光線照射下的投影叫平行投影，平行投影的投影線是平行的。

（1）定義：

正視圖：光線從幾何體的前面向后面正投影得到的投影圖；側(cè)視圖：光線從幾何體的左面向右面正投影得到的投影圖；俯視圖：光線從幾何體的上面向下面正投影得到的投影圖。

幾何體的正視圖、側(cè)視圖和俯視圖統(tǒng)稱為幾何體的三視圖。

（2）三視圖中反應(yīng)的長(zhǎng)、寬、高的特點(diǎn)：“長(zhǎng)對(duì)正”，“高平齊”，“寬相等”

若mn，則m,n確定平面

公理2及其推論的作用：確定平面；判定多邊形是否為平面圖形的依據(jù)。

αmn3、公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)

的公共直線。

αβPP,Pl且PlL

2、空間幾何體的直觀圖（表示空間圖形的平面圖）.觀察者站在某一點(diǎn)觀察幾何體，畫

出的圖形.

公理3作用：（1）判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)；（2）證明點(diǎn)共線、線共點(diǎn)等。

3、斜二測(cè)畫法的基本步驟：

①建立適當(dāng)直角坐標(biāo)系xOy（盡可能使更多的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上）②建立斜坐標(biāo)系xOy，使xOy""""""0

=45（或1350），注意它們確定的平面表示水平平面；

4、公理4：也叫平行公理，平行于同一條直線的兩條直線平行.ab,cbac

公理4作用：證明兩直線平行。

5、定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

aaa,bb且1與2方向相同1＝2b1‘

a1不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于Y軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半；ba"

③畫對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫成平行于X軸，且長(zhǎng)度保持

‘

一般地，原圖的面積是其直觀圖面積的22倍，即S原圖＝22S直觀

4、空間幾何體的表面積與體積⑴圓柱側(cè)面積；S側(cè)面2rl

方向相反則aa,bb且1與2方向相反12＝180方向相同則∠1+∠2＝180°∠1＝∠2

2b"a"2b"作用：該定理也叫等角定理，可以用來(lái)證明空間中的兩個(gè)角相等。rlrAAlVθlrhlB圖中：扇形的半徑長(zhǎng)為l，圓心角為θ，弧AB的長(zhǎng)Lθl(注：扇形的弧長(zhǎng)等于圓心角乘以半徑.提醒圓心角π為弧度角，例如60°弧度，3ππ45°弧度，90°弧度等等)426、線線位置關(guān)系：平行、相交、異面。ab,（1）沒(méi)有任何公共點(diǎn)的兩條直線平行

abA,a,b異面

aAblS側(cè)＝2πrlB（2）有一個(gè)公共點(diǎn)的兩條直線相交

（3）不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線叫異面直線AB=2πr

7、線面位置關(guān)系：

⑵圓錐側(cè)面積：S側(cè)面rl

aaA(3)(1)a

(2)

（1）直線在平面內(nèi)，直線與平面有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)；a（2）直線和平面平行，直線與平面無(wú)任何公共點(diǎn)；a

（3）直線與平面相交，直線與平面有唯一一個(gè)公共點(diǎn)；aA

圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是扇形，1扇形面積S扇形弧長(zhǎng)半徑2O1rhO2Rl8、面面位置關(guān)系：平行、相交。

⑶圓臺(tái)側(cè)面積：S側(cè)面rlRl

⑷體積公式：

9、線面平行：（即直線與平面無(wú)任何公共點(diǎn)）

13ROdO1⑴判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。（只需在平面內(nèi)找一條直線和平面外的直線平行就可以）

V柱體Sh；V錐體V臺(tái)體13hS上Sh；

rd=R2-r2S上S下S下

aba//

a//b證明兩直線平行的主要方法是：

①三角形中位線定理：三角形中位線平行并等于底邊的一半；②平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊分別平行；

⑸球的表面積和體積：

S球4R，V球

243R.一般地，面積比等于相似比的平方，體積比等于相似比的立方。

-1-

③線面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，

那么這條直線和它們的交線平行；

性質(zhì)Ⅱ：垂直于同一直線的兩平面平行12、面面垂直：

laab

b

④平行線的傳遞性：ab,cbac

⑤面面平行的性質(zhì)：如果一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，那么它們的交線平行；

al

⑴定義：兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直。

aab

b

⑵判定：一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，則這兩個(gè)平面垂直。

ll（只需在一個(gè)平面內(nèi)找到另一個(gè)平面的垂線就可證明面面垂直）

a⑥垂直于同一平面的兩直線平行；ab

b⑵直線與平面平行的性質(zhì)：如果一條直線平行于一個(gè)平面，經(jīng)過(guò)這條直線的平面與這個(gè)平面相交，那么這條直線和它們的交線平行；（上面的③）

⑶性質(zhì)：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

10、面面平行：（即兩平面無(wú)任何公共點(diǎn)）

（1）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。a,babA

a,b

判定定理的推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面上的兩條直線分別平行，兩

平面平行

ml

llm

證明兩直線垂直和主要方法：

①利用勾股定理證明兩相交直線垂直；

②利用等腰三角形三線合一證明兩相交直線垂直；③利用線面垂直的定義證明（特別是證明異面直線垂直）；

④利用三垂線定理證明兩直線垂直（“三垂”指的是“線面垂”“線影垂”，“線斜垂”）

αA斜影Oa線P如圖：POOA是PA在平面上的射影又直線a,且aOAaPA

abA

aa,bba,b（2）兩平面平行的性質(zhì)：

性質(zhì)Ⅰ：如果一個(gè)平面與兩平行平面都相交，那么它們的交線平行；

a,b

即：線影垂直線斜垂直，反之也成立。④利用圓中直徑所對(duì)的圓周角是直角，此外還有正方形、菱形對(duì)角線互相垂直等結(jié)論。

空間角及空間距離的計(jì)算

1.異面直線所成角：使異面直線平移后相交形成的夾角，通常在在兩異面直線中的一

條上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)作另一條直線平行線，

如圖：直線a與b異面，b//b，直線a與直線b的夾角為兩異面直線a與b所成的角，異面直線所成角取值范圍是（0，90]aab

b

2.斜線與平面成成的角：斜線與它在平面上的射影成的角。如圖：PA是平面的

一條斜線，A為斜足，O為垂足，OA叫斜線PA在平面上射影，PAO為線面角。

性質(zhì)Ⅱ：平行于同一平面的兩平面平行；

性質(zhì)Ⅲ：夾在兩平行平面間的平行線段相等；

3.二面角：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面形成的圖形，如圖為二面角l，二

面角的大小指的是二面角的平面角的大小。二面角的平面角分別在兩個(gè)半平面內(nèi)且角的兩邊與二面角的棱垂直

如圖：在二面角-l-中，O棱上一點(diǎn)，OA，OB，

且OAl,OBl,則AOB為二面角-l-的平面角。

用二面角的平面角的定義求二面角的大小的關(guān)鍵點(diǎn)是：①明確構(gòu)成二面角兩個(gè)半平面和棱；②明確二面角的平面角是哪個(gè)？

而要想明確二面角的平面角，關(guān)鍵是看該角的兩邊是否都和棱垂直。（求空間角的三個(gè)步驟是“一找”、“二證”、“三計(jì)算”）

A,CACBD

B,DABCD性質(zhì)Ⅳ：兩平面平行，一平面上的任一條直線與另一個(gè)平面平行；

a或a

aa

11、線面垂直：

4.異面直線間的距離：指夾在兩異面直線之間的

⑴定義：如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線，那么就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面垂直。公垂線段的長(zhǎng)度。如圖PQ是兩異面直線間的距離

⑵判定：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。

（異面直線的公垂線是唯一的，指與兩異面直線垂直且相交的直線）

5.點(diǎn)到平面的距離：指該點(diǎn)與它在平面上的射影的連線段的長(zhǎng)度。

如圖：O為P在平面上的射影，線段OP的長(zhǎng)度為點(diǎn)P到平面的距離求法通常有：定義法和等體積法

等體積法：就是將點(diǎn)到平面的距離看成是三棱錐的一個(gè)高。如圖在三棱錐VABC中有：VSABCVASBCVBSACVCSAB

lnl

mnAm,n⑶性質(zhì)Ⅰ：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。

lm

aab

b

第三章直線與方程

1.直線方程的概念：一條直線l與一個(gè)二元一次方程F(x,y)AxByC0有如下兩個(gè)對(duì)應(yīng)：

①直線l上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)都滿足方程F(x,y)AxByC0；②以方程F(x,y)AxByC0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y)都在直線l上。則稱方程F(x,y)AxByC0為直線l的方程，直線l為方程的直線。

8、交點(diǎn)與距離公式

（1）兩直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)坐標(biāo)需將兩直線方程組成

方程組求解，即：

A1xB1yC10①AxByC0222當(dāng)①有唯一解時(shí)，兩直線相交；當(dāng)①無(wú)解時(shí)，兩直線平行；當(dāng)①有無(wú)數(shù)個(gè)解時(shí)，兩直線重合。（2）過(guò)兩直線l:AxByC0,l:AxByC0交點(diǎn)的直線系方程為：

111122222.直線傾斜角的定義：把直線向上的方向與x軸的正方向形成的最小正角叫直線的傾斜角。

3.直線傾斜角的范圍：0180，當(dāng)直線與x軸平行或者是重合時(shí)，傾斜角為0

4.直線斜率的定義：傾斜角不為90直線，傾斜角的正切值叫直線的斜率。

記作ktan(90)

當(dāng)傾斜角為90時(shí)直線的斜率不存在。

AxByC(AxByC)0

111222將含有一個(gè)參數(shù)的直線方程化為直線系方程的樣式就可解決直線恒過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題。

y2y1x2x1(x1x2)

5、直線l過(guò)點(diǎn)P(x1,y1),P2(x2,y2)1，則直線的斜率為：k（3）兩點(diǎn)間距離公式：

P1P2x2x12y2y12

Ax0By0CAB226、直線方程的表示形式：

⑴點(diǎn)斜式：yy0kxx0，

當(dāng)斜率不存在時(shí)，直線與x軸垂直，傾斜角為90，此時(shí)直線方程為：xx0，如右圖，特別地y軸所在直線方程為x0。

當(dāng)直線斜率k0時(shí)，直線與x軸平行或者是重合直線方程為：yy0，x軸所在的直線方程為y0。⑵斜截式：ykxb（b為直線在y軸上的截距）

（4）點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:AxByc0距離公式：d（5）兩平行線間的距離公式：對(duì)于直線

l1:AxByC10,l2:AxByC20，l1與l2間的距離為：d|CC|21

AB22x1x2x2（6）線段中點(diǎn)坐標(biāo)公式：，A(x1,y1),B(x2,y2)，M(x,y)是線段AB的中點(diǎn)。

yy1y22第四章圓與方程

當(dāng)直線過(guò)y軸上一定點(diǎn)(0,b)時(shí)，通常設(shè)直線方程為：ykxb，例如直線l過(guò)定點(diǎn)

1、圓的第一定義：到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合.P(0,2)，設(shè)l:ykx2。

當(dāng)直線過(guò)x軸上一定點(diǎn)（a,0）時(shí)，，通常設(shè)直線方程為：xmya，例如直線l過(guò)定點(diǎn)(2,0)，設(shè)l:xmy2

yy1y2y1xx1x2x1{M(x,y)|MO|r}

圓的第二定義：到兩個(gè)定點(diǎn)的距離之比等于常數(shù)（不等于1）的點(diǎn)的集合。

2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：xa2

3、圓的一般方程：x2yb2r2，圓心為(a,b)，半徑為r。

⑶兩點(diǎn)式：

⑷截距式：

xayb1(a0,b0)，

yDxEyF0(DE4F0)。

222一般地，問(wèn)題中出現(xiàn)兩個(gè)截距時(shí)，通常設(shè)直線方程為方程中a,b分別表示直線的橫截距和縱截距，一般地，在直線方程中，令

2xayb1(a0,b0)。圓心為(22D,2E)2，半徑r212DE4F。

22y02可求得橫截距a，令x0可求得縱截距b

當(dāng)DE4F0時(shí)，方程xyDxEyF0表示點(diǎn)(222D,2E)2

⑸一般式：AxByC0(AB0)，所有直線方程都可化為一般式。當(dāng)B0，直線的斜率kAB當(dāng)DE4F0時(shí)，方程xyDxEyF0不表示任何圖形。

CA2（1）當(dāng)P0(x0,y0)滿足x0ay0br時(shí)點(diǎn)P在圓上；

2222，當(dāng)B0時(shí)，直線斜率不存在，方程可化為x

4、點(diǎn)P(x00,y)0與圓xa2yb2r2的位置關(guān)系的判定：

7、兩直線的位置關(guān)系的判定：

當(dāng)兩直線傾斜角相等時(shí)，即時(shí)，兩直線平行；當(dāng)兩直線傾斜角滿足||90時(shí)，兩直線垂直；當(dāng)兩直線傾斜角不相當(dāng)時(shí)，兩直線相交。

對(duì)于直線l1:yk1xb1,l2:yk2xb2有：

（2）當(dāng)P0(x0,y0)滿足x0ay0br2時(shí)點(diǎn)P在圓內(nèi)；（3）當(dāng)P0(x0,y0)滿足x0ay0br2時(shí)點(diǎn)P在圓外；

2222k1k2⑴l1//l2；⑵l和l相交k1k2；

b1b2125、求圓方程的方法，主要有兩種：

（1）待定系數(shù)法：使用待定系數(shù)法求圓方程的一般步驟：①根據(jù)提設(shè)，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程；

②根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組；

⑶l1和l2重合k1b1k2b2；⑷l1l2k1k21.

③解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。（2）利用三角形外心的定義及其垂徑定理求圓心坐標(biāo)；

①三角形外心的定義：三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)就是外心；②垂徑定理：垂直于弦的半徑平分弦并平分弦所對(duì)的弧；

③弦的垂直平分線必經(jīng)過(guò)圓心，因此求出兩條弦的垂直平分線方程，聯(lián)立解方程組求

對(duì)于直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20有：

A1B2A2B1⑴l1//l2；（2）l和l相交BCBC122112A1B2A2B1；

得圓心坐標(biāo)，而圓心到圓上任意一點(diǎn)的距離都等于半徑，最終寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。

6、直線與圓的位置關(guān)系的判定：

幾何法（1）相切：圓心到直線的距離d＝r；

（2）相交：圓心到直線的距離dr；（3）相離：圓心到直線的距離dr。

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A1B2A2B1ll⑶和重合；⑷lB1C2B2C1121l2A1A2B1B20.

l:Ax+By+C=0drC(a,b)d=|Ax0+By0+C|l:Ax+By+C=0drC(a,b)l:Ax+By+C=0d直線方程過(guò)兩圓的交點(diǎn)，因此該直線方程也叫兩圓的公共弦所在的直線方程。

A2+B222圓C:（x-a)+(y-b)=r2相切：d=rA2+B222圓C:（x-a)+(y-b)=r2d=|Ax0+By0+C|r|Ax0+By0+C|C(a,b)d=A2+B2圓C:（x-a)2+(y-b)2=r2相離：d>r①

相切：dr1+r2外切:有一個(gè)公共點(diǎn)，圓心距｜C1C2｜＝r1+r2相交:有兩個(gè)公共點(diǎn)，圓心距|r1-r2|

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