人教版B數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典練習(xí)

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第一章空間幾何體

1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征

1、棱柱的定義：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點(diǎn)字母表示，如五棱柱ABCDEABCDE或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱AD"

幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的

截面是與底面全等的多邊形。

2、棱錐的定義：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐PABCDE

幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離與高的比的

平方。

注意理解正三棱椎，正四面體、直棱柱的結(jié)構(gòu)特征

3、棱臺的定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等

表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺PABCDE

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)4、圓柱的定義：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體

幾何特征：①底面是全等的圓；②母線與軸平行；③軸與底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。5、圓錐的定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。6、圓臺的定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。7、球體的定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。1.2空間幾何體的三視圖和直觀圖

1、定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。

"""""""""""""""2、畫三視圖的原則：長對齊、高對齊、寬相等3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法

斜二測畫法特點(diǎn)：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變；

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。③平行于z軸的平行的線段仍然與z平行且長度不變

4、平面圖形面積與其直觀圖面積的關(guān)系：

S直S=2平45用斜二測畫法畫出長方體的步驟：（1）畫軸（2）畫底面（3）畫側(cè)棱（4）成圖

根據(jù)三視圖畫空間幾何體的直觀圖，注意先畫俯視圖。1.3空間幾何體的表面積與體積（一）空間幾何體的表面積

（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，h"為斜高，l為母線）

S直棱柱側(cè)面積chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積12ch"S圓錐側(cè)面積rl

S1正棱臺側(cè)面積2(c1c2)h"S圓臺側(cè)面積(rR)l圓柱的表面積S2rl2r2圓錐的表面積Srlr2圓臺的表面積Srlr2RlR2球的表面積S4R2（二）空間幾何體的體積

（3）柱體、錐體、臺體的體積公式

柱體的體積VS底hV圓柱Shr2h錐體的體積V13S底hV圓錐13r2h臺體的體積V11""13（S上S上S下S下)hV圓臺3(SSSS)h3(r2rRR2)h體積V43R3一、選擇題

1．有一個(gè)幾何體的三視圖如下圖所示，這個(gè)幾何體應(yīng)是一個(gè)()

A.棱臺B.棱錐C.棱柱D.都不對

主視圖左視圖俯視圖

球體的

2．棱長都是1的三棱錐的表面積為（）

A.

3B.23C.33D.433．長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長分別是3,4,5，且它的8個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上，則這個(gè)球的表面積是（）A．25B．50C．125D．都不對4．正方體的內(nèi)切球和外接球的半徑之比為（）

A．3:1B．3:2C．2:3D．3:3

5．在△ABC中，AB2,BC1.5,ABC1200,若使繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周，則所形成的幾何體的體積是（）

A.

9753B.C.D.22226．底面是菱形的棱柱其側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長為5，它的對角線的長

分別是9和15，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是（）A．130B．140C．150D．160二、填空題

1．一個(gè)棱柱至少有_____個(gè)面，面數(shù)最少的一個(gè)棱錐有________個(gè)頂點(diǎn)，頂點(diǎn)最少的一個(gè)棱臺有________條側(cè)棱。

2．若三個(gè)球的表面積之比是1:2:3，則它們的體積之比是_____________。3．正方體ABCDA1B1C1D1中，O是上底面ABCD中心，若正方體的棱長為a，則三棱錐OAB1D1的體積為_____________。

4．如圖，E,F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形

BFD1E在該正方體的面上的射影可能是____________。

5．已知一個(gè)長方體共一頂點(diǎn)的三個(gè)面的面積分別是2、3、6，這個(gè)長方體的對角線長是___________；若長方體的共頂點(diǎn)的三個(gè)側(cè)面面積分別為3,5,15，則它的體積為___________.三、解答題

1．養(yǎng)路處建造圓錐形倉庫用于貯藏食鹽（供融化高速公路上的積雪之用），已建的倉庫的底面直徑為12M，高

4M，養(yǎng)路處擬建一個(gè)更大的圓錐形倉庫，以存放更多食鹽，現(xiàn)有兩種方案：一是新建的倉庫的底面直徑比原

來大4M（高不變）；二是高度增加4M(底面直徑不變)。（1）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的體積；（2）分別計(jì)算按這兩種方案所建的倉庫的表面積；

（3）哪個(gè)方案更經(jīng)濟(jì)些？

2．將圓心角為120，面積為3的扇形，作為圓錐的側(cè)面，求圓錐的表面積和體積

（數(shù)學(xué)2必修）第一章空間幾何體[綜合訓(xùn)練B組]一、選擇題

1．如果一個(gè)水平放置的圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底面為45，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是（）A．22B．C．

0012222D．1222．半徑為R的半圓卷成一個(gè)圓錐，則它的體積為（）

3355R3B．R3C．R3D．R3248248A．3．一個(gè)正方體的頂點(diǎn)都在球面上，它的棱長為2cm，則球的表面積是（）Ａ．8cmＢ．12cmＣ．16cm2

Ｄ．22

20cm2

4．圓臺的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍，母線長為

EDFCB3，

A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．35．棱臺上、下底面面積之比為1:9,則棱臺的中截面分棱臺成

兩部分的體積之比是()

A．1:7Ｂ．2:7Ｃ．7:19Ｄ．5:16

圓臺的側(cè)面積為84，則圓臺較小底面的半徑為（）A6．如圖，在多面體ABCDEF中，已知平面ABCD是邊長為3的正方形，EF//AB,EF3,且EF與平面2ABCD的距離為2，則該多面體的體積為（）

9Ｂ．5215Ｃ．6Ｄ．

2A．二、填空題

1．圓臺的較小底面半徑為1，母線長為2，一條母線和底面的一條半徑有交點(diǎn)且成60,

則圓臺的側(cè)面積為____________。

2．RtABC中，AB3,BC4,AC5，將三角形繞直角邊AB旋轉(zhuǎn)一周所成

的幾何體的體積為____________。

3．等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是S球___S正方體

4．若長方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長分別為3,4,5，從長方體的一條對角線的一個(gè)

端點(diǎn)出發(fā),沿表面運(yùn)動(dòng)到另一個(gè)端點(diǎn),其最短路程是______________。

5．圖（1）為長方體積木塊堆成的幾何體的三視圖，此幾何體共由________塊木塊堆成;

圖（2）中的三視圖表示的實(shí)物為_____________。

6．若圓錐的表面積為a平方米，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則這個(gè)圓錐的底面的

直徑為_______________。三、解答題

1.有一個(gè)正四棱臺形狀的油槽，可以裝油190L，假如它的兩底面邊長分別等于60cm和40cm，求它的深度為多少cm？

2．已知圓臺的上下底面半徑分別是2,5,且側(cè)面面積等于兩底面面積之和,求該圓臺的母線長.專項(xiàng)練習(xí)：

1、已知一個(gè)幾何體的三視圖（單位：cm）如右圖所示，則_____cm

20圖（1）

圖（2）

該幾何體的側(cè)面積為

2、一組合體三視圖如右，正視圖中正方形邊長為2，俯視圖為正三角形及內(nèi)切圓，則該組合體體積為（）A.23B.

3、已知某個(gè)幾何體的三視圖如下，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單個(gè)幾何體的體積是

4、如圖（單位：cm），求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積.。A2D

4

CB5

5、直角三角形三邊長分別是3cm、4cm、5cm，繞三邊旋轉(zhuǎn)一周分別形成三個(gè)幾何體.想象并說出三個(gè)幾何體的結(jié)構(gòu)，畫出它們的三視圖，求出它們的表面積和體積.

6、棱長都是1的三棱錐的表面積為，體積為。7、(1)等體積的球和正方體,它們的表面積的大小關(guān)系是S球___S正方體；

(2)一個(gè)直徑為32厘米的圓柱形水桶中放入一個(gè)鐵球，球全部沒入水中后，水面升高9厘米，則此球的半徑為_________厘米.

8、正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是上底面ABCD的中心，若正方體的棱長為a，則三棱錐O－AB1D1的體積為_____________．

9、如果一個(gè)水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是一個(gè)底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是()．

A．2＋2

B．

1＋225434344C.23+D.

2733位：cm），可得這

C．

2＋22D．1＋2

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人教版B數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)總結(jié)及經(jīng)典練習(xí)

1、（1）平面含義：平面是無限延展的，沒有大小，厚薄之分。另外，注意平面的表示方法。（2）點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn)A在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A

點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn)A的直線l上，記作：A∈l；點(diǎn)A在直線l外，記作Al；

直線與平面的關(guān)系：直線l在平面α內(nèi)，記作lα；直線l不在平面α內(nèi)，記作lα。2、四個(gè)公理與等角定理：

（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號表示為

A

A∈LB∈LLααLA∈αB∈α

公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).（只要找到直線的兩點(diǎn)在平面內(nèi)，則直線在平面內(nèi)）（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。AB

αC

符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2的三個(gè)推論：（1）：經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。

（2）：經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。（3）：經(jīng)過兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。

公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β=L，且P∈L公理3說明：兩個(gè)不重合的平面只要有公共點(diǎn)，那么它們必定交于一條過該公共點(diǎn)的直線，且線唯一。β公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù)，是證明三線共點(diǎn)、三點(diǎn)共線的依據(jù)。即：①判定兩個(gè)平面相交的方法。Pα②說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。L③可以判斷點(diǎn)在直線（交線）上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。（4）公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥b

a∥c

c∥b

強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。（表明空間中平行于一條已知直線的所有直線都互相平行）

（5）等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).3、（1）證明共面問題：

方法1是先證明由某些元素確定一個(gè)平面，在證明其余元素也在這個(gè)平面內(nèi)。

方法2是先證明分別由不同元素確定若干個(gè)平面，再證明這些平面重合。

（2）證明三點(diǎn)共線問題的方法：先確定其中兩點(diǎn)在某兩個(gè)平面的交線上，再證明第三點(diǎn)是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，則第三個(gè)點(diǎn)在必然在這兩個(gè)平面的交線上。

（3）證明三線共點(diǎn)問題的方法：先證明其中兩條直線交于一點(diǎn)，再證明第三條直線也經(jīng)過這個(gè)點(diǎn)。

4、異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。（既不平行也不相交的兩條直線）①異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。

③異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該點(diǎn)的直線是異面直線④異面直線所成角：直線a、b是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a’∥a，b’∥b，則把直線a’和b’所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和b所成的角。

兩條異面直線所成角的范圍是（0°，90°]，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。（兩條直線互相垂直，有共面垂直與異面垂直兩種情形）說明：（1）判定空間直線是異面直線方法：①根據(jù)異面直線的定義；②異面直線的判定定理

（2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。（3）求異面直線所成角步驟：（一作、二證、三計(jì)算）

第一步作角：先固定其中一條直線，在這條直線取一點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)作另一條直線的平行先；或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特殊的位置上。第二步證明作出的角即為所求角。第三步利用三角形邊長關(guān)系計(jì)算出角。（思路是把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角）5、空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面之間的位置關(guān)系（1）空間兩條直線的位置關(guān)系有且只有三種：

相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；共面直線

平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；

異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。（2）直線與平面的位置關(guān)系有且只有三種：①直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)

②直線與平面相交有且只有一個(gè)公共點(diǎn)③直線在平面平行沒有公共點(diǎn)

指出：直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示三種位置關(guān)系的符號表示：aαa∩α＝Aa∥α注意直線與平面的位置關(guān)系其他分類：（1）按直線與平面的公共點(diǎn)數(shù)分類：（自己補(bǔ)充）（2）按直線是否與平面平行分類：

（3）按直線是否在平面內(nèi)分類：

（3）平面與平面之間的位置關(guān)系有且只有兩種：（按有無公共點(diǎn)分類）

①兩個(gè)平面平行沒有公共點(diǎn)；α∥β。

②兩個(gè)平面相交有一條公共直線；α∩β＝b。6、空間中的平行問題（1）線線平行的判定方法：①線線平行的定義：兩條直線共面，但是無公共點(diǎn)②公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

a//aa//b③線面平行的性質(zhì)定理：a④線面垂直的性質(zhì)定理：

b5面面平行的性質(zhì)定理：○

//aba//bba//b（2）直線與平面平行的判定及其性質(zhì)線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。線線平行線面平行證明線面平行，只要在平面內(nèi)找一條直線b與直線a平行即可。一般情況下，我們會(huì)用到中位線定理、平行線段成比例問題、平行公理等。

線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行性質(zhì)定理的作用：利用該定理可解決直線間的平行問題

線面平行的判定方法：a①線面平行的定義：直線與平面無公共點(diǎn)②判定定理：b

a////③面面平行的性質(zhì)：a//aa//b（3）平面與平面平行的判定及其性質(zhì)面面平行的判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行

（線面平行面面平行），兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理與結(jié)論：

①如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行→線線平行）②如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行→線面平行）面面平行的判定方法：

a//b//①面面平行的定義：兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。②判定定理：ababP③線面垂直的性質(zhì)定理：

//

aa//④公理四的推廣：

a//////

7、空間中的垂直問題線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。（1）線線垂直的判定方法：①線線垂直的定義：兩條直線所成的角是直角。（共面垂直、異面垂直）②線面垂直的性質(zhì)：a,bab②線面垂直的性質(zhì)：a,b//ab（2）線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。判定線面垂直，只要在平面內(nèi)找到兩條相交直線與已知直線垂直即可（注意：兩條直線必須相交）

經(jīng)常用到的知識點(diǎn)有：

①等腰三角形三線合一（中線，角平分線，高），如果取等腰三角形底邊的中點(diǎn)，連接頂點(diǎn)與中點(diǎn)的線既是中線也是高，所以，這條線垂直于底邊；

②正方形的對角線是互相垂直的；③三角形勾股逆定理abc,可以推出a邊與b邊垂直；

④如果是要證異面垂直的兩條直線，一般采用線面垂直來證明一條線垂直于另一條線所在的平面，從而得到兩條異面直線垂直；

5采用三垂線定理或者其逆定理得到兩條直線垂直�！�

性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。

2

線面垂直的判定方法：

abac①線面垂直的定義②線面垂直的判定定理：bcAa

bc③平行線垂直平面的傳遞性推論:

aa//bb

④面面平行的性質(zhì)結(jié)論：//,aa

5面面垂直的性質(zhì)定理：la○

aal（3）面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

面面垂直的判定方法

①面面垂直的定義：兩個(gè)平面相交所成的二面角是直二面角

②面面垂直的判定定理：

aa

③面面平行的性質(zhì)結(jié)論：//,

8、空間角問題空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算（1）直線與直線所成的角A①兩平行直線所成的角：規(guī)定為0。

B②兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條O

直線所成的角。

③兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b平行的直線a,b，形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角，的范圍為（0°，90°]。注意：（1）異面直線所成的角θ：0°＜θ≤90°（銳角或者直角）

（2）計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。（3）角AOB的度數(shù)并不等于直線AO與直線BO所成的角。（2）直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0。②平面的垂線與平面

所成的角：規(guī)定為90。

③平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角，取值范圍為（0°，90°）。

由①②③直線與平面所成的角的范圍為[0°，90°]。（0時(shí)，b∥或b）求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。關(guān)鍵的步驟是“作角”（斜線和射影所成的角）

求線面角的方法（求一條直線與平面所成的角，就是要找這條直線在平面上的射影，射影與它的直線所成的角即為線面角，即作垂線，找射影）

①定義：斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角叫做斜線和平面所成的角（或斜線和平面的夾角）②方法：作直線上任意一點(diǎn)到面的垂線，與線面交點(diǎn)相連，利用直角三角形有關(guān)知識求得三角形其中一角就是該線與平面的夾角。

③在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：1、斜線上一點(diǎn)到面的垂線；2、過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。（3）二面角和二面角的平面角①二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射．．．．．線，這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直，那么所成的二面角為直二面角

④二面角：二面角的平面角θ，0°≤θ≤180°求二面角的方法①定義法：在棱上選擇一個(gè)特殊點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角

②垂面法：過棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角為二面角的平面角

③垂線法：過二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角。

9、“轉(zhuǎn)化思想”，要熟練他們之間的轉(zhuǎn)換線線垂直線面垂直面面垂直

線線平行線面平行面面平行證明空間線面平行或垂直需要注意三點(diǎn)（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定。

（2）適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。

（3）使用定理時(shí)要明確已知條件是否滿足定理?xiàng)l件，再由定理得出相應(yīng)結(jié)論。10、鞏固專項(xiàng)練習(xí)

1．如圖，在三棱錐S-ABC中，SA底面ABC，ABBC，DE垂直平分SC，且分別交AC于D，交SC于E，又SA=AB，SB=BC，求二面角E-BD-C的度數(shù)。

2、在棱長都為1的正三棱錐S－ABC中，側(cè)棱SA與底面ABC所成的角是________．

3、在正方體ABCD－A1B1C1D1中，

①BC1與平面AB1所成的角的大小是___________；②BD1與平面AB1所成的角的大小是___________；③CC1與平面BC1D所成的角的大小是___________；④BC1與平面A1BCD1所成的角的大小是___________；5BD1與平面BC1D所成的角的大小是___________�！�

4、已知空間內(nèi)一點(diǎn)O出發(fā)的三條射線OA、OB、OC兩兩夾角為60°，試求OA與平面BOC所成的角的大小．

5、已知點(diǎn)S是正三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，且SASBSC，SG為SAB上的高，D、E、F分別是AC、BC、SC的中點(diǎn)，試判斷SG與平面DEF內(nèi)的位置關(guān)系，并給予證明

6、已知正方體ABCDA1B1C1D1，求證平面B1AD1//平面BC1D

7、已知直線PA垂直正方形ABCD所在的平面，A為垂足。求證：平面PAC平面PBD。

8、已知直線PA垂直于圓O所在的平面，A為垂足，AB為圓O的直徑，C是圓周上異于A、B的一點(diǎn)。求證：平面PAC平面PBC。

9.若m、n是兩條不同的直線，α、β、γ是三個(gè)不同的平面，則下列命題中的真命題是()

A.若mβ，α⊥β，則m⊥αB.若α∩γ＝m，β∩γ＝n，m∥n，則α∥βC.若m⊥β，m∥α，則α⊥βD.若α⊥γ，α⊥β，則β⊥γ

10、設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，P到△ABC各頂點(diǎn)的距離相等，而且P到△ABC各邊的距離也相等，那么△ABC()

A.是非等腰的直角三角形B.是等腰直角三角形

C.是等邊三角形D.不是A、B、C所述的三角形

11、把等腰直角△ABC沿斜邊上的高AD折成直二面角BADC，則BD與平面ABC所成角的正切值為())

A.2B.

23

C.1D.23

12、如圖，已知△ABC為直角三角形，其中∠ACB＝90°，M為AB的中點(diǎn)，PM垂直于△ACB所在平面，那么()

A、PA＝PB>PCB、PA＝PB

16、如圖，已知PA矩形ABCD所在平面。M,N分別是AB,PC的中點(diǎn)。（）求證：1MN面PAD（2）求證：MNCD（3）若PDA45O,求證：MN面PCD

17、如圖所示，已知△BCD中，∠BCD＝90°，BC＝CD＝1，AB⊥平面BCD，∠ADB＝60°，AEAF

E、F分別是AC、AD上的動(dòng)點(diǎn)，且＝＝λ(0

參考答案

1、解：

在RtΔSAC中，SA=1，SC=2，∴∠ECA=30，在RtΔDEC中，∠DEC=90，

∴∠EDC=60∴所求的二面角為60。

5、分析1：如圖，觀察圖形，即可判定SG//平面DEF，要證明結(jié)論成立，只需證明SG與平面DEF內(nèi)的一條直線平行．觀察圖形可以看出：連結(jié)CG與DE相交于H，連結(jié)FH，

FH就是適合題意的直線．怎樣證明SG//FH？只需證明H是CG的中點(diǎn)．

證法1：連結(jié)CG交DE于點(diǎn)H，∵DE是ABC的中位線，∴DE//AB．在ACG中，D是AC的中點(diǎn)，且DH//AG，

∴H為CG的中點(diǎn)．∵FH是SCG的中位線，∴FH//SG．又SG平面DEF，F(xiàn)H平面DEF，∴SG//平面DEF．

分析2：要證明SG//平面DEF，只需證明平面SAB//平面DEF，要證明平面DEF//平面SAB，只需證明SA//DF，SB//EF而SA//DF，SB//EF可由題設(shè)直接推出．證法2：∵EF為SBC的中位線，∴EF//SB．

∵EF平面SAB，SB平面SAB，∴EF//平面SAB．同理：DF//平面SAB，EFDFF，

∴平面SAB//平面DEF，又∵SG平面SAB，∴SG//平面DEF．

6、證明：∵ABCD-A1B1C1D1為正方體∴D1A//C1B，又C1B平面C1BD，故D1A//平面C1BD．同理D1B1//平面C1BD．

又D1AD1B1D1，∴平面AB1D1//平面C1BD．7、證明：

8、證明：

AB是圓O的直徑BCACC是圓周上異于A、B的一點(diǎn)PA平面ABCBCPABC平面ABCAC平面PAC，PA平面PACACPAA

9、C10、C11、B12、C

13、解析：如圖，取CD的中點(diǎn)F、SC的中點(diǎn)G，連接EF，EG，F(xiàn)G，EF交AC于點(diǎn)H，易知AC⊥EF，又GH∥SO，

BC平面PACBC平面PBC

平面PAC平面PBC。

∴GH⊥平面ABCD，

∴AC⊥GH，∴AC⊥平面EFG，故點(diǎn)P的軌跡是△EFG，其周長為2＋6.答案：2＋6

14、①③④②；②③④①

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