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高一數(shù)學(xué)必修2各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

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高一數(shù)學(xué)必修2各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

1.多面體的面積和體積公式

名稱棱柱棱錐棱柱直棱柱棱錐正棱錐棱臺(tái)棱臺(tái)側(cè)面積(S側(cè))直截面周長(zhǎng)×lCh各側(cè)面面積之和S側(cè)+S底ch′各側(cè)面面積之和S側(cè)+S上底+S下底+h(S上底+S下底)S底h全面積(S全)S側(cè)+2S底體積(V)S底h=S直截面hS底h正棱臺(tái)(c+c′)h′表中S表示面積,c′、c分別表示上、下底面周長(zhǎng),h表示高,h′表示斜高,l表示側(cè)棱長(zhǎng)。

2.旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式

名稱S側(cè)S全圓柱2πrl2πr(l+r)圓錐πrlΠr(l+r)圓臺(tái)π(r1+r2)lπ(r1+r2)l+π(r21+r22)球4πR2Vπr2h(即πr2l)πr2hπh(r21+r1r2+r22)πR3表中l(wèi)、h分別表示母線、高,r表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑,r1、r2分別表示圓臺(tái)上、下底面半徑,R表示半徑。

3、平面的特征:平的,無厚度,可以無限延展.

4、平面的基本性質(zhì):

公理1、若一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線在此平面內(nèi).公理2、過不在一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.

l,l,,l

,,C三點(diǎn)不共線有且只有一個(gè)平面,使,,C

公理3、若兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線.

l且l

推論1、經(jīng)過一條直線和直線外的一點(diǎn),有且只有一個(gè)平面.推論2、經(jīng)過兩條相交直線,有且只有一個(gè)平面.推論3、經(jīng)過兩條平行直線,有且只有一個(gè)平面.

公理4、平行于同一條直線的兩條直線互相平行.a//b,b//ca//c

5、等角定理:空間中若兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).

推論:若兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行,那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.

6、直線與平面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,則該直線與此平面平行.數(shù)學(xué)符號(hào)表示:a,b,a//ba//

直線與平面平行的性質(zhì)定理:一條直線與一個(gè)平面平行,則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行.數(shù)學(xué)符號(hào)表示:a//,a,ba//b

7、平面與平面平行的判定定理:(1)一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行,則這兩個(gè)平面平行.數(shù)學(xué)符號(hào)表示:a,b,ab,a//,b////(2)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行.(3)平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行.

面面平行的性質(zhì)定理:

(1)若兩個(gè)平面平行,那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線均平行于另一個(gè)平面.//,aa//(2)若兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行.//,a,ba//b

8、直線與平面垂直的判定定理:(1)一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直.數(shù)學(xué)符號(hào)表示:m,n,mn,lm,lnl

(2)若兩條平行直線中一條垂直于一個(gè)平面,那么另一條也垂直于這個(gè)平面.(3)若一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中一個(gè),那么該直線也垂直于另一個(gè)平面.

直線與平面垂直的性質(zhì)定理:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.

符號(hào)表示:a,a//符號(hào)表示://,////

a//b,ab

//,aa

a,ba//b

9、兩個(gè)平面垂直的判定定理:一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線,則這兩個(gè)平面垂直.a,a平面與平面垂直的性質(zhì)定理:兩個(gè)平面垂直,則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直.數(shù)學(xué)符號(hào)表示:,b,a,aba

10、直線的傾斜角和斜率:

(1)設(shè)直線的傾斜角為0180,斜率為k,則ktan(2)當(dāng)090時(shí),k0;當(dāng)90180時(shí),k0.(3)過P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線斜率k

.當(dāng)時(shí),斜率不存在.22y2y1(x2x1).

x2x

11、兩直線的位置關(guān)系:

兩條直線l1:yk1xb1,l2:yk2xb2斜率都存在,則:(1)l1∥l2k1k2且b1b2

(2)l1l2k1k21(當(dāng)l1的斜率存在l2的斜率不存在時(shí)l1l2)(3)l1與l2重合k1k2且b1b2

12、直線方程的形式:

(1)點(diǎn)斜式:yy0kxx0(定點(diǎn),斜率存在)(2)斜截式:ykxb(斜率存在,在y軸上的截距)(3)兩點(diǎn)式:

yy1xx1(y2y1,x2x1)(兩點(diǎn))(4)一般式:xyC0A2B20

y2y1x2x1(5)截距式:

xy1(在x軸上的截距,在y軸上的截距)ab13、直線的交點(diǎn)坐標(biāo):

設(shè)l1:A1xB1yc10,l2:A2xB2yc20,則:(1)l1與l2相交A1B1ABC1ABC;(2)l1∥l211;(3)l1與l2重合111.A2B2A2B2C2A2B2C2(x2x1)2(y2y1)2

14、兩點(diǎn)P121(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式PP原點(diǎn)0,0與任一點(diǎn)x,y的距離OPx2y2

15、點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:xyC0的距離dAx0By0CAB

22

(1)點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:xC0的距離dAx0CABy0CB(2)點(diǎn)P0(x0,y0)到直線l:yC0的距離d

(3)點(diǎn)0,0到直線l:xyC0的距離dCAB2216、兩條平行直線xyC10與xyC20間的距離dC1C2AB2217、過直線l1:A1xB1yc10與l2:A2xB2yc20交點(diǎn)的直線方程為

(A1xB1yC1)(A2xB2yc2)0R

18、與直線l:xyC0平行的直線方程為xyD0CD與直線l:xyC0垂直的直線方程為xyD019、中心對(duì)稱與軸對(duì)稱:

x1x2x02(1)中心對(duì)稱:設(shè)點(diǎn)P(x1,y1),E(x2,y2)關(guān)于點(diǎn)M(x0,y0)對(duì)稱,則

yyy1202(2)軸對(duì)稱:設(shè)P(x1,y1),E(x2,y2)關(guān)于直線l:xyC0對(duì)稱,則:a、B0時(shí),有

x1x2yyCC且y1y2;b、A0時(shí),有12且x1x22A2By1y2Bx1x2Ac、AB0時(shí),有

Ax1x2By1y2C02220、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(xa)(yb)r(圓心Aa,b,半徑長(zhǎng)為r)

222圓心O0,0,半徑長(zhǎng)為r的圓的方程xyr。

22221、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系:

設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)(yb)r,點(diǎn)M(x0,y0),將M帶入圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,結(jié)果>r2在外,0、=0、

(x2y2D1xE1yF)1(x2y2D2xE2yF2)0(1).

當(dāng)1時(shí),即兩圓公共弦所在的直線方程.26、點(diǎn)P121(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)間的距離PP(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2,

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高中數(shù)學(xué)必修2知識(shí)點(diǎn)

一、直線與方程

(1)直線的傾斜角

定義:x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地,當(dāng)直線與x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此,傾斜角的取值范圍是0°≤α<180°(2)直線的斜率

①定義:傾斜角不是90°的直線,它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即ktan。斜率反映直線與軸的傾斜程度。

當(dāng)0,90時(shí),k0;當(dāng)90,180時(shí),k0;當(dāng)90時(shí),k不存在。

yy1(x1x2)②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式:k2x2x1注意下面四點(diǎn):(1)當(dāng)x1x2時(shí),公式右邊無意義,直線的斜率不存在,傾斜角為90°;(2)k與P1、P2的順序無關(guān);(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得;

(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。(3)直線方程

①點(diǎn)斜式:yy1k(xx1)直線斜率k,且過點(diǎn)x1,y1

注意:當(dāng)直線的斜率為0°時(shí),k=0,直線的方程是y=y1。

當(dāng)直線的斜率為90°時(shí),直線的斜率不存在,它的方程不能用點(diǎn)斜式表示.但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1,所以它的方程是x=x1。

②斜截式:ykxb,直線斜率為k,直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式:④截矩式:

yy1y2y1xayxx1x2x1(x1x2,y1y2)直線兩點(diǎn)x1,y1,x2,y2

1b其中直線l與x軸交于點(diǎn)(a,0),與y軸交于點(diǎn)(0,b),即l與x軸、y軸的截距分別為a,b。

⑤一般式:AxByC0(A,B不全為0)

1各式的適用范圍○2特殊的方程如:注意:○

平行于x軸的直線:yb(b為常數(shù));平行于y軸的直線:xa(a為常數(shù));(5)直線系方程:即具有某一共同性質(zhì)的直線(一)平行直線系

平行于已知直線A0xB0yC00(A0,B0是不全為0的常數(shù))的直線系:

A0xB0yC0(C為常數(shù))

(二)過定點(diǎn)的直線系

()斜率為k的直線系:yy0kxx0,直線過定點(diǎn)x0,y0;

()過兩條直線l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為

,其中直線l2不在直線系中。A1xB1yC1A2xB2yC20(為參數(shù))(6)兩直線平行與垂直

第1頁

當(dāng)l1:yk1xb1,l2:yk2xb2時(shí),l1//l2k1k2,b1b2;l1l2k1k21

注意:利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí),要注意斜率的存在與否。(7)兩條直線的交點(diǎn)

l1:A1xB1yC10l2:A2xB2yC20相交交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組A1xB1yC10的一組解。

A2xB2yC20方程組無解l1//l2;方程組有無數(shù)解l1與l2重合(8)兩點(diǎn)間距離公式:設(shè)A(x1,y1),B是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn),(x2,y2)則|AB|(x2x1)2(y2y1)2

(9)點(diǎn)到直線距離公式:一點(diǎn)Px0,y0到直線l1:AxByC0的距離d(10)兩平行直線距離公式

在任一直線上任取一點(diǎn),再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。

Ax0By0CAB22

二、圓的方程

1、圓的定義:平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫圓,定點(diǎn)為圓心,定長(zhǎng)為圓的

半徑。

2、圓的方程

(1)標(biāo)準(zhǔn)方程xaybr2,圓心a,b,半徑為r;

22(2)一般方程x2y2DxEyF0當(dāng)DE2224F0時(shí),方程表示圓,此時(shí)圓心為22D2,1E,半徑為r22D2E24F

當(dāng)DE4F0時(shí),表示一個(gè)點(diǎn);當(dāng)DE4F0時(shí),方程不表示任何圖

形。

(3)求圓方程的方法:一般都采用待定系數(shù)法:先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件,若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,需求出a,b,r;若利用一般方程,需要求出D,E,F(xiàn);

另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì):如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn),以此來確定圓心的位置。3、直線與圓的位置關(guān)系:

直線與圓的位置關(guān)系有相離,相切,相交三種情況,基本上由下列兩種方法判斷:

(1)設(shè)直線l:AxByC0,圓C:xa2yb2r2,圓心Ca,b到l的距離為

dAaBbCAB222,則有drl與C相離;drl與C相切;drl與C相交

22(2)設(shè)直線l:AxByC0,圓C:xaybr2,先將方程聯(lián)立消元,得到一個(gè)一元二次方程之后,令其中的判別式為,則有

0l與C相離;0l與C相切;0l與C相交

2注:如果圓心的位置在原點(diǎn),可使用公式xx0yy0r去解直線與圓相切的問題,其中x0,y0表示切點(diǎn)坐標(biāo),r表示半徑。

(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程:

22

①圓x2+y2=r,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為xx0yy0r(課本命題).

2222

②圓(x-a)+(y-b)=r,圓上一點(diǎn)為(x0,y0),則過此點(diǎn)的切線方程為(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r(課本命題的推廣).

第2頁

4、圓與圓的位置關(guān)系:通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。設(shè)圓C1:xa12yb12r2,C2:xa22yb22R2兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和(差),與圓心距(d)之間的大小比較來確定。當(dāng)dRr時(shí)兩圓外離,此時(shí)有公切線四條;

當(dāng)dRr時(shí)兩圓外切,連心線過切點(diǎn),有外公切線兩條,內(nèi)公切線一條;當(dāng)RrdRr時(shí)兩圓相交,連心線垂直平分公共弦,有兩條外公切線;當(dāng)dRr時(shí),兩圓內(nèi)切,連心線經(jīng)過切點(diǎn),只有一條公切線;當(dāng)dRr時(shí),兩圓內(nèi)含;當(dāng)d0時(shí),為同心圓。

三、立體幾何初步

1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征

(1)棱柱:定義:有兩個(gè)面互相平行,其余各面都是四邊形,且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共

邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱柱ABCDEA"B"C"D"E"或用對(duì)角線的端點(diǎn)字母,如五棱柱

"AD

幾何特征:兩底面是對(duì)應(yīng)邊平行的全等多邊形;側(cè)面、對(duì)角面都是平行四邊形;側(cè)棱平行且

相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義:有一個(gè)面是多邊形,其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形,由這些面所圍成的幾何體

分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱錐PABCDE

幾何特征:側(cè)面、對(duì)角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似,其相似比等于頂點(diǎn)到

截面距離與高的比的平方。

(3)棱臺(tái):定義:用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分分類:以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等

"""""表示:用各頂點(diǎn)字母,如五棱臺(tái)PABCDE

幾何特征:①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)(4)圓柱:定義:以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側(cè)面展開圖

是一個(gè)矩形。

(5)圓錐:定義:以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何

"""""第3頁

幾何特征:①底面是一個(gè)圓;②母線交于圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。(6)圓臺(tái):定義:用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分幾何特征:①上下底面是兩個(gè)圓;②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn);③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。(7)球體:定義:以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征:①球的截面是圓;②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖:正視圖(光線從幾何體的前面向后面正投影);側(cè)視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注:正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和長(zhǎng)度;俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的長(zhǎng)度和寬度;

側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系,即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖斜二測(cè)畫法

斜二測(cè)畫法特點(diǎn):①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長(zhǎng)度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行,長(zhǎng)度為原來的一半。

4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積

(1)幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。

(2)特殊幾何體表面積公式(c為底面周長(zhǎng),h為高,h為斜高,l為母線)

"

S直棱柱側(cè)面積S正棱臺(tái)側(cè)面積12chS圓柱側(cè)2rhS正棱錐側(cè)面積(c1c2)h"S圓臺(tái)側(cè)面積(rR)l

12ch"S圓錐側(cè)面積rl

S圓柱表2rrlS圓錐表rrlS圓臺(tái)表r2rlRlR2

(3)柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式V柱ShV圓柱ShV臺(tái)13(S""21rhV錐ShV圓錐1r2h

33SSS)hV圓臺(tái)13(S"SSS)h"13(rrRR)h

22

(4)球體的表面積和體積公式:V球4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系

=

43R3;S

球面=4R2

第4頁

(1)平面

①平面的概念:A.描述性說明;B.平面是無限伸展的;

②平面的表示:通常用希臘字母α、β、γ表示,如平面α(通常寫在一個(gè)銳角內(nèi));

也可以用兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母來表示,如平面BC。

③點(diǎn)與平面的關(guān)系:點(diǎn)A在平面內(nèi),記作A;點(diǎn)A不在平面內(nèi),記作A點(diǎn)與直線的關(guān)系:點(diǎn)A的直線l上,記作:A∈l;點(diǎn)A在直線l外,記作Al;

直線與平面的關(guān)系:直線l在平面α內(nèi),記作lα;直線l不在平面α內(nèi),記作lα。(2)公理1:如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi),那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。

(即直線在平面內(nèi),或者平面經(jīng)過直線)

應(yīng)用:檢驗(yàn)桌面是否平;判斷直線是否在平面內(nèi)

用符號(hào)語言表示公理1:Al,Bl,A,Bl(3)公理2:經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn),有且只有一個(gè)平面。

推論:一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面;兩相交直線確定一平面;兩平行直線確定一平面。

公理2及其推論作用:①它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)②它是證明平面重合的依據(jù)(4)公理3:如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線

符號(hào):平面α和β相交,交線是a,記作α∩β=a。

符號(hào)語言:PABABl,Pl公理3的作用:

①它是判定兩個(gè)平面相交的方法。

②它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系:交線必過公共點(diǎn)。③它可以判斷點(diǎn)在直線上,即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。(5)公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行(6)空間直線與直線之間的位置關(guān)系

①異面直線定義:不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線②異面直線性質(zhì):既不平行,又不相交。

③異面直線判定:過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線④異面直線所成角:直線a、b是異面直線,經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O,分別引直線a’∥a,b’∥b,則把直線a’和b’所成的銳角(或直角)叫做異面直線a和b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是(0°,90°],若兩條異面直線所成的角是直角,我們就說這兩條異面直線互相垂直。說明:(1)判定空間直線是異面直線方法:①根據(jù)異面直線的定義;②異面直線的判定定理(2)在異面直線所成角定義中,空間一點(diǎn)O是任取的,而和點(diǎn)O的位置無關(guān)。②求異面直線所成角步驟:

A、利用定義構(gòu)造角,可固定一條,平移另一條,或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置,頂點(diǎn)選在特殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角

(7)等角定理:如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行,那么這兩角相等或互補(bǔ)。(8)空間直線與平面之間的位置關(guān)系

直線在平面內(nèi)有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn).

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三種位置關(guān)系的符號(hào)表示:aαa∩α=Aa∥α

(9)平面與平面之間的位置關(guān)系:平行沒有公共點(diǎn);α∥β

相交有一條公共直線。α∩β=b

5、空間中的平行問題

(1)直線與平面平行的判定及其性質(zhì)

線面平行的判定定理:平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。

線線平行線面平行

線面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個(gè)平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交,

那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行

(2)平面與平面平行的判定及其性質(zhì)兩個(gè)平面平行的判定定理

(1)如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面,那么這兩個(gè)平面平行

(線面平行→面面平行),

(2)如果在兩個(gè)平面內(nèi),各有兩組相交直線對(duì)應(yīng)平行,那么這兩個(gè)平面平行。(線線平行→面面平行),

(3)垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行,兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理

(1)如果兩個(gè)平面平行,那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。(面面平行→線面平行)(2)如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交,那么它們的交線平行。(面面平行→線線平行)7、空間中的垂直問題

(1)線線、面面、線面垂直的定義①兩條異面直線的垂直:如果兩條異面直線所成的角是直角,就說這兩條異面直線互相垂直。②線面垂直:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直,就說這條直線和這個(gè)平面垂直。

③平面和平面垂直:如果兩個(gè)平面相交,所成的二面角(從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形)是直二面角(平面角是直角),就說這兩個(gè)平面垂直。(2)垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理①線面垂直判定定理和性質(zhì)定理判定定理:如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直這個(gè)平面。性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面,那么這兩條直線平行。②面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理

判定定理:如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線,那么這兩個(gè)平面互相垂直。性質(zhì)定理:如果兩個(gè)平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。

9、空間角問題

(1)直線與直線所成的角

①兩平行直線所成的角:規(guī)定為0。

②兩條相交直線所成的角:兩條直線相交其中不大于直角的角,叫這兩條直線所成的角。③兩條異面直線所成的角:過空間任意一點(diǎn)O,分別作與兩條異面直線a,b平行的直線a,b,形成兩條相交直線,這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。

(2)直線和平面所成的角

①平面的平行線與平面所成的角:規(guī)定為0。②平面的垂線與平面所成的角:規(guī)定為90。③平面的斜線與平面所成的角:平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角。

求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角:“一作,二證,三計(jì)算”。

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在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影,由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線,在解題時(shí),注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息:(1)斜線上一點(diǎn)到面的垂線;(2)過斜線上的一點(diǎn)或過斜線的平面與已知面垂直,由面面垂直性質(zhì)易得垂線。(3)二面角和二面角的平面角①二面角的定義:從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角,這條直線叫做二面角的棱,這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。②二面角的平面角:以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn),在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射.....線,這兩條射線所成的角叫二面角的平面角。③直二面角:平面角是直角的二面角叫直二面角。

兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角,那么這兩個(gè)平面垂直;反過來,如果兩個(gè)平面垂直,那么所成的二面角為直二面角④求二面角的方法

定義法:在棱上選擇有關(guān)點(diǎn),過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角垂面法:已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí),過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角的平面角7、空間直角坐標(biāo)系

(1)定義:如圖,OBCDD,A,B,C,是單位正方體.以A為原點(diǎn),分別以O(shè)D,OA,,OB的方向?yàn)檎较,建立三條數(shù)軸x軸.y軸.z軸。這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

1)O叫做坐標(biāo)原點(diǎn)2)x軸,y軸,z軸叫做坐標(biāo)軸.3)過每?jī)蓚(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。

(2)右手表示法:令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí),可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤軸正方向,食指指向?yàn)閥軸正向,中指指向則為z軸正向,這樣也可以決定三軸間的相位置。

(3)任意點(diǎn)坐標(biāo)表示:空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫做點(diǎn)M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo),記作M(x,y,z)(x叫做點(diǎn)M的橫坐標(biāo),y叫做點(diǎn)M的縱坐標(biāo),z叫做點(diǎn)M的豎坐標(biāo))

(4)空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式:d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2

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