考研數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問題之高等數(shù)學(xué)篇超強(qiáng)總結(jié)

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考研數(shù)學(xué)熱點(diǎn)問答之高等數(shù)學(xué)篇

答疑名師：陳文燈黃先開曹顯兵1.目前階段高數(shù)應(yīng)該如何準(zhǔn)備呢？

答：高數(shù)是數(shù)學(xué)內(nèi)容最多的一部分，數(shù)學(xué)1要60%高等數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)2考到80%，數(shù)學(xué)3、數(shù)學(xué)4也要考到50%的分?jǐn)?shù)，我想這部分分塊，函數(shù)極限或者連續(xù)這一塊的重點(diǎn)是什么？這個(gè)時(shí)候把握一下重點(diǎn)是我們求極限的是不定式的極限或者兩個(gè)重要的極限，另外函數(shù)的連續(xù)性的探討這是考試的重點(diǎn)，導(dǎo)數(shù)和微分，其實(shí)重點(diǎn)不是給一個(gè)函數(shù)考導(dǎo)數(shù)，所以導(dǎo)數(shù)這個(gè)地方的

重點(diǎn)是導(dǎo)數(shù)的定義，也就是抽象函數(shù)的可導(dǎo)性。另外就是積分，定積分，分段函數(shù)的積分，分段函數(shù)，帶絕對值的函數(shù)，總而言之看上不好處理的函數(shù)的積分是考試的重點(diǎn)，而且一定要注意積分的對稱性，我們要利用分段積分去掉絕對值把積分求出來，另外就是中值定律這個(gè)地方一般每年要考一個(gè)題，看看以往考過什么樣的題型。多維函數(shù)的微積分，一個(gè)是多維隱函數(shù)的求導(dǎo)，包括復(fù)合函數(shù)這是考試的重點(diǎn)。二成積分的計(jì)算，當(dāng)然數(shù)學(xué)1里面還包括了三成積分，這里面每年都考一個(gè)題目。另外曲線和曲面積分，這也是必考的。一階的YZ方程，還有無窮奇數(shù)，無窮奇數(shù)的求和，主要是間接的展開法，重點(diǎn)主要是這些。2.多元函數(shù)微積分是新增加的知識點(diǎn)，您能否講講這一塊應(yīng)該怎樣復(fù)習(xí)？二重積分如何復(fù)習(xí)？

答:函數(shù)微積分因?yàn)槭堑谝荒暝黾�，所以都會考最基本的�?nèi)容，像線性代數(shù)增加的時(shí)候第一年考是求具體的三節(jié)矩陣的特定值。所以二層積分今年初次考，比如二級積分交換基本次序，這個(gè)你一定要會。積分的區(qū)域要畫出來，各級函數(shù)畫清楚，根據(jù)積分類型確定積分順序，確定積分線。

二層積分首先你要確定是X積分還是Y積分，你在這個(gè)區(qū)域畫一條線，如果是X積分你做一條平行X軸的射線穿過這個(gè)區(qū)域。穿進(jìn)就是積分的下限，穿出就是積分的上限。一般把這個(gè)基本原則掌握了，考試就不會有問題了。3.請問在數(shù)學(xué)二中今年考試大綱中新增多元微分考試要求，請問今年考試如何把握？

答：數(shù)學(xué)二這位網(wǎng)友說的不對，增加了多元函數(shù)的微分和積分，201*年這個(gè)章節(jié)肯定得考，每年新增加一章內(nèi)容肯定要考，不象增加一個(gè)小小知識點(diǎn)不一定考，增加一個(gè)整個(gè)章節(jié)肯定得考。而且考試的難度應(yīng)該是最基本的，你這個(gè)基本知識、基本概念、基本計(jì)算方法掌握了基本就可以了。一個(gè)是微分這個(gè)地方，

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多元函數(shù)微分重點(diǎn)在復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，尤其是隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，你不要做太復(fù)雜的，你做一些簡單的就可以了。數(shù)學(xué)二的同學(xué)只要把基本的多元復(fù)合函數(shù)、多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)掌握就可以了。另外一個(gè)地方要注意的是積分的計(jì)算，這個(gè)地方也是個(gè)重點(diǎn)，多元函數(shù)微分和積分。X型區(qū)域、Y型區(qū)域怎么樣找到積分限，計(jì)算方法你掌握了這個(gè)題是沒有問題的。4.請問一下高數(shù)如何復(fù)習(xí)能抓住分？

答:數(shù)學(xué)要考高分首先要明確數(shù)學(xué)要考些什么。我個(gè)人的理解和看法數(shù)學(xué)主要是考四個(gè)方面，一個(gè)考基礎(chǔ)，包括基本概念、基本理論、基本運(yùn)算，數(shù)學(xué)本來就是一門基礎(chǔ)的學(xué)科，如果基礎(chǔ)、概念、基本運(yùn)算不太清楚，運(yùn)算不太熟練那你肯定是考不好的。所以基礎(chǔ)一定要打扎實(shí)。

我覺得高數(shù)的基礎(chǔ)應(yīng)該著重放在極限、導(dǎo)數(shù)、不定積分這三方面，后面當(dāng)然還有定積分、一元微積分的應(yīng)用，還有中值定理、多元函數(shù)、微分、線面積分等等內(nèi)容，這些內(nèi)容可以看著剛才我所說的三部分內(nèi)容的聯(lián)系和應(yīng)用，這就是它的基礎(chǔ)。

數(shù)學(xué)要考的第二部分就是簡單的分析綜合能力。因?yàn)楝F(xiàn)在高數(shù)中的一些考題很少有單純考一個(gè)知識點(diǎn)的，一般都是多個(gè)知識點(diǎn)的綜合。還有一個(gè)就是數(shù)學(xué)的建模能力，也就是解應(yīng)用題的能力。解應(yīng)用題這方面就比較不好說了，因?yàn)樗�要求的知識面比較廣了，包括數(shù)學(xué)的知識比較要扎實(shí)，還有幾何、物理、化學(xué)、力學(xué)等等這些好多知識。當(dāng)然它主要考的就是數(shù)學(xué)在幾何中的應(yīng)用，在力學(xué)中的應(yīng)用，在物理中的吸引力、電力做功等等這些方面。數(shù)學(xué)要考的第四個(gè)方面就是你的運(yùn)算的熟練程度，換句話說就是你解題的速度。如果能夠圍繞著這幾個(gè)方面進(jìn)行復(fù)習(xí)，數(shù)學(xué)考高分我想還是完全可能的。

從一些研究生介紹的經(jīng)驗(yàn)來看，他們也都是這樣做的。說到解題速度，我個(gè)人認(rèn)為一個(gè)方面在頭腦中應(yīng)該儲存著一些最基本的運(yùn)算結(jié)果。比方說A的平方減X平方，開平方，圓在零至A上的積分就等于四分之πA的平方。還有就是我們有些最基本的一些公式，像SinX的n次方在零到二分之π上，其結(jié)果當(dāng)N是奇數(shù)的時(shí)候，當(dāng)N是偶數(shù)的時(shí)候它們的結(jié)果馬上就知道。再比方函數(shù)像LogX加上根號A平方減X平方括號它的導(dǎo)數(shù)，我們馬上就應(yīng)該知道，就是等于根號A平方加X平方分之一，這個(gè)應(yīng)該馬上就知道，免得再去計(jì)算。再比如常用的變量替換要記住，還有就是常用的一些輔助函數(shù)的做法要記得非常牢。所以腦子中有這些基本的儲存，到時(shí)候做題就快了。

當(dāng)然了最重要的是平時(shí)還是要多加訓(xùn)練，我覺得有的同學(xué)就認(rèn)為現(xiàn)在數(shù)學(xué)應(yīng)該放一放，該看看其他的學(xué)科了。這種做法是不對的！數(shù)學(xué)應(yīng)該一抓到底，應(yīng)該經(jīng)常練，一天至少保證三個(gè)小時(shí)。把我們平時(shí)講的一些概念、定理、公式復(fù)習(xí)好，牢牢地記住。同時(shí)數(shù)學(xué)還是一種基本技能的訓(xùn)練，像騎自行車一樣。盡管你原來騎得非常好，非常溜，但是你長時(shí)間不騎，你再騎總有點(diǎn)不習(xí)慣。所以經(jīng)常練習(xí)是很重要的，天天做、天天看，一直到考試的那一天。這樣的話，就絕對不會生疏了，解題速度就能夠跟上去。

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5.多元函數(shù)微積分是新增加的知識點(diǎn)，這一塊應(yīng)該怎樣復(fù)習(xí)？二重積分如何復(fù)習(xí)？

答：函數(shù)微積分因?yàn)槭堑谝荒暝黾�，所以都會考最基本的�?nèi)容，像線性代數(shù)增加的時(shí)候第一年考是求具體的三節(jié)矩陣的特定值。所以二層積分今年初次考，比如二級積分交換基本次序，這個(gè)你一定要會。積分的區(qū)域要畫出來，各級函數(shù)畫清楚，根據(jù)積分類型確定積分順序，確定積分線。

二層積分首先你要確定是X積分還是Y積分，你在這個(gè)區(qū)域畫一條線，如果是X積分你做一條平行X軸的射線穿過這個(gè)區(qū)域。穿進(jìn)就是積分的下限，穿出就是積分的上限。一般把這個(gè)基本原則掌握了，考試就不會有問題了。

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擴(kuò)展閱讀：Qctkmq考研數(shù)學(xué)總結(jié)高數(shù)篇

生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因?yàn)樵谒鼉?nèi)部蘊(yùn)含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時(shí)間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。

－－泰戈?duì)?/p>

上冊：

函數(shù)（高等數(shù)學(xué)的主要研究對象）

極限：數(shù)列的極限（特殊）函數(shù)的極限（一般）

極限的本質(zhì)是通過已知某一個(gè)量（自變量）的變化趨勢，去研究和探索另外一個(gè)量（因變量）的變化趨勢

由極限可以推得的一些性質(zhì)：局部有界性、局部保號性……應(yīng)當(dāng)注意到，由極限所得到的性質(zhì)通常都是只在局部范圍內(nèi)成立

在提出極限概念的時(shí)候并未涉及到函數(shù)在該點(diǎn)的具體情況，所以函數(shù)在某點(diǎn)的極限與函數(shù)在該點(diǎn)的取值并無必然聯(lián)系

連續(xù)：函數(shù)在某點(diǎn)的極限等于函數(shù)在該點(diǎn)的取值連續(xù)的本質(zhì)：自變量無限接近，因變量無限接近

導(dǎo)數(shù)的概念

本質(zhì)是函數(shù)增量與自變量增量的比值在自變量增量趨近于零時(shí)的極限，更簡單的說法是變化率

微分的概念：函數(shù)增量的線性主要部分，這個(gè)說法有兩層意思，一、微分是一個(gè)線性近似，二、這個(gè)線性近似帶來的誤差是足夠小的，實(shí)際上任何函數(shù)的增量我們都可以線性關(guān)系去近似它，但是當(dāng)誤差不夠小時(shí)，近似的程度就不夠好，這時(shí)就不能說該函數(shù)可微分了

不定積分：導(dǎo)數(shù)的逆運(yùn)算什么樣的函數(shù)有不定積分

定積分：由具體例子引出，本質(zhì)是先分割、再綜合，其中分割的作用是把不規(guī)則的整體劃作規(guī)則的許多個(gè)小的部分，然后再綜合，最后求極限，當(dāng)極限存在時(shí)，近似成為精確什么樣的函數(shù)有定積分

求不定積分（定積分）的若干典型方法：換元、分部，分部積分中考慮放到積分號后面的部分，不同類型的函數(shù)有不同的優(yōu)先級別，按反對冪三指的順序來記憶

定積分的幾何應(yīng)用和物理應(yīng)用

高等數(shù)學(xué)里最重要的數(shù)學(xué)思想方法：微元法

微分和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：判斷函數(shù)的單調(diào)性和凹凸性

微分中值定理，可從幾何意義去加深理解

泰勒定理：本質(zhì)是用多項(xiàng)式來逼近連續(xù)函數(shù)。要學(xué)好這部分內(nèi)容，需要考慮兩個(gè)問題：一、這些多項(xiàng)式的系數(shù)如何求？二、即使求出了這些多項(xiàng)式的系數(shù)，如何去評估這個(gè)多項(xiàng)式逼近連續(xù)函數(shù)的精確程度，即還需要求出誤差（余項(xiàng)），當(dāng)余項(xiàng)隨著項(xiàng)數(shù)的增多趨向于零時(shí)，這種近似的精確度就是足夠好的下冊（一）：

多元函數(shù)的微積分：將上冊的一元函數(shù)微積分的概念拓展到多元函數(shù)

最典型的是二元函數(shù)

極限：二元函數(shù)與一元函數(shù)要注意的區(qū)別，二元函數(shù)中兩點(diǎn)無限接近的方式有無限多種（一元函數(shù)只能沿直線接近），所以二元函數(shù)存在的要求更高，即自變量無論以任何方式接近于一定點(diǎn)，函數(shù)值都要有確定的變化趨勢

連續(xù)：二元函數(shù)和一元函數(shù)一樣，同樣是考慮在某點(diǎn)的極限和在某點(diǎn)的函數(shù)值是否相等

導(dǎo)數(shù)：上冊中已經(jīng)說過，導(dǎo)數(shù)反映的是函數(shù)在某點(diǎn)處的變化率（變化情況），在二元函數(shù)中，一點(diǎn)處函數(shù)的變化情況與從該點(diǎn)出發(fā)所選擇的方向有關(guān)，有可能沿不同方向會有不同的變化率，這樣引出方向?qū)��?shù)的概念

沿坐標(biāo)軸方向的導(dǎo)數(shù)若存在，稱之為偏導(dǎo)數(shù)

通過研究發(fā)現(xiàn)，方向?qū)��?shù)與偏導(dǎo)數(shù)存在一定關(guān)系，可用偏導(dǎo)數(shù)和所選定的方向來表示，即二元函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)已經(jīng)足夠表示清楚該函數(shù)在一點(diǎn)沿任意方向的變化情況

高階偏導(dǎo)數(shù)若連續(xù)，則求導(dǎo)次序可交換

微分：微分是函數(shù)增量的線性主要部分，這一本質(zhì)對一元函數(shù)或多元函數(shù)來說都一樣。只不過若是二元函數(shù)，所選取的線性近似部分應(yīng)該是兩個(gè)方向自變量增量的線性組合，然后再考慮誤差是否是自變量增量的高階無窮小，若是，則微分存在

僅僅有偏導(dǎo)數(shù)存在，不能推出用線性關(guān)系近似表示函數(shù)增量后帶來的誤差足夠小，即偏導(dǎo)數(shù)存在不一定有微分存在

若偏導(dǎo)數(shù)存在，且連續(xù)，則微分一定存在

極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)和可微的關(guān)系在多元函數(shù)情形里比一元函數(shù)更為復(fù)雜

極值：若函數(shù)在一點(diǎn)取極值，且在該點(diǎn)導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）存在，則此導(dǎo)數(shù)（偏導(dǎo)數(shù)）必為零

所以，函數(shù)在某點(diǎn)的極值情況，即函數(shù)在該點(diǎn)附近的函數(shù)增量的符號，由二階微分的符號判斷。對一元函數(shù)來說，二階微分的符號就是二階導(dǎo)數(shù)的符號，對二元函數(shù)來說，二階微分的符號可由相應(yīng)的二次型的正定或負(fù)定性判斷。

梯度運(yùn)算把一個(gè)標(biāo)量場變成向量場

一條空間曲線在某點(diǎn)的切向量，便是該點(diǎn)處的曲線微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲線積分與第二類曲線積分的聯(lián)系

一張空間曲面在某點(diǎn)的法向量，便是該點(diǎn)處的曲面微元向量，有三個(gè)分量，它建立了第一類曲面積分和第二類曲面積分的聯(lián)系

物體在一點(diǎn)處的相對體積變化率由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的散度

散度運(yùn)算把向量場變成標(biāo)量場

散度為零的場稱為無源場

高斯定理的物理意義：對散度在空間區(qū)域進(jìn)行體積分，結(jié)果應(yīng)該是這個(gè)空間區(qū)域的體積變化率，同時(shí)這種體積變化也可看成是在邊界上的流量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即高斯定理把一個(gè)速度場在邊界上的積分與速度場的散度在該邊界所圍的閉區(qū)域上的體積分聯(lián)系起來

無源場的體積變化為零，這是容易理解的，相當(dāng)于既無損失又無補(bǔ)充

物體在一點(diǎn)處的旋轉(zhuǎn)情況由該點(diǎn)處的速度場決定，其值為速度場的旋度

旋度運(yùn)算把向量場變成向量場

旋度為零的場稱為無旋場

斯托克斯定理的物理意義：對旋度在空間曲面進(jìn)行第二類曲面積分，結(jié)果應(yīng)該表示的是這個(gè)曲面的旋轉(zhuǎn)快慢程度，同時(shí)這種旋轉(zhuǎn)也可看成是邊界上的速度環(huán)量造成的，故兩者應(yīng)該相等。即斯托克斯定理把一個(gè)速度場在邊界上形成的環(huán)量與該邊界所圍的曲面的第二類曲面積分聯(lián)系起來。該解釋是從速度環(huán)量的角度出發(fā)得到的，比高斯定理要難，不強(qiáng)求掌握。

無旋場的速度環(huán)量為零，這相當(dāng)于一個(gè)區(qū)域沒有旋轉(zhuǎn)效應(yīng)，這是容易理解的

格林定理是斯托克斯定理的平面情形

進(jìn)一步考察無旋場的性質(zhì)

旋度為零，相當(dāng)于對旋度作的第二類曲面積分為零即等號后邊的第二類曲線積分為零，相當(dāng)于該力場圍繞一閉合空間曲線作做的功為零即從該閉合曲線上任選一點(diǎn)出發(fā)，積分與路徑無關(guān)相當(dāng)于所得到的曲線積分結(jié)果只于終點(diǎn)的選擇有關(guān)，與路徑無關(guān)，可看成終點(diǎn)的函數(shù)，這是一個(gè)場函數(shù)（空間位置的函數(shù)），稱為勢函數(shù)所得的勢函數(shù)的梯度正好就是原來的力場因?yàn)榱�場函�?shù)是連續(xù)的，所以勢函數(shù)有全微分

總習(xí)題二：

1填空題，不多說了，重點(diǎn)

2非常好的一道題目，考察了與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的一些說法，其中的干擾項(xiàng)（B）（C）設(shè)置的比較巧妙，因?yàn)槠綍r(shí)我們一般只注意到導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)存在的條件是左右導(dǎo)數(shù)都存在且相等，容易忽視另一個(gè)重要條件：函數(shù)必須要在該點(diǎn)連續(xù)，否則何來可導(dǎo)？而（B）（C）項(xiàng)的問題正是在于即使其中的極限存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)楦�本就沒出現(xiàn)f(a)，所以對f(x)在a處的情況是不清楚的。而對（A）項(xiàng)來說只能保證右導(dǎo)數(shù)存在。只有（D）項(xiàng)是能確實(shí)的推出可導(dǎo)的

3物理應(yīng)用現(xiàn)在基本不要求了

4按定義求導(dǎo)數(shù)，不難，應(yīng)該掌握

5常見題型，判斷函數(shù)在間斷點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)情況，按定義即可

6典型題，討論函數(shù)在間斷點(diǎn)處的連續(xù)性和可導(dǎo)性，均按定義即可

7求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算層面的考察，第二章學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容

8求二階導(dǎo)數(shù)，同上題

9求高階導(dǎo)數(shù)，需注意總結(jié)規(guī)律，難度稍大，體會思路即可

10求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，重要，�？碱}型

11求參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)，同樣是�？碱}型

12導(dǎo)數(shù)的幾何應(yīng)用，重要題型

13、14、15不作要求

綜上，第二章總習(xí)題需重點(diǎn)掌握的題目是1、2、4、5、6、7、8、10、11、12

第三章的習(xí)題都比較難，需要多總結(jié)和體會解題思路

總習(xí)題三

1零點(diǎn)個(gè)數(shù)的討論問題，典型題，需掌握

2又一道設(shè)置巧妙的題目，解決方法有很多，通過二階導(dǎo)的符號來判斷函數(shù)增量與導(dǎo)數(shù)、微分的大小關(guān)系，07年真題就有一道題目由此題改造而來，需重點(diǎn)體會

3舉反例，隨便找個(gè)有跳躍點(diǎn)的函數(shù)即可

4中值定理和極限的綜合應(yīng)用，重要題目，主要從中體會中值定理的妙處

5零點(diǎn)問題，可用反證法結(jié)合羅爾定理，也可正面推證，確定出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可，此題非典型題

6、7、8中值定理典型題，要證明存在零點(diǎn)，可構(gòu)造適當(dāng)?shù)妮o助函數(shù)，再利用羅爾定理，此類題非常重要，要細(xì)心體會解答給出的方法

9非常見題型，了解即可

10羅必達(dá)法則應(yīng)用，重要題型，重點(diǎn)掌握

11不等式，一般可用導(dǎo)數(shù)推征，典型題

12、13極值及最值問題，需要掌握，不過相對來說多元函數(shù)的這類問題更重要些

14、15、16不作要求

17非常重要的一道題目，設(shè)計(jì)的很好，需要注意題目條件中并未給出f""可導(dǎo)，故不能連用兩次洛必達(dá)法則，只能用一次洛必達(dá)法則再用定義，這是此題的亮點(diǎn)

18無窮小的階的比較，一是可直接按定義，二是可將函數(shù)泰勒展開，都能得到結(jié)果，此題考察的是如何判斷兩個(gè)量的階的大小，重要

19對凹凸性定義的推廣，用泰勒公式展開到二階可較方便的解決，此題可看作泰勒公式應(yīng)用的一個(gè)實(shí)例，重在體會其思想

20確定合適的常數(shù)，使得函數(shù)為給定的無窮小量，典型題，且難度不大

綜上，第三章總習(xí)題需要重點(diǎn)掌握的是1、2、4、6、7、8、10、11、12、13、17、18、20

第四章沒有什么可說的重點(diǎn)，能做多少是多少吧……

積分的題目是做不完的。

當(dāng)然，如果你以那種不破樓蘭終不還的決心和氣勢，最終把所有題目搞定了，這還是值得恭喜的，盡管可能這會花掉很多時(shí)間，但仍然是值得的……因?yàn)檫@有效的鍛煉了思維。

總習(xí)題五

1填空，重要，但第（2）、（3）問涉及廣義積分，不作要求

2典型題，前3題用定積分定義求極限，需重點(diǎn)掌握，尤其是要體會如何把和式改寫為相應(yīng)的積分式，積分區(qū)間和被積函數(shù)如何定，這個(gè)是需要適當(dāng)?shù)木毩?xí)才能把握好的，后2題涉及積分上限函數(shù)求導(dǎo)，也是常見題型

3分別列出三種積分計(jì)算中最可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤，需細(xì)心體會，重要

4利用定積分的估值證明不等式，技巧性較強(qiáng)

5兩個(gè)著名不等式的積分形式，不作強(qiáng)制要求，了解即可

6此題證明要用5題中的柯西不等式，不作要求

7計(jì)算定積分，典型題

8證明兩個(gè)積分相等，可用一般方法，也可利用二重積分的交換積分次序，設(shè)計(jì)巧妙的重點(diǎn)題目

9同樣是利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，只不過對象變得比一般函數(shù)復(fù)雜，是積分上限函數(shù)，但本質(zhì)和第三章的類似題目無區(qū)別，不難掌握

10分段求積分，典型題

11證明積分第一中值定理，要用到連續(xù)函數(shù)的介值定理，難度高于積分中值定理的證明，可作為提高和鍛煉性質(zhì)的練習(xí)

綜上，總習(xí)題五需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、7、8、9、10

定積分的應(yīng)用一塊的考察，現(xiàn)在更偏重的是幾何應(yīng)用

1物理應(yīng)用，跳過

2所涉及到的圖形較為復(fù)雜，是兩個(gè)圓，其中第二個(gè)是旋轉(zhuǎn)了一定角度的圓，不易看出，此題可作為一個(gè)提高性質(zhì)的練習(xí)

3重點(diǎn)題，積分的幾何應(yīng)用和極值問題相結(jié)合，�？碱}型之一

4旋轉(zhuǎn)體體積，需注意的是繞哪條線形成的旋轉(zhuǎn)體，所繞的軸不同的話，結(jié)果不同

9從流量的角度出發(fā)理解第二類曲面積分，基本題型

10用Stokes定理積分空間曲線積分，基本題型，01年考過

綜上，總習(xí)題十需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、8、9、10

第十一章是級數(shù)，數(shù)二數(shù)四不要求，其中傅立葉級數(shù)對數(shù)三無要求

總習(xí)題十一

1填空，涉及級數(shù)斂散性的相關(guān)說法，重要

2判斷正項(xiàng)級數(shù)的收斂性，典型題，綜合應(yīng)用比較、比值、根值三種方法，在用比較判別法時(shí)實(shí)際就是比較兩個(gè)通項(xiàng)是否同階無窮小，這樣可讓思路更清晰

3抽象級數(shù)的概念題，重點(diǎn)題型之一，要利用級數(shù)收斂的相關(guān)性質(zhì)判斷

4設(shè)置了陷阱的概念題，因?yàn)楸容^判別法只對正項(xiàng)級數(shù)成立，也是重點(diǎn)題型之一

5判斷級數(shù)的絕對收斂和條件收斂，典型題，通過這些練習(xí)來加強(qiáng)對這類題目的熟練度

6利用收斂級數(shù)的通項(xiàng)趨于零這一說法來判斷極限，體會方法即可

7求冪級數(shù)的收斂域，典型題，要多加練習(xí)，注意搞清楚收斂域、收斂半徑、收斂區(qū)域的區(qū)別

8求冪級數(shù)的和函數(shù)，典型題，重要，一般求和函數(shù)都不用直接法而用間接法，即通過對通項(xiàng)作變形（逐項(xiàng)積分或求導(dǎo)等），再利用已知的常見函數(shù)的展開式得到結(jié)果，注意求出和函數(shù)不要忘記相應(yīng)的收斂域。

9利用構(gòu)造冪級數(shù)來求數(shù)項(xiàng)級數(shù)的和，也是一類重要題型

10將函數(shù)展開為冪級數(shù)，與8是互為反問題，仍是多用間接展開法，方法上異曲同工，需要熟練掌握，同樣注意不要忘記收斂域

11、12傅立葉級數(shù)的相關(guān)題目，基本題，此類題目記得相應(yīng)的系數(shù)表達(dá)式就可解決，一般來說至少要掌握周期為pi的情形。注意傅氏級數(shù)展開的系數(shù)公式難記，只能平時(shí)多加回顧，還有不要忽略了在非連續(xù)點(diǎn)展開后的傅氏級數(shù)的收斂情況（即狄利赫萊收斂定理）

綜上，總習(xí)題十一需要重點(diǎn)掌握的題目是1、2、3、4、5、7、8、9、10、11

第十二章微分方程，二階以上的方程對數(shù)四不作要求，下面不再詳細(xì)說明

總習(xí)題十二

1填空，涉及微分方程理論的若干說法，基本題，第（2）問只數(shù)一要求

2通過解的形式觀察出相應(yīng)的微分方程，典型題，其中第（2）問更重要

3、4求解不同類型的微分方程，通過這些題目的練習(xí)，基本對各種方程的解法有一定了解，同時(shí)也培養(yǎng)了一些解題思路和技巧，重要。其中涉及到全微分方程的幾個(gè)小題只數(shù)一有要求

5微分方程的幾何應(yīng)用，基本題

6微分方程的物理應(yīng)用，不作要求

7由積分方程推導(dǎo)微分方程，典型題，要求掌握

8用變量代換化簡微分方程，典型題，只對數(shù)一有要求，注意在代換過程中要搞清楚變量和變量的對應(yīng)關(guān)系

9涉及微分方程基本理論的題目，非常見題型，但可體會其出題思路

10歐拉方程的練習(xí)，數(shù)一要求

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