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高中數(shù)學知識點總結(jié)_三角函數(shù)公式大全

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高中數(shù)學知識點總結(jié)_三角函數(shù)公式大全

要點重溫之三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)

1.研究一個含三角式的函數(shù)的性質(zhì)時一般先將函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)+B或y=Acos(ωx+φ)+B的形式。[注意]:函數(shù)y=|Asin(ωx+φ)|的周期是函數(shù)y=Asin(ωx+φ)周期的一半。

[舉例]函數(shù)ysin(x)cos(x)在x2時有最大值,則的一個值是,

22A、

4B、

2C、

1223D、

34

2解析:原函數(shù)可變?yōu)椋簓=(k-1)+

4sin(x2),它在x2時有最大值,即22=2k+

,k∈Z,選A。(萬不可分別去研究sin(2x)和cos(2。x)的最大值)

[鞏固]①函數(shù)y=sin2xcos2x的最小正周期是;②函數(shù)y=tanx—cotx的周期為;③函數(shù)y=|

12+sim

x2|的周期為。

2.在解決函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的相關(guān)問題時,一般對ωx+φ作“整體化”處理。如:用“五

3點法”作函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象時,應取ωx+φ=0、、、、2等,而不是取

22x等于它們;求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的取值范圍時,應由x的范圍確定ωx+φ的范圍,再觀察三角函數(shù)的圖象(或單位圓上的三角函數(shù)線),注意:只需作出y=sin(把ωx+φ視為一個整體,即)的草圖,而無需畫y=Asin(ωx+φ)的圖象;求函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間時,也是視ωx+φ為一個整體,先指出ωx+φ的范圍,再求x的范圍;研究函數(shù)

y=Asin(ωx+φ)的圖象對稱性時,則分別令ωx+φ=k+和ωx+φ=k(k∈Z),從而得

2到函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象關(guān)于直線x,0)對

2稱(k∈Z),(正、余弦函數(shù)圖象的對稱軸平行于Y軸且過函數(shù)圖象的最高點或最低點,而對

k對稱,關(guān)于點(

k稱中心是圖象與“平衡軸”的交點);對函數(shù)y=Acos(ωx+φ)也作完全類似的處理。

[舉例1]畫出函數(shù)ysin(2x)在[0,]內(nèi)的圖象并指出其有無對稱軸、對稱中心。

6解析:作函數(shù)ysin(2x6)的圖象不是先作函數(shù)ysinx的圖象,再由它伸宿、平移得

3]內(nèi)取x=0、、、、這五點,到,而是直接描點作圖。但不是在[0,而是視2x4246為一個角,2x6∈[

6,

136],取2x6=

6、

2、、

32、2、

136六個點,

具體列表如下:

2x626512322321112136xy012601210-描點、作圖略。不難看出直線x6、x23都不是函數(shù)的對稱軸,點(

512,0)、(

1112,

0)也都不是函數(shù)圖象的對稱中心,因為定義域不關(guān)于它們對稱,所以無對稱軸、對稱中心。[舉例2]已知函數(shù)ysinxcosx3sin2(1)指出函數(shù)的對稱軸、對稱中心;x,

23,(2)指出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間;(3)函數(shù)在(最大、最小值時的x的值。解析:y2sin(2x3)-

12]上的最大、最小值,并指出取得

32,(1)對稱軸:由2x3=k+

2得xk2k212,kZ;

對稱中心:由2x3=k得x3k26,∴函數(shù)圖象的對稱中心為(

25126,-

32)

kZ。(2)由2x∈[2k-

2,2k+]得x∈[k3,k123],kZ,

,∴[k512,k612],kZ。(3)將2x視為一個角,∵x(6212]12∴∈(,],畫函數(shù)ysin的草圖,觀察∈(,]時函數(shù)值的范圍為[-1,

12],

當且僅當=2時sin取得最小值-1,=

126時sin取得最大值

32;即x=512時原函

數(shù)最小值-2-

32,x=時原函數(shù)最大值1-。

5121112[鞏固][鞏固]有以下四個命題:①函數(shù)f(x)=sin(

3-2x)的一個增區(qū)間是[,];②若3函數(shù)f(x)=sin(x+)為奇函數(shù),則為的整數(shù)倍;③對于函數(shù)f(x)=tg(2x+f(x1)=f(x2),則x1-x2必是的整數(shù)倍;④函數(shù)y=2sin(2x+其中正確的命題是(填上正確命題的序號)[遷移]函數(shù)f(x)=2sin2x+3sin2x-1(>0)

①若對任意x∈R恒有f(x1)≤f(x)≤f(x2),求|x1-x2|的最小值;②若對任意x∈R恒f(x)≤f(1),試判斷f(x+1)的奇偶性;

③若f(x)在[0,]上是單調(diào)函數(shù),求整數(shù)的值;

4),若

3)的圖像關(guān)于點(

3,0)對稱。

3.已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的圖象求表達式,一般先根據(jù)函數(shù)的最大值

M、最小值m(最高、最低點的縱坐標),確定A、B(A+B=M,-A+B=m);根據(jù)相鄰的最大、最

小值點間的距離d(最高、最低點的橫坐標之差的絕對值)確定ω(d),最后用最高

(或最低)點的坐標代入表達式確定φ。[舉例]已知函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,00,0(Ⅱ)f(x)=sin(2x+x+123)=cos(

6-2x)=cos(2x-

6)=cos[2(x-

12)],方案一:先左移

x212(x變成

)得到函數(shù)y=cos2x,再縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(x變成

x2)得到函數(shù)y=cosx;

6方案二:先縱坐標不變橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍(x變成6)得到函數(shù)y=cos(x-),再左移

(x變成x+

6)得到函數(shù)y=cosx。注:()圖象變換的問題要特別注意題目要求由誰變到

誰,不要搞錯了方向;()變換的源頭和結(jié)果需化為同名的三角函數(shù)且角變量的系數(shù)同號(用誘導公式)才能實施;()如果已知變換的結(jié)果探究變換的源頭,可以“倒行逆施”。[鞏固1]把函數(shù)y=cosx-3sinx的圖象向左平移m個單位(m>0)所得的圖象關(guān)于y軸對稱,則m的最小值是

25A.B.C.D.

6336[鞏固2]將函數(shù)f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|BsinA>sinB;sin(B+C)=sinA、cos(B+C)=-cosA、cos

BC20

=sin

A2、sin

BC2=cos

A2;△ABC中

cosA+cosB>0,cosB+cosC>0,cosA+cosC>0;在銳角三角形△ABC中sinA>cosB,sinB>cosC,sinC>cosA等;若A、B是鈍角三角形兩銳角,則sinA

簡答

1.[鞏固]①

2②

2③4;2.[鞏固]①②④,[遷移]f(x)=2sin(2x-

6),①由f(x1)

≤f(x)≤f(x2)知:x1、x2分別是函數(shù)y=f(x)的最小值、最大值點,最小、最大值點間最近的距離為半個周期,得函數(shù)y2sin在[-∴62,②偶,③視2x-262為一個角,則∈[--6643,

2-

6],

,-

6]上單調(diào),則

2,得0

擴展閱讀:高中數(shù)學知識點總結(jié)大全

高中數(shù)學知識點總結(jié)大全一一.三角函數(shù)基本知識

一、基本概念、定義:

1.角的概念推廣終邊角:2.弧度制:

3.任意角的三角函數(shù):②三角函數(shù)線:

③同角三角函數(shù)關(guān)系式:

④誘導公式:

二、基本三角公式:1.和、差角公式

2.二倍角公式

倍角公式變形:降冪公式3.半角公式(書P45~46)

4.萬能公式:..

應用公式解題的基本題型:基本技巧:

三、三角函數(shù)性質(zhì)

四、y=Asin(ωx+ψ)的圖像和性質(zhì):

五、反三角定義:;

六、數(shù)學思想方法:(1)數(shù)形結(jié)合思想,(2)整體思想,

1.三角函數(shù)(約16課時)(1)任意角、弧度

了解任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化。(2)三角函數(shù)

①借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義。

②借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式(π/2±α,π±α的正弦、余弦、正切),能畫出y=sinx,y=cosx,y=tanx的圖像,了解三角函數(shù)的周期性。

③借助圖像理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2π],正切函數(shù)在(-π/2,π/2)上的性質(zhì)(如單調(diào)性、最大和最小值、圖像與x軸交點等)。

④理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:sin2x+cos2x=1,sinx/cosx=tanx。⑤結(jié)合具體實例,了解y=Asin(wx+f)的實際意義;能借助計算器或計算機畫出y=Asin(wx+f)的圖像,觀察參數(shù)A,w,f對函數(shù)圖像變化的影響。

⑥會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題,體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型。

二.函數(shù)與常見初等函數(shù)

(1)函數(shù)

①通過豐富實例,進一步體會函數(shù)是描述變量之間的依賴關(guān)系的重要數(shù)學模型,在此基礎上學習用集合與對應的語言來刻畫函數(shù),體會對應關(guān)系在刻畫函數(shù)概念中的作用;了解構(gòu)成函數(shù)的要素,會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域;了解映射的概念。

②在實際情境中,會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒ǎㄈ,圖像法、列表法、解析法)表示函數(shù)。

③通過具體實例,了解簡單的分段函數(shù),并能簡單應用。

④通過已學過的函數(shù)特別是二次函數(shù),理解函數(shù)的單調(diào)性、最大(。┲导捌鋷缀我饬x;結(jié)合具體函數(shù),了解奇偶性的含義。

⑤學會運用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)(參見例1)。(2)指數(shù)函數(shù)

①通過具體實例(如,細胞的分裂,考古中所用的14C的衰減,藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等),了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景。

②理解有理指數(shù)冪的含義,通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義,掌握冪的運算。

③理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義,能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖像,探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。

④在解決簡單實際問題的過程中,體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型(參見例2)。(3)對數(shù)函數(shù)

①理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì),知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù);通過閱讀材料,了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用。

②通過具體實例,直觀了解對數(shù)函數(shù)模型所刻畫的數(shù)量關(guān)系,初步理解對數(shù)函數(shù)的概念,體會對數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型;能借助計算器或計算機畫出具體對數(shù)函數(shù)的圖像,探索并了解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點。

③知道指數(shù)函數(shù)y=ax與對數(shù)函數(shù)y=logax互為反函數(shù)。(a>0,a≠1)(4)冪函數(shù)

通過實例,了解冪函數(shù)的概念;結(jié)合函數(shù)y=x,y=x2,y=x3,y=1/x,y=x1/2的圖像,了解它們的變化情況。(5)函數(shù)與方程

①結(jié)合二次函數(shù)的圖像,判斷一元二次方程根的存在性及根的個數(shù),從而了解函數(shù)的零點與方程根的聯(lián)系。

②根據(jù)具體函數(shù)的圖像,能夠借助計算器用二分法求相應方程的近似解,了解這種方法是求方程近似解的常用方法。(6)函數(shù)模型及其應用

①利用計算工具,比較指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)增長差異;結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義。

②收集一些社會生活中普遍使用的函數(shù)模型(指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等)的實例,了解函數(shù)模型的廣泛應用。(7)實習作業(yè)根據(jù)某個主題,收集17世紀前后發(fā)生的一些對數(shù)學發(fā)展起重大作用的歷史事件和人物(開普勒、伽利略、笛卡爾、牛頓、萊布尼茲、歐拉等)的有關(guān)資料或現(xiàn)實生活中的函數(shù)實例,采取小組合作的方式寫一篇有關(guān)函數(shù)概念的形成、發(fā)展或應用的文章,1、函數(shù)的概念與基本性質(zhì),主要有函數(shù)的概念與運算、單調(diào)性、奇偶性與對稱性、周期性、最值與值域、圖像等。

2、一些簡單函數(shù)的研究,主要是二次函數(shù)、冪、指、對函數(shù)等。

3、函數(shù)綜合與實際應用問題,如函數(shù)-方程-不等式的關(guān)系與應用,用函數(shù)思想解決的實際應用問題等

三.集合與簡易邏輯(1)集合的含義與表示

①通過實例,了解集合的含義,體會元素與集合的"屬于"關(guān)系。

②能選擇自然語言、圖形語言、集合語言(列舉法或描述法)描述不同的具體問題,感受集合語言的意義和作用。(2)集合間的基本關(guān)系

①理解集合之間包含與相等的含義,能識別給定集合的子集。②在具體情境中,了解全集與空集的含義。(3)集合的基本運算

①理解兩個集合的并集與交集的含義,會求兩個簡單集合的并集與交集。②理解在給定集合中一個子集的補集的含義,會求給定子集的補集。

③能使用Venn圖表達集合的關(guān)系及運算,體會直觀圖示對理解抽象概念的作用。高中數(shù)學知識要點總結(jié)概述大全二

一.平面向量基本知識

一、向量知識:(1)向量的運算:

(2)平面向量的基本定理:(3)夾角、模、距離等計算:夾角:

(4)線段的定比分點坐標公式:(5)平移公式

二、解斜三角形(1)正弦定理:

(2)余弦定理:(3)解三角形的幾種類型及步驟:

解三角形(約8課時)

(1)通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解決一些簡單的三角形度量問題。

(2)能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題。

2.數(shù)列(約12課時)(1)數(shù)列的概念和簡單表示法

通過日常生活中的實例,了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖像、通項公式),了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)。(2)等差數(shù)列、等比數(shù)列①通過實例,理解等差數(shù)列、等比數(shù)列的概念。②探索并掌握等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式與前n項和的公式。③能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系或等比關(guān)系,并能用有關(guān)知識解決相應的問題(參見例1)。④體會等差數(shù)列、等比數(shù)列與一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。

二.直線和圓的方程

直線與方程①在平面直角坐標系中,結(jié)合具體圖形,探索確定直線位置的幾何要素。②理解直線的傾斜角和斜率的概念,經(jīng)歷用代數(shù)方法刻畫直線斜率的過程,掌握過兩點的直線斜率的計算公式。③能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直。④根據(jù)確定直線位置的幾何要素,探索并掌握直線方程的幾種形式(點斜式、兩點式及一般式),體會斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系。⑤能用解方程組的方法求兩直線的交點坐標。⑥探索并掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩條平行直線間的距離。(2)圓與方程①回顧確定圓的幾何要素,在平面直角坐標系中,探索并掌握圓的標準方程與一般方程。②能根據(jù)給定直線、圓的方程,判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系。③能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題。

(3)在平面解析幾何初步的學習過程中,體會用代數(shù)方法處理幾何問題的思想。(4)空間直角坐標系①通過具體情境,感受建立空間直角坐標系的必要性,了解空間直角坐標系,會用空間直角坐標系刻畫點的位置。②通過表示特殊長方體(所有棱分別與坐標軸平行)頂點的坐標,探索并得出空間兩點間的距離公式。

三.不等式

1.不等式的性質(zhì)

2.算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)3.不等式的證明4.不等式的解法

5.含絕對值不等式的解法6.求最值的問題

1.不等式(約16課時)(1)不等關(guān)系通過具體情境,感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系,了解不等式(組)的實際背景。

(2)一元二次不等式①經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程。②通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系。③會解一元二次不等式,對給定的一元二次不等式,嘗試設計求解的程序框圖。(3)二元一次不等式組與簡單線性規(guī)劃問題①從實際情境中抽象出二元一次不等式組。②了解二元一次不等式的幾何意義,能用平面區(qū)域表示二元一次不等式組。(參見例2)③從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決。(參見例3)(4)基本不等式:(a,b≥0)①探索并了解基本不等式的證明過程。②會用基本不等式解決簡單的最大(。﹩栴}(參見例4)。說明與建議

1.解三角形的教學要重視正弦定理和余弦定理在探索三角形邊角關(guān)系中的作用,引導學生認識它們是解決測量問題的一種方法,不必在恒等變形上進行過于繁瑣的訓練。

2.等差數(shù)列和等比數(shù)列有著廣泛的應用,教學中應重視通過具體實例(如教育貸款、購房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長等),使學生理解這兩種數(shù)列模型的作用,培養(yǎng)學生從實際問題中抽象出數(shù)列模型的能力。

3.在數(shù)列的教學中,應保證基本技能的訓練,引導學生通過必要的練習,掌握數(shù)列中各量之間的基本關(guān)系。但訓練要控制難度和復雜程度。

4.一元二次不等式教學中,應注重使學生了解一元二次不等式的實際背景。求解一元二次不等式,首先可求出相應方程的根,然后根據(jù)相應函數(shù)的圖像求出不等式的解;也可以運用代數(shù)的方法求解。鼓勵學生設計求解一元二次不等式的程序框圖。

5.不等式有豐富的實際背景,是刻畫區(qū)域的重要工具?坍媴^(qū)域是解決線性規(guī)劃問題的一個基本步驟,教學中可以從實際背景引入二元一次不等式組。

6.線性規(guī)劃是優(yōu)化的具體模型之一。在本模塊的教學中,教師應引導學生體會線性規(guī)劃的基本思想,借助幾何直觀解決一些簡單的線性規(guī)劃問題,不必引入很多名詞。

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