高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

1算法初步

秦九韶算法：通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)n

次多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

anxnan1xn1...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式

3x64x55x46x37x28x1,當(dāng)x0.4時(shí),

需要做幾次加法和乘法運(yùn)算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，

其意義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說(shuō)明

書(shū)是空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（本書(shū)指?jìng)未�碼）.2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無(wú)休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可

以是一個(gè)或多個(gè)。沒(méi)有輸出的算法是無(wú)意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過(guò)手工或者機(jī)器在

一定時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②

控制結(jié)構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明表示算法及

程序結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫(huà)流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫(huà)，要養(yǎng)成有開(kāi)始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫(huà)出大致的流程，反過(guò)來(lái)再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫(huà)好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問(wèn)題，這時(shí)候也就可以有幾種書(shū)寫(xiě)方法了。

3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。A算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)ApYNApYNpABNBY

直到型循環(huán)當(dāng)型循

環(huán)

Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequencestructure）：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、

控制轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語(yǔ)句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行

的。

Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selectionstructure）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書(shū)寫(xiě)時(shí)主要

是注意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語(yǔ)句，不

能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語(yǔ)句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語(yǔ)句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語(yǔ)句，也不執(zhí)行其它語(yǔ)句。

Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cyclestructure）：它用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問(wèn)題，分直到型（until）

和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見(jiàn)上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循環(huán)次數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。

基本算法語(yǔ)句：本書(shū)中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC

語(yǔ)言編寫(xiě)的,是介于自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒(méi)有統(tǒng)一的格式，只要書(shū)寫(xiě)清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語(yǔ)句中可以用xy，也可以用xy;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以用“”Ⅰ.賦值語(yǔ)句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值

賦給x，其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書(shū)寫(xiě)時(shí)也可以用“xy”，

但此時(shí)的“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式。“=”具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯(cuò)誤的，而a=3*51,a=2a+3

都是正確的。2.一個(gè)賦值語(yǔ)句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯(cuò)誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxxy,同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值:yppxxyyzzpⅡ.輸入語(yǔ)句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語(yǔ)句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果x,y

注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開(kāi)！2.Read語(yǔ)句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式3.Print語(yǔ)句不能起賦值語(yǔ)句，意旨不能在Print語(yǔ)句中用“=”4.Print語(yǔ)句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語(yǔ)句在一行書(shū)寫(xiě)時(shí)用“；”

隔開(kāi).

例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5Ⅲ.條件語(yǔ)句（conditionalstatement）：

1.行If語(yǔ)句:IfAThenB注：沒(méi)有EndIf2.塊If語(yǔ)句：注：①不要忘記結(jié)束語(yǔ)句EndIf，當(dāng)有If語(yǔ)句嵌套使

用時(shí)，有幾個(gè)If，就必須要有幾個(gè)EndIf②.ElseIf是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里，還是屬于下一個(gè)條件。④為了使得書(shū)寫(xiě)清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書(shū)寫(xiě)。格式如下：

IfAThenBElseCEndIf例題:用條件語(yǔ)句寫(xiě)出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法.

Reada,b,cReada,b,cIfa≥bThenIfa≥banda≥cThenIfa≥cThenPrintaPrintaElseIfb≥cThenElse或者PrintbPrintcElseEndIfPrintcElseEndIfIfb≥cThen

Printb

Else注：1.同樣的你可以寫(xiě)出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。Printc2.也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的

數(shù)EndIfIfEnd

IfAThenBElseIfCThenDEndIfⅣ.循環(huán)語(yǔ)句（cyclestatement）：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).WhileAForIFrom初值to終值Step步長(zhǎng)……EndWhileWhile循環(huán)EndForFor循環(huán)DoWhilepDo……Loop當(dāng)型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)說(shuō)明：1.While循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以寫(xiě)成While循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗�的條件相對(duì)好判斷.2.凡是能用While循環(huán)書(shū)寫(xiě)的循環(huán)都能用For循環(huán)書(shū)寫(xiě)3.While循環(huán)和Do循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化4.Do循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條

件的判定.

例題：設(shè)計(jì)計(jì)算135...99的一個(gè)算法.（見(jiàn)課本P21）

S1S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSI1WhileI97

II2SSIEndWhilePrintS

S1I1WhileI99SSIII2EndWhilePrintS

S1I1DoSSIS1I1DoII2

II2SSILoopUntilI99LoopUntilI100(或者I99)PrintSPrintSS1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintS

S1I1DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS

陳老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫(xiě)出算法，有的只要求寫(xiě)出偽代碼，而有的題目則是既寫(xiě)出算法畫(huà)出流程還要寫(xiě)出偽代碼。

2.在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺(jué)先畫(huà)流程圖較為簡(jiǎn)單，但也有的算法偽代碼比較好寫(xiě)，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來(lái)，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫(xiě)算法，后畫(huà)流程圖，最后寫(xiě)偽代碼。

3.書(shū)寫(xiě)程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書(shū)上的書(shū)寫(xiě)格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的語(yǔ)言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒(méi)！

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料高一數(shù)學(xué)必修3公式總結(jié)以及例題

1算法初步

秦九韶算法：通過(guò)一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對(duì)于一個(gè)

多項(xiàng)式，只要作n次乘法和n次加法即可。表達(dá)式如下：

anxan1xnn1n次

...a1anxan1xan2x...xa2xa1

例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式3x64x55x46x37x28x1,當(dāng)x0.4時(shí),

需要做幾次加法和乘法運(yùn)算?答案：6，6

即:3x4x5x6x7x8x1

理解算法的含義：一般而言，對(duì)于一類問(wèn)題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意

義具有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說(shuō)明書(shū)是空調(diào)使用的算法…(algorithm)

1.描述算法有三種方式：自然語(yǔ)言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語(yǔ)言（本書(shū)指?jìng)未�碼）.

2.算法的特征：

①有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無(wú)休止的進(jìn)行下去

②確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是

一個(gè)或多個(gè)。沒(méi)有輸出的算法是無(wú)意義的。

③可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過(guò)手工或者機(jī)器在一定

時(shí)間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度

3.算法含有兩大要素：①操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等②控制結(jié)

構(gòu):順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)

流程圖：（flowchart）:是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明表示算法及程序

結(jié)構(gòu)的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。

注意：1.畫(huà)流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫(huà)，要養(yǎng)成有開(kāi)始和結(jié)束的好習(xí)慣

2.拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫(huà)出大致的流程，反過(guò)來(lái)再檢查，比如：遇到判斷框時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫(huà)好大致流程，然后檢查這個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問(wèn)題，這時(shí)候也就可以有幾種書(shū)寫(xiě)方法了。3.在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié)到結(jié)束框。

算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu)AApAYNNppY

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán)

Ⅰ.順序結(jié)構(gòu)（sequencestructure）：是一種最簡(jiǎn)單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制

轉(zhuǎn)移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語(yǔ)句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。

Ⅱ.選擇結(jié)構(gòu)（selectionstructure）：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書(shū)寫(xiě)時(shí)主要是注

意臨界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語(yǔ)句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中的A,B兩語(yǔ)句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作，只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行

某語(yǔ)句，至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語(yǔ)句，也不執(zhí)行其它語(yǔ)句。

Ⅲ.循環(huán)結(jié)構(gòu)（cyclestructure）：它用來(lái)解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問(wèn)題，分直到型（until）

和當(dāng)型(while)兩種結(jié)構(gòu)(見(jiàn)上圖)。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循

環(huán)次數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。

基本算法語(yǔ)句：本書(shū)中指的是偽代碼（pseudocode），且是使用BASIC

語(yǔ)言

編寫(xiě)的,是介于自然語(yǔ)言和機(jī)器語(yǔ)言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡(jiǎn)單而實(shí)用的好方法。偽代碼沒(méi)有統(tǒng)一的格式，只要書(shū)寫(xiě)清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào)要相對(duì)統(tǒng)一，避免引起混淆。如：賦值語(yǔ)句中可以用xy，也可以

用xy;表示兩變量相乘時(shí)可以用“*”，也可以用“”

Ⅰ.賦值語(yǔ)句（assignmentstatement）：用表示，如：xy，表示將y的值賦給x，

其中x是一個(gè)變量，y是一個(gè)與x同類型的變量或者表達(dá)式.

一般格式：“變量表達(dá)式”，有時(shí)在偽代碼的書(shū)寫(xiě)時(shí)也可以用“xy”，但

此時(shí)的“=”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。注：1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式�！�=”具有計(jì)算功能。如：3=a,b+6=a,都是錯(cuò)誤的，而a=3*51,a=2a+3都是正確的。2.一個(gè)賦值語(yǔ)句一次只能給一個(gè)變量賦值。如：a=b=c=2,a,b,

c=2都是錯(cuò)誤的，而a=3是正確的.

例題：將x和y的值交換

pxpxxy,同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值:ypxyyzzp

Ⅱ.輸入語(yǔ)句（inputstatement）:Reada,b表示輸入的數(shù)一次送給a,b

輸出語(yǔ)句（outstatement）：Printx,y表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果x,y注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào)隔開(kāi)！2.Read語(yǔ)句輸入的只能是變量而不是表達(dá)式3.Print語(yǔ)句不能起賦值語(yǔ)句，意旨不能在Print語(yǔ)句中用“=”4.Print語(yǔ)句可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語(yǔ)句在一行書(shū)寫(xiě)時(shí)用“；”隔開(kāi).例題：當(dāng)x等于5時(shí)，Print“x=”;x在屏幕上輸出的結(jié)果是x=5Ⅲ.條件語(yǔ)句（conditionalstatement）：

1.行If語(yǔ)句:IfAThenB注：沒(méi)有EndIf

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料2.塊If語(yǔ)句：注：①不要忘記結(jié)束語(yǔ)句EndIf，當(dāng)有If語(yǔ)句嵌套使用時(shí)，

有幾個(gè)If，就必須要有幾個(gè)EndIf②.ElseIf是對(duì)上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外ElseIf后面也要有EndIf③注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里，還是屬于下一個(gè)條件。④為了使得書(shū)寫(xiě)清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書(shū)寫(xiě)。格式如下：

Reada,b,cIfabThenIfacThenPrintaReada,b,cIfabandacThenPrintaElseIfbcThenPrintbElsePrintcEndIfIfAThenBElseCEndIf例題:用條件語(yǔ)句寫(xiě)出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法.

IfAThenBElseIfCThenDEndIf

Else或者Printc

EndIfElseIfbcThenPrintbElse注：1.同樣的你可以寫(xiě)出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。Printc2.也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的數(shù)EndIf

EndIf

Ⅳ.循環(huán)語(yǔ)句（cyclestatement）：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用For循環(huán)，即使是N次也是已知次數(shù)的循環(huán)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While循環(huán)Do循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩種循環(huán)相對(duì)應(yīng).WhileAForIFrom初值to終值Step步長(zhǎng)……EndWhileWhile循環(huán)EndForFor循環(huán)DoWhilepDo……Loop當(dāng)型Do循環(huán)LoopUntilp直到型Do循環(huán)說(shuō)明：1.While循環(huán)是前測(cè)試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，可以寫(xiě)成While循環(huán)，較為簡(jiǎn)單，因?yàn)樗�的條件相對(duì)好判斷.2.凡是能

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循環(huán)的兩種形式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條件的判定.

例題：設(shè)計(jì)計(jì)算135...99的一個(gè)算法.（見(jiàn)課本P21）

S1S1I1WhileI99S1ForIFrom3To99Step2SSIEndForPrintSI1WhileI97II2SSIEndWhilePrintSSSIII2EndWhilePrintSS1I1Do

S1I1DoSSIII2LoopUntilI100(或者I99)PrintSS1I1DoWhileI99(或者I100)SSIII2LoopPrintSII2SSILoopUntilI99PrintSS1I1

DoWhileI97(或者I99)II2SSILoopPrintS

顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫(xiě)出算法，有的只要求寫(xiě)出偽代碼，而有的題目則是既寫(xiě)出算法畫(huà)出流程還要寫(xiě)出偽代碼。

2.在具體做題時(shí)，可能好多的同學(xué)感覺(jué)先畫(huà)流程圖較為簡(jiǎn)單，但也有的算法偽代碼比較好寫(xiě)，你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來(lái)，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫(xiě)算法，后畫(huà)流程圖，最后寫(xiě)偽代碼。

3.書(shū)寫(xiě)程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書(shū)上的書(shū)寫(xiě)格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒(méi)有見(jiàn)過(guò)的語(yǔ)言，希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒(méi)！

Ex:1.對(duì)于任意給定的N,一定存在自然數(shù)1121314...n,使得111001213...1nN

2.用循環(huán)語(yǔ)句寫(xiě)出求的一個(gè)算法.

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料3.設(shè)計(jì)一個(gè)計(jì)算1ReadNS0n0WhileSN1213...1100的一個(gè)算法,并畫(huà)出流程圖,寫(xiě)出偽代碼.

S0a1ForIFrom1to100aI算法:S1S0S2I1答案：1nn12.SSSSEndWhliePrintn1n3.S3如果I100則1SSII1轉(zhuǎn)S3I否則輸出S

aa-1EndForPrintS流程圖：偽代碼：開(kāi)始S0S0II1S0I1WhileI100ForIFrom1to1001ISSI1SS1I或者SS1IEndForPrintSII1EndWhilePrintSI100YN典型例題：3.與下列為代碼對(duì)應(yīng)的輸出數(shù)學(xué)表達(dá)式是2.下面的偽代碼的目的是10Readm,nReadn1.下面的偽代碼輸出的結(jié)果是：20Ifm/n=Int(m/n)ThenGoto70e0I230cm-Int(m/n)*nS1Fornfrom2To10Step2I2I+1IfI>20ThenII-20EndIfEndfor40mn50ncForIfrom1TonS=S*Iee+1/SEndforPrinte60Goto2070PrintnPrintI4.下面的程序輸出的是ReadnI1WhileInIfn/I=Int(n/I)ThenSI5.I0FornFrom1to100IfInt(n/7)=n/7thenII+1EndIfEndForPrintI上面一段為代碼的目的是：6．a(chǎn)1b2c3abbccaPrinta,b,cI=I+1Endifa=b=PrintS水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第5頁(yè)4/18/201*c=Endwhile6

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7.市話話費(fèi)計(jì)算方式為：自接通起。3分鐘內(nèi)（含3分鐘）0.2元，超過(guò)3分鐘的部分每分鐘0.1

元（不足1分鐘按1分鐘計(jì)），輸入一個(gè)證書(shū)作為通話時(shí)長(zhǎng)，用條件語(yǔ)句描述通話話費(fèi)。

8.某電視機(jī)廠201*年全年生產(chǎn)電視機(jī)60萬(wàn)臺(tái)，計(jì)劃從201*年開(kāi)始每年的產(chǎn)量比上一年增長(zhǎng)15%，設(shè)計(jì)一個(gè)算法，計(jì)算從哪一年開(kāi)始，該廠的電視機(jī)產(chǎn)量超過(guò)300萬(wàn)臺(tái)，只寫(xiě)出偽代碼.9.（斐波那契數(shù)列）假定一對(duì)大兔子沒(méi)一個(gè)月可以生一對(duì)小兔子，而小兔子出生后兩個(gè)月就有生育能力，問(wèn)從一對(duì)小兔子開(kāi)始，一年后能繁殖多少兔子？這就是著名的斐波那契數(shù)列問(wèn)題，其規(guī)律是從第三個(gè)月開(kāi)始，每個(gè)月的兔子數(shù)量都是前兩個(gè)月的兔子數(shù)量的和。用循環(huán)語(yǔ)句描述這一算法。

10.一個(gè)三位數(shù)的十位和個(gè)位上的數(shù)字交換，得到一個(gè)新的三位數(shù)，新舊兩個(gè)三位時(shí)都能被4整

除，設(shè)計(jì)一個(gè)算法求滿足條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，并寫(xiě)出偽代碼.11.若x,y是兩個(gè)互質(zhì)的數(shù)，則一定存在整數(shù)u,v，使得uxvy1,設(shè)x33,y35設(shè)計(jì)一個(gè)算法求出一組滿足條件的u,v,并用偽代碼表示.

12!13!1n!答案：1.152.求m,n的最大公約數(shù)3.e1...4.n的所有約數(shù)

5.計(jì)算1100能被7整除的數(shù)的個(gè)數(shù)6.a=2b=3c=27.解：8.解：

ReadXIfX3ThenY0.2ElseIfIntX-3X-3ThenY0.2IntX-310.1ElseY0.2IntX-30.1EndIfPrintYS60I201*WhileS300S10.15SII1EndWhilePrintI

9.解：

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料S1T1ForIFrom1to12PSTSTTPEndForPrintPa1b1S2ForIFrom3to12或者

CabSSCabbCEndForPrintS

10.解：

I0ForNFrom100to999step4XIntN100

YIntN100X/10ZN-100X-10YIfInt100X10ZY/4100X10ZY/4ThenII1EndIfEndForPrintI

11.解：v1WhileInt1-35v/331-35v/33vv1EndWhileu1-35v/33Printu,v

算法案例

這一節(jié)要求較低，但要掌握幾個(gè)重要的算法，對(duì)于今后的進(jìn)一步學(xué)習(xí)和提高數(shù)學(xué)的素養(yǎng)都有著重要的意義。（要求掌握的用矩形框框起來(lái)）

1．求最大公約數(shù)(greatestcommonfactor)輾轉(zhuǎn)相除法----Euclidalgorithm

Reada,bSub求最大公約()WhileMod(a,b)≠0a=InputBox("輸入第一個(gè)自然數(shù)")r=aModbb=InputBox("輸入第二個(gè)自然數(shù)")水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第7頁(yè)4/18/201*a=bWhileaModb0b=rr=aModbEndWhilea=bExcel宏程序8

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輾轉(zhuǎn)相除法-----VB程序

PrivateSubCommand1_Click()

DimMAsLong,NAsLong,rAsLongM=Val(Text1.Text)"取數(shù)據(jù)MN=Val(Text2.Text)"取數(shù)據(jù)N

IfMInt(M)OrM<1OrNInt(N)OrN<1Then"檢驗(yàn)數(shù)據(jù)合法性！Text3.Text="數(shù)據(jù)錯(cuò)誤！"ElseDo

r=MModN

M=N"求出最大公約數(shù)N=r

LoopUntilr=0Text3.Text=CStr(M)EndIfEndSub

PrivateSubCommand2_Click()

IfText1.Text""ThenText1.Text="""清除文本框1IfText2.Text""ThenText2.Text="""清除文本框2IfText3.Text""ThenText3.Text="""清除文本框3EndSub

PrivateSubCommand3_Click()EndEndSub

★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★★

PrivateSubCommand1_Click()

a=InputBox("輸入第一個(gè)自然數(shù)")

水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第8頁(yè)4/18/209

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料b=InputBox("輸入第二個(gè)自然數(shù)")WhileaModb0r=aModba=bb=r

Wend

MsgBox("最大公約數(shù)為："&b)EndSub

PrivateSubCommand2_Click()EndEndSub

2．孫子定理-----VB程序

PrivateSubCommand1_Click()

m=2

WhilemMod32OrmMod53OrmMod72m=m+1Wend

MsgBox"不定方程的一個(gè)解為"&mEndSub

PrivateSubCommand2_Click()EndEndSub

PrivateSubCommand3_Click()m=2

DoWhilem<10000Do

m=m+1

LoopUntilmMod3=2AndmMod5=3

AndmMod7=2PrintmLoopEndSub

孫子問(wèn)題-----Excel宏程序

Sub孫子問(wèn)題()

m=2

WhilemMod32OrmMod53OrmMod72

水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第9頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料m=m+1Wend

MsgBox"不定方程的一個(gè)解為"&mEndSub

m2WhileMod(m,3)≠2或Mod(m,5)≠3或Mod（m，7）≠2說(shuō)明：孫子問(wèn)題被稱為“孫生剩余定理”，或“中國(guó)剩余定理”，出自《孫子算經(jīng)》，后來(lái)我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家秦九韶作出比較完整的闡述，并發(fā)明“大衍求一術(shù)”，是解決一次同余式的關(guān)鍵。1592年明朝程大位的《算法統(tǒng)宗》里有一首“數(shù)學(xué)詩(shī)”暗示了孫子問(wèn)題的解法:三人同行七十稀，五樹(shù)梅花廿一枝，七字團(tuán)圓正半月，除百零五便得知。m=m+1EndWhilePrintm它的運(yùn)算涉及到數(shù)輪的知識(shí)，如數(shù)輪倒數(shù)，同余式等，這在以后的高校中會(huì)有更深入地介紹。

其表述有如下幾種方式

Mod(m,3)=2Mod(m,5)=3Mod（m，7）=2mMod3=2mMod5=3mMod7=2m≡2（Mod3）m≡3（Mod5）m≡2（Mod7）意義為：3m25m37m2

3.二分法問(wèn)題不作要求，有興趣的同學(xué)可以自行閱讀，它是一種很重的數(shù)學(xué)思想，

我們以后在高校里會(huì)再學(xué)習(xí)。（見(jiàn)課本P29）

說(shuō)明：里面出現(xiàn)了跳轉(zhuǎn)語(yǔ)句的表達(dá)方法：也就是在各語(yǔ)句的前面標(biāo)上標(biāo)號(hào)，在需要運(yùn)行跳轉(zhuǎn)時(shí)就可用“GotoX”,其中X表示某行語(yǔ)句的標(biāo)號(hào)。這種表達(dá)方式比較自由，在不知用何種語(yǔ)句才能實(shí)現(xiàn)想到達(dá)的地方時(shí)，就可以以Goto…直接跳轉(zhuǎn)，方便易行，但在以后的編程終究要盡量少用這種跳轉(zhuǎn)，因?yàn)樘貏e是對(duì)于大型的程序設(shè)計(jì)，Goto語(yǔ)句用多了，就不易于檢查，而且它破壞了語(yǔ)言結(jié)構(gòu)的規(guī)范性，容易出錯(cuò)。由于我們高一階段的要求比較低，所以也就不要有這種擔(dān)心。，

一些常用的函數(shù)

1.Int(x)：求小于等于x的最大整數(shù)2.Fix(x)：返回x的整數(shù)部分

3.Cint(x)：將x的小數(shù)部分四舍五入取整4.Exp(x)：求e的x次方

5.Sqr(x)：求x的平方根

6.Sgn(x)：符號(hào)函數(shù)，即當(dāng)x>0時(shí)，返回1；0；當(dāng)x0時(shí)，返回上一次生成的隨機(jī)數(shù)

8.Int(Rand((上界-下界)+1))+1產(chǎn)生上界下界之間的隨機(jī)數(shù)顏老師說(shuō)明：不要求大家都記憶，以后在計(jì)算機(jī)語(yǔ)言的學(xué)習(xí)中還會(huì)再學(xué)習(xí)

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料 2統(tǒng)計(jì)

基本定義：

（1）總體：在統(tǒng)計(jì)中,所有考查對(duì)象的全體叫做全體.

(2)個(gè)體：在所有考查對(duì)象中的每一個(gè)考查對(duì)象都叫做個(gè)體.(3)樣本：從總體中抽取的一部分個(gè)體叫做總體的樣本.(4)樣本容量：樣本中個(gè)體的數(shù)目叫做樣本容量.

抽樣方法：

（1）簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（simplerandomsampling）：設(shè)一個(gè)總體的個(gè)數(shù)為N.如果通過(guò)逐個(gè)抽取的方法從中抽取一個(gè)樣本,且每次抽取時(shí)每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等,就稱這樣的抽樣為簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣,簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣常用的方法有抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法.（關(guān)于制簽和隨機(jī)數(shù)表的制作，請(qǐng)參照課本第41頁(yè)）

(2)系統(tǒng)抽樣(systematicsampling):將總體平均分成幾個(gè)部分，然后按照一定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體作為樣本。先用隨機(jī)的方法將總體進(jìn)行編號(hào)，如果N不能被n整除就從中用隨機(jī)數(shù)表法剔除幾個(gè)個(gè)體，使得能整除，然后分組，一般是樣本容量是多少，就分幾組，間隔kNn，

然后從第一組中用簡(jiǎn)單實(shí)際抽樣的方法抽取一個(gè)個(gè)體，假設(shè)編號(hào)為l，然后就可以將編號(hào)為

實(shí)際就是從每一組抽取與第一組相同編號(hào)l,lk,l2k...ln1k的個(gè)體抽出作為樣本，

的個(gè)體。

(3)分層抽樣（stratifedsampling）：當(dāng)已知總體是由有差異明顯的幾部分組成時(shí)，常將總體分成幾部分，然后按各部分所占的比例進(jìn)行抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分成的各部分叫做層.

樣本容量越大，估計(jì)越精確！

顏老師友情提醒：1.把每一種抽樣的具體步驟看清楚，要求會(huì)寫(xiě)過(guò)程2.個(gè)體數(shù)N的總體中抽取一個(gè)樣本容量為n的樣本，那么在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等，且等于

nN.其實(shí)三種抽樣的每一個(gè)個(gè)體都是等幾率的被抽到的

3.三種抽樣都是不放回的抽樣4.在具體問(wèn)題中對(duì)于樣本，總體，個(gè)體應(yīng)該時(shí)代單位的,如考察一個(gè)班級(jí)的學(xué)生的視力狀況，從中抽取20個(gè)同學(xué)，則個(gè)體應(yīng)該是20名同學(xué)的視力，而不是20名同學(xué)，樣本容量則為20，同樣的總體也是全班級(jí)同學(xué)的視力

兩種抽樣方法的區(qū)別與聯(lián)系：

類別簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣分層抽樣共同點(diǎn)各自特點(diǎn)從總體中逐個(gè)抽取抽取過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽取的概率相等將總體分成幾層進(jìn)行抽取將總體平均分成幾部分，按事先確定的規(guī)則分別在各部分抽取相互聯(lián)系適用范圍總體中個(gè)體數(shù)較少各層抽樣可采總體有差異明顯的幾用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣部分組成或系統(tǒng)抽樣在起始部分抽樣時(shí)采用簡(jiǎn)單隨總體中的個(gè)體較多機(jī)抽樣系統(tǒng)抽樣水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第11頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料★典型例題剖析：例1、一個(gè)總體含有6個(gè)個(gè)體，從中抽取一個(gè)樣本容量為2的樣本，說(shuō)明為什么在整個(gè)抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等.

解：設(shè)任意一個(gè)個(gè)體為α，那么個(gè)體α被抽到分兩種情況：

（1）第一次被抽到：根據(jù)等可能事件概率得P1=

5616，

（2）第二次被抽到：即是個(gè)體α第一次沒(méi)被抽到、第二次被抽到這兩件事都發(fā)生.個(gè)體α第一次沒(méi)被抽到的概率是

,個(gè)體α第一次沒(méi)被抽第二次被抽到的概率是.

5561根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式,個(gè)體α第二次被抽到的概率是P2=

×

15=

16.(也

可這樣分析：根據(jù)等可能事件的概率求得，一共取了兩次，根據(jù)分步原理所有可能結(jié)果為6×5=30，個(gè)體α第一次沒(méi)被抽到第二次被抽到這個(gè)隨機(jī)事件所含的可能結(jié)果為5×1=5，所以個(gè)體α第二次被抽到的概率是P2=

530=

16)

161613個(gè)體α在第一次被抽到與在第二次被抽到是互斥事件,根據(jù)互斥事件的概率加法公式,在先后抽取2個(gè)個(gè)體的過(guò)程中,個(gè)體α被抽到的概率P=P1+P2=

+=.

13由個(gè)體α的任意性,說(shuō)明在抽樣過(guò)程中每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等(都等于)

點(diǎn)評(píng)：注意區(qū)分“任一個(gè)個(gè)體α每次抽取時(shí)被抽到的概率”與“任一個(gè)個(gè)體α在整個(gè)抽樣過(guò)程中個(gè)體α被抽到的概率”的區(qū)別,一般地,如果用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從個(gè)體數(shù)為N的總體中抽取一個(gè)容量為n的樣本,那么“任一個(gè)個(gè)體α每次抽取時(shí)被抽到的概率”都相等且等于樣過(guò)程中被抽到的概率”為

nN1N,“任一個(gè)個(gè)體α在整個(gè)抽

.

例2、（1）在120個(gè)零件中，一級(jí)品24個(gè)，二級(jí)品36個(gè)，三級(jí)品60個(gè)，從中抽取一個(gè)容量為20的一個(gè)樣本，

求①每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，

②若有簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法抽取時(shí)，其中個(gè)體α第15次被抽到的的概率，

③若用分層抽抽樣樣方法抽取時(shí)其中一級(jí)品中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率.

解：①因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)為120，樣本容量為20，則每個(gè)個(gè)體被抽到的概率P1=②因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)為120，則體α第15次被抽到的的概率P2=③用分層抽樣方法：按比例36×

16201*01120201*0=

16

16=

16分別在一級(jí)品、二級(jí)品、三級(jí)品中抽取24×

424=4個(gè)，

=6個(gè)，60×

16=10，所以一級(jí)品中的每個(gè)個(gè)體被抽到的概率為P3=

=

16.

16注：其實(shí)用分層抽樣方法抽取時(shí)二級(jí)品、三級(jí)品中每個(gè)體被抽到的概率也都為.

nN點(diǎn)評(píng)：本題說(shuō)明兩種抽樣方法都能保證在抽樣過(guò)程中，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率都相等.且為.

例3、某地區(qū)有3000人參加今年的高考，現(xiàn)從中抽取一個(gè)樣本對(duì)他們進(jìn)行分析，每個(gè)考生被抽到的概率為

110，求這個(gè)樣本容量.

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料解：設(shè)樣本容量為n，則

n3000=

110，所以n=300.

nN點(diǎn)評(píng)：“在整個(gè)抽樣過(guò)程中個(gè)體α被抽到的概率”為這一結(jié)論的逆用.

例4、下列抽取樣本的方式是否屬于簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣?說(shuō)明理由.(1)從無(wú)限多個(gè)個(gè)體中抽取50個(gè)個(gè)體作樣本.

(2)盒子里共有100個(gè)零件,從中選出5個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn).在抽樣操作時(shí),從中任意拿出一個(gè)零件進(jìn)行質(zhì)量檢驗(yàn)后再把它放回盒子里.

解：(1)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.由于被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是無(wú)限的.

(2)不是簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣.由于不符合“逐個(gè)抽取”的原則,且抽出的結(jié)果可能是只有一個(gè)零件重復(fù)出現(xiàn).

點(diǎn)評(píng)：簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)：

(1)它要求被抽取樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的.(2)它是從總體中逐個(gè)地進(jìn)行抽取.(3)它是一種不放回抽樣.例5、某校有學(xué)生1200人,為了調(diào)查午休對(duì)學(xué)習(xí)成績(jī)的影響情況,計(jì)劃抽取一個(gè)樣本容量為60的樣本,問(wèn)此樣本若采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣將如何進(jìn)行?

解：可用兩種方法：方法一：（抽簽法）

（1）編號(hào)：將1200名學(xué)生進(jìn)行隨機(jī)編號(hào)為1，2，，1200，（可按學(xué)生的學(xué)號(hào)或按學(xué)生的生日進(jìn)行編號(hào)）.

（2）制簽：做1200個(gè)大小、形狀相同的號(hào)簽，分別寫(xiě)上這1200個(gè)數(shù)，放在個(gè)容器里，并進(jìn)行均勻攪拌.

（3）逐個(gè)抽取：連續(xù)抽取60個(gè)號(hào)簽，號(hào)簽對(duì)應(yīng)的同學(xué)即為樣本.方法二：（隨機(jī)數(shù)表法）

（1）編號(hào)：將1200名學(xué)生進(jìn)行編號(hào)分別為0000，0001，，1199，（2）選數(shù)：在課本附表1隨機(jī)數(shù)表中任選一個(gè)數(shù)作為開(kāi)始.(如從第11行第7列的數(shù)9開(kāi)始)(3)讀數(shù)：從選定的數(shù)開(kāi)始向右（或向上、向下、向左）讀下去，選取介于范圍的號(hào)碼，直到滿60個(gè)號(hào)碼為止.

(4)抽�。撼槿∨c讀出的號(hào)碼相對(duì)應(yīng)的學(xué)生進(jìn)行分析.

點(diǎn)評(píng)：抽簽法和隨機(jī)數(shù)表法是常見(jiàn)的兩種簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法，本問(wèn)題顯然用隨機(jī)數(shù)表法更方便一些，因?yàn)榭傮w個(gè)數(shù)較多.另外隨機(jī)數(shù)表法編號(hào)時(shí),位數(shù)要一樣,首數(shù)確定后,可向左、向右、向上、向下各個(gè)確定的方向進(jìn)行抽取.

例6、某工廠中共有職工3000人,其中,中、青、老職工的比例為5∶3∶2，從所有職工中抽取一個(gè)樣本容量為400的樣本，應(yīng)采取哪種抽樣方法較合理？且中、青、老年職工應(yīng)分別抽取多少人？

解：采用分層抽抽樣樣方法較為合理.由樣本容量為400,中、青、老職工的比例為5∶3∶2,所以應(yīng)抽取中年職工為400×應(yīng)抽取青年職工為400×

210510=200人,應(yīng)抽取青年職工為400×

310=120人,

=80人.

例6.見(jiàn)課本P43例1.

點(diǎn)評(píng)：因?yàn)榭傮w由三類差異較明顯的個(gè)體構(gòu)成，所以應(yīng)采用分層抽抽樣樣方法進(jìn)行抽取.

總體分布的估計(jì)

.頻率分布表：見(jiàn)課本第51頁(yè)：★例1

1.注意全距，組距的確定。一般是先查出最大值，最小值，其差值取適當(dāng)?shù)牧孔鳛槿�距，水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第13頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料正常情況下分為十組左右，組距全距組數(shù)，也就是合理分組

2.分組的時(shí)候一般取左閉右開(kāi)區(qū)間，最后一個(gè)區(qū)間取閉區(qū)間，然后填寫(xiě)分組、頻數(shù)、頻率、合計(jì)

3.如果全距不利于分組（如不能被組數(shù)整除）就可適當(dāng)?shù)脑龃笕�距，即在左右兩端增加相同的�?/p>

4.分組過(guò)少，總體的特征不明顯；分組過(guò)多，總體特征不利于比較

.頻率分布直方圖：1.橫軸表示數(shù)據(jù)的內(nèi)容，每一線段表示一個(gè)組的組距，注意橫軸要有單位

2.縱軸表示的是：

頻率組距3.每個(gè)小矩形的面積都是該組所對(duì)應(yīng)的頻率

.頻率分布折線圖：1.由頻率分布直方圖直接得到，取值區(qū)間的兩端點(diǎn)分別向外延伸半個(gè)組

距并取此組距上再x軸上的點(diǎn)，然后順次連接直方圖中每一個(gè)小矩形上底邊的中點(diǎn)，形成折線圖2.當(dāng)樣本容量足夠大，分組的組距取得足夠小時(shí)，折線圖取與一條平滑的曲線，稱這條曲線為總體分布的密度曲線，而且曲線與橫軸圍成的面積為13.在總體密度曲線中，總體在區(qū)間（a,b）內(nèi)取值的可能性就是直線x=a,x=b,y=0和總體密度曲線圍成的面積4.累計(jì)頻率分布曲線上任意一點(diǎn)Pa,b的縱坐標(biāo)標(biāo)b表示的連續(xù)型總體，取小于等于a的值的可能性

.三者的特點(diǎn)

頻率分布表：數(shù)據(jù)翔實(shí)、具體、清晰明了，便于查閱頻率分布直方圖：形象直觀，對(duì)比效果強(qiáng)烈頻率分布折線圖：能夠反映變化趨勢(shì)

.莖葉圖的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)簡(jiǎn)單易行，雜亂的數(shù)據(jù)在用莖葉圖表示后能直觀地反映出數(shù)據(jù)的

水平狀況、穩(wěn)定程度；所有的數(shù)據(jù)都可以在莖葉圖中找到.缺點(diǎn)分析只是粗略的，對(duì)差異不大的兩組數(shù)據(jù)不易分析，另外，對(duì)位數(shù)較多的數(shù)據(jù)不易操作，數(shù)據(jù)較多時(shí)效果不是很好.

注意點(diǎn)：1.對(duì)重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)據(jù)要重復(fù)記錄，不能遺漏2.莖要從小到大自上而下的排列，中

間用一條豎線隔開(kāi)3.葉也要按照從小到大的順序排列，對(duì)于兩組數(shù)據(jù)的可以用兩條豎線把莖和葉隔開(kāi)，左邊的葉最好按照從大到小的順序排列，右邊的葉按照從小到大的順序排列4.莖葉圖一般在衡量一位或者兩位運(yùn)動(dòng)員在比賽時(shí)的得分情況（例題見(jiàn)課本P58）

總體特征數(shù)的估計(jì)

反映總體某種特征的量較總體特征數(shù)，比如平均數(shù)、中位數(shù)、方差、眾數(shù)等

.平均數(shù)（average）或均值（mean）：aa1a2...ann1nnai1i

水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第14頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料其原理：最小二乘法設(shè)與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)近似的值為x則它與這n個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的離差為

xa1,xa2,xa3,...,xan由于上面的離差有正有負(fù)，故不易直接相加，就考慮離差

的平方和fxxa1xa2...xan

222nx2a1a2...anxa1a2...an

222所以當(dāng)xa1a2...ann1nnai1i時(shí)，離差的平方和的函數(shù)取得最小，誤差也就最小，故

而用

a1a2...ann作為這組數(shù)據(jù)的理想近似值.

.平均數(shù)的求法:題目類型有離散型和連續(xù)型兩種情況

①xx1x2...xnn1ninxni1②加權(quán)平均數(shù):xx1p1x2p2...xnpnxi1ipi

（其中p1,p2,...,pi為x1,x2,...,xi對(duì)應(yīng)的頻率），這里也是為我們今后將要學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)期望作鋪墊

見(jiàn)課本例2P6465注：特別地，對(duì)于連續(xù)型的隨機(jī)變量在分好組后，其x1,x2,...,xi

應(yīng)該取每一組的組中值近似的表示

1n1n.樣本方差（variance）:s2xi1nix2

222=

[(x1x)(x2x)(x3x)(xnx)]

2樣本標(biāo)準(zhǔn)差(standarddeviation)：s1nxi1nix2

說(shuō)明：1.平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述數(shù)據(jù)集中趨勢(shì)的統(tǒng)計(jì)量

2.方差、標(biāo)準(zhǔn)差是反映一組數(shù)據(jù)波動(dòng)大小或穩(wěn)定程度或各個(gè)數(shù)據(jù)與平均數(shù)的離散程

度的統(tǒng)計(jì)量，記住它們的表達(dá)形式，在選擇題中常出現(xiàn)關(guān)于它們的判斷3.一個(gè)重要結(jié)論：s21n2ixni1x

24.方差與越大，穩(wěn)定性越差

5.關(guān)于它們的運(yùn)算，分連續(xù)型和離散型兩種情況，見(jiàn)課本P6768對(duì)于離散型的

隨機(jī)變量也要注意選擇組中值

例題：從兩塊玉米地里各抽取10株玉米苗，分別測(cè)得它們的株高如下（單位：cm）:水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第15頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料甲：25414037221419392142乙：27164427441640401640根據(jù)以上數(shù)據(jù)回答下面的問(wèn)題：（1）哪種玉米苗長(zhǎng)得高？（2）哪種玉米苗長(zhǎng)得齊？

[分析]：看哪種玉米苗長(zhǎng)得高，只要比較甲乙兩種玉米苗的平均高度即可；要比較哪種玉米苗長(zhǎng)得齊，只要比較哪種玉米苗高的方差即可，方差越小，越整齊，因?yàn)榉讲罘从车氖且唤M數(shù)據(jù)的穩(wěn)定程度

x甲110110252741403722141939214230cm解：（1）

x乙

16442744164040164031cmx甲x乙乙種玉米長(zhǎng)得高s甲2

（2）

22222212530413040303730223014301019302393022130242302104.2cms乙22

22110227312316313403124431222128.8cm

2x甲x乙甲種玉米長(zhǎng)得齊

評(píng)：1.特別注意本題中的兩問(wèn)的說(shuō)法的不同，所以算法就不同2.一般的說(shuō)哪組數(shù)據(jù)齊、穩(wěn)定、

波動(dòng)情況等都是通過(guò)方差來(lái)判斷

.幾個(gè)重要的結(jié)論：對(duì)于一組數(shù)據(jù)x1,x2,...,xn的平均數(shù)為x方差為s2標(biāo)準(zhǔn)差為s

2①若xi,i1,2,...,n都增加a,則平均數(shù)為xa方差為s標(biāo)準(zhǔn)差為s

也可以這樣解釋：同時(shí)增加a，也就是相當(dāng)數(shù)據(jù)平移了，不會(huì)改變數(shù)據(jù)的波動(dòng)程度，所以方差

和標(biāo)準(zhǔn)差都不會(huì)變.

2②若xi,i1,2,...,n都遞增a%，則平均數(shù)為1a%x方差為1a%s標(biāo)準(zhǔn)差為

21a%s

22③若xi,i1,2,...,n都變?yōu)樵瓉?lái)的a倍，則平均數(shù)為ax方差為as標(biāo)準(zhǔn)差為as

例題:已知x1,x2,...,xn的方差為2，則2x13,2x解法1：（公式推導(dǎo)法）

23,...,2xn3的標(biāo)準(zhǔn)差為？

水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第16頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料x(chóng)1x2...xnn1x2x132x223...2xn3n2x3

方差2x6i1ni32x341x6i1nix24s2428

標(biāo)準(zhǔn)差22

解法2：（推理法）

因?yàn)閿?shù)據(jù)的每一項(xiàng)都是先2倍后加上3，而加上3對(duì)方差沒(méi)有影響，2倍后則方差變

為原來(lái)的4倍，即方差標(biāo)為8，則標(biāo)準(zhǔn)差為22.

線性回歸方程

.變量之間的關(guān)系：①確定的函數(shù)關(guān)系②相關(guān)關(guān)系（有一定的關(guān)系，但不能用函數(shù)表達(dá)出來(lái)）.對(duì)于一組數(shù)據(jù)探討它們滿足的關(guān)系，可以先畫(huà)出散點(diǎn)圖，看它們的大致趨勢(shì)，然后選擇一種

函數(shù)進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，電腦和計(jì)算器一般給出6種擬合函數(shù)，也就是說(shuō)對(duì)于一組數(shù)據(jù)可以用各種函數(shù)模型來(lái)擬合，只不過(guò)擬合度不同而已，當(dāng)擬合度R2越接近于1則擬合得越好，本教材之研究線性擬合，也就是求線性回歸方程

.線性回歸分析：理論依據(jù)最小二乘法見(jiàn)課本P72.設(shè)線性回歸方程為ybxa，關(guān)鍵在于求a,b

nnbi1nnxiyixiyii1i1nn2nxi1ni1iyinxy2ixi1nnixyiyx

2nxixii1i1aybx

nxnx2xi1i2x.相關(guān)系數(shù)：rni1iyinxyn稱為y與x的樣本相關(guān)系數(shù)

2222xinxyinyi1i1當(dāng)r0時(shí),正相關(guān);當(dāng)r0時(shí),負(fù)相關(guān);并且r1,r越接近于1線性相關(guān)程度越高r越接近于0線性相關(guān)程度越低

.顏老師說(shuō)明：

1.由于公式的復(fù)雜，數(shù)據(jù)有的也較多，所以在具體做題目時(shí)可以列出表格來(lái)，對(duì)應(yīng)填進(jìn)去，然后用公式計(jì)算，這樣就不會(huì)產(chǎn)生慌亂的感覺(jué)

2.做題目時(shí)要細(xì)心，不要亂，在我們高一階段一般只給出5～6組數(shù)據(jù)，算起來(lái)已經(jīng)不是很水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第17頁(yè)4/18/201*

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料難了3.當(dāng)然這種擬合（我們主要學(xué)習(xí)線性擬合就是求線性回歸方程）在電腦里都可作出來(lái)圖像來(lái)，而且求出相應(yīng)的擬合度，有興趣的同學(xué)可以在Excel軟件里試一試

4.表格形式：

ixiyixi2yi2xiyi12n合計(jì)nnin2n2nxi1i1nyii12xii1nyixi1iyix1nni1yiy1nnni1yixii1i1yi2xi1iyi然后代入公式計(jì)算 3.概率

事件：隨機(jī)事件（randomevent），確定性事件:必然事件(certainevent)和不可能事件(impossibleevent)

隨機(jī)事件的概率(統(tǒng)計(jì)定義)：一般的，如果隨機(jī)事件A在n次實(shí)驗(yàn)中發(fā)生了m次，當(dāng)實(shí)

驗(yàn)的次數(shù)n很大時(shí)，我們稱事件A發(fā)生的概率為PAmn

說(shuō)明：①一個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生于具有隨機(jī)性，但又存在統(tǒng)計(jì)的規(guī)律性，在進(jìn)行大量的重復(fù)事件

時(shí)某個(gè)事件是否發(fā)生，具有頻率的穩(wěn)定性，而頻率的穩(wěn)定性又是必然的，因此偶然性和必然性對(duì)立統(tǒng)一②不可能事件和確定事件可以看成隨機(jī)事件的極端情況③隨機(jī)事件的頻率是指事件發(fā)生的次數(shù)和總的試驗(yàn)次數(shù)的比值，它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這個(gè)擺動(dòng)的幅度越來(lái)越小，而這個(gè)接近的某個(gè)常數(shù)，我們稱之為概事件發(fā)生的概率④概率是有巨大的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)后得出的結(jié)果，講的是一種大的整體的趨勢(shì)，而頻率是具體的統(tǒng)計(jì)的結(jié)果⑤概率是頻率的穩(wěn)定值，頻率是概率的近似值

概率必須滿足三個(gè)基本要求：①對(duì)任意的一個(gè)隨機(jī)事件A，有0PA1

②用和分別表示必然事件和不可能事件,則有P1,P0③如果事件

A和B互斥,則有:PABPAPB

古典概率（Classicalprobabilitymodel）：①所有基本事件有限個(gè)②每個(gè)基本事件發(fā)生

的可能性都相等滿足這兩個(gè)條件的概率模型成為古典概型

如果一次試驗(yàn)的等可能的基本事件的個(gè)數(shù)為個(gè)n，則每一個(gè)基本事件發(fā)生的概率都是水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第18頁(yè)4/18/201*

1n，19

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料PAmn如果某個(gè)事件A包含了其中的m個(gè)等可能的基本事件，則事件A發(fā)生的概率為

幾何概型（geomegtricprobabilitymodel）：一般地，一個(gè)幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記

事件“改點(diǎn)落在其內(nèi)部的一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率為

PAd的側(cè)度D的側(cè)度（這里要求D的側(cè)度不為0，其中側(cè)度的意義由D確定，一般地，線

段的側(cè)度為該線段的長(zhǎng)度；平面多變形的側(cè)度為該圖形的面積；立體圖像的側(cè)度為其體積）幾何概型的基本特點(diǎn)：①基本事件等可性②基本事件無(wú)限多

顏老師說(shuō)明：為了便于研究互斥事件，我們所研究的區(qū)域都是指的開(kāi)區(qū)域，即不含邊界，在區(qū)域D內(nèi)隨機(jī)地取點(diǎn)，指的是該點(diǎn)落在區(qū)域D內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的側(cè)度成正比，而與其形狀無(wú)關(guān)。

互斥事件(exclusiveevents)：不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件

對(duì)立事件（complementaryevents）：兩個(gè)互斥事件中必有一個(gè)發(fā)生,則稱兩個(gè)事件為對(duì)立事件，

事件A的對(duì)立事件記為：A

獨(dú)立事件的概率：若A,B為相互獨(dú)立的事件事件若A1,A2,...,An為兩兩獨(dú)立的事件,則PABPAPB，

,則PA1A2...AnPA1PA2...PAn

顏老師說(shuō)明：①若A,B為互斥事件,則A,B中最多有一個(gè)發(fā)生,可能都不發(fā)生，但

不可能同時(shí)發(fā)生，從集合的關(guān)來(lái)看兩個(gè)事件互斥，即指兩個(gè)事件的集合的交集是空集②

對(duì)立事件是指的兩個(gè)事件，而且必須有一個(gè)發(fā)生，而互斥事件可能指的很多事件，但最多只有一個(gè)發(fā)生，可能都不發(fā)生③對(duì)立事件一定是互斥事件④從集合論來(lái)看：表示互斥事件和對(duì)立事件的集合的交集都是空集，但兩個(gè)對(duì)立事件的并集是全集，而兩個(gè)互斥事件的并集不一定是全集⑤兩個(gè)對(duì)立事件的概率之和一定是1，而兩個(gè)互斥事件的概率之和小于或者等于1⑥若事件A,B是互斥事件，則有PABPAPB⑦一般地，如果

A1,A2,...,An兩兩互斥，則有PA1A2...AnPA1PA2...PAn⑧PA1PA⑨在本教材中A1A2...An指的是A1,A2,...,An中至少發(fā)生一個(gè)

⑩★在具體做題中，希望大家一定要注意書(shū)寫(xiě)過(guò)程，設(shè)處事件來(lái)，利用哪種概型解題，就按照那種概型的書(shū)寫(xiě)格式，最重要的是要設(shè)出所求的事件來(lái)，具體的格式請(qǐng)參照我們課本上（新課標(biāo)試驗(yàn)教科書(shū)-蘇教版）的例題

例題選講：

例1.在大小相同的6個(gè)球中，4個(gè)是紅球，若從中任意選2個(gè)，求所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率？

【分析】題目所給的6個(gè)球中有4個(gè)紅球，2個(gè)其它顏色的球，我們可以根據(jù)不同的思路有不水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第19頁(yè)4/18/2020

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料同的解法解法1：（互斥事件）設(shè)事件A為“選取2個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則其互斥事件為A意

義為“選取2個(gè)球都是其它顏色球”PA1(65)2114PA1-PA1-1515151答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為

1415.

15種情況，設(shè)事件A為“選取2個(gè)

43214

解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有

652球至少有1個(gè)是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有42所以PA1415

1415答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.

解法3：（獨(dú)立事件概率）不妨把其它顏色的球設(shè)為白色求，設(shè)事件A為“選取2個(gè)球至少有1

個(gè)是紅球”，事件A有三種可能的情況：1紅1白；1白1紅；2紅，對(duì)應(yīng)的概率分別為：

4625,2645,4635，則有PA46答：所選的2個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為

244314565651514152.

評(píng)價(jià)：本題重點(diǎn)考察我們對(duì)于概率基本知識(shí)的理解，綜合所學(xué)的方法，根據(jù)自己的理解用不同的方法，但是基本的解題步驟不能少!

變式訓(xùn)練1：在大小相同的6個(gè)球中，2個(gè)是紅球，4個(gè)是白球，若從中任意選取3個(gè)，求至少有1個(gè)是紅球的概率？

解法1：（互斥事件）設(shè)事件A為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則其互斥事件為A，意

義為“選取3個(gè)球都是白球”

PAC4C336432114321PA1-PA1-

(654)654555321432答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為

45.

3解法2：（古典概型）由題意知，所有的基本事件有C665432116204520種情況，設(shè)事件A為“選

取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，而事件A所含有的基本事件數(shù)有

2C4142243216，所以PA45

答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.

解法3：（獨(dú)立事件概率）設(shè)事件A為“選取3個(gè)球至少有1個(gè)是紅球”，則事件A的情況如水激石則鳴，勵(lì)激志則宏！知識(shí)改變命運(yùn)，勤奮成就未來(lái)！共26頁(yè)第20頁(yè)4/18/2021

陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料下：紅白白1紅2白白白紅

白紅白

紅紅白2紅1白紅白紅白紅紅

所以PA3153264646262646115453525153424344414141515151

15145251511545

45答：所選的3個(gè)球至少有一個(gè)是紅球的概率為.

變式訓(xùn)練2：盒中有6只燈泡，其中2只次品，4只正品，有放回的從中任抽2次，每次抽取1只，試求下列事件的概率：（1）第1次抽到的是次品

（2）抽到的2次中，正品、次品各一次解：設(shè)事件A為“第1次抽到的是次品”，事件B為“抽到的2次中，正品、次品各一次”則PA2613，PB4224661349（或者PB2646462649）

49答：第1次抽到的是次品的概率為，抽到的2次中，正品、次品各一次的概率為

變式訓(xùn)練3：甲乙兩人參加一次考試共有3道選擇題，3道填空題，每人抽一道題，抽到后不放回，求（1）甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率？（2）求至少1人抽到選擇題的概率？【分析】（1）由于是不放回的抽，且只抽兩道題，甲抽到選擇題而乙抽到填空題是獨(dú)立的，所以可以用獨(dú)立事件的概率（2）事件“至少1人抽到選擇題”和事件“兩人都抽到填空題”時(shí)互斥事件，所以可以用互斥事件的概率來(lái)

解：設(shè)事件A為“甲抽到選擇題而乙抽到填空題”，事件B為“至少1人抽到選擇題”，則B為“兩人都抽到填空題”

11P3P3333或者PA（1）PA265106510P63332P3114PB1PB1（2）PB或者PB2則

556555P6321答：甲抽到選擇題而乙抽到填空題的概率為

310，少1人抽到選擇題的概率為

45.

變式訓(xùn)練4：一只口袋里裝有5個(gè)大小形狀相同的球，其中3個(gè)紅球，2個(gè)黃球，從中不放回摸

出2個(gè)球，球兩個(gè)球顏色不同的概率？

【分析】先后抽出兩個(gè)球顏色相同要么是1紅1球，要么是1黃1球

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料略解:PA35242534363或者PA255C5變式訓(xùn)練5：設(shè)盒子中有6個(gè)球，其中4個(gè)紅球，2個(gè)白球，每次人抽一個(gè)，然后放回，若連續(xù)

抽兩次，則抽到1個(gè)紅球1個(gè)白球的概率是多少？略解:PA462626464266246649

例2.急救飛機(jī)向一個(gè)邊長(zhǎng)為1千米的正方形急救區(qū)域空頭急救物品，在該區(qū)域內(nèi)有一個(gè)長(zhǎng)寬分別為80米和50米的水池，當(dāng)急救物品落在水池及距離水池10米的范圍內(nèi)時(shí)，物品會(huì)失效，假設(shè)急救物品落在正方形區(qū)域內(nèi)的任意一點(diǎn)是隨機(jī)的（不考慮落在正方形區(qū)域范圍之外的），求發(fā)放急救物品無(wú)效的概率？

【分析】為題屬于幾何概型，切是平面圖形，其測(cè)度用面積來(lái)衡量

解：如圖，設(shè)急救物品投放的所有可能的區(qū)域，即邊長(zhǎng)為1千米的正方形為區(qū)域D，事件“發(fā)放急救物品無(wú)效”為A，距離水池10米范圍為區(qū)域d，即為圖中的陰影部分，則有PAd測(cè)度D測(cè)度

805028010250104100010001042

答：略

顏老師說(shuō)明：這種題目要看清題目意思，為了利用幾何概率，題目中一般都會(huì)有落在所給的大的區(qū)域之外的不計(jì)的條件，但如果涉及到網(wǎng)格的現(xiàn)象是一般則不需要這個(gè)條件，因?yàn)槌�出一個(gè)網(wǎng)格，就會(huì)進(jìn)入另外一個(gè)網(wǎng)格，分析是同樣的

變式訓(xùn)練1：在地上畫(huà)一正方形線框，其邊長(zhǎng)等于一枚

硬幣的直徑的2倍，向方框中投擲硬幣硬幣完全落在正方形外的不計(jì)，求硬幣完全落在正方形內(nèi)的概率？略解：PAd測(cè)度D測(cè)度222244141432

變式訓(xùn)練2：如圖，設(shè)有一個(gè)正方形網(wǎng)格，其中每個(gè)小正三角形的邊長(zhǎng)都是a,現(xiàn)有一直徑等于

a2的硬幣落在此網(wǎng)格上，求硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率？

【分析】因?yàn)閳A的位置由圓心確定，所以要與網(wǎng)格線有公共點(diǎn)只要圓心到網(wǎng)格線的距離小于等于半徑

解：如圖，正三角形ABC內(nèi)有一正三角形A1B1C1，其中

16A1Dtan30ABa,A1DB1EA1Fa,ADBE

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料36a，A1B1AB2ADa3aa1333C當(dāng)圓心落在三角形A1B1C1之外時(shí)，硬幣與網(wǎng)格有公共點(diǎn)有公共點(diǎn)的概率PSABC-SA1B1C1SA1B1C12C1

FA1B1EBa/6a332aa144332AD340.82

a2答：硬幣落下后與網(wǎng)格有公共點(diǎn)的概率為0.82.變式訓(xùn)練

3：如圖，已知矩形ABCD中，AB5,AC7,在正方形內(nèi)

任取一點(diǎn)P,求APB90的概率？

1522572AB略解：PA556

P變式訓(xùn)練4：平面上畫(huà)了彼此相距2a的平行線把一枚半徑r

硬幣，任意的拋在這個(gè)平面上，求硬幣不與任何一條平行線相碰的概率？

解：設(shè)事件A為“硬幣不與任何一條平行線相碰”為了確定硬幣的位置，有硬幣的中心向距離最近的平行線作垂線OM，垂足為M，線段OM的長(zhǎng)度的取值范圍為0,a，其長(zhǎng)度就是幾何概型所有的可能性構(gòu)成的區(qū)域D的幾何測(cè)度，只有當(dāng)

0OMa時(shí)，硬幣不與平行線相碰，其長(zhǎng)度就是滿足事件A的區(qū)域d的幾何測(cè)度，所以

DCM2arPAr,a的長(zhǎng)度0,a的長(zhǎng)度ara

ara答：硬幣不與任何一條平行線相碰的概率為

【評(píng)價(jià)與鏈接】該題是幾何概型的典型題目，要求我們正確確認(rèn)區(qū)域D和區(qū)域d，理解它們的關(guān)系以及它們的測(cè)度如何來(lái)刻畫(huà)。

蒲豐投針問(wèn)題：平面上畫(huà)有等距離的一系列的平行線，平行線間距離為2a（a0），向平面內(nèi)任意的投擲一枚長(zhǎng)為ll2a的針，求針與平行線相交的概率？

解：以x表示針的中點(diǎn)與最近的一條平行線的距離，又以表示針與此直線的交角，如圖易知

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料0xa,0，有這兩式可以確定x-平面上的一個(gè)矩形，這是為了針與平

行線相交，其充要條件為xl2Sin，有這個(gè)不等式表示的區(qū)域A為圖中的陰影部分，由等可

能性知PASASl20Sindala

如果l,a已知,則以值代入上式即可計(jì)算則也可以利用上式來(lái)求2aPA的值,反過(guò)來(lái),如果已知PA的值,

，而關(guān)于PA的值，則可以用實(shí)驗(yàn)的方法，用頻率去近似它，既:如

nN果投針N次，其中平行線相交的次數(shù)為n次，則頻率為

PAln于是,lN，于是，

aNan注釋：這也是歷史上有名的問(wèn)題之一，用試驗(yàn)的方法先用數(shù)學(xué)積分的手段結(jié)合幾何概型求出概率，再用頻率近似概率來(lái)建立等式，進(jìn)而求出.在歷史上有好多的數(shù)學(xué)家用不同的方法來(lái)計(jì)算，如中國(guó)的祖沖之父子倆，還有撒豆試驗(yàn)，也是可以用來(lái)求的.

會(huì)面問(wèn)題：甲乙兩人約定在6時(shí)到7時(shí)在某地會(huì)面，并約定先到者等候另一人一刻鐘，過(guò)時(shí)即可

離去，求兩人能會(huì)面的概率？解：設(shè)“兩人能會(huì)面”為事件A，以x和y分別表示甲、乙兩人到達(dá)約會(huì)地點(diǎn)的時(shí)間，則兩人能夠會(huì)面的充要條件為：xy15在平面上建立如圖所示的坐標(biāo)系，則x,y的所有可能的結(jié)果是邊長(zhǎng)為60的正方形,而可能會(huì)面的時(shí)間由圖中陰影部分所表示，由幾何概型知，PA716SAS602452260716

答：兩人能會(huì)面的概率.

◆課本上一道例題的變式訓(xùn)練：如圖，在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，

求AMAC的概率？

【分析】點(diǎn)M隨機(jī)的落在線段AB上，故線段AB為區(qū)域

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料D，當(dāng)點(diǎn)M位于如圖的AC內(nèi)時(shí)AMAC，故線段

"AC即為區(qū)域d

"解:在AB上截取AC"AC，于是P(AMAC)PAMAC"ACAB"ACAB22

答：AMAC的概率為

22

【變式訓(xùn)練】如圖，在等腰直角三角形ABC中，在ACB內(nèi)部任意作一條射線CM，與線段AB交于點(diǎn)M，求AMAC的概率？

錯(cuò)解：在AB上截取AC"AC，在ACB內(nèi)部任意作一條射線CM，滿足條件的M看作是在線段AC"上任取一點(diǎn)M，則有

P(AMAC)PAMAC"ACAB"ACAB22

【分析】這種解法看似很有道理，但仔細(xì)一看值得深思，我們?cè)倏纯搭}目的條件已經(jīng)發(fā)生了改變，雖然在線段上取點(diǎn)是等可能的，但過(guò)和任取得一點(diǎn)所作的射線是均勻的，所以不能把等可能的取點(diǎn)看作是等可能的取射線，在確定基本事件時(shí)一定要注意觀察角度，注意基本事件的等可能性.正解：在ACB內(nèi)的射線是均勻分布的，所以射線CM作在任何位置都是等可能的，在AB上截取AC"AC，則ACC"67.5，故滿足條件的概率為

67.5900.75

評(píng)價(jià)：這就要求同學(xué)們根據(jù)不同的問(wèn)題選取不同的角度，確定區(qū)域D和d，求出其測(cè)度，再利用

幾何概型來(lái)求概率.例3.

利用隨機(jī)模擬法計(jì)算曲線yx,y0,和x2所圍成的圖形的面積.

22【分析】在直角坐標(biāo)系中作出長(zhǎng)方形（yx,y0,y4,x2所圍成的部分，用隨機(jī)模擬法

結(jié)合幾何概型可以得到它的面積的近似值）解：（1）利用計(jì)算機(jī)或者計(jì)算器生成兩組0到1區(qū)間上的隨機(jī)數(shù)，a0rand,b0rand

（2）進(jìn)行平移變換：a2a0,b4b0，其中a,b分別隨機(jī)點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)

（3）假如作N次試驗(yàn)，數(shù)處落在陰影部分的點(diǎn)數(shù)N1，用幾何概型公式計(jì)算陰影部分的面積

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陽(yáng)光家教網(wǎng)高三數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)資料由

S8N1N得出S8N1N2.7

評(píng)價(jià)：這是一種用計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法，結(jié)合幾何概型公式來(lái)計(jì)算若干函數(shù)圍成的圖形面積，其基本原理還是

利用我們教材上介紹的撒豆試驗(yàn)，只是用隨機(jī)數(shù)來(lái)代替豆子而已，另外要求我們理解用試驗(yàn)的頻率來(lái)近似概率的思想.

另外這種題目到我們學(xué)習(xí)了積分，還可以有下面的解法：S220xdxx32302.7

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