初二數(shù)學知識總結(jié)

（一）運用公式法：

我們知道整式乘法與因式分解互為逆變形。如果把乘法公式反過來就是把多項式分解因式。于是有：a2-b2=(a+b)(a-b)a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

如果把乘法公式反過來，就可以用來把某些多項式分解因式。這種分解因式的方法叫做運用公式法。（二）平方差公式1．平方差公式

（1）式子：a2-b2=(a+b)(a-b)

（2）語言：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積。這個公式就是平方差公式。（三）因式分解

1．因式分解時，各項如果有公因式應(yīng)先提公因式，再進一步分解。2．因式分解，必須進行到每一個多項式因式不能再分解為止。（四）完全平方公式

（1）把乘法公式(a+b)2=a2+2ab+b2和(a-b)2=a2-2ab+b2反過來，就可以得到：

a2+2ab+b2=(a+b)2a2-2ab+b2=(a-b)2

這就是說，兩個數(shù)的平方和，加上（或者減去）這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和（或者差）的平方。

把a2+2ab+b2和a2-2ab+b2這樣的式子叫完全平方式。上面兩個公式叫完全平方公式。（2）完全平方式的形式和特點①項數(shù)：三項

②有兩項是兩個數(shù)的的平方和，這兩項的符號相同。③有一項是這兩個數(shù)的積的兩倍。

（3）當多項式中有公因式時，應(yīng)該先提出公因式，再用公式分解。

（4）完全平方公式中的a、b可表示單項式，也可以表示多項式。這里只要將多項式看成一個整體就可以了。

（5）分解因式，必須分解到每一個多項式因式都不能再分解為止。（五）分組分解法

我們看多項式am+an+bm+bn，這四項中沒有公因式，所以不能用提取公因式法，再看它又不能用公式法分解因式．

如果我們把它分成兩組(am+an)和(bm+bn)，這兩組能分別用提取公因式的方法分別分解因式．

原式=(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)

做到這一步不叫把多項式分解因式，因為它不符合因式分解的意義．但不難看出這兩項還有公因式(m+n)，因此還能繼續(xù)分解，所以

原式=(am+an)+(bm+bn)＝a(m+n)+b(m+n)＝(m+n)(a+b)．

這種利用分組來分解因式的方法叫做分組分解法．從上面的例子可以看出，如果把一個多項式的項分組并提取公因式后它們的另一個因式正好相同，那么這個多項式就可以用分組分解法來分解因式．（六）提公因式法

1.在運用提取公因式法把一個多項式因式分解時，首先觀察多項式的結(jié)構(gòu)特點，確定多項式的公因式．當多項式各項的公因式是一個多項式時，可以用設(shè)輔助元的方法把它轉(zhuǎn)化為單項式，也可以把這個多項式因式看作一個整體，直接提取公因式；當多項式各項的公因式是隱含的時候，要把多項式進行適當?shù)淖冃危�或改變符號，直到可確定多項式的公因式．

2.運用公式x2+(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進行因式分解要注意：

1．必須先將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和等于一次項的系數(shù)．

2．將常數(shù)項分解成滿足要求的兩個因數(shù)積的多次嘗試，一般步驟：①列出常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積各種可能情況；②嘗試其中的哪兩個因數(shù)的和恰好等于一次項系數(shù)．3．將原多項式分解成(x+q)(x+p)的形式．（七）分式的乘除法

1.把一個分式的分子與分母的公因式約去，叫做分式的約分．2.分式進行約分的目的是要把這個分式化為最簡分式．

3.如果分式的分子或分母是多項式，可先考慮把它分別分解因式，得到因式乘積形式，再約去分子與分母的公因式．如果分子或分母中的多項式不能分解因式，此時就不能把分子、分母中的某些項單獨約分．

4.分式約分中注意正確運用乘方的符號法則，如x-y＝-(y-x)，(x-y)2＝(y-x)2，(x-y)3＝-(y-x)3．

5．分式的分子或分母帶符號的n次方，可按分式符號法則，變成整個分式的符號，然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負來處理．當然，簡單的分式之分子分母可直接乘方．

6．注意混合運算中應(yīng)先算括號，再算乘方，然后乘除，最后算加減．（八）分數(shù)的加減法

1．通分與約分雖都是針對分式而言，但卻是兩種相反的變形．約分是針對一個分式而言，而通分是針對多個分式而言；約分是把分式化簡，而通分是把分式化繁，從而把各分式的分母統(tǒng)一起來．

2．通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進行變形，其共同點是保持分式的值不變．

3．一般地，通分結(jié)果中，分母不展開而寫成連乘積的形式，分子則乘出來寫成多項式，為進一步運算作準備．4．通分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)．

5．通分的關(guān)鍵：確定幾個分式的公分母．

通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母，這樣的公分母叫做最簡公分母．

6.類比分數(shù)的通分得到分式的通分：

把幾個異分母的分式分別化成與原來的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分．

7．同分母分式的加減法的法則是：同分母分式相加減，分母不變，把分子相加減。

同分母的分式加減運算，分母不變，把分子相加減，這就是把分式的運算轉(zhuǎn)化為整式運算。

8．異分母的分式加減法法則：異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥�分母的分式，然后再加減．

9．同分母分式相加減，分母不變，只須將分子作加減運算，但注意每個分子是個整體，要適時添上括號．

10．對于整式和分式之間的加減運算，則把整式看成一個整體，即看成是分母為1的分式，以便通分．

11．異分母分式的加減運算，首先觀察每個公式是否最簡分式，能約分的先約分，使分式簡化，然后再通分，這樣可使運算簡化．12．作為最后結(jié)果，如果是分式則應(yīng)該是最簡分式．(九)含有字母系數(shù)的一元一次方程1．含有字母系數(shù)的一元一次方程

引例：一數(shù)的a倍（a≠0）等于b，求這個數(shù)。用x表示這個數(shù)，根據(jù)題意，可得方程ax=b（a≠0）

在這個方程中，x是未知數(shù)，a和b是用字母表示的已知數(shù)。對x來說，字母a是x的系數(shù)，b是常數(shù)項。這個方程就是一個含有字母系數(shù)的一元一次方程。含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學過的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同，但必須特別注意：用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊，這個式子的值不能等于零。

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初二數(shù)學下知識點總結(jié)

函數(shù)及其相關(guān)概念

1、變量與常量

在某一變化過程中，可以取不同數(shù)值的量叫做變量，數(shù)值保持不變的量叫做常量。

一般地，在某一變化過程中有兩個變量x與y，如果對于x的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應(yīng)，那么就說x是自變量，y是x的函數(shù)。2、函數(shù)解析式

用來表示函數(shù)關(guān)系的數(shù)學式子叫做函數(shù)解析式或函數(shù)關(guān)系式。使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。3、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點

（1）解析法

兩個變量間的函數(shù)關(guān)系，有時可以用一個含有這兩個變量及數(shù)字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對應(yīng)值列成一個表來表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖像法：用圖像表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖像法。4、由函數(shù)解析式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對應(yīng)值

（2）描點：以表中每對對應(yīng)值為坐標，在坐標平面內(nèi)描出相應(yīng)的點

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，如果ykxb（k，b是常數(shù)，k0），那么y叫做x的一次函數(shù)。特別地，當一次函數(shù)ykxb中的b為0時，ykx（k為常數(shù)，k0）這時，y叫做x的正比例函數(shù)。2、一次函數(shù)的圖像

所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線。3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)ykxb的圖像是經(jīng)過點（0，b）的直線；正比例函數(shù)ykx的圖像是經(jīng)過原點（0，0）的直線。（如下圖）4.正比例函數(shù)的性質(zhì)

一般地，正比例函數(shù)ykx有下列性質(zhì)：

（1）當k>0時，圖像經(jīng)過第一、三象限，y隨x的增大而增大；（2）當k0時，y隨x的增大而增大（2）當k確定一個正比例函數(shù)，就是要確定正比例函數(shù)定義式y(tǒng)kx（k0）中的常數(shù)k。確定一個一次函數(shù)，需要確定一次函數(shù)定義式y(tǒng)kxb（k0）中的常數(shù)k和b。解這類問題的一般方法是待定系數(shù)法。k的符號b的符號函數(shù)圖像y0xy0xy0xy0x圖像特征b>0圖像經(jīng)過一、二、三象限，y隨x的增大而增大。k>0b0圖像經(jīng)過一、二、四象限，y隨x的增大而減小K

四邊形

1．四邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）四邊形的內(nèi)角和等于360°；（2）四邊形的外角和等于360°.2．多邊形的內(nèi)角和與外角和定理：（1）n邊形的內(nèi)角和等于(n-2)180°；（2）任意多邊形的外角和等于360°.3．平行四邊形的性質(zhì)：（）兩組對邊分別平行；1（2）兩組對邊分別相等；因為ABCD是平行四邊形（3）兩組對角分別相等；4）對角線互相平分；（（5）鄰角互補.DOCADBCA4D31B2CAB4.平行四邊形的判定：（1）兩組對邊分別平行（2）兩組對邊分別相等（3）兩組對角分別相等ABCD是平行四邊形.（4）一組對邊平行且相等（5）對角線互相平分DOCAB5.矩形的性質(zhì)：（）具有平行四邊形的所有通性;1因為ABCD是矩形（2）四個角都是直角;3）對角線相等.（DCOADBC6.矩形的判定：ABDC（1）平行四邊形一個直角（2）三個角都是直角四邊形ABCD是矩形.（3）對角線相等的平行四邊形OADBCAB7．菱形的性質(zhì)：因為ABCD是菱形（）具有平行四邊形的所有通性；1（2）四個邊都相等；3）對角線垂直且平分對角.（ADOCB8．菱形的判定：（1）平行四邊形一組鄰邊等（2）四個邊都相等四邊形四邊形ABCD是菱形.（3）對角線垂直的平行四邊形DAOCB9．正方形的性質(zhì)：因為ABCD是正方形（）具有平行四邊形的所有通性；1（2）四個邊都相等，四個角都是直角；3）對角線相等垂直且平分對角.（DCDCOAB（1）AB（2）（3）10．正方形的判定：（1）平行四邊形一組鄰邊等一個直角（2）菱形一個直角四邊形ABCD是正方形.（3）矩形一組鄰邊等(3)∵ABCD是矩形DC又∵AD=AB∴四邊形ABCD是正方形AB11．等腰梯形的性質(zhì)：1（）兩底平行，兩腰相等；因為ABCD是等腰梯形（2）同一底上的底角相等；3）對角線相等.（AOBCD12．等腰梯形的判定：（2）梯形底角相等四邊形ABCD是等腰梯形（3）梯形對角線相等（1）梯形兩腰相等DA(3)∵ABCD是梯形且AD∥BC∵AC=BDO∴ABCD四邊形是等腰梯形CB14．三角形中位線定理：三角形的中位線平行第三邊，并且等于它的一半.15．梯形中位線定理：梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.DAECBDECFBA

一基本概念：四邊形，四邊形的內(nèi)角，四邊形的外角，多邊形，平行線間的距離，平行四

邊形，矩形，菱形，正方形，中心對稱，中心對稱圖形，梯形，等腰梯形，直角梯形，三角形中位線，梯形中位線.二定理：中心對稱的有關(guān)定理

※1．關(guān)于中心對稱的兩個圖形是全等形.

※2．關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分.

※3．如果兩個圖形的對應(yīng)點連線都經(jīng)過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關(guān)于

這一點對稱.三公式：

1ab=ch.（a、b為菱形的對角線,c為菱形的邊長，h為c邊上的高）22．S平行四邊形=ah.a為平行四邊形的邊，h為a上的高）1．S菱形=3．S梯形=四常識：

菱矩n(n3)方形※1．若n是多邊形的邊數(shù)，則對角線條數(shù)公式是：.形形22．規(guī)則圖形折疊一般“出一對全等，一對相似”.平行四邊形3．如圖：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的從屬關(guān)系.

4．常見圖形中，僅是軸對稱圖形的有：角、等腰三角形、等邊三角形、正奇邊形、等腰梯形；僅是中心對稱圖形的有：平行四邊形；是雙對稱圖形的有：線段、矩形、菱形、正方形、正偶邊形、圓.注意：線段有兩條對稱軸.

正1（a+b）h=Lh.（a、b為梯形的底，h為梯形的高,L為梯形的中位線）2

※5．梯形中常見的輔助線：ADADADAD中點BFCBE中點BECBCECF

EADADEADFAFDE中點BCEBC中點BBCGC※平移與旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)1.旋轉(zhuǎn)的定義：在平面內(nèi)，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉(zhuǎn)動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉(zhuǎn)。2.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)：旋轉(zhuǎn)后得到的圖形與原圖形之間有：對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，旋轉(zhuǎn)角相等。中心對稱1.中心對稱的定義：如果一個圖形繞某一點旋轉(zhuǎn)180度后能與另一個圖形重合，那么這兩個圖形叫做中心對稱。2.中心對稱圖形的定義：如果一個圖形繞一點旋轉(zhuǎn)180度后能與自身重合，這個圖形叫做中心對稱圖形。3.中心對稱的性質(zhì)：在中心對稱的兩個圖形中，連結(jié)對稱點的線段都經(jīng)過對稱中心，并且被對稱中心平分。軸對稱1.軸對稱的定義：如果一個圖形沿一條直線折疊后，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。2.軸對稱圖形的性質(zhì)：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。3.軸對稱的性質(zhì)：對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應(yīng)線段/對應(yīng)角相等。圖形變換圖形變換的定義：圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、和軸對稱統(tǒng)稱為圖形變換。

一元二次方程

1、一元二次方程：

2①概念：只含有一個未知數(shù)，且可以化為axbxc0（a,b,c為常數(shù)，且a0）

的整式方程叫做一元二次方程。

ax2bxc0是一元二次方程的一般形式。其中，ax2、bx、c分別叫做一元二次方程

的二次項、一次項、常數(shù)項；a、b分別叫做一元二次方程的二次項、一次項的系數(shù)。（強調(diào)：項和系數(shù)要包括前面的符號）構(gòu)成一元二次方程的條件：（1）整式方程；（2）只含有一個未知數(shù)；（3）二次項系數(shù)不能為0；（4）未知數(shù)的最高次數(shù)為2.②注意事項：

（1）二次項系數(shù)a0是一般形式的重要組成部分。

（2）二次項、一次項和常數(shù)項都是在一般形式下定義的，判斷各項系數(shù)時，必須先將方程方程化為一般形式。

（3）任何一個一元二次方程均可經(jīng)過整理（去括號、移項、合并同類項）均可化為一般形式。

2、一元二次方程的解法

⑴直接開平方法解一元二次方程：

①如x2m(m0)的方程都可以用開平方的方法求出它的解，這種解法叫做直接開平方法②利用直接開平方法所解的一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：經(jīng)過整理、變形后得到等號左邊是一個完全平方式，右邊是一個非負數(shù)；

③理解直接開平方法的理論依據(jù)是平方根的定義。

⑵用配方解一元二次方程：

①把一個二次三項式組成完全平方式的變形過程，叫做配方，用配方法求一元二次方程的解的方法叫做配方法。

②配方法解一元二次方程是以配方為手段，以直接開平方為基礎(chǔ)的一種解一元二次方程的基本方法。

③用配方法解一元二次方程的步驟：

㈠二次項系數(shù)化為1：方程兩邊都除以二次項系數(shù)；㈡移項：方程左邊為二次項和一次項，右邊為常數(shù)項；

㈢配方：方成左右兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，使方程左邊變成一個完全平方式，右邊是一個常數(shù)；

㈣求解：如果右邊常數(shù)是非負數(shù)，就用直接開平方法解一元二次方程。⑶用公式法解一元二次方程：

bb24ac2①方程axbxc0(a0)的求根公式：x(b4ac0)，利用

2a2求根公式解一元二次方程的方法叫公式法。②利用求根公式解一元二次方程的步驟：

㈠把方程整理為一般形式axbxc0(a0)，確定a,b,c的值；㈡計算b4ac的值；

㈢當b4ac0時，把a,b和b4ac的值代入求根公式計算，從而求出方程的解。③求根公式專指一元二次方程的求根公式，只有確定方程是一元二次方程時，才可以使用④公式法是解一元二次方程axbxc0(a0)的一般解法

⑷用因式分解法解一元二次方程

①利用因式分解的方法求出一元二次方程的解，這種解方程的方法叫因式分解法

②因式分解法的理論依據(jù)：兩個因式的積等于0，那么這兩個因式中至少有一個等于零，即AB0A0或B0。

③用因式分解法所解的一元二次方程的結(jié)構(gòu)特點：等號一邊的代數(shù)式可以做因式分解，另一邊為0.

④利用因式分解法解一元二次方程的步驟：

㈠將方程的右邊化為一；

㈡將方程的左邊分解為兩個一次因式乘積的形式；㈢令兩個因式分別為0，得到兩個一元一次方程；

㈣分別解兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解。3、一元二次方程解法的順序：

先特殊，后一般，先考慮是否用直接開平方法和因式分解法解，不能用這兩種方法時，再用公式法和配方法。當二次項系數(shù)為一，一次項系數(shù)為偶數(shù)時，用配方法方便。4、根的判別式

把b4ac叫做一元二次根的判別式，記作△=b4ac，axbxc0(a0)，若方程有兩個不相等的實數(shù)根△＞0；有兩個相等的實數(shù)根△=0沒有實數(shù)根△＜0

有兩個實數(shù)根△0（此時兩根可能等，也可能不等）。5、一元二次方程的應(yīng)用

列方程解應(yīng)用題，應(yīng)透徹理解題意，尋找等量關(guān)系。列方程時，要注意列出的方程必須滿足以下三個條件：⑴方程左右兩邊表示同類量；

⑵方程左右兩邊的同類量的單位一樣；⑶方程兩邊的數(shù)值相等。※增長率問題公式

222222增長后的數(shù)=基數(shù)（1+增長率）（n指增長的次數(shù)）降低后的數(shù)=基數(shù)（1-增長率）（n指降低的次數(shù)）※長方體、正方體體積公式

nnV長方體長寬高

3V正方體（邊長）※根據(jù)題的實際意義對方程的根進行取舍。

方差與頻數(shù)分布

知識框架圖數(shù)極差據(jù)的方差用計算器計算波標準差比較事物的有關(guān)性質(zhì)動方用樣本估計總體的有關(guān)特征差頻數(shù)與數(shù)頻率頻據(jù)數(shù)的分分頻數(shù)分布表布布頻數(shù)分布圖

數(shù)據(jù)的波動

一、極差

1、一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差，叫做這組數(shù)據(jù)的極差；2、極差=數(shù)據(jù)中的最大值數(shù)據(jù)中的最小值。二、方差

1、在一組數(shù)據(jù)x1,x2,,x3,,xn中，各數(shù)據(jù)與他們的平均數(shù)x的差的平方的平均數(shù)，叫做這

2組數(shù)據(jù)的方差，常用s來表示，即：s22、方差的三種公式：

1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2];n122222化簡公式：s[(x1x2xn)nx]

n122222化簡公式的變形公式：s(x1x2xn)x

n基本公式：s23、設(shè)化簡后的新數(shù)據(jù)組x1,x2,xn的方差為s",設(shè)x1,x2,,x3,,xn的方差為s（其中

1[(x1x)2(x2x)2(xnx)2];n

"""，則s"s2；xixia,i1,2,n,a為常數(shù)）

4、方差的作用：用于表述一組數(shù)據(jù)波動的大小，方差越小，該數(shù)據(jù)波動越小，越穩(wěn)定。

三、標準差

1、方差的算數(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標準差，即：

"21x1x2x2x2xnx2；n2、標準差用于描述一組數(shù)據(jù)波動的大小；3、標準差的單位與原數(shù)據(jù)的單位相同。四、方差與標準差的關(guān)系1、s2；

22、與s的作用相同、單位不同。

五、頻數(shù)分布與頻數(shù)分布圖1、數(shù)據(jù)的分組整理組限、組距和組數(shù)：

把一套數(shù)據(jù)分成若干個小組，累計各小組的數(shù)據(jù)個數(shù)。期中每個分數(shù)段是一個“組區(qū)間”，分數(shù)段兩端的數(shù)值是“組限”，分數(shù)段的最大值與最小值的差是“組距”，分數(shù)段的個數(shù)是組數(shù)”.

2、頻數(shù)、頻率與頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布圖①每個小組的數(shù)據(jù)的個稱為這組數(shù)據(jù)的頻數(shù)；

②頻率：每個小組的頻數(shù)與數(shù)據(jù)總個數(shù)的比值稱為這組的頻率；

③頻率的計算公式：

每組的頻率=這組的頻數(shù)/數(shù)據(jù)的總個數(shù)

④各小組的頻數(shù)之和等于數(shù)據(jù)總數(shù)；各小組的頻數(shù)之和等于1.

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