初三上數學期末復習知識點總結

期末復習知識點

《一元二次方程》

1、一般式：ax2+bx+c=0(a≠0

bb24ac2、求根式：x=

2a3、根的判別式：b2-4ac△>0方程有兩個不等實根△=0方程有兩個相等實根△0時對稱軸左側y隨x的增大而減小；對稱軸右側圖像y隨x的增大而增大。

a0x＿時yR+r外離d=R+r外切

R-r2、切線長：從圓外一點作圓的切線，這一點與切點之間的距離叫切線長。3、切線長定理：從圓外一點作圓的兩條切線，這兩條切線長相等，并且這點與圓心的連線平分切線的夾角。

已知PA、PB切圓O與A、B

則PA=PBOP平分∠APB

abc4、在Rt△中內切圓半徑=

2c在Rt△中外切圓半徑=

25、圓周角：頂點在圓上，兩邊與圓相交的角叫圓周角。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對圓心角的一半。

6、圓心角：頂點在圓心上的角叫圓心角。在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓心角相等，等于這條弧所對圓周角的二倍。

7、垂直于弦的直徑平分弦，并且平分這條弦所對的兩條弧。

如圖DC為直徑AB垂直于DC則AE=EB弧AC等于弧BC

8、9、

圓錐S側面積=πra（a母線長）

圓柱S圓柱=2πrh+2πr2

nπr21lr10、扇形S扇=360211、扇形弧長lnπr1

擴展閱讀：初三總復習 數學課本知識點歸類總結

七至九年級數學課本知識點歸類總結

志誠專業(yè)輔導知識結構：一代數二幾何

三概率與統(tǒng)計

知識脈絡：

代數

實數：

1內容

A有理數（七上第二章）

B勾股定理與實數（主要指實數和平方根、立方根）八上第二章C二次根式（九上第三章）2詳解

①實數的有關概念及其分類：

正整數整數零負整數有限小數或無限循環(huán)小數有理數實數正分數分數負分數正無理數無理數無限不循環(huán)小數負無理數

二、規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。數軸上所有的點與全體實數是一一對應關系。

三、在數軸上，原點兩旁且與原點距離相等的兩個點所表示的數是互為相反數。四、兩個互為相反數的和等于零；互為倒數的兩個數的積等于1；零沒有倒數。

五、偶數一般用2n（n為整數）來表示，奇數一般用2n1來表示。（包括負偶數和負奇數）

m六、有理數都可以表示為n（m，n為整數且m，n互質）的形式；任何一個分數都可以化成有限小數

或無限循環(huán)小數的形式；如果一個類似于分數的形式，分子或分母中含有無理數，則為無理數。七、絕對值

aaa0aaa0八、非負數像

a2

，a，

a(a0,算數平方根或二次根式)形式的數都表示非負數。

非負數性質①最小的非負數是0；②若幾個非負數的和是0，則每個非負數都是0。

九、近似數與有效數字一個近似數，四舍五入到哪一位，就說這個近似數精確到哪一位，這時，從左邊

第一個不是0的數字起到精確的數位止，所有的數字都叫這個數的有效數字；如果一個數寫成的是科學計數法的形式，我們只需要看前面的數，如：3.14×105，我們只看前面的3.14，精確到百分位，三個有效數字。十．科學記數法把一個數記成a10的形式叫做科學記數法，其中1a10，n為整數。

n命題熱點

本節(jié)是中考必考內容，在考點上有實數、相反數、絕對值、倒數、數軸、近似數與有效數字、科學記數法等。在題型上多以填空、選擇題出現，近年則比較注重實際應用與創(chuàng)新能力方面的考查。②實數的運算與實數的大小比較知識要點

一、實數運算在實數范圍內，可以進行加、減、乘、除、乘方和開方運算，但是，除數不能為0，開偶

次方時被開方數為非負數。其中加、減是一級運算，乘、除是二級運算，乘方、開方是三級運算，同級運算從左到右依次進行；無括號的不同級運算先算高級運算；有括號時，先算小括號，再算中括號的，后算大括號的。

二、實數的大小比較三種比較方法：數軸比較法，將兩實數分別表示在數軸上，右邊的數總比左邊的數

大，兩數表示同一點則相等。差值比較法，設a，b是任意兩實數，則ab0ab；a1abab0ab；ab0ab。商值比較法，設a，b是任意兩正實數，則b；aa1ab1abb；b。

命題熱點

對本節(jié)知識的考查，多以填空、選擇題和計算題等題型為主，近年還出現了大量的以閱讀理解與探索猜想為形式的新題型。命題者往往在易錯點設置陷阱，對學生的創(chuàng)新能力、自學能力有較高的要求，希望能引起同學們的重視。

③二次根式

知識要點

一、二次根式式子a(a0)叫做二次根式。二、最簡二次根式

滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式：①被開方數的因數是整數，因式是整式；②被開方數中不含能開得盡方的因數或因式。

三、同類二次根式幾個二次根式化成最簡二次根式以后，如果被開方數相同，這幾個二次根式就叫做同

類二次根式。四、二次根式的主要性質

2（1）(a)a(a0)

a2（2）

a(a0)a0(a0)a(a0)

（3）abab(a0,b0)

baab(b0,a0)（4）

五、二次根式的運算（1）因式的外移和內移，如果被開方數中有的因式能開得盡方，那么，就可以用它的算術根代替而移到根

號外面；如果被開方數是代數和的形式，那么先分解因式，變形為積的形式，再移因式到根號外面。反之，也可以將根號外面的正因式，平方后移到根號里面去。（2）有理化因式與分母有理化

兩個含有二次根式的代數式相乘，若它們的積不含二次根式，則稱這兩個代數式互為有理化因式。把分母中的根號化去，叫做分母有理化。

（3）二次根式的加減法先把二次根式化成最簡二次根式，再合并同類二次根式。

（4）二次根式的乘除法二次根式相乘（除），把被開方數相乘（除），所得的積（商）仍作積（商）的被

開方數，并將運算結果化為最簡二次根式。

（5）有理數的加法交換律、結合律、乘法交換律、結合律、乘法對加法的分配律，以及多項式的乘法公式，

都適用于二次根式的運算。命題熱點

本節(jié)知識一直是中考的重點內容，涉及題型有填空、選擇、計算、閱讀等，特別是二次根式及其性質，二次根式與整式、分式的混合運算。

代數式：

1內容：

A用字母表示數（七上第三章）B從面積到乘法公式（七下第九章）C分式（八下第八章）2詳解：知識要點

①代數式的分類

單項式整式有理式多項式代數式分式無理式

二、同類項所含的字母相同并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項，合并同類項時，只把系數相

加，所含字母和字母的指數不變。三、整式的運算

（1）整式的加減先去括號或添括號，再合并同類項。

mnmnmnmn（2）整式的乘除冪的運算性質①aaa（m，n為整數，a0）；②(a)a（m，n為

nnnmnmn整數，a0）；③(ab)ab（n為整數且a0）；④aaa（m，n為整數，a0）。22222乘法公式（1）平方差：(ab)(ab)ab。（2）完全平方公式：(ab)a2abb。（3）立方和

2233（差）：(ab)(aabb)ab

四、代數式的值用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果叫做代數式的值。命題熱點

中考中考查本節(jié)的內容主要有與整式相關的概念、整式的混合運算法則及靈活運用三個乘法公式進行計算，在試卷中多以填空、選擇及求值等題型出現。②因式分解知識要點

一、因式分解把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做多項式的因式分解。

二、因式分解的基本方法（1）提取公因式法（2）公式法（3）分組分解法（4）十字相乘法。三、因式分解常用的公式如下

22（1）ab(ab)(ab)；222（2）a2abb(ab)；3322（3）ab(ab)(aabb)。

命題熱點

考查內容涉及本節(jié)的主要有因式分解的意義及分解方法，每份試卷上都有與因式分解相關的考題，但更多的是將因式分解作為一種方法在分式、二次根式及其它方面進行變形、求值中的運用，因此，我們應掌握因式分解及分解，更應掌握它在其它知識中的運用。③分式知識要點

A一、分式如果B中含有字母，式子B叫做分式，分式中字母取值必須使分母的值不為零。AAMAAMBBMBBM（M為不等于0的整式）二、分式的基本性質。

三、分式的運算

ababacadbcc，bdbd；（1）加減法：ccacacacadadbdbcbc；bdbd（2）乘除法：，

aan()nbn（n為正整數）（3）乘方：b；

aaaabb。（4）符號法則：bb四、約分根據分式的基本性質，把分式的分子和分母的公因式約去，叫做約分。

五、通分根據分式的基本性質，把異分母的分式化成和原來的分式分別相等的同分母的分式，叫做通分。命題熱點

本節(jié)內容中，分式的概念與基本性質、分式的運算法則、分式的計算與化簡求值是命題熱點，也是重點。

不等式（組）

1內容:

A一元一次不等式及不等式組(八下第七章)

2知識要點：

一、不等式的基本性質

（1）不等式的兩邊都加上（或減去）同一個數或同一個整式，不等號的方向不變。（2）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。（3）不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。二、不等式（組）的解法

（1）解一元一次不等式和解一元一次方程相類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個負數時，不等號的方向必須改變。

（2）解不等式組一般先分別求出不等式組中各個不等式的解集，再求出它們的公共部分，就得到不等式組的解集。

xaxa三、設ab，那么：（1）不等式組xb的解集是xb；（2）不等式組xb的解集是xa；（3）不等xaxaxbaxb式組的解集是；（4）不等式組xb的解集是空集。

命題熱點

中考試卷中，本節(jié)內容的考點主要有：不等式的基本性質，一元一次不等式（組）的解法及在數軸上表示其解集，求不等式組的特殊解，與其它代數的綜合應用，簡單的不等式應用題等。

方程（組）

1內容：

A一元一次方程（七上第四章）B二元一次方程（七下第十章）C一元二次方程（九上第四章）D分式方程（八下第八章）

2知識要點

方程

A:整式方程：①一元一次方程②二元一次方程③一元二次方程

B:分式方程：①等式的基本性質：

A等式的兩邊同時加上或減去同一個數或整式，所得結果仍是等式。B等式的兩邊同時乘以或除以同一個不等于0的數，所得結果仍是等式。一、一元一次方程

（1）解一元一次方程的一般步驟是去分母、去括號、移項、合并同類項和將未知數的系數化為1；（2）方程axb的解有以下三種情況：①當a0時，方程有且僅有一個解程無解；③當a0,b0時，方程有無窮多個解。

2二、一元二次方程的一般形式是axbxc0(a0)，其解法主要有：直接開平方法、配方法、因式

xba；②當a0,b0時，方

分解法、公式法。

2三、一元二次方程axbxc0(a0)的求根公式是

x1,2bb24ac2(b4ac0)2a。

2注意：求根公式成立的條件為（1）a0，（2）b4ac0。命題熱點

中考對本節(jié)內容的考查重點在根的意義、一元一次方程及一元二次方程的解法。主要題型有填空、選擇，但主要都是考查學生的運算且難度不大。②分式方程知識要點

一、分式方程的概念。

二、解分式方程的基本思想方法是：

去分母分式方程換元整式方程

三、解分式方程產生增根的原因，驗根的方法。命題熱點

各地中考中對本節(jié)知識的考查重點是分式方程的解法及增根問題，近年還出現分式方程的根、一元二次方程根與系數的關系及實際應用題相結合的新題型。③方程組知識要點

一、解二元（或三元）一次方程組的基本思路是消元，變二元（或三元）為一元（或二元），常用的方法是加減消元法和代入消元法。

二、解二元二次方程組的基本思想是“消元”與“降次”，基本要求有以下兩類：（1）方程組中有一個方程是一次方程的（第一型的二元二次方程組），一般用代入法求解；（2）方程組中有一個方程可以分解成兩個一次方程的（第二型的二元二次方程組），可將原方程組化為兩個簡單的方程組。三、簡單的二元分式方程組，一般用代入法或用換元法來解，并注意驗根。四、方程組的解的存在性問題，轉化為方程的解的存在性問題來研究。命題熱點

本節(jié)考查重點是二元一次方程組、二元二次方程組的解的意義及解法，用換元法解簡單的分式、無理方程組也在中考試卷中時有出現，在題型上以填空、選擇為多見，少數出現在大題中，甚至是與其它知識的綜合題中。

④一元二次方程根的判別式及根與系數的關系知識要點

一、一元二次方程ax2bxc0(a0)的根的判別式是b24ac。當0時，方程有兩個不相

等的實數根，

x1,2bb24acbx1x22a2a；當；0時，方程有兩個相等的實數根，即

0時，方程沒有實數根，反之成立。

二、若一元二次方程axbxc0(a0)的兩根為

2x1,x2，那么

x1x2bc,x1x2aa

2三、以兩數,為根的一元二次方程（二次項系數為1）是x()x0。

2四、注意：根與系數的關系成立的兩個條件：（1）a0（2）b4ac0。

五、根的定義：若

2ax1bx1c0x1,x22ax2bx1c0ax2bx2c0是axbxc0的兩根，則1，2；反之，若

，

2ax2bx2c0且

x1x2，則

x1,x22是方程axbxc0的兩個根。命題熱點

本節(jié)知識是初中數學的重點內容，作為中考的必考內容，是各地中考的熱門內容，主要題型有：（1）不解方程判斷一元二次方程根的情況；（2）求方程中字母系數的取值范圍；（3）確定拋物線與x軸的交點情況；（4）驗根、求根與確定根的符號；（5）求關于一元二次方程兩根的代數式的值；（6）求作新方程；（7）解特殊方程和方程組；（8）確定字母系數之間的關系。另外本節(jié)知識與其它代數知識、幾何知識的結合點與是各地中考的考查對象。在填空、選擇、計算、證明、閱讀理解等題型中，隨處可見本節(jié)知識的身影。

⑤列方程（組）解應用題（1）知識要點

一、列方程（組）解應用題的步驟：審、找、設、列、解、驗、答。

速度＝二、行程問題等量關系：（1）

路程時間；（2）相向而行的相遇問題：相距距離＝兩者行程之和，相遇前

運動的時間相等或差＝提前時間；（3）同向追及問題：同時不同地則快車與慢車行程之差＝原相距距離；同地不同時則慢車與快車時間之差＝慢車多用時間；（4）水流問題：順速＝靜速＋水速；逆速＝靜速－水速。

三、增長率等量關系：（1）增長率＝增量÷基礎量，（2）a為原來的量，m為平均增長率，n為增長次數，

nnb為增長后的量，則a(1m)b。m為下降率時，a(1m)b。

命題熱點

中考試卷中關于本節(jié)內容的考查有填空題、選擇題、解答題，與生活實際緊密聯系，取材于學生身邊的行程問題，是近幾年中考熱點題之一。⑥列方程解應用題（2）知識要點

工作總量工作效率＝工作時間；一、工程問題等量關系：甲乙合作的工作效率＝甲的工作效率＋乙的工作效率。注：

（1）工作總量�？醋鳌�1”；（2）踟問題有時可當作工程問題解。

二、濃度問題等量關系：溶質質量＝溶液質量×濃度，溶液質量＝溶質質量＋溶劑質量。三、數字問題等量關系：

n1a210n2a310n3ann位數a1a2a3ana110。

命題熱點

中考時對本節(jié)知識的考查往往與經濟建設、環(huán)境保護等日常生活中的問題緊密聯系在一起，有時也與其它學科及本學科中的幾何等一起出現在試卷中，很受命題者的青睞。⑦列方程（組）解應用題（3）知識要點

一、利率等量關系：本息和＝本金＋利息，利息＝本金×利率×期數。

二、利潤等量關系：毛利潤＝售出價－進貨價，利潤＝售出價－進貨價－其它費用。

三、注意關鍵詞的意義：盈、虧、漲、收益、賺、年利、月利、折扣等的確切意義要理解準確。命題熱點

有關本節(jié)知識的考查，幾乎每一份中考試卷都有涉及，內容包括納稅、利潤、利息等，題型多樣，內容貼近生活實際，直擊社會熱點，是中考的大熱門考點之一。

命題熱點

中考對本節(jié)內容的考查重點在根的意義、一元一次方程及一元二次方程的解法。主要題型有填空、選擇，但主要都是考查學生的運算且難度不大。

函數及其圖像

1內容：

A平面直角坐標系（八上第四章）B一次函數（八上第五章）C反比例函數（八下第九章）D二次函數（九下）

2知識要點：

①平面直角坐標系中特殊點的坐標的特征

坐標軸上點的坐標的特征：x軸上的點，其縱坐標為0；y軸上的點，其橫坐標為0；原點O的坐標為

(0,0)。

二、各象限點的坐標的符號特征

第一象限：x0,y0；第二象限：x0,y0；第三象限：x0,y0；第四象限：x0,y0。三、平行于坐標軸的直線上的點的坐標特征

平行于x軸的直線上任意兩點的縱坐標相同；平行于y軸的直線上任意兩點的橫坐標相同。四、象限角平分線上的點的坐標特征

第一、三象限角平分線上的點的橫、縱坐標相等；第二、四象限角平分線上的點的橫、縱坐標互為相反數。

五、對稱點的坐標特征

坐標系中A(a,b)關于x軸的對稱點坐標為(a,b)，即橫坐標相同，縱坐標互為相反數；關于y軸的對稱點坐標為(a,b)，即橫坐標互為相反數，縱坐標相同；關于原點的對稱點坐標為(a,b)，即橫、縱坐標都分別互為相反數。六、對函數概念的理解

理解函數概念時，應注意：（1）在某一變化過程中有兩個變量x與y；（2）變量y的值隨變量x的值變化而變化；（3）對于x的每一個值，y都有惟一的值與它對應。七、函數自變量的取值范圍

（1）整式函數，其自變量的取值范圍是全體實數；（2）分式函數，其自變量的取值范圍是使分母不為零的實數；（3）偶次根式表示的函數，其自變量的取值范圍是使被開方數為非負實數；（4）對實際問題，其自變量的取值范圍是必須使實際問題有意義。命題熱點

本節(jié)重點是直角坐標系的應用，函數的概念、自變量的取值范圍及函數值，在各地中考題中主要以填空、選擇的形式出現，有時也在綜合題中出現，其中主要考查原點、坐標軸上的點、對稱點、各象限內的點、兩坐標軸夾角平分線上點的坐標特征，自變量的取值范圍、函數值及寫出實際問題中的函數關系式等，函數的列表、圖象等表示方法也是熱點之一。②正比例函數與反比例函數的圖象和性質知識要點

一、正比例函數定義形如ykx(k0)的函數叫做正比例函數，自變量的取值范圍是：全體實數。二、正比例函數的圖象是經過原點的一條直線。

三、正比例函數ykx的性質：（1）k0時，y隨x的增大而增大，圖象是經過第一、三象限的一條直線；（2）k0時，y隨x的增大而減小，圖象是經過第二、四象限的一條直線。

y四、反比例函數定義形如

k(k0)x的函數叫做反比例函數，自變量的取值范圍是：x0。五、反比例函數的圖象是雙曲線。

y六、反比例函數

增大而增大。命題熱點

kx的性質：（1）k0時，圖象兩分支分別在第一、三象限，在每一個象限內，y

隨x的增大而減小；（2）k0時，圖象兩分支分別在第二、四象限，在每一個象限內，y隨x的

正比例函數的圖象與性質、反比例函數的圖象與性質內容在中考中常常出現在填空、選擇等低檔題，而反比例函數有時也與一次函數一起出現在部分中檔題中，近年各地對反比例函數的考查力度有加大的趨勢。

③一次函數的圖象和性質知識要點

一、一次函數的定義形如ykxb(k,b為常數，且k0)的函數叫做一次函數。二、正比例函數是一次函數的特例。

三、一次函數ykxb的圖象是一條經過點

(b,0)k及點(0,b)的一條直線。

四、一次函數圖象性質：當k0時，y隨x的增大而增大，當k0時，y隨x的增大而減小。

k0k0

k0k0

b0b0b0b0命題熱點

由于二次函數要求降低，一次函數就顯得相當受寵，在中考中，一次函數的概念，字母系數的條件，一次函數的解析式與圖象，實際問題中一次函數自變量的取值范圍及圖象，一次函數應用題，一次函數的性質等都是考查的重點內容，也是熱點，題型有填空、選擇、解答題與綜合應用，層出不窮，花樣年年翻新，特別是與幾何知識的綜合應用，精題、巧題令人目不暇接，一次函數應用題則更是高潮迭起，讓人拍案叫絕。

2④二次函數yaxbxc的圖象性質

知識要點

2一、二次函數的定義如果yaxbxc(a,b,c為常數，a0)，那么y叫做x的二次函

數。

2二、二次函數的圖象二次函數yaxbxc的圖象是一條拋物線。

三、二次函數的圖象的性質

2（1）拋物線yax（2）當a0時，拋物線開口向上；a0時，拋物線開口向下。

bb4acb2x(,)bxc的頂點是2a。2a4a，對稱軸是直線

（3）當a0，

xbb4acb2x2a時，y有最大值2a時，y有最小值4a；當a0，4acb24a。

命題熱點

本節(jié)內容是初中數學的一個十分重要的內容，從各地中考試題中對本節(jié)考查的內容來看，涉及到二次函數的定義、圖象及利用圖象研究函數在某一區(qū)域內的增減性等。從題型上看，既有選擇題，又有填空題，也有解答題，特別是二次函數的圖象與其他知識的綜合題，往往被作為壓軸題。⑤

二次函數的解析式知識要點

2一、一般式y(tǒng)axbxc(a0)，若已知拋物線上三點的坐標，把三點坐標值分別代入一般式，

得到關于

a,b,c

a,b,c的值，得二次函數的解析式。的三元一次方程組，求也

2

二、頂點式y(tǒng)a(xh)k(a0)，若已知拋物線的頂點坐標(h,k)和拋物線上另一點坐標，將

這一點坐標代入上式，求出a，即可寫出二次函數的解析式。三、交點式

ya(xx1)(xx2)(a0)(x1,0),(x2,0)，若已知拋物線與x軸兩個交點的坐標

和拋物線上另一點坐標，將這一點坐標代入上式求出a，即得二次函數的解析式。命題熱點

節(jié)重點是求二次函數的解析式，在各地中考試題中，主要解答題的形式出現，特別是與方程、幾何等知識聯系在一起的綜合題更是熱門題型，并且其中很多題是以壓軸題的身份出現在各地中考試卷中。幾何

一平面圖形的認識：①線段、射線和直線：

A:線段:兩種表示方法性質：兩點之間，線段最短兩點之間的距離：兩點之間線段的長度。B:射線：主要是表示方法，注意，前面的字母表示端點，后面的表示方向。

C:直線：兩種表示方法性質：經過兩點有且只有一條直線點與直線的位置關系（在直線上和直線外）②角

A:角的三種表示方法；

B:角的度量（角的單位之間的換算，1°=60′，1′=60″）C:余角和補角：Ⅰ如果∠A+∠B=90°，則∠A與∠B互余Ⅱ如果∠A+∠B=180°，則∠A與∠B互補Ⅲ性質：同角或等角的余角（補角）相等

D:對頂角：兩直線L1和L2相交，如圖2-22所示，∠1和∠2為1對對頂角，∠3和∠4為1對對頂角

E:角平分線：Ⅰ定義：從一個角的頂點引出一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個

角的角平分線。

Ⅱ性質：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等。Ⅲ判定：到角的兩邊距離相等的點，在這個角的平分線上。F:角的分類：Ⅰ銳角：大于0°小于90°的角Ⅱ直角：等于90°的角

Ⅲ鈍角：大于90°小于180°的角Ⅳ平角：等于180°的角Ⅴ周角：等于360°的角。③平行與相交：

A:平行Ⅰ在同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線

Ⅱ性質：經過直線外一點，有且只有一條直線和已知直線平行

Ⅲ兩直線平行的性質：a兩直線平行，同位角相等b兩直線平行，內錯角相等c兩直線平

行，同旁內角互補。

Ⅳ平行的判定：a同位角相等，兩直線平行b內錯角相等，兩直線平行c同旁內角互補，

兩直線平行d如果兩條直線都和第三條直線平行，則這兩條直線平行d垂直于同一直線的各直線平行e平行四邊形的對邊平行f三角形的中位線平行于第三邊g梯形的中位線平行于兩底

B:相交Ⅰ在同一平面內，不平行的兩條直線就相交。

C:垂直Ⅰ如果兩條直線相交成直角，那么這兩條直線互相垂直，交點叫垂足。Ⅱ垂線：當兩條直線互相垂直時，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線

Ⅲ垂直的性質：a經過一點，有且只有一條直線與已知直線垂直b直線外一點與直線上

各點連接的所有線段中，垂線段最短。Ⅳ垂線段：過一點作已知直線的垂線，這點與垂足間的線段叫垂線段Ⅴ點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度

二三角形①三角形的分類

A:按角分：銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形。B:按邊分Ⅰ不等邊三角形（三邊不相等）

Ⅱ等腰三角形a底邊和腰不相等的等腰三角形b等邊三角形②三角形的一些主要線段：

A:三角形的高線：從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角

形的高線

Ⅰ銳角三角形的三條高線在三角形內部，并且交于內部一點。Ⅱ直角三角形的三條高線交于直角三角形的頂點處Ⅲ鈍角三角形的三條高線交于三角形外部一點。

B:三角形的中線（線段）：在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段，叫做三角形的中線。銳角、直角和鈍角三角形的三條中線都在三角形內部，并且把三角形分成面積相等的

兩個部分。

C:三角形的角平分線：在三角形中，一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點和交點之間的線段叫做三角形的角平分線。三角形的角平分線是線段，注意和角的平分線（射線）之間的區(qū)別，但是三角形的角平分線同樣具有角平分線的性質。③三角形的邊、角關系：

A:三邊之間：任意兩邊之和大于第三邊；任意兩邊之差小于第三邊。（等腰三角形，只要腰長大于底

邊長度的一半即可，且大于0）

B:角與角之間的關系：Ⅰ三角形的內角和等于180°（三角形內角和定理）Ⅱ三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和Ⅲ三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。

C:邊、角關系：Ⅰ在三角形中，等邊對等角，等角對等邊。（證明邊或角相等常用的定理）Ⅱ大角對大邊，小角對小邊。④全等三角形：

A:定義：能夠完全重合的兩個三角形叫做全等三角形。

Ⅰ對應點：重合的頂點Ⅱ頂應邊：互相重合的邊Ⅲ對應角：互相重合的角。B:全等三角形的性質：對應邊相等，對應角相等。

C:全等三角形的判定：Ⅰ兩邊和它們的夾角對應相等的兩個三角形全等（SAS）Ⅱ兩角和他們的夾邊對應相等的兩個三角形全等（ASA）Ⅲ兩角和期中一角的對邊對應相等的兩個三角形全等（AAS）Ⅳ三邊對應相等的兩個三角形全等（SSS）

Ⅴ斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等（HL）只適用于直角三角形注意：全等三角形的寫法一定要規(guī)范，對應點對對應點，如△ABC≌△CDE，則：點A和點C是對應

點，點B和點D是對應點，點C和點E是對應點；邊AB和邊CD，邊BC和邊DE，邊AC和邊CE是對應邊。

⑤等腰三角形和等邊三角形

A:等腰三角形和等邊三角形都是軸對稱圖形，其對稱軸是：頂角的平分線和底邊上的高，中線所在的直線。

B:等腰三角形（底邊和腰不等的等腰三角形）：Ⅰ性質：a兩個底角相等（等邊對等角）b三線合一性質：等腰三角形的

頂角的平分線，底邊上的中線，底邊上的高線三線合一。

Ⅱ判定：a根據定義，證明兩邊相等b在一個三角形中，證明兩個角相等，

再利用等角對等邊證明兩邊相等。

C:等邊三角形：Ⅰ性質：a等腰三角形（底邊和腰不等）的所有性質b各角都等于60°c三邊都相等。

Ⅱ判定：a根據定義（三邊都相等）b三個角都相等的三角形c有一個角是

60°的等腰三角形。

⑥直角三角形

A:直角三角形的性質：Ⅰ兩銳角互余Ⅱ斜邊上的中線等于斜邊的一半Ⅲ三邊滿足勾股定理Ⅳ在直角三角形中，30°角所對的邊等于斜邊的一半Ⅴ在直角三角形中，如

果一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對的銳角為30°.

B:直角三角形的判定：

Ⅰ有兩個角互余的三角形是直角三角形

Ⅱ根據勾股定理的逆定理：若三角形的三邊長a,b,c,滿足a2+b2=c2，則這個三角

形為直角三角形。

Ⅲ如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。⑦三角形的“四心”

A:內心：三角形各角的角平分線相交于一點，這點是三角形內切圓的圓心，叫做三角形的內心。性質：三角形內心到三角形的三邊距離相等。

B:外心：三角形三條邊的中垂線的交點，這點是三角形外接圓的圓心，叫做三角形的外心。性質：三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等。C:重心：三角形三條中線的交點。

性質：三角形的重心到三角形頂點的距離等于它到對邊中點距離的兩倍。D:垂心：三角形的三條高線相交于一點，這點叫做三角形的垂心。性質：三角形的垂心分每條高線的兩部分面積相等Ⅰ銳角三角形的垂心在內部Ⅱ直角三角形的垂心在直角頂點處Ⅲ鈍角三角形的垂心在三角形外部。

Ⅳ等邊三角形的四心合一；等腰三角形的內心，外心，垂心共線。⑧解直角三角形：

A:銳角三角函數：Ⅰ正弦：SinA=

A的對邊A的鄰邊Ⅱ余弦：CosA=

斜邊斜邊Ⅲ正切：TanA=

A的對邊

A的鄰邊B特殊銳角的三角函數：Sin30°=0.5Sin60°=

32Sin45°=22Cos45°=

Cos30°=

13Cos60°=

22三四邊形

①多邊形的概念和性質：

A:概念：在平面內，由不在同一條直線上的線段，首尾順次連接組成的圖形。B:多邊形的性質：Ⅰ多邊形的內角和為（n-2）×180°Ⅱ任意多邊形的外角和為360°

n(n3)2Ⅲ多邊形的對角線共有條。

注：正多邊形，有n條相等邊，n個相等的內角，n個相等的外角。②平行四邊形：

A:平行四邊形為中心對稱圖形，對角線的交點為對稱中心。B:定義：兩組對邊分別平行的四邊形。C:性質：Ⅰ邊平行且相等Ⅱ對角線互相平分Ⅲ對角相等。

D:判定：Ⅰ兩組對邊分別平行的四邊形為平行四邊形（定義）Ⅱ一組對邊平行且相等的四邊形Ⅲ角線互相平分的四邊形Ⅳ組對邊分別相等的四邊形Ⅴ兩組對角分別相等的四邊形。③矩形

A:定義：有1個角是直角的平行四邊形是矩形。

B:性質：Ⅰ平行四邊形所有的性質Ⅱ四個角都是直角Ⅲ兩條對角線相等。

C:判定：Ⅰ定義（有一個角是直角的平行四邊形）Ⅱ有3個角是直角的四邊形

Ⅲ對角線相等的平行四邊形（對角線互相平分且相等的四邊形）④菱形

A:定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形。B:性質：Ⅰ平行四邊形的所有的性質Ⅱ四邊都相等

Ⅲ兩條對角線互相垂直且平分每組對角。

C:判定：Ⅰ根據定義去判定（一組鄰邊相等的平行四邊形）Ⅱ四邊都相等的四邊形

Ⅲ對角線互相垂直的平行四邊形。（對角線互相平分且垂直的四邊形）

注：若一個四邊形的對角線互相垂直，則這個四邊形的面積等于對角線乘積的一半；如果一個四邊形的

對角線相等，則連接各邊的中點，一定是菱形；如果一個四邊形的對角線互相垂直，則連接各邊的中點，一定是矩形；如果一個四邊形的對角線互相垂直且相等，則連接各邊的中點所得的圖形是正方形。⑤正方形

A:定義：有一個角是直角并且有一組鄰邊相等的平行四邊形。B:性質：具有平行四邊形、矩形和菱形的所有的性質。C:判定：Ⅰ有一組鄰邊相等的矩形Ⅱ有一個角是直角的菱形。⑥梯形A:定義：一組對邊平行，而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形。平行的兩邊叫底，不平行的兩邊叫

做梯形的腰

B:分類：Ⅰ等腰梯形（兩腰相等的梯形）Ⅱ直角梯形（一腰垂直于底的梯形）Ⅲ一般的梯形

C:等腰梯形的性質：Ⅰ同一底上的兩個角相等Ⅱ對角線相等

D:等腰梯形的判定：Ⅰ在同一底上的兩個角相等的梯形Ⅱ對角線相等的梯形

sE:梯形的面積公式：Ⅰ四軸對稱和中心對稱

①軸對稱：

1(ab)h或lh(l指中位線）2

A:定義：把一個圖形沿一條直線折疊，如果它能夠和另一個圖形重合，叫做這兩個圖形關于這條

直線對稱，這條直線叫做對稱軸。

B:性質：Ⅰ關于某條直線對稱的兩個圖形一定是全等形，但反過來，兩個全等圖形不一定成軸

對稱

Ⅱ如果兩個圖形關于某直線對稱，那么對稱軸是對稱點連線的垂直平分線

Ⅲ兩個圖形關于某直線對稱，如果它們的對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸

上。

②軸對稱圖形：

A:定義：如果一個圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，那么這個圖形叫做

軸對稱圖形，這條直線就是它的對稱軸。

B:性質：具有軸對稱性質。③中心對稱

A:定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個

圖形關于這點對稱，也稱中心對稱，這個點叫做對稱中心。

B:性質：Ⅰ關于中心對稱的兩個圖形是全等形

Ⅱ關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。④中心對稱圖形：

A:定義：把一個圖形繞著某一點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那

么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。

B:性質：具有中心對稱的性質。

五比例線段與相似形：

①比例的定義：如果線段a，b的長度分別是m、n，那么這兩條線段的比是a：b=m：n,或寫

成

am，兩條線段的比a：b中，a叫比的前項，b叫比的后項。bn②比例的性質

Ⅰ基本性質：若a：b=c：d,則a×d=b×cⅡ反比性質：若a：b=c：d，則b：a=d：c

Ⅲ更比性質：若a：b=c：d，則a：c=b：d或d：b=c：aacabcd,則bdbdacabcd,則Ⅴ合分比性質：bdabcdⅣ合比性質：若③相似三角形

A:相似三角形的判定Ⅰ兩角對應相等，兩三角形相似；

Ⅱ兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；Ⅲ三邊對應成比例，兩三角形相似；

Ⅳ平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊（或兩邊的延長線）相交，所

構成的三角形與原三角形相似。

B:直角三角形相似的判定：Ⅰ一個銳角對應相等；Ⅱ兩直角邊對應成比例；Ⅲ斜邊和一直角邊對應成比例。C:相似三角形的性質：Ⅰ對應角相等，對應邊成比例；

Ⅱ對應線段成比例，對應線段之比等于相似比；Ⅲ周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。D:相似多邊形：對應角相等，對應邊成比例，邊數相同。性質：Ⅰ對應角相等，對應邊成比例；Ⅱ對應線段之比等于相似比；

Ⅲ周長之比等于相似比，面積之比等于相似比的平方。

六圓與正多邊形：

①圓

A:描述性定義：在一個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋

轉形成的圖形，叫做圓。

集合定義：圓是平面內到定點的距離等于定長的點的集合，記做⊙O，定點叫做圓心，確定圓

的位置；定長叫做半徑，確定圓的大小。

②有關概念：

A:弦：連接圓上任意兩點的線段部分叫做弦，經過圓心的弦是直徑。

B:圓�。簣A上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱�。话雸A�。簣A的任意一條直徑的兩個端點分圓

成兩條弧，每一條弧叫做半圓；優(yōu)�。捍笥诎雸A的��；劣�。盒∮诎雸A的弧。

C:弓形：由弦及其所對的弧組成的圖形；D:同心圓：即圓心相同，半徑不相等的兩個圓。E:等圓：能夠重合的兩個圓。F:圓心角：頂點在圓心的角。G:弦心距：圓心到弦的距離。

H:等弧：在同圓或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧。

③圓的基本性質：

A：在同圓或等圓中，半徑相等，直徑也相等，且直徑是圓中最長的弦。

B：圓的對稱性：圓是軸對稱圖形，對稱軸是經過圓心的每一條直線；圓是中心對稱圖形，對稱

中心是圓心。

C：垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。籇：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。

E：旋轉不變性：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，弦相等，弦的弦心距相等。F：在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，弦，弦的弦心距這四組量中，若有一組相等，則其他三組也相等。④點與圓的位置關系：

A:點與圓Ⅰ圓的內部，到圓心的距離小于半徑的點的集合；Ⅱ圓的外部，到圓心的距離大于半徑的點的集合；Ⅲ圓上，到圓心的距離等于半徑的點的集合。確定：不在同一直線上的三個點可以確定一個圓；

位置關系：d>r,點在圓外；d

⑤直線與圓的位置關系：

A:Ⅰ相離：d>r

Ⅱ相切：d=r(設圓心到直線的距離為d，半徑為r)Ⅲ相交：dR+rⅡ兩圓外切：d=R+rⅢ兩圓相交：R-rr)Ⅴ兩圓內含：dr)C:性質：Ⅰ相交兩圓的連心線垂直平分公共弦Ⅱ相切兩圓的連心線經過切點。

D;兩圓公切線：Ⅰ定義：和兩個圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。

Ⅱ外公切線：兩個圓在公切線同旁時，這樣的公切線叫做外公切線；兩個圓在公切

線兩旁時，這樣的公切線叫做圓的內公切線。

Ⅲ公切線長：公切線上的兩個切點之間的距離；兩圓的兩條外公切線長相等，兩條

內公切線長也相等。⑧和圓有關的角及其性質：

A:圓心角：圓心角的度數和它所對弧的度數相等；

B:圓周角：Ⅰ定義：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫圓周角。Ⅱ性質：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半；同弧或等弧所對的圓周角相等；

在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等；

半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，直角所對的圓周角所對的弦是直徑。C:弦切角：Ⅰ定義：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。Ⅱ性質：弦切角等于它所夾的弧所對的圓周角；

如果兩個弦切角所夾的弧相等，那么這兩個弦切角也相等；

弦切角的度數等于所夾弧度數的一半。如圖中，弦切角∠ADB等于圓周角∠

DCB。

⑨和圓有關的比例線段：

A:相交弦:Ⅰ定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等；

Ⅱ推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。B:切割線：Ⅰ定理：從圓外一點，引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段的

比例中項。如圖中：PA=PB×PC。

推論：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積

相等。如圖中：PB×PC=PE×PF.(為什么，想一想)

2

⑩圓與多邊形，圓周長與面積公式：

A:圓內接多邊形：如果一個多邊形的所有頂點都在同一個圓上，那么這個多邊形叫做圓的內接多邊

形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓。

B:多邊形內切圓：和多邊形的各邊都相切的圓叫做多邊形的內切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊

形。

C:圓的內接四邊形Ⅰ性質：圓的內接四邊形的對角互補，并且任何一個外角都等于它的內對角。Ⅱ判定：如果一個四邊形的一組對角互補，那么這個四邊形可以內接一個圓。D:圓的外切四邊形的性質：圓的外切四邊形兩組對邊的和相等。E;圓與正多邊形

Ⅰ定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫正多邊形。

Ⅱ判定：把圓分成n(n>3)等分，依次連接各分點所成的多邊形是這個圓的內接

正多邊形。

把圓分成n(n>3)等分，經過各分點作圓的切線，以相鄰切線的交點為

F:有關的公式：

頂點的多邊形是這個圓的外切正多邊形。

Ⅲ性質：正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，而且兩圓同心，這個公共的圓

心叫做正多邊形的中心。

正多邊形可以分割為以中心為頂點，以各邊為底的n個全等的等腰三角

形，它的腰、高和頂角分別叫做正多邊形的半徑、邊心距和中心角。

Ⅰ圓的周長：C2R圓的面積公式：SRR

Ⅱ弧長：lnR180(n為弧的度數）Ⅲ扇形的面積：S12lRnRR360

Ⅳ弓形的面積公式：S（弓形）S(扇形）S（三角形）概率和統(tǒng)計

1內容：

A數據在我們周圍和感受概率（七下十二章、十三章）B數據的集中程度（八上第六章）C認識概率（八下第十二章）D數據的離散程度（九上第二章）

E概率的簡單應用和統(tǒng)計的簡單應用（九下）2知識要點

①總體與樣本與樣本容量

（1）總體指考查對象的全體。（2）樣本指從總體中抽取的一部分個體。（3）樣本容量指樣本中個體

的數目。

②平均數

（1）平均數如果有n個數

數。

（2）求平均數的常用方法

設所給出的幾個數據

xx1,x2,,xnx1,x2,,xn，那么

x1(x1x2xn)n叫做這n個數的平均

，求它們的平均數x。

A基本方法：

1(x1x2xn)n。x1,x2,,xnB新數據法當

數據較大時，選擇一個與這些數比較接近的數a，令

，先計算這組新數據

,x2,,xnx1x1a,x2x2a,,xnxnax1的平均數

x1x2xn)(x1n，則xxa。

x1C加權法若

x出現

f1次，

x2出現

f2次，，

xk出現

fk次，且

f1f2fkn則

1(f1x1f2x2fkxk)n。

x1D新數據加權法新數據同②，若出現

f1次，

x2出現

f2次，，

xk出現

fk次，且

則

f1f2fknx1f2x2fkxk)a(f1x1n

③、中位數、眾數

（1）中位數將一組數據按大小依次排列，把處在最中間位置的一個數據（或最中間兩個數據的平均數）叫做這組數據的中位數。

（2）眾數在一組數據中，出現次數最多的數據叫做這組數據的眾數。命題熱點

本節(jié)內容在中考試卷上多以填空、選擇等題型考查，近年來，與統(tǒng)計相關的知識也越來越受到重視，將平均數、中位數與眾數跟實際問題結合起來，利用它們解決實際問題是中考中對本節(jié)知識的考查重點，也有部分地方中考試卷中出現本節(jié)知識的綜合解答題。④方差和頻率分布一、方差、標準差

（1）方差樣本中各數據與樣本平均數的差的平方的平均數叫做樣本方差。（2）標準差樣本方差的算術平方根叫做樣本標準差。（3）求方差的方法①設n個數據

S2S2x1,x2,,xn的平均數為x，則其方差

1(x1x)2(x2x)2(xnx)2n或1222(x1x2xn)nx","p":{"h":13.912,"w":8.223,"x":363.01,"y":356.006,"z":95},"ps":{"_cover":true,"_scal

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