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九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版

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九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 26.2二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié) 人教新課標(biāo)版

人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

相關(guān)概念及定義

二次函數(shù)的概念:一般地,形如yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0)的函數(shù),

叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:

⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.⑵a,b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).

二次函數(shù)各種形式之間的變換

二次函數(shù)yax2bxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中

2hb2a,k4acb4a2.

二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①yax2;②yax2k;

③yaxh;④yaxhk;⑤yax2bxc.

22二次函數(shù)解析式的表示方法

一般式:yax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0);頂點(diǎn)式:ya(xh)2k(a,h,k為常數(shù),a0);

兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)

都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即b24ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫(huà)法

五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k,

確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以及0,c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)2h,c、與x軸的交點(diǎn)x1,0,x2,0(若與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).

畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開(kāi)口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與x軸的交點(diǎn),與y軸的交

點(diǎn).

二次函數(shù)yax的性質(zhì)

a的符號(hào)a02開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)x00,00,0y軸時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減小;x0時(shí),y有最小值0.時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨a0向下yx0軸x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.1

二次函數(shù)yax2c的性質(zhì)

a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)x00,c0,c2y軸時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值c.時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨a0向下y軸x0x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.二次函數(shù)yaxh的性質(zhì):

a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xhh,0h,02時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),yX=h隨x的增大而減。粁h時(shí),y有最小值0.xha0向下X=h時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.二次函數(shù)yaxhk的性質(zhì)

a的符號(hào)a0開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸向上性質(zhì)xhh,kh,k時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),yX=h隨x的增大而減小;xh時(shí),y有最小值k.xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),ya0向下X=h隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值k.拋物線yax2bxc的三要素:開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向:當(dāng)a0時(shí),開(kāi)口向上;當(dāng)a0時(shí),開(kāi)口向下;

b2aa相等,拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

對(duì)稱軸:平行于y軸(或重合)的直線記作x4acb(,)頂點(diǎn)坐標(biāo):

2a4ab2.特別地,y軸記作直線x0.

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同,那么拋物

線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.

拋物線yaxbxc中,a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系

二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.

⑴當(dāng)a0時(shí),拋物線開(kāi)口向上,a越大,開(kāi)口越小,反之a(chǎn)的值越小,開(kāi)口越大;⑵當(dāng)a0時(shí),拋物線開(kāi)口向下,a越小,開(kāi)口越小,反之a(chǎn)的值越大,開(kāi)口越大.

總結(jié)起來(lái),a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向,a的正負(fù)決定開(kāi)口方向,a的大小決定開(kāi)口的大小.

一次項(xiàng)系數(shù)b

2在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對(duì)稱軸.⑴在a0的前提下,

當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),b2ab2ab2a000,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).

⑵在a0的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),當(dāng)b0時(shí),b2ab2ab2a000,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè);,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).

總結(jié)起來(lái),在a確定的前提下,b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.總結(jié):

常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;⑵當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái),c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

總之,只要a,b,c都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

公式法:

b2yax22b4acbbxcax2a4a2,∴頂點(diǎn)是

b4acb,對(duì)稱軸是直線x.(,)2a2a4a配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為yaxhk的形式,得

2到頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱軸是直線xh.

運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,所以對(duì)稱軸的

連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才能做到萬(wàn)無(wú)一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

一般式:yaxbxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值,通常選擇一般式.頂點(diǎn)式:yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.

22交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:

yaxx1xx2.

直線與拋物線的交點(diǎn)

y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)

(h,ah2bhc).

拋物線與x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交;

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱

坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像

ykxnG的交點(diǎn),由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定:①方程組有兩組不同2yaxbxc的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn);③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為

Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程axbxc0的兩個(gè)根,故

2x1x2ba,x1x22ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab4aca2a

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表

達(dá)

關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;

yaxhk2關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;

2關(guān)于y軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;

yaxhk2關(guān)于y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;

2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk;

關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱

yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxbxcyaxhk222222b22a;

關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk.

4

關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱

yaxhk2關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱后,得到的解析式是yaxh2m2nk

2總結(jié):根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變

化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.

二次函數(shù)圖象的平移

平移步驟:

2⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;⑵保持拋物線yax2的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,k處,具體平移方法如下:

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k定點(diǎn)Q,直線y(a2)x2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。

2,拋物線y=x2+(2m-1)x-2m與x軸的一定交點(diǎn)經(jīng)過(guò)直線y=mx+m+4,求拋物線的解析式。3,拋物線y=ax2+ax-2過(guò)直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A,求拋物線的解析式。平移式。

1,把拋物線y=-2x2向左平移2個(gè)單位長(zhǎng)度,再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,得到拋物線

y=a(x-h)+k,求此拋物線解析式。

2,拋物線yx2x3向上平移,使拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C(0,2),求拋物線的解析式.距離式。

1,拋物線y=ax+4ax+1(a0)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)間的距離為2,求拋物線的解析式。2,已知拋物線y=mx2+3mx-4m(m0)與x軸交于A、B兩點(diǎn),與軸交于C點(diǎn),且AB=BC,求此拋物線的解析式。對(duì)稱軸式。

1、拋物線y=x2-2x+(m2-4m+4)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),這兩點(diǎn)間的距離等于拋物線頂點(diǎn)到y(tǒng)軸距離的2倍,求拋物線的解析式。

2、已知拋物線y=-x+ax+4,交x軸于A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)B左邊)兩點(diǎn),交y軸于點(diǎn)C,且

OB-OA=

342

22

OC,求此拋物線的解析式。

對(duì)稱式。

1,平行四邊形ABCD對(duì)角線AC在x軸上,且A(-10,0),AC=16,D(2,6)。AD交y軸于

E,將三角形ABC沿x軸折疊,點(diǎn)B到B1的位置,求經(jīng)過(guò)A,B,E三點(diǎn)的拋物線的解析式。2,求與拋物線y=x2+4x+3關(guān)于y軸(或x軸)對(duì)稱的拋物線的解析式。切點(diǎn)式。

1,已知直線y=ax-a2(a≠0)與拋物線y=mx2有唯一公共點(diǎn),求拋物線的解析式。2,直線y=x+a與拋物線y=ax2+k的唯一公共點(diǎn)A(2,1),求拋物線的解析式。判別式式。

1、已知關(guān)于X的一元二次方程(m+1)x2+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求拋物線y=-x2+(m+1)x+3解析式。

2、已知拋物線y=(a+2)x2-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。3、已知拋物線y=(m+1)x2+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn),求拋物線的解析式。

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人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下二次函數(shù)最全的中考知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

相關(guān)概念及定義

二次函數(shù)的概念:一般地,形如yaxbxc(a,b,c2是常數(shù),a0)的函數(shù),

叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào):和一元二次方程類似,二次項(xiàng)系數(shù)a0,而b,c可以為零.二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù).二次函數(shù)yax2bxc的結(jié)構(gòu)特征:

⑴等號(hào)左邊是函數(shù),右邊是關(guān)于自變量x的二次式,x的最高次數(shù)是2.⑵a,b,c是常數(shù),a是二次項(xiàng)系數(shù),b是一次項(xiàng)系數(shù),c是常數(shù)項(xiàng).

二次函數(shù)各種形式之間的變換

二次函數(shù)yaxhb2a,k2bxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中

224acb4a.

22二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①yax;②yax③yaxh;④yaxhk;⑤yaxbxc.

二次函數(shù)解析式的表示方法

一般式:yax2bxc(a,b,c為常數(shù),a0);

2k;

22頂點(diǎn)式:ya(xh)k2(a,h,k為常數(shù),a0);

兩根式:ya(xx1)(xx2)(a0,x1,x2是拋物線與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)).注意:任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式,但并非所有的二次函數(shù)

都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式,只有拋物線與x軸有交點(diǎn),即b24ac0時(shí),拋物線的解析式才可以用交點(diǎn)式表示.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫(huà)法

五點(diǎn)繪圖法:利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點(diǎn)式y(tǒng)a(xh)2k,

確定其開(kāi)口方向、對(duì)稱軸及頂點(diǎn)坐標(biāo),然后在對(duì)稱軸兩側(cè),左右對(duì)稱地描點(diǎn)畫(huà)圖.一般我們選取的五點(diǎn)為:頂點(diǎn)、與y軸的交點(diǎn)0,c、以及0,c關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱

的點(diǎn)2h,c、與x軸的交點(diǎn)x1,0,x2,0(若與x軸沒(méi)有交點(diǎn),則取兩組關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)).

畫(huà)草圖時(shí)應(yīng)抓住以下幾點(diǎn):開(kāi)口方向,對(duì)稱軸,頂點(diǎn),與x軸的交點(diǎn),與y軸的交

點(diǎn).二次函數(shù)yax的性質(zhì)

a2的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0性質(zhì)x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y有最小值0.x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值0.向上0,0y軸a0向下axc20,0的性質(zhì)

y軸二次函數(shù)y

a的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0性質(zhì)x0向上0,cy軸時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y隨x的增大而減;x0時(shí),y有最小值c.時(shí),y隨x的增大而減。粁0時(shí),y隨x的增大而增大;x0時(shí),y有最大值c.a(chǎn)0向下axh0,c2y軸x0二次函數(shù)ya的性質(zhì):

性質(zhì)時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減小;xh時(shí),y有最小值0.xh的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上h,0X=ha0向下h,02X=h時(shí),y隨x的增大而減。粁h時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值0.xh二次函數(shù)yaaxhk的性質(zhì)

性質(zhì)時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y隨x的增大而減;xh時(shí),y有最小值k.xh的符號(hào)開(kāi)口方向頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱軸a0向上h,kX=ha0向下2h,kX=h時(shí),y隨x的增大而減。粁h時(shí),y隨x的增大而增大;xh時(shí),y有最大值k.xh拋物線yaxbxc的三要素:開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).

a的符號(hào)決定拋物線的開(kāi)口方向:當(dāng)a0時(shí),開(kāi)口向上;當(dāng)a0時(shí),開(kāi)口向下;a相等,拋物線的開(kāi)口大小、形狀相同.

對(duì)稱軸:平行于y軸(或重合)的直線記作x

4acb(,)頂點(diǎn)坐標(biāo):

2a4ab2b2a.特別地,y軸記作直線x0.

頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同,那么拋物

線的開(kāi)口方向、開(kāi)口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.拋物線yaxbxc中,a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中,a作為二次項(xiàng)系數(shù),顯然a0.

⑴當(dāng)a0時(shí),拋物線開(kāi)口向上,a越大,開(kāi)口越小,反之a(chǎn)的值越小,開(kāi)口越大;⑵當(dāng)a0時(shí),拋物線開(kāi)口向下,a越小,開(kāi)口越小,反之a(chǎn)的值越大,開(kāi)口越大.

總結(jié)起來(lái),a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向,a的正負(fù)決定開(kāi)口方向,a的大小決定開(kāi)口的大小.

一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下,b決定了拋物線的對(duì)稱軸.⑴在a0的前提下,

當(dāng)b當(dāng)b002時(shí),時(shí),b2ab2a00,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè);,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;

當(dāng)b⑵在a當(dāng)b當(dāng)b當(dāng)b0000時(shí),b2ab2ab2ab2a0,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè).

的前提下,結(jié)論剛好與上述相反,即時(shí),時(shí),時(shí),000,即拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè);,即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸;,即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè).

0總結(jié)起來(lái),在a確定的前提下,b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置.總結(jié):

常數(shù)項(xiàng)c

⑴當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正;⑵當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0;⑶當(dāng)c0時(shí),拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方,即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù).總結(jié)起來(lái),c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置.

總之,只要a,b,c都確定,那么這條拋物線就是唯一確定的.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法

公式法:

byax22b4acbbxcax2a4a22,∴頂點(diǎn)是

4acbb(,),對(duì)稱軸是直線x.

2a4a2a配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為yaxhk的形式,得

2到頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱軸是直線xh.

運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,所以對(duì)稱軸的

連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).

用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才能做到萬(wàn)無(wú)一失.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

一般式:yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值,通常選擇一般式.

2頂點(diǎn)式:yaxhk.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:

yaxx1xx2.

直線與拋物線的交點(diǎn)

y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).

2與y軸平行的直線xh與拋物線yax(h,ah2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)

bhc).

2拋物線與x軸的交點(diǎn):二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐

標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程axbxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:

①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交;

②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.

平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)

可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱

坐標(biāo)為k,則橫坐標(biāo)是ax

2bxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.

一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像

ykxnG的交點(diǎn),由方程組的解的數(shù)目來(lái)確定:①方程組有兩組不同2yaxbxc的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn);③

方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).

拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線yaxAx1,0,Bx2,0,由于x1、x2是方程axx1x2ba,x1x2222bxc與x軸兩交點(diǎn)為

bxc0的兩個(gè)根,故

ca2ABx1x2x1x2x1x24x1x224cbaab24acaa

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱:二次函數(shù)圖象的對(duì)稱一般有五種情況,可以用一般式或頂點(diǎn)式表

達(dá)

關(guān)于x軸對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是yax2bxc;

yaxhk2關(guān)于x軸對(duì)稱后,得到的解析式是y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk2;

關(guān)于y軸對(duì)稱yaxbxc關(guān)于y22axbxc22;;

yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

yax2bxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yyaxhk2axbxc2;;

2關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxbxc222b2a;

yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱后,得到的解析式是yaxhk2.

2關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱

yaxhk2關(guān)于點(diǎn)m,n對(duì)稱后,得到的解析式是yaxh2m2nk

總結(jié):根據(jù)對(duì)稱的性質(zhì),顯然無(wú)論作何種對(duì)稱變換,拋物線的形狀一定不會(huì)發(fā)生變

化,因此a永遠(yuǎn)不變.求拋物線的對(duì)稱拋物線的表達(dá)式時(shí),可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則,選擇合適的形式,習(xí)慣上是先確定原拋物線(或表達(dá)式已知的拋物線)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,再確定其對(duì)稱拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向,然后再寫(xiě)出其對(duì)稱拋物線的表達(dá)式.

二次函數(shù)圖象的平移

平移步驟:

⑴將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)⑵保持拋物線yax2axhk2,確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h,k;

的形狀不變,將其頂點(diǎn)平移到h,k處,具體平移方法如下:

y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

2,求與拋物線y=x+4x+3關(guān)于y軸(或x軸)對(duì)稱的拋物線的解析式。切點(diǎn)式。

22

1,已知直線y=ax-a(a≠0)與拋物線y=mx有唯一公共點(diǎn),求拋物線的解析式。

2

2,直線y=x+a與拋物線y=ax+k的唯一公共點(diǎn)A(2,1),求拋物線的解析式。判別式式。

2

1、已知關(guān)于X的一元二次方程(m+1)x+2(m+1)x+2=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根,求拋物線

2

y=-x+(m+1)x+3解析式。

2

2、已知拋物線y=(a+2)x-(a+1)x+2a的頂點(diǎn)在x軸上,求拋物線的解析式。

2

3、已知拋物線y=(m+1)x+(m+2)x+1與x軸有唯一公共點(diǎn),求拋物線的解析式。

2

一、平行線分線段成比例定理及其推論:

1.定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

2.推論:平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。

3.推論的逆定理:如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例,那么這條線段平行于三角形的第三邊。二、相似預(yù)備定理:

平行于三角形的一邊,并且和其他兩邊相交的直線,截得的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例。三、相似三角形:

1.定義:對(duì)應(yīng)角相等,對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形。2.性質(zhì):(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等;

(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)成比例;(3)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似比,面積比等于相似比的平方。說(shuō)明:①等高三角形的面積比等于底之比,等底三角形的面積比等于高之比;②要注意兩個(gè)圖形元素的對(duì)應(yīng)。3.判定定理:

(1)兩角對(duì)應(yīng)相等,兩三角形相似;

(2)兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且?jiàn)A角相等,兩三角形相似;(3)三邊對(duì)應(yīng)成比例,兩三角形相似;

(4)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角對(duì)應(yīng)成比例,那么這兩個(gè)直角三角形相似。四、三角形相似的證題思路:

五、利用相似三角形證明線段成比例的一般步驟:一“定”:先確定四條線段在哪兩個(gè)可能相似的三角形中;二“找”:再找出兩個(gè)三角形相似所需的條件;三“證”:根據(jù)分析,寫(xiě)出證明過(guò)程。

如果這兩個(gè)三角形不相似,只能采用其他方法,如找中間比或引平行線等。六、相似與全等:

全等三角形是相似比為1的相似三角形,即全等三角形是相似三角形的特例,它們之間的區(qū)別與聯(lián)系:

1.共同點(diǎn)它們的對(duì)應(yīng)角相等,不同點(diǎn)是邊長(zhǎng)的大小,全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等,而相似三角形的對(duì)應(yīng)的邊成比例。

2.判定方法不同,相似三角形只求形狀相同的,大小不一定相等,所以改“對(duì)應(yīng)邊相等”成“對(duì)應(yīng)邊成比例”。

常見(jiàn)考法

(1)利用判定定理證明三角形相似;(2)利用三角形相似解決圓、函數(shù)的有關(guān)問(wèn)題。

銳角三角比

tanA=角A的對(duì)邊/鄰邊cotA=角A的鄰邊/對(duì)邊sinA=角A的對(duì)邊/斜邊cosA=角A的鄰邊/斜邊

三角比值

tan30=√3/3cot30=√3sin30=1/2cos30=√3/2tan60=√3cot60=√3/3sin60=√3/2cos60=1/2tan45=1cot45=1sin45=√2/2cos45=√2/2(√為根號(hào))

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