七年級上冊數(shù)學知識總結(jié)(滬科版)

七年級上冊數(shù)學知識總結(jié)（滬科版）

整理人：迎風行第一單元有理數(shù)

一、有理數(shù)分類（略）

二、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線。

1、數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度；2、任意有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示。

三、相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)

a的相反數(shù)是a，0的相反數(shù)還是0；

特點：互為相反數(shù)的兩個數(shù)和為0，商為1。

2、絕對值：在數(shù)軸上，表示數(shù)a到原點的距離，叫做數(shù)a絕對值。特點：（1）絕對值恒大于等于0,│a│≥0；

（2）正數(shù)的絕對值是正數(shù)，0的絕對值是0，負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)；

當a>0時，|a|=a;當a=0時，|a|=0；當a0>負數(shù)；2、兩個負數(shù)相比，絕對值大的反而�。唤^對值小的反而大。五、有理數(shù)運算

1、有理數(shù)加減：

（1）加法法則、減法法則（2）加法運算律：

加法交換律：a+b=b+a;加法結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)。2、有理數(shù)乘除：

（1）乘法法則、除法法則；（2）乘法運算律：

乘法交換律：ab=ba；乘法結(jié)合律：(ab)c=a(bc)；乘法分配律：a(b+c)=ab+ac。3、有理數(shù)乘方：

（1）乘方運算中an的底數(shù)是a，指數(shù)是n，乘方的結(jié)果叫做冪。（2）a2≥0一個數(shù)的偶數(shù)次冪恒是非負數(shù)

兩個平方數(shù)的和為0，當且僅當兩個平方數(shù)都為0時成立。一個絕對值與一個平方數(shù)的和為0，當且僅當兩者都為0時成立。（3）任何非0數(shù)的0次冪都等于1（a=1，a≠0);(4)科學記數(shù)法(c=a10n，1≤a＜10)4、混合運算：

運算順序：

不同級運算：乘方→乘除→加減；同級運算：左→右；有括號的：先算括號內(nèi)的運算。

0

六、近似數(shù)

1、保留幾個有效數(shù)字（如何數(shù)有效數(shù)字）2、精確到哪一位

第二章整式加減

一、代數(shù)式

1、用字母表示數(shù)；

2、字母a它表示一個數(shù)，可能是正數(shù)，可能是0，也可能是負數(shù)；3、代數(shù)式=整式+分式

4、整式=單項式+多項式（1）、單項式：數(shù)與字母的乘積或單個字母和數(shù)字。單項式次數(shù)：所有字母指數(shù)之和；單項式系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)。（2）、多項式：幾個單項式的和。

多項式次數(shù)：等于次數(shù)最高項的次數(shù)；常數(shù)項、幾次幾項式、升冪降冪排序。

二、整式加減

1、同類項：字母相同、相同字母的指數(shù)也相同的項。2、整式加減運算（關(guān)鍵步驟：合并同類項）

三、找規(guī)律

1、等差類型：相鄰兩項之差相等；例如1，2，3，4，

2、等比及相關(guān)類型：相鄰兩項之商相等ab，ab－c；例如3，6，12，24，48（320，321，322，323）

3、冪及相關(guān)類型：n型、n-a型；例如1，4，9，16（1，2，3，4）4、和類型：例如1，3，6，10（1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，）。

222222nn

第三章一次方程與方程組

一、方程：含未知數(shù)的等式

1、方程的元數(shù)：未知數(shù)的個數(shù)；

方程的次數(shù)：未知數(shù)次數(shù)和最高項次數(shù)。幾元幾次方程（根據(jù)元的個數(shù)，方程的次數(shù)）2、方程的解叫做方程的根

3、解一次方程和一次方程組（關(guān)鍵步驟：移項→合并同類項）

二、等式的性質(zhì)

1、對稱性：a+b=b+a；

2、傳遞性：如果a=b，b=c，則a=c；

3、等式兩邊同時加（減）去一個數(shù)，結(jié)果還是等式；如果a=b，則a±c=b±c；

4、等式兩邊同時乘（除）去一個數(shù)，結(jié)果還是等式（除時不能除0）。如果a=b，則ac=bc，a÷c=b÷cc≠0

三、用一次方程（組）解決問題（重點、難點，詳見講義）

第四章直線與角

一、幾何圖形

1、三視圖；

2、幾何圖形展開圖；3、幾何圖形的面積、體積計算；

4、幾何圖形的頂點、棱、面數(shù)，及它們之間的關(guān)系。

二、線及其表示

1、線段：2個端點可測量，可比較大�。�2、射線：1個端點不可測量，不可比較大��；3、直線：沒有端點不可測量，不可比較大小。4、定理：（1）經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條；

（2）兩條直線相交只有一個交點；（3）兩點之間的所有連線中，線段最短。5、線段中點：C為線段AB的中點，則AB=2AC=2BC

6、距離：兩點間的長度，叫做兩點間的距離。

三、角

1、角的大�。轰J角、直角、鈍角、平角、周角；2、角的單位：度、分、秒，1°=60′；1′=60″。3、角的表示：∠AOB、∠O4、余角及補角：

（1）余角：兩個角的和等于一個直角（90°)性質(zhì)：同角(或等角)的余角相等。（2）補角：兩個角的和等于一個平角（180°)

性質(zhì)：同角(或等角)的補角相等。

5、角平分線：一條射線，將一個角平均分為兩個相等的角，這條射線就是角平分線。OC是∠AOB的角平分線，則∠AOB=2∠AOC=2∠BOC

四、角和線的計算

直線交點、多點能畫幾條直線、用角表示方向、某時刻時鐘兩指針夾角

五、尺規(guī)作圖（畫線段、線段中點、角、角平分線）

第五章數(shù)據(jù)的收集與整理

一、數(shù)據(jù)的收集

1、調(diào)查方法（1）普查

（2）抽樣調(diào)查

總體：考察對象的全體；個體：每個考察對象；

樣本：從總體中抽取的一部分個體；樣本容量：樣本中個體的數(shù)目。

二、數(shù)據(jù)的整理

1、統(tǒng)計表2、統(tǒng)計圖：

（1）條形統(tǒng)計圖（特點：能清楚地表示出事物的絕對數(shù)量）（2）折線統(tǒng)計圖（特點：能清楚地反映事物的變化趨勢）

（3）扇形統(tǒng)計圖（特點：能清楚地表示各部分占總體的百分率）扇形的中心角=360°該部分占總體的百分比

3、統(tǒng)計圖的選擇（根據(jù)各統(tǒng)計圖的特點選擇）

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努力學習好數(shù)學知識

數(shù)學是一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學科；數(shù)學解題的關(guān)鍵就是知識和方法；

知識是鎖眼，方法是鑰匙。缺少哪個都不能打開題目這把鎖；那么我們的數(shù)學學習也要針對這兩點進行。

一、掌握課本知識內(nèi)容及內(nèi)涵

數(shù)學知識是數(shù)學解題的基石。只有掌握了課本知識的內(nèi)容，理解知識的內(nèi)涵，才能更好地運用它來解決問題。

二、多看例題

數(shù)學有的概念、定理較抽象，我們可以通過例題，將已有的概念具體化，使

自己對知識的理解更加深刻，更加透徹！看例題時，還要注意以下幾點：

1、看一道例題，解決一類問題。不能只看皮毛，不看內(nèi)涵。我們看例題，要注意總結(jié)并掌握其解題方法，建立起更寬的解題思路。不能看一道題就只會一道題，只記題目答案不記方法，這樣看例題也就失去了它本來的意義。每看一道題目，就應(yīng)理清解題思路，掌握解題方法，再遇到同類型的題目，我們就不在難了。既然有“授人以魚，不如授人以漁”，那么我們是不是也可以說“要魚不如要漁”呢！

2、我們不僅要看例題還要會總結(jié)，總結(jié)題型、解題思路和方法。運用了哪些數(shù)學思想。最好把總結(jié)的寫出來。以后復(fù)習時再看，就事半功倍了。

3、會模仿，也要創(chuàng)新。在看例題的解題時，首先想自己遇到這個題怎么做，然后看例題怎么解答的，之后我們還要思考還有沒有其它方法和思路。我們最后看哪種方法更簡便。

三、多做練習

“多”講的是題型多，不是題目數(shù)量多。不怕難題，就怕生題。題海戰(zhàn)術(shù)不

一定好，但是接觸的題型多了，總結(jié)的解題方法多了。以后遇到相同類型的題目也就不怕了。

四、心細，多思，善問，勤總結(jié)

數(shù)學是嚴謹?shù)�，做題目時要細心，一個符號之差，題目的解就可能完全不一樣了，遇到問題要多思考，培養(yǎng)自己的數(shù)學思維，思考實在不會的，我們就要問，去弄懂。

在數(shù)學學習過程中，我們要會總結(jié)，還要勤總結(jié)。多總結(jié)知識內(nèi)容，總結(jié)解題方法，解題思想。一方面能夠起到復(fù)習鞏固的作用，另一方面能提高自己的自學能力。

數(shù)學的四大思維體系：數(shù)形結(jié)合、函數(shù)思想、分類討論、方程思想。

第六章實數(shù)

一、知識總結(jié)

（一）平方根與立方根

1、平方根

（1）定義：一般地，如果一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根，也叫做二次方根。

（2）表示：非負數(shù)a的平方根記作±a，讀作“正負根號a”，（a叫做被開方數(shù)）（3）性質(zhì)：正數(shù)的平方根有兩個，且互為相反數(shù)；0的平方根為0；負數(shù)的沒有平方根。（4）開平方：求平方根的運算叫做開平方。

Ⅰ、平方根是開平方的結(jié)果；Ⅱ、開平方與平方互為逆運算。2、算術(shù)平方根

（1）定義：正數(shù)a的正的平方根a叫做a的算術(shù)平方根，0的算術(shù)平方根是0。（2）性質(zhì)：（1）一個數(shù)a的算術(shù)平方根具有非負性；即：a≥0恒成立。（2）正數(shù)的算術(shù)平方根只有1個，且為正數(shù)；0的算術(shù)平方根是0；負數(shù)的沒有算術(shù)平方根。3、立方根：

（1）定義：一般地，如果一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根，也叫做三次方根。

（2）表示：a的立方根記作3a，讀作“三次根號a”（a叫做被開方數(shù)，3叫根指數(shù)）

（3）性質(zhì)：正數(shù)的立方根是1個正數(shù)；負數(shù)的立方根是1個負數(shù)；0的立方根是0。

（二）實數(shù)

1、無理數(shù)：無限不循環(huán)的小數(shù)。（一個無理數(shù)與若干有理數(shù)之間的運算結(jié)果還是無理數(shù)）2、實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)。3、實數(shù)分類：（1）按定義分（略）（2）按正負性分（略）4、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。

5、實數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)：（與有理數(shù)的相反數(shù)、絕對值、倒數(shù)意義類似）

6、實數(shù)的運算：實數(shù)與有理數(shù)一樣，可以進行加、減、乘、除、乘方運算，正數(shù)及零可以進行開平方運算，任意一個實數(shù)可以進行開立方運算，而且有理數(shù)的運算法則和運算律對于實數(shù)仍然適用。

7、實數(shù)大�。海�1）正數(shù)>0>負數(shù)；（2）兩個負數(shù)相比，絕對值大的反而�。唤^對值

小的反而大。（3）數(shù)軸上不同的點表示的數(shù)，右邊點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù)大。實數(shù)比較大小的方法：作差法、平方法、作商法、倒數(shù)法、估值法

二、解題實用

1、21.4142131.73252.2362、aa

2a2aa33a33a

3、abab

abababb0

三、典題練習

1、16的平方根是；-3的算術(shù)平方根是；-3的立方根是。

22

2、如果一個有理數(shù)的算術(shù)平方根與立方根相同，那么這個數(shù)是；如果一個有理數(shù)的平方根與立方根相同，那么這個數(shù)是。

3、一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是x，則與他相鄰的下一個自然數(shù)的算術(shù)平方根是。

4、下列各數(shù)中一定為正數(shù)的是（填序號）

23①x②x1③x④x1⑤x1

5、當x

6、比較下列各組數(shù)的大小

41112-3與2-221與7335與2114-與-

5277、7-2的絕對值為，相反數(shù)為，倒數(shù)為。8、已知x3，y為4的平方根，xy0，求x+y的值。9、已知x3

10、如果一個非負數(shù)的平方根為2a-1和a-5，則這個數(shù)是。

11、a為5的整數(shù)部分，b為5的小數(shù)部分，則a+2b的值為。

12、若201*-aa-201*a，試求a-201*的值。（提示：找出題中的隱含條件）

2y-20，求x

2

+y的平方根。

第七章一元一次不等式與不等式組

一、知識總結(jié)

（一）不等式及其性質(zhì)

1、不等式：

（1）定義用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等號表示大小關(guān)系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等關(guān)系的式子也是不等式.

（2）不等式的解：能使不等式成立的未知數(shù)的值，叫做不等式的解。

（3）不等式的解集：一般地，一個含有未知數(shù)的不等式的所有解，組成這個不等式的解集。求不等式的解集的過程叫做解不等式。

不等式的解集與不等式的解的區(qū)別：解集是能使不等式成立的未知數(shù)的取值范圍,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知數(shù)的值。

二者的關(guān)系是：解集包括解,所有的解組成了解集。

（4）解不等式：求不等式解的過程叫做解不等式。

2、不等式的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：不等式的兩邊都加上(或減去)同一個整式，不等號的方向不變。

即：如果ab，那么acbc.

性質(zhì)2：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個正數(shù)，不等號的方向不變。即：如果ab，并且c0，那么acbc；

acbc.

性質(zhì)3：不等式的兩邊都乘上(或除以)同一個負數(shù)，不等號的方向改變。即：如果ab，并且c0，那么acbc；

性質(zhì)4：如果ab，那么ba.（對稱性）性質(zhì)5：如果ab,bc,那么ac.（傳遞性）

acbc.

（二）一元一次不等式

1、定義：含有一個未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1，且不等號兩邊都是整式的不等式，叫做一元一次不等式。

2.一元一次不等式的解法：

根據(jù)是不等式的基本性質(zhì)；一般步驟為：(1)去分母；(2)去括號；(3)移項；

(4)合并同類項；(5)系數(shù)化為1.解不等式應(yīng)注意：①去分母時，每一項都要乘同一個數(shù)，尤其不要漏乘常數(shù)項；②

移項時不要忘記變號；③去括號時，若括號前面是負號，括號里的每一項都要變號；④在不等式兩邊都乘(或除以)同一個負數(shù)時，不等號的方向要改變。

3.不等式的解集在數(shù)軸上表示：

（1）邊界：有等號的是實心圓圈，無等號的是空心圓圈；（2）方向：大向右，小向左

（三）一元一次不等式組

1、定義：有幾個含有同一個未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組

2、（一元一次）不等式組的解集：這幾個不等式解集的公共部分，叫做這個（一元一次）不等式組的解集。

3、解不等式組：求不等式組解集的過程，叫做解不等式組。4、一元一次不等式組的解法

1）分別求出不等式組中各個不等式的解集

2）利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個不等式組的解集。由兩個一元一次不等式組成的不等式組的解集可歸納為下面四種情況：不等式組ab解集xbxa口訣記憶同大取大同小取小大小小大中間找大大小小則無解xaxbxaxbxaxbaxbxaxb無解（四）一元一次不等式（組）解決實際問題

解題的步驟：

⑴審題，找出不等關(guān)系→⑵設(shè)未知數(shù)→⑶列出不等式（組）→

⑷求出不等式的解集→⑸找出符合題意的值→⑹作答。

二、解題技巧

一、有解無解問題：

（1）（3）xaxb有解：ab無解：ab（2）

xaxb

有解：ab無解：ab

xaxb有解：ab無解：ab2、特征解問題：

解題步驟：把原式中的要求的量（以下簡記為m)當作已知數(shù)，去解原式→得

到原式的解（含m)→根據(jù)解的特征列出式子（關(guān)于m的式子)→解出m的值。

例：已知ax2x1的解集為x1，求a的值。解：解不等式ax2x1把a當作已知數(shù)，去解原式得xa1得到原式的解（含a)則a-11根據(jù)解的特征列出式子解得a2解出a的值

三、典題練習

1、若關(guān)于x的不等式xm1x2m1有解，則m的取值范圍是？若無解呢？

2xy1mx2y22、已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足xy0，求m的取值范圍。

3、適當選擇a的取值范圍，使1.7＜x＜a的整數(shù)解：

（1）x只有一個整數(shù)解；（2）x一個整數(shù)解也沒有。

4、解不等式（組）

2x53x,（1）x2x（2）

2324x3x7,3x32x1x,236x35x4,（3）3x72x3.1[x2(x3)]1.2（4）－5＜6－2x＜3（5）y3y832(10y)72

1.

5、若m、n為有理數(shù)，解關(guān)于x的不等式(－m－1)x＞n．

3x2yp1,6、已知關(guān)于x，y的方程組的解滿足x＞y，求p的取值范圍。

4x3yp17、已知關(guān)于x的不等式組

xb02x45的整數(shù)解共有3個，求b的取值范圍。

8、已知A＝2x＋3x＋2，B＝2x－4x－5，試比較A與B的大小。

3x4a,9、已知a是自然數(shù)，關(guān)于x的不等式組的解集是x＞2，求a的值。

x2022

10、某種商品進價為150元，出售時標價為225元，由于銷售情況不好，商品準備降價出售，但要保證利潤不低于10％，那么商店最多降價多少元出售商品?

11、某零件制造車間有20名工人，已知每名工人每天可制造甲種零件6個或乙種零件5個，且每制造一個甲種零件可獲利150元，每制造一個乙種零件可獲利260元。在這20名工人中，車間每天安排x名工人制造甲種零件，其余工人制造乙種零件。（1）若此車間每天所獲利潤為y(元)，用x的代數(shù)式表示y。

（2）若要使每天所獲利潤不低于24000元，至少要派多少名工人去制造乙種零件?

12、某學校計劃組織385名師生租車旅游，現(xiàn)知道出租公司有42座和60座客車，42座客車的租金為每輛320元，60座客車的租金為每輛460元。（1）若學校單獨租用這兩種客車各需多少錢?

（2）若學校同時租用這兩種客車8輛(可以坐不滿)，而且比單獨租用一種車輛節(jié)省

租金，請選擇最節(jié)省的租車方案。

第八章整式乘除與因式分解

一、知識總結(jié)

（一）冪的運算：

1、同底數(shù)冪乘法：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加。aaamnmnmn

2、同底數(shù)冪除法：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減。aaa3、冪的乘方：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘。amnmnamn

4、積的乘方：積的乘方等于各因式乘方的積。abambm

m注：（1）任何一個不等于零的數(shù)的零指數(shù)冪都等于1；a01a0（2）任何一個不等于零的數(shù)的-p（p為正整數(shù)）指數(shù)冪，

等于這個數(shù)的p指數(shù)冪的倒數(shù)。ap1apa0

（3）科學記數(shù)法：ca10n或ca10-n1a10

絕對值小于1的數(shù)可記成a10-n的形式，其中1a10，n是正整數(shù)，n等于原數(shù)中第一個有效數(shù)字前面的零的個數(shù)（包括小數(shù)點前面的一個零）。

（二）整式乘法：

1、單項式的乘法法則：單項式相乘，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，作為積的因式；對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式。

2、單項式與多項式的乘法法則：單項式與多項式相乘，用單項式和多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加。

3、多項式與多項式的乘法法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項與另一個多項式的每一項分別相乘，再把所得的積相加。

（三）、完全平方公式與平法差公式

1、完全平方公式：aba22abb2a-ba2-2abb2兩個數(shù)的和（或

22差）的平方，等于這兩個數(shù)的平方和加（或減）這兩個數(shù)乘積的兩倍。

2、平法差公式：a-baba-b兩個數(shù)的平方之差等于這兩個數(shù)的和

22與這兩個數(shù)的差之積。

（四）、整式除法

（1）單項式的除法法則：單項式相除，把系數(shù)、同底數(shù)冪分別相除，作為商的因式；對于只在被除式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為商的一個因式。

（2）多項式除以單項式的除法法則：單項式與多項式相除，先把多項式的每一項除以這

個單項式再把所得的商相加。

（五）、因式分解

1、定義：把一個多項式化為幾個因式的乘積的形式，叫做因式分解，也叫做把這個多項式分解因式。

2、分解因式的基本方法：

（1）提公因式法

（2）公式法：運用完全平方公式和平法差公式（3）對于二次三項式的因式分解的方法：

1）配方法，2）十字相乘法：公式xabxabxaxb

2

例：將x24x3因式分解。

方法一：配方法：原式=x24x4-43=x2-1=x1x3

2方法二：十字相乘法：x24x3=x1x3（4）分組分解法

3、分解因式的技巧：

(1)因式分解時，有公因式要先提公因式，然后考慮其他方法；(2）因式分解時，有時項數(shù)較多時，看看分組分解法是否更簡潔

(3)變形技巧：

①符號變形Ⅰ、x-y-y-xⅡ、當n為奇數(shù)時，x-y-y-x

nnⅢ、當n為偶數(shù)時，x-yy-x

nn②增項變形：

例：4x414x414x2-4x24x44x21-4x2③拆項變形：

例x32x2-1x3x2x2-1x3x2x2-1x2x1x-1x1

二、典題練習

1、計算題

(1)a-2b2b-a（2)2xx(3)a253m-2352m(4)aa

(5)310521432310(6)x2y-x-2yx2y3222、快速計算：（1）10397（2）102（3）993、2m4，416，求2mnn2m-n的值。

4、如果2

x2n64成立，那么m,n。

5、在括號內(nèi)填上指數(shù)和底數(shù)

（1）8322（2）9332

6、化簡求值：已知x2-2x3，求x-1x3x-3x-3x-1的值。

2

7、已知2x5y4，再求4x32y的值。

8、已知ab3，ab-5，求代數(shù)式的值：（1）a2b2（2）a-b

2

9、因式分解：1）x32x2-5x-62）x2-y2axay3）a44b4

10、比較99999993與9996的大小。

11、不解不等式組

2mn623m-3n1，求7nm-3n-23n-m的值。

2

第九章分式

一、知識總結(jié)

（一）分式及其性質(zhì)

1、分式

（1）定義：一般的，如果a，b表示兩個整式，并且b中含有字母，那么式子式；其中a叫做分式的分子，b叫做分式的分母。（2）有理式：整式和分式統(tǒng)稱為有理式。

（3）分式=0分子=0，且分母≠0（分式有意義，則分母≠0）（4）最簡分式：分子和分母沒有公因式的分式。

2、分式的性質(zhì)

分式的分子與分母都乘以（或除以）同一個不等于零的整式，分式的值不變

aamam即：（a，b，m都是整式，且m0）

bbmbm分式的性質(zhì)是分式化簡和運算的依據(jù)。

-10-

ab叫做分

3、約分：把一個式子的分子分母的公因式約去叫做約分。注：約分的結(jié)果應(yīng)為最簡分式或整式。約分的方法：

1）若分子、分母均為單項式：先找分子、分母系數(shù)的最大公約數(shù)，再找相同字母最低次冪；

2）若分子、分母有多項式：先把多項式因式分解，再找分子、分母的公因式。

（二）分式運算

1、分式的乘除

acac1）分式乘法法則：兩分式相乘，用分子的積做分子，分母的積做分母；即：

bdbd2）分式除法法則：兩分式相除，將除式的分子、分母顛倒位置后，與被除式相乘；

acadad即：

bdbcbcaaa13）分式乘方法則：分式的乘方就是分子分母分別乘方。即：n，abbbbnnnn

2、分式的加減

acac1）同分母分式加減：分母不變分子相加減；即：b0

bbb2）異分母分式加減：先通分，變?yōu)橥�分母的分式相加減，

即：

abcdadbdbcbdadbcbdbd0

（三）分式方程

1、定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程。2、解法：

轉(zhuǎn)化整式方程1）基本思路：分式方程2）轉(zhuǎn)化方法：方程兩邊都乘以各個分式最簡公分母，約去分母。

整式方程解整式方程檢驗3）一般步驟：分式方程注：檢驗的是必不可缺的關(guān)鍵步驟，檢驗的目的是看是否有增根存在。

通過轉(zhuǎn)化方法（四）分式應(yīng)用

列分式方程解決實際問題的一般步驟：審題設(shè)未知數(shù)，找等量關(guān)系列方程

檢驗（①是否有增根，②是否符合題意）得出答案

二、分式解題中常用的數(shù)學思想和技巧

1、已知

1x1y5，求

2x-3xy2yx2xyy的值。（整體思想、構(gòu)造法）

2、已知

xy43

，求

3x-5xy2y2x3xy-5ya1aab2222的值。（整體思想、構(gòu)造法）

bc1cca3、已知abc1，求4、已知

1a1b161bbc的值。

，1a1b1b1c1c19，

1c1a115，求

abcabbcac。

（先得到

x1x2的值，然后按第1題方法做）

15、已知4，求x2x2的值。（提示：

abcx1x2x1x）

6、已知

bcaxcababc，求

abbcac的值。（提示：參數(shù)法）

7、已知

x-x121，求

x422xx1的值。（倒數(shù)求值法）

8、已知x2-5x10，求x41x4的值。（提示：由x2-5x10得x5x2y-z2222221x5）

9、已知4x-3y-6z0，x2y-7z0，求

2x-3y-10z的值。

（提示：消元代入法，把其中一個未知數(shù)看成常數(shù)，用它表示其它的未知數(shù)）

10、計算：1）2）3）

201*201*11-x332-2201*21201*11x-3201*-222（提示：用字母代替數(shù)）（提示：局部通分）

x2x111x11x41x4x2x1-x3x2-x-4x-3x-5x-4(提示：假分式可先變形）

三、典題練習

1、如果分式

|x|5x5x2的值為0，那么x的值是。

2、在比例式9:5=4:3x中，x=_________________。

3、計算:

11x11x=_______________。x3x2x1224、當分式

x2x1與分式的值相等時，x須滿足。

5、把分式

2x2yxy中的x，y都擴大2倍，則分式的值。（填擴大或縮小的倍數(shù)）

6、下列分式中，最簡分式有個。

m1a2abb,,,,222222223xxymnm1a2abba3xymn22227、分式方程

1x321x34x922的解是。

8、若2x+y=0，則

xxyy2xyx2的值為。

9、當x為何值時，分式

x1xx2x1222有意義？

10、當x為何值時，分式

2x1x2xx22的值為零？

11、已知分式:當x=時，分式?jīng)]有意義；當x=_______時，分式的值為0；當

x=－2時，分式的值為_______。12、當a=____________時，關(guān)于x的方程

13、一輛汽車往返于相距akm的甲、乙兩地，去時每小時行mkm，返回時每小時行nkm，

則往返一次所用的時間是_____________。

14、某班a名同學參加植樹活動，其中男生b名(b

18、已知a3a10，求19、已知x+

1x1x2a

42a1

的值。

=3，則x2+

1y1x2=________。

2x3xy2yx2xyy20、已知=3，則分式=。

21、化簡求值．（1）（1+（2）

1x11x）÷（1－

(x21x13），其中x=－

)，其中x=

12；

12x2x2x2。

22、解方程:（1）

23、已知方程

，是否存在m的值使得方程無解？若存在，求出滿2xxxx1足條件的m的值；若不存在，請說明理由。

12xm1102x1512x=2；（2）

2x13x1x3x12。

24、若

x2y3z5，且3x2yz14，求x、y、z的值。

25、小亮在購物中心用12.5元買了若干盒餅干，但他在一分利超市發(fā)現(xiàn)，同樣的餅干，這里要比購物中心每盒便宜0.5元．因此當他第二次買餅干時，便到一分利超市去買，如果用去14元，買的餅干盒數(shù)比第一次買的盒數(shù)多

25，問他第一次在購物中心買了幾盒餅干？

第十章相交線、平行線與平移

一、知識總結(jié)

（一）相交線

1、對頂角：兩條直線相交，有公共頂點且兩邊互為反向延長線的角叫對頂角。

對頂角性質(zhì)：對頂角相等

2、垂直：

（1）定義：兩條直線相交所成的四個角中，如果有一個角是直角，就說明兩條直線相互垂直。記作ABCD；垂直的兩條直線其中一條直線叫做另一條直線的垂線；它們的交點叫做垂足；連接直線外一點與垂足形成的線段叫做垂線段。注：1）垂直是相交的一種特殊的情況；

2）兩條線段垂直，垂足可能在線段上，也可能在延長線上。

（2）性質(zhì)：在同一平面內(nèi)，過一點有且僅有一條直線與已知直線垂直。

3、點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段長度，叫做點到直線的距離。

在連接直線外一點與直線上各點的線段中，垂線段最短。

4、垂線的畫法：略

（二）平行線

1、定義：在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線叫做平行線。記作AB∥CD。在同一平面內(nèi)，兩條直線的關(guān)系不是相交就是平行，沒有其他。2、相關(guān)概念：同位角，內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角。

3、性質(zhì)：

基本性質(zhì)：經(jīng)過直線外一點，有且只有一條直線平行于這條直線。其他性質(zhì)：①兩直線平行，同位角相等；

角的關(guān)系②兩直線平行，內(nèi)錯角相等；兩直線位置關(guān)系③兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。

4、平行判定：①同位角相等，兩直線平行；

性質(zhì)兩直線位置關(guān)系②內(nèi)錯角相等，兩直線平行；角的關(guān)系

③同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。5、平行線的畫法：略

判定（三）平移

1、定義：在平面內(nèi)，一個圖形沿某個方向移動一定的距離，這個圖形的變換叫做平移。

2、性質(zhì)：1）一個圖形和它經(jīng)過平移后所得到的圖形中，兩組對應(yīng)點連接的線段平行

（或在同一直線上）且相等；

2）平移只改變圖形的位置，不改變圖形的大小和形狀。

3、確定平移的要素：1）方向；2）距離。

二、典題練習

1、如圖所示，下列判斷正確的是()

1212

1212

⑴⑵⑶⑷A、圖⑴中∠1和∠2是一組對頂角B、圖⑵中∠1和∠2是一組對頂角

C、圖⑶中∠1和∠2是一對鄰補角D、圖⑷中∠1和∠2互為鄰補角

2、下列說法中正確的是（）

A、有且只有一條直線垂直于已知直線；

B、直線外一點到這條直線的垂線段，叫做點到直線的距離；C、互相垂直的兩條直線一定相交；

D、直線c外一點A與直線c上各點連接而成的所有線段中，最短線段的長是3cm，則點A到直線c的距離是3cm。

3、如圖，下列說法錯誤的是（）

A.∠A與∠C是同旁內(nèi)角B.∠1與∠3是同位角C.∠2與∠3是內(nèi)錯角D.∠3與∠B是同旁內(nèi)角

第3題圖

第6題圖

第7題圖

4、在如圖所示的四個汽車標志圖案中,能用平移變換來分析其形成過程的圖案是()

A．B．C．D．

5、一輛汽車在筆直的公路上行駛，兩次拐彎后，仍在原來的方向上平行前進，那么兩次拐彎的角度是（）

A．第一次右拐50°，第二次左拐130°B．第一次左拐50°，第二次右拐50°C．第一次左拐50°，第二次左拐130°D．第一次右拐50°，第二次右拐50°5、6、如圖，已知∠1=60°，如果CD∥BE，那么∠B的度數(shù)為。

7、如圖，直線a、b都與直線c相交，給出下列條件：①∠1＝∠2；②∠3＝∠6；③∠4＋∠7＝180°；④∠5＋∠8＝180°.其中能判斷a∥b的條件是。（填序號）

8、如圖，當剪刀口∠AOB增大21°時，∠COD增大。

9、吸管吸易拉罐的飲料時，如圖，1110，則2。

10、如圖，由三角形ABC平移得到的三角形共有個。

第8題圖第9題圖第10題圖

-16-

ACB第11題圖

11、如圖，一個寬度相等的紙條按如圖所示方法折疊一下，則∠1________。12、已知：如圖，BAPAPD180，12。試說明EF。

A1EBFPD

13、如圖所示，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛,M,N分別是位于公路AB兩側(cè)的村莊，設(shè)汽車行駛到P點位置時，離村莊M最近，行駛到Q點位置時，離村莊N最

C2近，請你在AB上分別畫出P，Q兩點的位置。

MANB14、如圖所示，已知AB∥CD，分別探索下列四個圖形中∠P與∠A、∠C之間的關(guān)系，請你從所得的四個關(guān)系中任選一個加以說明。

APCDBAPCDBACPBDACPBD

(1)(2)(3)(4)

15、如圖所示，一個四邊形紙片ABCD，∠B∠D90，把紙片按如圖所示折疊，使點B落在AD邊上的B點，AE是折痕。

（1）試判斷BE與DC的位置關(guān)系；（2）如果∠C130，求∠AEB的度

第十一章頻數(shù)分布

一、知識總結(jié)

（一）頻數(shù)與頻率

1、概念：一般地，如果一組數(shù)據(jù)共有n個，而其中一類數(shù)據(jù)出現(xiàn)m次，那么m就叫做

該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻數(shù)；而則稱為該類數(shù)據(jù)在該組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)的頻率。

-17-

2、頻數(shù)分布：頻數(shù)分布表，頻數(shù)分布圖（頻數(shù)分布直方圖，頻數(shù)分布折線圖）

（1）整理數(shù)據(jù)的步驟：

1）計算這批數(shù)據(jù)的極差（極差=最大值-最小值）

2）決定組距和組數(shù)（當數(shù)據(jù)個數(shù)在100以內(nèi)，一般分為5~12組，數(shù)據(jù)多分組多，數(shù)據(jù)少分組少，若有的組內(nèi)的頻數(shù)為0時，則應(yīng)放寬組距）

組距=

極差組數(shù)組數(shù)=

極差組距

3）決定分點（為了避免出現(xiàn)某一數(shù)據(jù)所在組不能確定的情況，應(yīng)使分點比已知數(shù)據(jù)多一位小數(shù)，且把第一組的起點稍微放小）4）畫頻數(shù)分布表。

3、注意：

（1）頻率概率

（2）三種統(tǒng)計圖的特點：

條形統(tǒng)計圖：能清楚地表示出事物的絕對數(shù)量；折線統(tǒng)計圖：能清楚地反映事物的變化趨勢；

扇形統(tǒng)計圖：能清楚地表示各部分占總體的百分率。二、典題練習

1、對某班的一次數(shù)學測驗成績進行統(tǒng)計分析，各分數(shù)段的人數(shù)如圖所示（分數(shù)取正整數(shù)

滿分為100分）．請根據(jù)圖形回答下列問題：

20學生人數(shù)

151050

40～49

50～59

60～69

70～79

80～89

90～99

成績/分

①該班有名學生；

②70～79分這一組的頻數(shù)是，頻率是。

2、頻數(shù)分布直方圖（如圖22-2-9所示）顯示了學生半分鐘心跳數(shù)情況，總共統(tǒng)計了_________名學生的心跳數(shù)情況；__________次人數(shù)段的學生數(shù)最多，約占__________；如果半分鐘心跳數(shù)3039屬于正常范圍，心跳次數(shù)屬于正常范圍的學生約占__________。

3、校課外活動小組為了了解本校九年級學生的睡眠時間情況，對學校若干名九年級學生的睡眠時間進行了抽查，將所得數(shù)據(jù)整理后畫出了頻數(shù)分布直方圖的一部分，如圖所示，已知圖中從左到右前5個小組的頻率分別是0.04，0.08，0.24，0.28，0.24，第二小組的頻數(shù)為4，請回答：

（1）這次被抽查的學生人數(shù)是多少？補全頻率分布直方圖；

（2）被抽查的學生中，睡眠時間在哪個范圍內(nèi)的人數(shù)最多？這一范圍的人數(shù)是多少？（3）如果該學校有900名九年級學生，若合理的睡眠時間值為7t9，那么請你估計一下這個學校九年級學生中睡眠時間在此范圍的人數(shù)是多少？

4、校八年級（2）班40個學生某次數(shù)學測驗成績?nèi)缦拢?/p>

63，84，91，53，69，81，61，69，91，78，75，81，80，67，76，81，79，94，61，69，89，70，70，87，81，86，90，88，85，67，71，82，87，75，87，95，53，65，74，77。數(shù)學老師按10分的組距分段，算出每個分數(shù)段學生成績出現(xiàn)的頻數(shù)，填寫頻數(shù)分布表：（1）請把頻數(shù)分布表、頻數(shù)分布直方圖(如圖22-2-19)補充完整并畫出頻數(shù)分布折線圖；

（2）請你幫老師統(tǒng)計一下這次數(shù)學測驗的及格率（60分以上為及格，含60分）及優(yōu)秀率（90分以上為優(yōu)秀，含90分）；（3）請說明哪個分數(shù)段的學生最多？哪個分數(shù)段的學生最少？

成績段

[來源學 科 網(wǎng)]49.559.5

59.569.5

69.579.5

79.589.5

89.599.5

頻數(shù)記錄頻數(shù)

295

頻率

0.250

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