高中數(shù)學(xué)不等式經(jīng)典方法總結(jié)

次不等式：

一元二

一元一次不等式的解軸表示）例1、已知關(guān)于x圍．

例2．關(guān)于x的不等式

對(duì)所有實(shí)數(shù)x∈R都成立，求a的取值范圍.

例3、若關(guān)于x的不等式x2axa0的解集為(,)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

______________；若關(guān)于x的不等式x2axa3的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______________。（-4,0）,,62,

幾個(gè)重要不等式（1）若aR,則|a|0,a2x(3a)x2a1022法：（依據(jù)、步驟、注意的問(wèn)題，利用數(shù)

ylog2(ax2ax1)的不等式在(2，0)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范

0

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么

(4)若a、b、cR,則abab（當(dāng)僅當(dāng).2a=b時(shí)取等號(hào)）一正、二定、三相等.

abc3abc（當(dāng)僅當(dāng)3a=b=c時(shí)取等號(hào)）

ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)ab

22a=b時(shí)取等號(hào)）

2|x|axaxa或xa;|x|ax(6)a0時(shí)，（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

a2axa

常用不等式

22ababab2(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；（1）2211ab（2）a、b、cR，a2b2c2abbcca（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)）；（3）若ab0,m0，則babm（糖水的濃度問(wèn)題）。如am如果正數(shù)a、b滿(mǎn)足abab3，則ab的取值范圍是_________（答：9,）常用不等式的放縮法：①1n1111112(n2)n1n(n1)nn(n1)n1n②n1n性

1nn112n1nn1nn1(n1)利用函數(shù)的單調(diào)

簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，

并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線(xiàn)；并注意奇穿過(guò)偶彈回；（3）根據(jù)曲線(xiàn)顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)20。（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)0的解集為{x|1x2}，g(x)0的解集為，則不等式f(x)g(x)0的解集為_(kāi)_____（答：(,1)[2,)）；

（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x29xa0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿(mǎn)足不等式x24x30和x26x80中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,)）分式不等式的解法：先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式

中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如（1）解不等式

5x1（答：(1,1)(2,3)）；

x22x3axb0的解x2818（2）關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,)，則關(guān)于x的不等式集為_(kāi)____（答：(,1)(2,)）.絕對(duì)值不等式的解法：

（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如x1x2＞a在xR上有解,則a的取值范圍是（,3）（2）利用絕對(duì)值的定義；xa(a0)axa，xa(a0)xa或xa（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）

（4）兩邊平方：如若不等式|3x2||2xa|對(duì)xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____。（答：{}）

含參不等式的解法：求解通法是“定義域?yàn)榍疤幔�函�?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.

如（1）若loga1，則a的取值范圍是__________（答：a1或0a）；

ax2x(aR)（2）解不等式

ax1

234323（答：a0時(shí)，{x|x0}；a0時(shí)，{x|x或x0}；a0時(shí)，{x|x0}或x0}）

提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式axb0的解集為(,1)，則不等式含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

a、b同號(hào)或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b異號(hào)或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

x20的解集為_(kāi)_________（答：（－1,2））axb1a1a如設(shè)f(x)x2x13，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足|xa|1，求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)

不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用

函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）1).恒成立問(wèn)題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxB

如（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x2(y1)21，當(dāng)xyc0時(shí)，c的取值范圍是______（答：21,）；（2）不等式x4x3a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，a1）求實(shí)數(shù)a的取值范圍_____（答：；

（3）若不等式2x1m(x21)對(duì)滿(mǎn)足m2的所有m都成立，則x的取值范圍_____（答：（

7131,））；22(1)n1（4）若不等式(1)a2對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

nn_____（答：[2,)）；

（5）若不等式x22mx2m10對(duì)0x1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍（.答：

m1）2322).能成立問(wèn)題

若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxA；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxB成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的fxminB.如已知不等式（答：a1）

兩個(gè)重要函數(shù)：|x||x1|3函數(shù)y=x+練習(xí)：

1、已若x1，求23x1x9y145的最小值．已知x＜，求函數(shù)y=4x-2+的最大值

4x5x14x4x3a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍____

1x2、知x,yR且1，則xy的最小值是_____________．若x2y1，則2x4y的最小值是______

3、知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：若ab0，bcad0，則若bcad0，

cacadcd0；若ab0，0，則bcad0babd0，則ab0其中正確命題是（）b

(x1)24f(x)(x1)x14.求函數(shù)的最小值.

5、求證：11111123422x(1x)2x(1x)(1x)()2232n222327二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線(xiàn)l:ax+by+c=0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：（1）直線(xiàn)l上的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足ax+by+c=0

（2）直線(xiàn)l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)都滿(mǎn)足ax+by+c>0（3）直線(xiàn)l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足ax+by+cxy30x2y50例3、已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足，則y2x的最大值是_________.x0y01、點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)4x+3y=0上，且滿(mǎn)足－14≤x－y≤7，則點(diǎn)P到

坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是（）A.[0，5]

B.[0，10]C.[5，10]D.[5，15]

xy2≤0，y2．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件x≥1，則的取值范圍是（）

xy7≤0，xA．B．36，,6，6，C．，5599D．[3，6]

x2y10，2xy3,3.設(shè)D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點(diǎn)P（x,y）到直線(xiàn)x+y=10距離0x4,y1的最大值是.

x1,4.已知xy10,則x2y2的最小值是.

2xy20例1．C;例2.A;例3、___0_____.1、B;2.A;3.42;4.5;

擴(kuò)展閱讀：高中數(shù)學(xué)不等式方法總結(jié)

幾個(gè)重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）一正、二定、三相等.

2(4)若a、b、cR,則abc3abc（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）3

ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab

|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa(6)a0時(shí)，（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|

常用不等式

22ababab2(根據(jù)目標(biāo)不等式左右的運(yùn)算結(jié)構(gòu)選用)；（1）2211ab222（2）a、b、cR，abcabbcca（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)）；

（3）若ab0,m0，則

bbm（糖水的濃度問(wèn)題）。如aam如果正數(shù)a、b滿(mǎn)足abab3，則ab的取值范圍是_________（答：9,）

11111常用不等式的放縮法：①112(n2)

nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)利用函數(shù)的單調(diào)性

簡(jiǎn)單的一元高次不等式的解法：標(biāo)根法：其步驟是：（1）分解成若干個(gè)一次因式的積，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的

系數(shù)為正；（2）將每一個(gè)一次因式的根標(biāo)在數(shù)軸上，從最大根的右上方依次通過(guò)每一點(diǎn)畫(huà)曲線(xiàn)；并注意奇穿過(guò)偶

彈回；（3）根據(jù)曲線(xiàn)顯現(xiàn)f(x)的符號(hào)變化規(guī)律，寫(xiě)出不等式的解集。如（1）解不等式(x1)(x2)0。（答：{x|x1或x2}）；

（2）不等式(x2)x22x30的解集是____（答：{x|x3或x1}）；

（3）設(shè)函數(shù)f(x)、g(x)的定義域都是R，且f(x)0的解集為{x|1x2}，g(x)0的解集為，則不等式f(x)g(x)0的解集為_(kāi)_____（答：(,1)[2,)）；

2（4）要使?jié)M足關(guān)于x的不等式2x9xa0（解集非空）的每一個(gè)x的值至少滿(mǎn)足不等式

2x24x30和x26x80中的一個(gè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.（答：[7,81)）8分式不等式的解法：先移項(xiàng)使右邊為0，再通分并將分子分母分解因式，并使每一個(gè)因式中最高次項(xiàng)的系數(shù)為正，最后

用標(biāo)根法求解。解分式不等式時(shí)，一般不能去分母，但分母恒為正或恒為負(fù)時(shí)可去分母。如（1）解不等式

5x1（答：(1,1)(2,3)）；

x22x3axb0的解集為_(kāi)____（答：x2（2）關(guān)于x的不等式axb0的解集為(1,)，則關(guān)于x的不等式

(,1)(2,)）.絕對(duì)值不等式的解法：

（1）分段討論法（最后結(jié)果應(yīng)取各段的并集）：如x1x2＞a在xR上有解,則a的取值范圍是（,3）（2）利用絕對(duì)值的定義；xa(a0)axa，xa(a0)xa或xa

（3）數(shù)形結(jié)合；如解不等式|x||x1|3（答：(,1)(2,)）

（4）兩邊平方：如若不等式|3x2||2xa|對(duì)xR恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____。（答：{}）

含參不等式的解法：求解通法是“定義域?yàn)榍疤�，函�?shù)增減性為基礎(chǔ)，分類(lèi)討論是關(guān)鍵．”注意解完之后要寫(xiě)上：“綜上，原不等式的解集是”。注意：按參數(shù)討論，最后按參數(shù)取值分別說(shuō)明其解集；但若按未知數(shù)討論，最后應(yīng)求并集.如（1）若loga43221，則a的取值范圍是__________（答：a1或0a）；33ax2x(aR)（2）解不等式

ax1

（答：a0時(shí)，{x|x0}；a0時(shí)，{x|x11或x0}；a0時(shí)，{x|x0}或x0}）aax20的解

axb提醒：（1）解不等式是求不等式的解集，最后務(wù)必有集合的形式表示；（2）不等式解集的端點(diǎn)值往往是不等式對(duì)應(yīng)方程的根或不等式有意義范圍的端點(diǎn)值。如關(guān)于x的不等式axb0的解集為(,1)，則不等式集為_(kāi)_________（答：（－1,2））含絕對(duì)值不等式的性質(zhì)：

a、b同號(hào)或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|；a、b異號(hào)或有0|ab||a||b|||a||b|||ab|.

如設(shè)f(x)xx13，實(shí)數(shù)a滿(mǎn)足|xa|1，求證：|f(x)f(a)|2(|a|1)

不等式的恒成立,能成立,恰成立等問(wèn)題：不等式恒成立問(wèn)題的常規(guī)處理方式？（常應(yīng)用函數(shù)方程思想和“分離變量法”轉(zhuǎn)化為最值問(wèn)題，也可抓住所給不等式的結(jié)構(gòu)特征，利用數(shù)形結(jié)合法）

1).恒成立問(wèn)題

若不等式fxA在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxminA若不等式fxB在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxB

22如（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足x(y1)1，當(dāng)xyc0時(shí)，c的取值范圍是______（答：21,）；

2（2）不等式x4x3a對(duì)一切實(shí)數(shù)x恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍_____（答：a1）；

（3）若不等式2x1m(x1)對(duì)滿(mǎn)足m2的所有m都成立，則x的取值范圍_____（答：（

27131,））；22(1)n13（4）若不等式(1)a2對(duì)于任意正整數(shù)n恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_____（答：[2,)）；

2nn2（5）若不等式x2mx2m10對(duì)0x1的所有實(shí)數(shù)x都成立，求m的取值范圍.（答：m1）22).能成立問(wèn)題若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxA成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上fxmaxA；若在區(qū)間D上存在實(shí)數(shù)x使不等式fxB成立,則等價(jià)于在區(qū)間D上的fxminB.如

已知不等式x4x3a在實(shí)數(shù)集R上的解集不是空集，求實(shí)數(shù)a的取值范圍____（答：a1）兩個(gè)重要函數(shù)：|x||x1|3函數(shù)y=x+練習(xí)：

1、已若x1，求23x2、知x,yR且

1x514的最小值．已知x＜，求函數(shù)y=4x-2+的最大值

44x5x1191，則xy的最小值是_____________．若x2y1，則2x4y的最小值是______xy3、知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：若ab0，bcad0，則若bcad0，cdcd0；若ab0，0，則bcad0ababcd0，則ab0其中正確命題是（）ab

(x1)24f(x)(x1)4.求函數(shù)的最小值.x1

5.求證：11111123422x(1x)2x(1x)(1x)()2232n222327

二元一次不等式組與簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題

1.二元一次不等式表示的平面區(qū)域：直線(xiàn)l:ax+by+c=0把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：（1）直線(xiàn)l上的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足ax+by+c=0

（2）直線(xiàn)l一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)都滿(mǎn)足ax+by+c>0（3）直線(xiàn)l另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿(mǎn)足ax+by+c例題分析：

x0例1．若A為不等式組y0表示的平面區(qū)域，則當(dāng)a從－2連續(xù)變化到1時(shí)，動(dòng)直線(xiàn)xya掃過(guò)A中的那部

yx2分區(qū)域的面積為()

A．

37B．1C．D．5442xy20例2.如果點(diǎn)P在平面區(qū)域xy20上，點(diǎn)O在曲線(xiàn)x2(y2)21上，

2y10那么|PQ|的最小值為（）

(A)

431(C)221(D)21(B)

25xy30x2y50例3、已知實(shí)數(shù)x,y滿(mǎn)足，則y2x的最大值是_________.

x0y01、點(diǎn)P（x，y）在直線(xiàn)4x+3y=0上，且滿(mǎn)足－14≤x－y≤7，則點(diǎn)P到

坐標(biāo)原點(diǎn)距離的取值范圍是（）A.[0，5]B.[0，10]C.[5，10]D.[5，15]

xy2≤0，y2．已知變量x，y滿(mǎn)足約束條件x≥1，則的取值范圍是（）

xy7≤0，xA．,6B．，6，36，C．，5599D．[3，6]

x2y10，2xy3,3.設(shè)D是不等式組表示的平面區(qū)域，則D中的點(diǎn)P（x,y）到直線(xiàn)x+y=10距離的最大值是.

0x4,y1x1,224.已知xy10,則xy的最小值是.

2xy20例1．C;例2.A;例3、___0_____.1、B;2.A;3.42;4.5;

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