高等數(shù)學(xué)中易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高等數(shù)學(xué)中易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1．在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必有極限。若函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必?zé)o極限。

2,在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。

但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點(diǎn)一定不連續(xù)。3.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。

4．若函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上，該函數(shù)存在原函數(shù)。

若函數(shù)在某一區(qū)間上不連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上，該函數(shù)也可能存在原函數(shù)，不能說該函數(shù)在區(qū)間上必?zé)o原函數(shù)。

5.在二元函數(shù)中，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在與該函數(shù)的連續(xù)性沒有關(guān)系。但是若果二元函數(shù)可微，則該函數(shù)必然連續(xù)。

6．在一元函數(shù)中，駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)��?shù)不存在的點(diǎn)。

在多元函數(shù)中，若偏導(dǎo)數(shù)存在，則極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。7.函數(shù)f(x)的周期性和奇偶性與它的導(dǎo)數(shù)的周期性和奇偶性有什么關(guān)系？

a.函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)數(shù)的周期一樣：可導(dǎo)的周期函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)必定是周期函數(shù)證明如下：設(shè)可導(dǎo)函數(shù)為f(x),

因?yàn)樗�是周期函�?shù),所以f(x+T)=f(x),--->f"(x)=(x+T)"*f"(x+T)=1*f"(x+T)

所以f"(x+T)=f"(x),就是說它的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).

b.函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)數(shù)的奇偶性相反：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)

證明如下:一、根指導(dǎo)數(shù)定義和偶函數(shù)定義,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h}=lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)}=-f′(x)二、根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,設(shè)f(x)為偶函數(shù),則有f(-x)=f(x)對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù),則有

8.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=a處可導(dǎo),則函數(shù)y=f(x)的絕對(duì)值在x=a處不可導(dǎo)的充分條件是:f(a)=0,f"(a)≠0證明如下：f(a)=0,f"(a)>0或f"(a)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積。

閉區(qū)間上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)可積

10.有限個(gè)無(wú)窮小量的和仍是無(wú)窮小量。無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積不一定是無(wú)窮小量。

無(wú)窮小量與有界變量之積仍是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量與常數(shù)的乘積不一定全是無(wú)窮小量。11.兩個(gè)無(wú)窮大量之和不一定為無(wú)窮大量，兩個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量。無(wú)窮大量與常數(shù)的乘積不一定全是無(wú)窮大量。

針對(duì)第10與11給出具體解析：

(1)無(wú)窮大量與常數(shù)的乘積可以分為兩種情況，一種是與0的乘積，一種是與除0以外的常數(shù)，當(dāng)與0相乘時(shí)，得到的是0，而不是無(wú)窮大量，可以這樣說，無(wú)窮大量與除0以外的常數(shù)的乘積為無(wú)窮大量。同理，無(wú)窮小量與常數(shù)的乘積也可以分為類似的情況。

(2)無(wú)窮大量可以分為正無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)窮大量，當(dāng)正無(wú)窮大量與正無(wú)窮大量相乘時(shí)，得到的結(jié)果是無(wú)窮大量。當(dāng)正無(wú)窮大量與負(fù)無(wú)窮大量相乘時(shí)，得到的是負(fù)無(wú)窮大量，因?yàn)樨?fù)無(wú)窮大量也是無(wú)窮大量，所以無(wú)窮大量與無(wú)窮大量相乘時(shí)，得到一定是無(wú)窮大量。

(3)無(wú)窮大量與無(wú)窮大量之和不一定是無(wú)窮大量，因?yàn)槿绻�是正無(wú)窮大量與負(fù)無(wú)窮大量之和，得到的結(jié)果可能是0，可能是常數(shù)，等等

思考一下：既然兩個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量，則能否擴(kuò)展到有限個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量，進(jìn)一步擴(kuò)展到無(wú)限個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量。

12可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

可導(dǎo)是對(duì)定義域內(nèi)的點(diǎn)而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，只要一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。13,連續(xù)與可積的關(guān)系

如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù)，那么函數(shù)在該區(qū)域可積，反之，函數(shù)在某區(qū)域可積，不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù)，比如存在第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不連續(xù)，但可積。14,切線與可導(dǎo)之間的關(guān)系

有切線不一定可導(dǎo)，是因?yàn)榇怪庇赬軸的切線，它的斜率是無(wú)窮大，所以不可導(dǎo)�？梢缘贸鼋Y(jié)論：可導(dǎo)必有切線，有切線不一定可導(dǎo)（豎直切線）

以上知識(shí)點(diǎn)在判斷題中非常實(shí)用

大題解題指導(dǎo)

高等數(shù)學(xué)考試中大題包括以下幾種類型：1.求極限2.求最值3.求不定積分或定積分4求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)5求二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)6.二重積分7.微分方程8.求旋轉(zhuǎn)體積或面積9.證明題

1.求極限：在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都

是函數(shù)的極限，求函數(shù)的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟，詳細(xì)的公式看高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題指南一書第8頁(yè)。這種類型的題一般屬于簡(jiǎn)單題，但往更難一點(diǎn)的方向出題的話，它會(huì)和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題2.求最值：這類題一般求導(dǎo)之后便可解出，不在過多敘述。

3.求不定積分和定積分，在這類題中，一般會(huì)用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布

尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什么大問題。

4.求偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)包括一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)談二階偏導(dǎo)數(shù)，尤其是二階混合偏

導(dǎo)，在二階以上的混合偏導(dǎo)中，用到的一個(gè)最重要的法則是鏈?zhǔn)椒▌t，鏈?zhǔn)椒▌t在很多時(shí)候，我們會(huì)迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看著自己算出的一個(gè)式子，自己都不明白，關(guān)于鏈?zhǔn)椒▌t，我很想舉例來說明，但是一般的電腦沒有數(shù)學(xué)軟件，那些符號(hào)根本無(wú)法顯示，故建議看高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題指南一書第172頁(yè)，它詳細(xì)的論述了多元函數(shù)微分學(xué)中的一些重要知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)看完解題指導(dǎo)，自己獨(dú)立的把教材194頁(yè)例2做一下，做的時(shí)候，最好不要看例題的解題部驟，因?yàn)榭蠢�題的解題步驟會(huì)迷，當(dāng)獨(dú)立的把結(jié)果推算出來的時(shí)候，多元函數(shù)微分學(xué)的大概你掌握的已經(jīng)差不多了。

5.微分方程：這個(gè)類型的題，只需要把那一個(gè)解題的公式記住，然后往里面套公式即可，這

是最簡(jiǎn)單也最枯燥的題，沒什么新意，但是考試的時(shí)候，這類題還從未少過，每年都有。需要注意的是有時(shí)候求的是通解，有時(shí)候求的是特解。

6.證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用洛爾定理和微分中值定理即可，若

再?gòu)?fù)雜的話，有時(shí)候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對(duì)于這類題，有時(shí)間則做，沒時(shí)間就不做。

總的來說，高數(shù)其實(shí)不算太難，當(dāng)你對(duì)它產(chǎn)生一種畏懼的時(shí)候，你就很難把它學(xué)好了。要喜歡這門課，就要先喜歡這門課的老師，考試要的也是心態(tài)，有些題，本來就不屬于自己的能力范圍的，就直接放棄，一直纏著只會(huì)是浪費(fèi)時(shí)間，其它題沒時(shí)間做，這道題又沒做出來�，F(xiàn)在復(fù)習(xí)高數(shù)的時(shí)候別怕浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)檠a(bǔ)考前的一個(gè)月就是讓你浪費(fèi)的，正如高四的復(fù)習(xí)，那一年確確實(shí)實(shí)是讓我們好好浪費(fèi)的，所以一定要多花時(shí)間浪費(fèi)在復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)講究的就是熟練，當(dāng)你看到一道題的時(shí)候，自己首先要有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，對(duì)它有一個(gè)大體的把握，復(fù)習(xí)就要做到多看教材，復(fù)習(xí)的最高境界就是把教材習(xí)題化，也就是說，當(dāng)你看到課本上的知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，腦中立刻會(huì)想起你曾經(jīng)做過的那道題用過這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如果這個(gè)知識(shí)點(diǎn)要考試的話，它最有可能以什么方式呈現(xiàn)出來。

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高等數(shù)學(xué)中易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1．在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必有極限。若函數(shù)在某點(diǎn)不連續(xù)，則該函數(shù)在該點(diǎn)必?zé)o極限。

2,在一元函數(shù)中，若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則函數(shù)在該點(diǎn)一定連續(xù)。

但是如果函數(shù)不可導(dǎo)，不能推出函數(shù)在該點(diǎn)一定不連續(xù)。3.基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)是連續(xù)的，而初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。

4．若函數(shù)在某一區(qū)間上連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上，該函數(shù)存在原函數(shù)。

若函數(shù)在某一區(qū)間上不連續(xù)，則在這個(gè)區(qū)間上，該函數(shù)也可能存在原函數(shù)，不能說該函數(shù)在區(qū)間上必?zé)o原函數(shù)。

5.在二元函數(shù)中，兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在與該函數(shù)的連續(xù)性沒有關(guān)系。但是若果二元函數(shù)可微，則該函數(shù)必然連續(xù)。

6．在一元函數(shù)中，駐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn)。函數(shù)的極值點(diǎn)必是函數(shù)的駐點(diǎn)或?qū)��?shù)不存在的點(diǎn)。在多元函數(shù)中，若偏導(dǎo)數(shù)存在，則極值點(diǎn)必為駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。7.函數(shù)f(x)的周期性和奇偶性與它的導(dǎo)數(shù)的周期性和奇偶性有什么關(guān)系？

a.函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)數(shù)的周期一樣：可導(dǎo)的周期函數(shù)，其導(dǎo)數(shù)必定是周期函數(shù)證明如下：設(shè)可導(dǎo)函數(shù)為f(x),

因?yàn)樗�是周期函�?shù),所以f(x+T)=f(x),--->f"(x)=(x+T)"*f"(x+T)=1*f"(x+T)

所以f"(x+T)=f"(x),就是說它的導(dǎo)函數(shù)也是周期函數(shù).

b.函數(shù)f(x)與它的導(dǎo)數(shù)的奇偶性相反：可導(dǎo)的偶函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是奇函數(shù)

證明如下:一、根指導(dǎo)數(shù)定義和偶函數(shù)定義,有f′(-x)=lim{[f(-x+h)-f(-x)]/h}=lim{[f(x-h)-f(x)]/(-h)}=-f′(x)二、根據(jù)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,設(shè)f(x)為偶函數(shù),則有f(-x)=f(x)對(duì)上式兩邊關(guān)于x求導(dǎo)數(shù),則有

8.設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=a處可導(dǎo),則函數(shù)y=f(x)的絕對(duì)值在x=a處不可導(dǎo)的充分條件是:f(a)=0,f"(a)≠0證明如下：f(a)=0,f"(a)>0或f"(a)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)必可積。

閉區(qū)間上有界且僅有有限個(gè)間斷點(diǎn)的函數(shù)可積

10.有限個(gè)無(wú)窮小量的和仍是無(wú)窮小量。無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的和不一定是無(wú)窮小量有限個(gè)無(wú)窮小量之積是無(wú)窮小量。無(wú)限個(gè)無(wú)窮小量的積不一定是無(wú)窮小量。

無(wú)窮小量與有界變量之積仍是無(wú)窮小量。無(wú)窮小量與常數(shù)的乘積不一定全是無(wú)窮小量。11.兩個(gè)無(wú)窮大量之和不一定為無(wú)窮大量，兩個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量。無(wú)窮大量與常數(shù)的乘積不一定全是無(wú)窮大量。

針對(duì)第10與11給出具體解析：

(1)無(wú)窮大量與常數(shù)的乘積可以分為兩種情況，一種是與0的乘積，一種是與除0以外的常數(shù)，當(dāng)與0相乘時(shí)，得到的是0，而不是無(wú)窮大量，可以這樣說，無(wú)窮大量與除0以外的常數(shù)的乘積為無(wú)窮大量。同理，無(wú)窮小量與常數(shù)的乘積也可以分為類似的情況。

(2)無(wú)窮大量可以分為正無(wú)窮大量和負(fù)無(wú)窮大量，當(dāng)正無(wú)窮大量與正無(wú)窮大量相乘時(shí)，得到的結(jié)果是無(wú)窮大量。當(dāng)正無(wú)窮大量與負(fù)無(wú)窮大量相乘時(shí)，得到的是負(fù)無(wú)窮大量，因?yàn)樨?fù)無(wú)窮大量也是無(wú)窮大量，所以無(wú)窮大量與無(wú)窮大量相乘時(shí)，得到一定是無(wú)窮大量。

(3)無(wú)窮大量與無(wú)窮大量之和不一定是無(wú)窮大量，因?yàn)槿绻�是正無(wú)窮大量與負(fù)無(wú)窮大量之和，得到的結(jié)果可能是0，可能是常數(shù)，等等

思考一下：既然兩個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量，則能否擴(kuò)展到有限個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量，進(jìn)一步擴(kuò)展到無(wú)限個(gè)無(wú)窮大量之積必為無(wú)窮大量。

12可導(dǎo)與導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系

可導(dǎo)是對(duì)定義域內(nèi)的點(diǎn)而言的，處處可導(dǎo)則存在導(dǎo)函數(shù)，只要一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)某一點(diǎn)不可導(dǎo)，那么就不存在導(dǎo)函數(shù)，即使該函數(shù)在其它各處均可導(dǎo)。

13,連續(xù)與可積的關(guān)系

如果函數(shù)在某區(qū)域連續(xù)，那么函數(shù)在該區(qū)域可積，反之，函數(shù)在某區(qū)域可積，不能保證函數(shù)在該區(qū)域連續(xù)，比如存在第一類間斷點(diǎn)的函數(shù)不連續(xù)，但可積。

14,切線與可導(dǎo)之間的關(guān)系

有切線不一定可導(dǎo)，是因?yàn)榇怪庇赬軸的切線，它的斜率是無(wú)窮大，所以不可導(dǎo)�？梢缘贸鼋Y(jié)論：可導(dǎo)必有切線，有切線不一定可導(dǎo)（豎直切線）

以上知識(shí)點(diǎn)在判斷題中非常實(shí)用

大題解題指導(dǎo)

高等數(shù)學(xué)考試中大題包括以下幾種類型：1.求極限2.求最值3.求不定積分或定積分4求隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)5求二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)6.二重積分7.微分方程8.求旋轉(zhuǎn)體積或面積9.證明題

1.求極限：在求極限的問題中，極限包括函數(shù)的極限和數(shù)列的極限，但在考試中一般出的都

是函數(shù)的極限，求函數(shù)的極限中，主要是掌握公式，有些不常見的公式一定要記熟，詳細(xì)的公式看高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題指南一書第8頁(yè)。這種類型的題一般屬于簡(jiǎn)單題，但往更難一點(diǎn)的方向出題的話，它會(huì)和變上限的定積分聯(lián)系在一起出題

2.求最值：這類題一般求導(dǎo)之后便可解出，不在過多敘述。

3.求不定積分和定積分，在這類題中，一般會(huì)用到換元積分法和分部積分法，還有牛頓萊布

尼茨公式。一般情況下，多做些題就沒什么大問題。4.求偏導(dǎo)數(shù)：偏導(dǎo)數(shù)包括一階偏導(dǎo)數(shù)和二階偏導(dǎo)數(shù)。重點(diǎn)談二階偏導(dǎo)數(shù)，尤其是二階混合偏

導(dǎo)，在二階以上的混合偏導(dǎo)中，用到的一個(gè)最重要的法則是鏈?zhǔn)椒▌t，鏈?zhǔn)椒▌t在很多時(shí)

候，我們會(huì)迷，算到一半，不知道那到底是什么玩意，甚至看著自己算出的一個(gè)式子，自己都不明白，關(guān)于鏈?zhǔn)椒▌t，我很想舉例來說明，但是一般的電腦沒有數(shù)學(xué)軟件，那些符號(hào)根本無(wú)法顯示，故建議看高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)指導(dǎo)與習(xí)題指南一書第172頁(yè)，它詳細(xì)的論述了多元函數(shù)微分學(xué)中的一些重要知識(shí)點(diǎn)，當(dāng)看完解題指導(dǎo)，自己獨(dú)立的把教材194頁(yè)例2做一下，做的時(shí)候，最好不要看例題的解題部驟，因?yàn)榭蠢�題的解題步驟會(huì)迷，當(dāng)獨(dú)立的把結(jié)果推算出來的時(shí)候，多元函數(shù)微分學(xué)的大概你掌握的已經(jīng)差不多了。

5.微分方程：這個(gè)類型的題，只需要把那一個(gè)解題的公式記住，然后往里面套公式即可，這

是最簡(jiǎn)單也最枯燥的題，沒什么新意，但是考試的時(shí)候，這類題還從未少過，每年都有。需要注意的是有時(shí)候求的是通解，有時(shí)候求的是特解。6.證明題：這種題還是離不開公式定理。一般情況下，用洛爾定理和微分中值定理即可，若

再?gòu)?fù)雜的話，有時(shí)候就需要微分中值定理和積分中值定理連用，對(duì)于這類題，有時(shí)間則做，沒時(shí)間就不做�？偟膩碚f，高數(shù)其實(shí)不算太難，當(dāng)你對(duì)它產(chǎn)生一種畏懼的時(shí)候，你就很難把它學(xué)好了。要喜歡這門課，就要先喜歡這門課的老師，考試要的也是心態(tài)，有些題，本來就不屬于自己的能力范圍的，就直接放棄，一直纏著只會(huì)是浪費(fèi)時(shí)間，其它題沒時(shí)間做，這道題又沒做出來�，F(xiàn)在復(fù)習(xí)高數(shù)的時(shí)候別怕浪費(fèi)時(shí)間，因?yàn)檠a(bǔ)考前的一個(gè)月就是讓你浪費(fèi)的，正如高四的復(fù)習(xí)，那一年確確實(shí)實(shí)是讓我們好好浪費(fèi)的，所以一定要多花時(shí)間浪費(fèi)在復(fù)習(xí)中，數(shù)學(xué)講究的就是熟練，當(dāng)你看到一道題的時(shí)候，自己首先要有一個(gè)感性的認(rèn)識(shí)，對(duì)它有一個(gè)大體的把握，復(fù)習(xí)就要做到多看教材，復(fù)習(xí)的最高境界就是把教材習(xí)題化，也就是說，當(dāng)你看到課本上的知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，腦中立刻會(huì)想起你曾經(jīng)做過的那道題用過這個(gè)知識(shí)點(diǎn)，如果這個(gè)知識(shí)點(diǎn)要考試的話，它最有可能以什么方式呈現(xiàn)出來。

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