201*年高二數(shù)學(xué)選修2-1知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)點(diǎn)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題.

若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.

4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.

5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：

1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq．當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，pq是假命題．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq．當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題．

對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對(duì)中任意一個(gè)x，有px成立”，記作“x，px”．短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

1--

特稱命題“存在中的一個(gè)x，使px成立”，記作“x，px”．10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F）的點(diǎn)的軌跡1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2稱為橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)

焦點(diǎn)焦距對(duì)稱性離心率準(zhǔn)線方程

xy1ab022abaxa且byb

2222

yx1ab022abbxb且aya

1a,0、2a,010,b、20,b

10,a、20,a1b,0、2b,0

短軸的長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱

cb2e120e1

aaa2x

ca2y

c13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線的焦距．

2--

15、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱性離心率

xy1a0,b0a2b2xa或xa，yR

2222

yx1a0,b0a2b2ya或ya，xR

1a,0、2a,010,a、20,a

虛軸的長(zhǎng)2b實(shí)軸的長(zhǎng)2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22cc2a2b2

關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

cb2e12e1

aaa2a2準(zhǔn)線方程xy

ccbayxyx漸近線方程

ab16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．

17、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)

d1d218、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線．

19、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為

拋物線的“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

p；2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0；

2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0；

2p若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0．

2線的距離為d2，則

F1F2e．

若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0

3--

21、拋物線的幾何性質(zhì)：

標(biāo)準(zhǔn)方程

圖形

頂點(diǎn)對(duì)稱軸焦點(diǎn)準(zhǔn)線方程離心率范圍

y22px

y22pxx22pyx22pyp0p0p0p0

0,0

x軸

y軸

Fp2,0Fp2,0F0,p2

F0,p2

xp2xp2yp2yp2e1

x0x0

y0y0

4--

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高二數(shù)學(xué)選修2－1知識(shí)點(diǎn)

1、命題：用語(yǔ)言、符號(hào)或式子表達(dá)的，可以判斷真假的陳述句.真命題：判斷為真的語(yǔ)句.假命題：判斷為假的語(yǔ)句.2、“若p，則q”形式的命題中的p稱為命題的條件，q稱為命題的結(jié)論.

3、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和條件，則這兩個(gè)命題稱為互逆命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆命題.

若原命題為“若p，則q”，它的逆命題為“若q，則p”.4、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的條件的否定和結(jié)論的否定，則這兩個(gè)命題稱為互否命題.中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的否命題.

若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若p，則q”.5、對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論恰好是另一個(gè)命題的結(jié)論的否定和條件的否定，則這兩個(gè)命題稱為互為逆否命題.其中一個(gè)命題稱為原命題，另一個(gè)稱為原命題的逆否命題.若原命題為“若p，則q”，則它的否命題為“若q，則p”.6、四種命題的真假性：

原命題逆命題否命題逆否命題真真真真真假假真假真真真假假假假四種命題的真假性之間的關(guān)系：

1兩個(gè)命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

2兩個(gè)命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關(guān)系．

7、若pq，則p是q的充分條件，q是p的必要條件．若pq，則p是q的充要條件（充分必要條件）．

8、用聯(lián)結(jié)詞“且”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq．當(dāng)p、q都是真命題時(shí)，pq是真命題；當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是假命題時(shí)，pq是假命題（一假必假）．

用聯(lián)結(jié)詞“或”把命題p和命題q聯(lián)結(jié)起來，得到一個(gè)新命題，記作pq．當(dāng)p、q兩個(gè)命題中有一個(gè)命題是真命題時(shí)，pq是真命題（一真必真）；當(dāng)p、q兩個(gè)命題都是假命題時(shí)，pq是假命題．

對(duì)一個(gè)命題p全盤否定，得到一個(gè)新命題，記作p．

若p是真命題，則p必是假命題；若p是假命題，則p必是真命題．9、短語(yǔ)“對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)”在邏輯中通常稱為全稱量詞，用“”表示．

含有全稱量詞的命題稱為全稱命題．

全稱命題“對(duì)中任意一個(gè)x，有px成立”，記作“x，px”．短語(yǔ)“存在一個(gè)”、“至少有一個(gè)”在邏輯中通常稱為存在量詞，用“”表示．

含有存在量詞的命題稱為特稱命題．

特稱命題“存在中的一個(gè)x，使px成立”，記作“x，px”．10、全稱命題p：x，px，它的否定p：x，px．全稱命題的否定是特稱命題．

11、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為橢圓的焦距．12、橢圓的幾何性質(zhì)：

焦點(diǎn)在y軸上焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱性離心率準(zhǔn)線方程

xa2

y22x22abaxa且byb

y221ab0

abbxb且aya

x221ab0

1a,0、2a,010,b、20,b

10,a、20,a1b,0、2b,0

短軸的長(zhǎng)2b長(zhǎng)軸的長(zhǎng)2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22ccab222

關(guān)于x軸、y軸、原點(diǎn)對(duì)稱

eca1ba220e1

ya2c

c

13、設(shè)是橢圓上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

14、平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于F1F2）的點(diǎn)的軌跡稱為雙曲線．這兩個(gè)定點(diǎn)稱為雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離稱為雙曲線

的焦距．

15、雙曲線的幾何性質(zhì)：焦點(diǎn)的位置焦點(diǎn)在x軸上

焦點(diǎn)在y軸上

圖形

標(biāo)準(zhǔn)方程范圍頂點(diǎn)

軸長(zhǎng)焦點(diǎn)焦距對(duì)稱性離心率準(zhǔn)線方程漸近線方程

xy

1a0,b022abya或ya，xRy2x22abxa或xa，yR

y221a0,b0

x21a,0、2a,010,a、20,a

虛軸的長(zhǎng)2b實(shí)軸的長(zhǎng)2a

F1c,0、F2c,0F10,c、F20,c

F1F22ccab222

關(guān)于x軸、y軸對(duì)稱，關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱

eca1ba22e1

yya2cba

xa2

cab

x

16、實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線稱為等軸雙曲線．

17、設(shè)是雙曲線上任一點(diǎn)，點(diǎn)到F1對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d1，點(diǎn)到F2對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線的距離為d2，則

F1d1F2d2e．

18、平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡稱為拋物線．定點(diǎn)F稱為拋物線的焦點(diǎn)，定直線l稱為拋物線的準(zhǔn)線．

19、過拋物線的焦點(diǎn)作垂直于對(duì)稱軸且交拋物線于、兩點(diǎn)的線段，稱為拋物線的“通徑”，即2p．20、焦半徑公式：

若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0p2；

p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線y22pxp0上，焦點(diǎn)為F，則Fx0若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0p2；

；

p2若點(diǎn)x0,y0在拋物線x22pyp0上，焦點(diǎn)為F，則Fy0

3

．

21、拋物線的幾何性質(zhì)：

2y2px

標(biāo)準(zhǔn)方程

p0圖形

頂點(diǎn)

y22pxp0

x22pyp0

x22pyp0

0,0

軸

pF0,2對(duì)稱軸

pF,02x軸

pF,0

2pF0,2y焦點(diǎn)

準(zhǔn)線方程

xp2

xp2

yp2

yp2

離心率e1

范圍

x0

x0y0

y0

22、空間向量的概念：

1在空間，具有大小和方向的量稱為空間向量．

2向量可用一條有向線段來表示．有向線段的長(zhǎng)度表示向量的大小，箭頭所指

的方向表示向量的方向．

，記作3向量的大小稱為向量的模（或長(zhǎng)度）

．

4模（或長(zhǎng)度）為0的向量稱為零向量；模為1的向量稱為單位向量．5與向量a長(zhǎng)度相等且方向相反的向量稱為a的相反向量，記作a．6方向相同且模相等的向量稱為相等向量．

23、空間向量的加法和減法：

1求兩個(gè)向量和的運(yùn)算稱為向量的加法，它遵

循平行四邊形法則．即：在空間以同一點(diǎn)為

起點(diǎn)的兩個(gè)已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形C，則以起點(diǎn)的對(duì)角線C就是a與b的和，這種求向量和的方法，稱為向

量加法的平行四邊形法則．

2求兩個(gè)向量差的運(yùn)算稱為向量的減法，它遵

循三角形法則．即：在空間任取一點(diǎn)，作

a，b，則ab．

24、實(shí)數(shù)與空間向量a的乘積a是一個(gè)向量，稱為向量的數(shù)乘運(yùn)算．當(dāng)0時(shí)，a與a方向相同；當(dāng)0時(shí)，a與a方向相反；當(dāng)0時(shí)，a為零向量，

記為0．a(chǎn)的長(zhǎng)度是a的長(zhǎng)度的倍．25、設(shè)，為實(shí)數(shù)，a，b是空間任意兩個(gè)向量，則數(shù)乘運(yùn)算滿足分配律及結(jié)

合律．

分配律：abab；結(jié)合律：aa．

26、如果表示空間的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量稱為共線向量或平行向量，并規(guī)定零向量與任何向量都共線．

27、向量共線的充要條件：對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，bb0，a//b的充要條

件是存在實(shí)數(shù)，使ab．

28、平行于同一個(gè)平面的向量稱為共面向量．29、向量共面定理：空間一點(diǎn)位于平面C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，

y，使

xyC；或?qū)�空間任一定點(diǎn)，有xyC；或

若四點(diǎn)，，，C共面，則xyzCxyz1．

30、已知兩個(gè)非零向量a和b稱為向量a，b，在空間任取一點(diǎn)，作a，b，則的夾角，記作a,b．兩個(gè)向量夾角的取值范圍是：a,b0,．

31、對(duì)于兩個(gè)非零向量a和b，若a,b，則向量a，b互相垂直，記作ab．

2osa,b稱為a，b的數(shù)量積，32、已知兩個(gè)非零向量a和b，則abc記作ab．即

ababcosab,．零向量與任何向量的數(shù)量積為0．

aaa33、ab等于的長(zhǎng)度與b在的方向上的投影bcosa,b的乘積．34、若a，b

e為非零向量，

為單位向量，則有15

eaaeacosa,e；

aba與b同向2，aaa，a2abab0；3ababa與b反向ab4cosa,b；5abab．

abaa；

35、向量數(shù)乘積的運(yùn)算律：1abba；2ababab；

3abcacbc．

36、若i，j，k是空間三個(gè)兩兩垂直的向量，則對(duì)空間任一向量p，存在有序

pxiyjzk實(shí)數(shù)組x,y,z，使得的分量．

，稱xi，yj，zk為向量p在i，j，k上

37、空間向量基本定理：若三個(gè)向量a，b，c不共面，則對(duì)空間任一向量p，

存在實(shí)數(shù)組x,y,z，使得

a38、若三個(gè)向量，bpxaybzc．

，c不共面，則所有空間向量組成的集合是

ppxaybzc,x,y,zR．這個(gè)集合可看作是由向量a，b，c生成的，

a,b,c稱為空間的一個(gè)基底，a，b，c稱為基向量．空間任意三個(gè)不共面的向

量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底．

39、設(shè)e1，e2，e3為有公共起點(diǎn)的三個(gè)兩兩垂直的單位向量（稱它們?yōu)閱挝?/p>

的公共起點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以e1，e2，e3正交基底），以e1，e2，e3的方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系xyz．則對(duì)于空間任意一個(gè)向量p，

一定可以把它平移，使它的起點(diǎn)與原點(diǎn)重合，得到向量p．存在有序?qū)?/p>

數(shù)組x,y,z，使得pxe1ye2ze3．把x，y，z稱作向量p在單位正交基底

e1，e2，e3下的坐標(biāo)，記作px,y,z．此時(shí)，向量p的坐標(biāo)是點(diǎn)在空間直角

坐標(biāo)系xyz中的坐標(biāo)x,y,z．

40、設(shè)ax1,y1,z1，bx2,y2,z2，則1abx1x2,y1y2,z1z2．2abx1x2,y1y2,z1z2．

3ax1,y1,z1．

4abx1x2y1y2z1z2．5若a、b為非零向量，則abab0x1x2y1y2z1z20．

6若b0，則a//babx1x2,y1y2,z1z2．

7aaax1y1z1．

x1x2y1y2z1z2xyz212121222ab8cosa,babxyz222222．

2229則dx1,y1,z1，x2,y2,z2，

x2x1yy12z2z1．

41、在空間中，取一定點(diǎn)作為基點(diǎn)，那么空間中任意一點(diǎn)的位置可以用向量

來表示．向量稱為點(diǎn)的位置向量．

42、空間中任意一條直線l的位置可以由l上一個(gè)定點(diǎn)以及一個(gè)定方向確定．點(diǎn)

向量a表示直線l的方向向量，則對(duì)于直線l上的任意一點(diǎn)，是直線l上一點(diǎn)，

有ta，這樣點(diǎn)和向量a不僅可以確定直線l的位置，還可以具體表示出直

線l上的任意一點(diǎn)．

43、空間中平面的位置可以由內(nèi)的兩條相交直線來確定．設(shè)這兩條相交直線

相交于點(diǎn)，它們的方向向量分別為a實(shí)數(shù)對(duì)x,y，使得xayb，b．為平面上任意一點(diǎn)，存在有序

，b就確定了平面的位置．

，這樣點(diǎn)與向量a44、直線l垂直，取直線l的方向向量a，則向量a稱為平面的法向量．

45、若空間不重合兩條直線a，b的方向向量分別為a，b，則a//ba//b

abR，ababab0．

46、若直線a的方向向量為a，平面的法向量為n，且a，則a//a//

anan0，aaa//nan．

47、若空間不重合的兩個(gè)平面，的法向量分別為a，b，則//a//b

ab，abab0．

48、設(shè)異面直線a，b的夾角為，方向向量為a，b，其夾角為，則有

abcoscosab．

49、設(shè)直線l的方向向量為l，平面的法向量為n，l與所成的角為，l與nln的夾角為，則有sincosln50、設(shè)n1，n2．

，n2是二面角l的兩個(gè)面，的法向量，則向量n1的夾

角（或其補(bǔ)角）就是二面角的平面角的大�。�若二面角l的平面角為，則

n1n2cosn1n2．

計(jì)算．

51、點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離可以轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)向量的模nl的距離為dcos,nn52、在直線l上找一點(diǎn)，過定點(diǎn)且垂直于直線l的向量為n，則定點(diǎn)到直線

．

53、點(diǎn)是平面外一點(diǎn)，是平面內(nèi)的一定點(diǎn)，n為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為

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