高數(shù)知識點總結(jié)(1)[1]

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函數(shù)：絕對值得性質(zhì)：(1)|a+b||a|+|b|（1）表格法(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|（2）圖示法(4)|ab|=|a||b|(b0)函數(shù)的表示方法：（3）公式法（解析法）函數(shù)的幾種性質(zhì)：（1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性（3）函數(shù)的奇偶性（4）函數(shù)的周期性定理：如果函數(shù)（1）冪函數(shù)（3）對數(shù)函數(shù)（5）反三角函數(shù)反函數(shù)：yf(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)yf（2）指數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)1(x)存在，且是單值、單調(diào)的�；�本初等函數(shù)：復合函數(shù)的應用極限與連續(xù)性：數(shù)列的極限：xnxn是一個數(shù)列，a是一個定數(shù)。x（不管它多么�。┤绻麑τ谌我饨o定的正數(shù)，總存在正整數(shù)N，使得對于n>N的一切n，不等式limxaxn的極限，或稱數(shù)列xn收斂于a，記做nnxan都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列，或n（）定義：設收斂數(shù)列的有界性：定理：如果數(shù)列axn收斂，則數(shù)列xn一定有界推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂定義及幾何定義（略見書37頁）。（1）同號性定理：如果函數(shù)的極限：函數(shù)極限的性質(zhì)：。f(x)0）（2）如果limf(x)A，且在x0的某一鄰域內(nèi)（xx0），恒有f(x)0（或f(x)0），則A0xx0（3）如果limf(x)存在，則極限值是唯一的xx（4）如果lim0f(x)存在，則在f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)（xx0）是有界的。無窮小與無窮大：xx0xx0limf(x)A，而且A>0(或A北雁高數(shù)知識點總結(jié)QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

重要極限：limg(x)A，limh(x)Axx0則limf(x)A（2）xx0準則二0xx單調(diào)有界數(shù)列必有極限定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在sinx111xx0xx（3）lim(1)e或lim(1x)exx0x無窮小階的定義：（1）lim設、為同一過程的兩個無窮小。（1）如果lim（2）lim1cosxx2x0120，則稱是比高階的無窮小，記做o()（2）如果lim，則稱是比低階的無窮�。�3）如果limc(c0,c1)，則稱與是同階無窮�。�4）如果lim1，則稱與是等階無窮小，記做~幾種等價無窮�。簩�數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮小：x0時，ln(1x)~x(x0)x0時，sinx~xtanx~xloga(1x)~1lnax(x0)三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價無窮小：1cosx~12x2arcsinx~xarctanx~x指數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮�。簒0時，ex1~xax1exlna1~lnaxn1x1~二項式中常用的等價無窮�。篴x0時，(1x)1~axn函數(shù)在某一點處連續(xù)的條件：limf(x)f(x0)可知，函數(shù)f(x)在點x0（1）f(x)在點x0處有定義（2）當xx0時，f(x)的極限limf(x)存在xx0f(x0)（3）極限值等于函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值由連續(xù)定義xx0處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件：極限與連續(xù)的關系：如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當xx0時，f(x)的極限一定存在，反之，則不一定成立第二類間斷點(有一個極限不存在)也連續(xù)函數(shù)的間斷點：分類：第一類間斷點(左右極限都存在)定理：如果函數(shù)定理：如果函數(shù)定理：設函數(shù)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性：f(x)、g(x)在點x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0反函數(shù)的連續(xù)性：yf(x)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)x(y)也在對應的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)最大值與最小值定理：f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上必有最大值和最小值推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有界定理：設函數(shù)介值定理：f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，兩端點處的函數(shù)值分別為f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有一點，使得f()(ab)(兩端點的函數(shù)值異號)，則在(a,b)的內(nèi)部，至少存在一點，使推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值推論（2）：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0f()0導數(shù)與微分導數(shù)：定義：x導數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率x0ylim"f(xx)f(x)函數(shù)可導性與連續(xù)性之間的表示：如果函數(shù)在x處可導，則在點x處連續(xù)，也即函數(shù)在點x處連續(xù)一個數(shù)在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導

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據(jù)導數(shù)的定義求導：（1）f(x0x)f(x0)yy"|xx0limf(xlim)f(x)x0x00x（2）y"|xxlimxf(xx)f(x)0xxxx0（3）y"|xxlim00x0x基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：(c)"0n（2）冪函數(shù)的導數(shù)公式(x)"nx（1）常數(shù)導數(shù)為零（3）三角函數(shù)的導數(shù)公式n1(sinx)"cosx(cosx)"sinx12(cotx)"cscx2sinx(cscx)"cscxcotx11（4）對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式：(logax)"logaexxxxlna（5）指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式：(a)"alnaxx（6）(e)"e（7）反三角函數(shù)的導數(shù)公式：1(tanx)"sec2(secx)"secxcostanxx2x(arcsinx)"(arctanx)"函數(shù)和、差、積、商的求導法則：法則一（具體內(nèi)容見書106）法則二（具體內(nèi)容見書108）法則三（具體內(nèi)容見書109）11212x1x""(uv)"uv(uv)"uvuv""1(arccosx)"12(arccotx)"1x21x""(uv)"uv函數(shù)乘積的求導法則：函數(shù)商的求導法則：復合函數(shù)的求導法則：（定理見書113頁）反函數(shù)的求導法則：()"vuuvuvv22""反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：（見書121頁）高階導數(shù)：二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)求n階導數(shù)：（不完全歸納法）dydx2ddxdx(dy)(n)(sinx)(n)sin(xn2）(cosx)cos(xndydx2）"隱函數(shù)的導數(shù)：（見書126頁）對隱函數(shù)求導時，首先將方程兩端同時對自變量求導，但方程中的y是x的函數(shù)，它的導數(shù)用記號x(t)y(t)"1(t)"dxdxdtdxdt(t)微分概念：由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)：(對數(shù)求導法：先取對數(shù)，后求導（冪指函數(shù)）t)（或y表示）dydydtdy函數(shù)可微的條件（見書133頁）如果函數(shù)dtf(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導函數(shù)f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數(shù)f(x)在點x0可導"dyf(x0)x函數(shù)的微分dy是函數(shù)的增量y的線性主部（當x0），從而，當x很小時，有ydydy""f(x)通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為dyf(x)dx，從而有dx基本初等函數(shù)的微分公式：（見書136頁）幾個常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)xsinxx（x用弧度）2e1x"n1x11nxtanxx（x用弧度）ln(1x)x中值定理與導數(shù)應用羅爾定理：如果函數(shù)

f(x)a,b上連續(xù)

（2）在開區(qū)間a,b內(nèi)具有導數(shù)

（1）在閉區(qū)間

（3）在端點處函數(shù)值相等，即

滿足下列條件

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)

（1）在閉區(qū)間

f(x)f(a)f(b)，則在a,b內(nèi)至少有一點，使

f()0

""a,b上連續(xù)

（2）在開區(qū)間a,b內(nèi)具有導數(shù)，則在a,b內(nèi)至少有一點，使得f(b)滿足下列條件

f(a)f()(ba)

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于弧定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線yf(x)上的弧AB除端點處外處處具有不垂直于x軸的切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的導數(shù)恒為零，那么f(x)在a,b內(nèi)是一個常數(shù)f(x)與F(x)滿足下列條件柯西中值定理：如果函數(shù)推論：如果函數(shù)（1）在閉區(qū)間ABa,b上連續(xù)（2）在開區(qū)間a,b內(nèi)具有導數(shù)‘（3）F(x)在a,b內(nèi)的每一點處均不為零，則在a,b內(nèi)至少有一點使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()""羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣羅比達法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)當xa時，f(x)與(x)都趨于零"（2）在點a的某領域（點a可除外）內(nèi)，"f(x)與f(x))都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)(x（3）lim存在（或為），則極限lim存在（或為），且lim=limxa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)在一定條件下通過分子、分母分別求導數(shù)再求極限來確定未定式的值的方法稱為羅比達法則2、x情形"""推論：如果（1）當x未定式時，f(x)與(x)都趨于零""""f(x)與(x)都存在且(x)0"（2）當|x|>N時，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或為），則極限lim存在（或為），且lim=limx"(x)x"(x)x(x)x(x)1、xa情形如果（1）xa時，f(x)與(x)都趨于無窮大"""""（2）在點a的某領域（點a可除外）內(nèi)，f(x)與(x)都存在且(x)0f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或為），則則極限lim存在（或為），且lim=limxa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)x2、情形推論：如果（1）x時，f(x)與(x)都趨于無窮大""""f(x)與(x)都存在且(x)0"（2）當|x|>N時，f(x)f(x)f(x)f(x)（3）lim存在（或為），則則極限lim存在（或為），且lim=lim0xa"(x)xa"(x)xa(x)xa(x)"注意：1、羅比達法則僅適用于型及型未定式f(x0)f(x)lim2、當lim不存在時，不能斷定不存在，此時不能應用羅比達法則"xaxa(x)(x)泰勒公式（略）(x)(x)邁克勞林公式（略）函數(shù)單調(diào)性的判別法：（"必要條件：設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)具有導數(shù)，如果f(x)在"，則在a,b內(nèi)，f(x)0a,b上單調(diào)增加（減少）f(x)0）充分條件：設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)具有導數(shù)，"（1）如果在a,b內(nèi)，f(x)0，則f(x)在a,b上單調(diào)增加"（2）如果在a,b內(nèi)，f(x)0，則f(x)在a,b上單調(diào)減少函數(shù)的極值及其求法極值定義（見書176頁）必要條件：設函數(shù)極值存在的充分必要條件f(x)在點x0處具有導數(shù)，且在點x0"處取得極值，則f(x)0"函數(shù)的極值點一定是駐點導數(shù)不存在也可能成為極值點f(x)0的點，稱為函數(shù)f(x)的駐點充分條件（第一）：設連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內(nèi)具有導數(shù)，當x由小增大經(jīng)過x0"（1）f(x)由正變負，則x0是極大點"（2）f(x)由負變正，則x0是極小點"（3）f(x)不變號，則x0不是極值點";;充分條件（第二）：設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)，且f(x0)0，f(x0)0;;（1）如果f(x0)0，則f(x)在x0點處取得極大值;;（2）如果f(x0)0，則f(x)在x0點處取得極小值駐點：使時，如果函數(shù)的最大值和最小值（略）曲線的凹凸性與拐點：定義：設f(x)在a,b上連續(xù)，如果對于a,b上的任意兩點x1、x2恒有f(x1x22)f(x1f(x2)2，則稱f(x)在a,b上

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的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。

判別法：定理：設函數(shù)

f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)

;;（1）如果在(a,b)內(nèi)f(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凹的

;;（2）如果在(a,b)內(nèi)f(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凸的

拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。

不定積分原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)F(x)與"f(x)滿足關系式：F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx，則稱在這個區(qū)間上，函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個原函數(shù)結(jié)論：如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上f(x)必有原函數(shù)定理：如果函數(shù)F(x)是f(x)的原函數(shù)，則F(x)C（C為任意常數(shù)）也是f(x)的原函數(shù)，且f(x)的任一個原函數(shù)與F(x)相差為一個常數(shù)不定積分的定義：定義：函數(shù)性質(zhì)一：(不定積分的性質(zhì)：f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記做f(x)dx"性質(zhì)二：有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即12nf(x)dx)f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx"及f(x)dxf(x)C或df(x)f(x)C[f(x)f(x)f(x)]dx性質(zhì)三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即kf(x)dxaf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dxkf(x)dx基本積分表：（同課本211頁）（1）xx（k為常數(shù)，且k0（2）xdxC(a1)kdx1kxC（k是常數(shù)）1edxeC（3）（4）xdxlna|x|Ca（5）adx（6）sinxdxcosxCC(a0,a1)1dxsecxdxtanxCaxC（7）cosxdxln（8）sin1dxcscxdxcotxC（cosxxtanxdxsecxC（9）10）sec1dxarcsinxCxcotxdxcscxC（11）sin（12）cscx1dxarctanxC1x（13）xx2222xa121x第一類換元法（湊微分法）2第二類換元法：變量代換F[(x)]Cf[(x)](x)dxtanxdxln|cosx|C"cotxdxln|sinx|C被積函數(shù)若函數(shù)有無理式，一般情況下導用第二類換元法。將無理式化為有理式基本積分表添加公式：結(jié)論：如果被積函數(shù)含有如果被積函數(shù)含有如果被積函數(shù)含有分部積分法：對應于兩個函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與ax22xa22xa22，則進行變量代換xasint化去根式，則進行變量代換xatant化去根式，則進行變量代換xasect化去根式udvuv三角函數(shù)vdu分部積分公式的積，可以利用分部積分法令u等于冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)令u=2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)反三角函數(shù)3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。定積分的定義（見課本251頁）

的積，可使用分部積分法定積分

f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數(shù)在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數(shù)定積分的幾何意義：

1、在[a,b]上

f(x)0，這時f(x)dx的值在幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積

a2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲邊梯形面積的負值3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負值

b

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幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積定積分的性質(zhì)：性質(zhì)一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即bb[f(x)g(x)]dx性質(zhì)二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即kf(x)dxkf(x)dx（k是常數(shù)）a性質(zhì)三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[ac,c]和[c,b]，那么bf(x)dxf(x)bdxf(x)bdx、aac性質(zhì)四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么bf(x)dxdxbaaa性質(zhì)五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么f(x)bdx0ba性質(zhì)六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么f(x)dxg(x)dxaa性質(zhì)七、設M及m，分別是函數(shù)f在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則b(x)m(b-a)f(x)dxM(b-a)(aa，如果極限limbf(x)dx即f(x)dxlimf(x)dxababaf(x)dx存在，則稱此極限為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,]上的廣義積分，在極坐標系中的計算法（見書291頁）

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函數(shù)：

絕對值得性質(zhì)：(1)|a+b||a|+|b|(2)|a-b||a|-|b|(3)|ab|=|a||b|(4)||=ba|a||b|(b0)函數(shù)的表示方法：（1）表格法（2）圖示法（3）公式法（解析法）函數(shù)的幾種性質(zhì)：（1）函數(shù)的有界性（2）函數(shù)的單調(diào)性（3）函數(shù)的奇偶性（4）函數(shù)的周期性反函數(shù)：定理：如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)的，則它的反函數(shù)yf1(x)存在，且是單值、單調(diào)的。基本初等函數(shù)：（1）冪函數(shù)（3）對數(shù)函數(shù)（5）反三角函數(shù)（2）指數(shù)函數(shù)（4）三角函數(shù)復合函數(shù)的應用極限與連續(xù)性：

數(shù)列的極限：

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定義：設xn是一個數(shù)列，a是一個定數(shù)。如果對于任意給定的正數(shù)（不管它多么�。�，xnaa總存在正整數(shù)N，使得對于n>N的一切xn，不等式的極限，或稱數(shù)列xn收斂于a，記做n收斂數(shù)列的有界性：limxna都成立，則稱數(shù)a是數(shù)列xn（n），或xn定理：如果數(shù)列xn收斂，則數(shù)列xn一定有界推論：（1）無界一定發(fā)散（2）收斂一定有界（3）有界命題不一定收斂函數(shù)的極限：定義及幾何定義（略見書37頁）。函數(shù)極限的性質(zhì)：（1）同號性定理：如果limxx0f(x)A，而且A>0(或A北雁高數(shù)知識點總結(jié)QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

（2）如果函數(shù)f(x)為無窮小，且f(x)0，則1f(x)為無窮大具有極限的函數(shù)與無窮小的關系：（1）具有極限的函數(shù)等于極限值與一個無窮小的和（2）如果函數(shù)可表為常數(shù)與無窮小的和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限關于無窮小的幾個性質(zhì)：定理：（1）有限個無窮小的代數(shù)和也是無窮�。�2）有界函數(shù)f(x)與無窮小a的乘積是無窮小推論：（1）常數(shù)與無窮小的乘積是無窮�。�2）有限個無窮小的乘積是無窮小極限的四則運算法則：定理：兩個函數(shù)f(x)、g(x)的代數(shù)和的極限等于它們的極限的代數(shù)和兩個函數(shù)f(x)、g(x)乘積的極限等于它們的極限的乘積極限存在準則與兩個重要極限：準則一（夾擠定理）設函數(shù)f(x)、g(x)、h(x)在x（1）g(x)（2）limxx0xx0x0的某個鄰域內(nèi)（點x0可除外）滿足條件：f(x)h(x)g(x)A，limh(x)Axx0則limf(x)A準則二單調(diào)有界數(shù)列必有極限夢想這東西和經(jīng)典一樣，永遠不會因為時間而褪色，反而更顯珍貴！

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重要極限：（1）limsinxx(11xx0定理：如果單調(diào)數(shù)列有界，則它的極限必存在11（2）lim1cosxx2x012（3）limx)xe或lim(1x)xex0無窮小階的定義：設、為同一過程的兩個無窮小。（1）如果lim（2）如果lim（3）如果lim（4）如果lim0，則稱是比高階的無窮小，記做o()，則稱是比低階的無窮小與是同階無窮小~c(c0,c1)，則稱1，則稱與是等階無窮小，記做幾種等價無窮�。簩�數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮�。簂oga(1x)~1lnax(x0)x0時，ln(1x)~x(x0)三角函數(shù)及反三角函數(shù)中常用的等價無窮�。�1cosx~12x2x0時，sinx~xtanx~xarcsinx~xarctanx~x指數(shù)函數(shù)中常用的等價無窮�。簒0時，ex1~xax1exlna1~lna二項式中常用的等價無窮小：

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nx0時，(1x)1~axa1x1~xn函數(shù)在某一點處連續(xù)的條件：由連續(xù)定義limxx0f(x)f(x0)可知，函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)必須同時滿足下列三個條件：（1）f(x)在點x0處有定義（2）當xx0時，f(x)的極限limf(x)存在xx0（3）極限值等于函數(shù)f(x)在點x0處的函數(shù)值f(x0)極限與連續(xù)的關系：如果函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)，由連續(xù)定義可知，當xx0時，f(x)的極限一定存在，反之，則不一定成立函數(shù)的間斷點：分類：第一類間斷點(左右極限都存在)第二類間斷點(有一個極限不存在)連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性：定理：如果函數(shù)f(x)、g(x)在點x0處連續(xù)，則他們的和、差、積、商（分母不為零）在點x0也連續(xù)反函數(shù)的連續(xù)性：定理：如果函數(shù)yf(x)在某區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)，則它的反函數(shù)x(y)也在對應的區(qū)間上是單調(diào)增（或單調(diào)減）的連續(xù)函數(shù)最大值與最小值定理：定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上必有最大值和最小值夢想這東西和經(jīng)典一樣，永遠不會因為時間而褪色，反而更顯珍貴！

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推論：如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，則f(x)在a,b上有界

介值定理：

定理：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，兩端點處的函數(shù)值分別為

f(a)A,f(b)B(AB)，而是介于A與B之間的任一值，則在開區(qū)間(a,b)內(nèi)至少有

一點，使得

f()(ab)

推論（1）：在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)必能取得介于最大值與最小值之間的任何值推論（2）：設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù)，且f(a)f(b)0(兩端點的函數(shù)值異號)，

則在(a,b)的內(nèi)部，至少存在一點，使f()0

導數(shù)與微分

導數(shù)：定義：y"limf(xx)f(x)xx0導數(shù)的幾何定義：函數(shù)在圖形上表示為切線的斜率函數(shù)可導性與連續(xù)性之間的表示：如果函數(shù)在x處可導，則在點x處連續(xù)，也即函數(shù)在點x處連續(xù)一個數(shù)在某一點連續(xù)，它卻不一定在該點可導據(jù)導數(shù)的定義求導：（1）y"|xx（2）y"|xx（3）y"|xxlimyxlimf(x0x)f(x0)x0x0x00limf(x)f(x0)xx0xx00limf(xx)f(x)xx0夢想這東西和經(jīng)典一樣，永遠不會因為時間而褪色，反而更顯珍貴！

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基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：（1）常數(shù)導數(shù)為零(c)"0(x)"nxnn1（2）冪函數(shù)的導數(shù)公式（3）三角函數(shù)的導數(shù)公式(sinx)"cosx(cotx)"1sin2x(cosx)"sinx2(tanx)"1cos2xsec2xcscx(secx)"secxtanx(cscx)"cscxcotx(logx（4）對數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式：（5）指數(shù)函數(shù)的導數(shù)公式：（6）(ex)"exax)"x1xlogae1xlna(a)"alna（7）反三角函數(shù)的導數(shù)公式：(arcsinx)"11x(arctanx)"11x22(arccosx)"11x2(arccotx)"11x2函數(shù)和、差、積、商的求導法則：法則一（具體內(nèi)容見書106）(uv)"uv""(uv)"uv""函數(shù)乘積的求導法則：法則二（具體內(nèi)容見書108）(uv)"uvuv""函數(shù)商的求導法則：法則三（具體內(nèi)容見書109）()"vuuvuvv2""復合函數(shù)的求導法則：（定理見書113頁）

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反函數(shù)的求導法則：反函數(shù)的導數(shù)等于直接函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)基本初等函數(shù)的導數(shù)公式：（見書121頁）dy2高階導數(shù)：二階和二階以上的導數(shù)統(tǒng)稱為高階導數(shù)求n階導數(shù)：（不完全歸納法）(sinx)(n)dx2ddxdx(dy)sin(xn2）(cosx)(n)cos(xn2）隱函數(shù)的導數(shù)：（見書126頁）對隱函數(shù)求導時，首先將方程兩端同時對自變量求導，但方程中的y是x的函數(shù)，它dydx的導數(shù)用記號（或y"表示）對數(shù)求導法：先取對數(shù)，后求導（冪指函數(shù)）x(t)(t)y(t)由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)：dydxdydtdtdxdydt1dxdt(t)(t)""微分概念：函數(shù)可微的條件（見書133頁）如果函數(shù)f(x)在點x0可微，則f(x)在點x0一定可導函數(shù)f(x)在點x0可微的必要充分條件是函數(shù)f(x)在點x0可導dyf(x0)x"函數(shù)的微分dy是函數(shù)的增量y的線性主部（當x0），從而，當x很小時，有ydy

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通常把自變量x的增量x稱為自變量的微分，記做dx。即于是函數(shù)的微分可記為"dyf(x)dx，從而有dydxf(x)"基本初等函數(shù)的微分公式：（見書136頁）幾個常用的近似公式：f(x)f(0)f(0)x"n1x11nxsinxx2（x用弧度）tanxx（x用弧度）e1xln(1x)x中值定理與導數(shù)應用

羅爾定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)（2）在開區(qū)間a,b內(nèi)具有導數(shù)（3）在端點處函數(shù)值相等，即f(a)則在a,b內(nèi)至少有一點f(b)，

，使f"()0

拉格朗日中值定理：如果函數(shù)f(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)

（2）在開區(qū)間a,b內(nèi)具有導數(shù)，則在a,b內(nèi)至少有一點，使得

"f(b)f(a)f()(ba)

f(x)上的弧AB定理幾何意義是：如果連續(xù)曲線y除端點處外處處具有不垂直于x

軸的切線，那么，在這弧上至少有一點c，使曲線在點c的切線平行于弧AB

推論：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)的導數(shù)恒為零，那么f(x)在a,b內(nèi)是一個常數(shù)

柯西中值定理：如果函數(shù)f(x)與F(x)滿足下列條件

（1）在閉區(qū)間a,b上連續(xù)

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（2）在開區(qū)間a,b內(nèi)具有導數(shù)‘（3）F(x)在a,b內(nèi)的每一點處均不為零，則在a,b內(nèi)至少有一點使得f(b)f(a)F(b)F(a)f()F()""羅爾定理是拉格朗日中值定理的特例，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣羅比達法則：（理論根據(jù)是柯西中值定理）00未定式1、xa情形定理：如果(1)當xa時，f(x)與(x)都趨于零"f(x)（2）在點a的某領域（點a可除外）內(nèi)，f（3）limf(x)""(x)與(x)都存在且(x)0""xa(x)"存在（或為），則極限limf(x)xa(x)存在（或為），且limf(x)xa(x)=limxa(x)"在一定條件下通過分子、分母分別求導數(shù)再求極限來確定未定式的值的方法稱為羅比達法則2、x情形推論：如果（1）當x時，f(x)"f(x)與(x)都趨于零(x)與(x)都存在且(x)0""（2）當|x|>N時，f（3）limf(x)""x(x)"存在（或為），則極限limf(x)x(x)存在（或為），且limf(x)x(x)=limx(x)"

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未定式1、xa情形如果（1）xa時，f(x)與(x)都趨于無窮大"（2）在點a的某領域（點a可除外）內(nèi)，f（3）limf(x)"(x)與(x)都存在且(x)0""f(x)"xa(x)"存在（或為），則則極限limf(x)xa(x)存在（或為），且limf(x)xa(x)=limxa(x)"2、x情形推論：如果（1）x時，f(x)與(x)都趨于無窮大f(x)"（2）當|x|>N時，f（3）limf(x)f(x)""(x)與(x)都存在且(x)0""xa(x)"存在（或為），則則極限limf(x)xa(x)存在（或為），且lim則xa(x)=limxa(x)"00注意：1、羅比達法則僅適用于型及2、當limf(x)"型未定式limf(x)xa(x)(x)"不存在時，不能斷定xa(x)(x)不存在，此時不能應用羅比達法泰勒公式（略）邁克勞林公式（略）函數(shù)單調(diào)性的判別法：必要條件：設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)具有導數(shù)，如果f(x)在a,b上單調(diào)

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增加（減少），則在a,b內(nèi)，f

"(x)0（

f(x)0"）

充分條件：設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在a,b內(nèi)具有導數(shù)，

（1）如果在a,b內(nèi)，f（2）如果在a,b內(nèi)，f"(x)0，則f(x)在a,b上單調(diào)增加(x)0"，則f(x)在a,b上單調(diào)減少

函數(shù)的極值及其求法

極值定義（見書176頁）

極值存在的充分必要條件

必要條件：設函數(shù)

f(x)在點x0處具有導數(shù)，且在點

x0處取得極值，則

f(x)0"

函數(shù)的極值點一定是駐點導數(shù)不存在也可能成為極值點駐點：使f

"(x)0的點，稱為函數(shù)f(x)的駐點

充分條件（第一）：設連續(xù)函數(shù)f(x)在點x0的一個鄰域（x0點可除外）內(nèi)具有導數(shù)，

當x由小增大經(jīng)過x0時，如果

（1）f（2）f（3）f"(x)由正變負，則x0(x)由負變正，則x0(x)不變號，則x0是極大點是極小點

""不是極值點

"充分條件（第二）：設函數(shù)f(x)在點x0處具有二階導數(shù)，且f

（1）如果f（2）如果f;;(x0)0，f;;(x0)0

(x0)0，則f(x)在x0(x0)0點處取得極大值

;;，則f(x)在x0點處取得極小值

函數(shù)的最大值和最小值（略）曲線的凹凸性與拐點：

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f(定義：設x1x22)f(x)在a,b上連續(xù)，如果對于a,b上的任意兩點x1、x2恒有f(x1f(x2)2，則稱f(x)在a,b上的圖形是（向上）凹的，反之，圖形是（向上）凸的。判別法：定理：設函數(shù)f(x)在a,b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)具有二階導數(shù)（1）如果在(a,b)內(nèi)f（2）如果在(a,b)內(nèi)f;;(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凹的;;(x0)0，那么f(x)的圖形在a,b上是凸的拐點：凸弧與凹弧的分界點稱為該曲線的拐點。不定積分

原函數(shù)：如果在某一區(qū)間上，函數(shù)F(x)與

F(x)f(x)或dF(x)f(x)dx"f(x)滿足關系式：

，則稱在這個區(qū)間上，函數(shù)F(x)是函數(shù)f(x)的一個

原函數(shù)

結(jié)論：如果函數(shù)f(x)在某區(qū)間上連續(xù)，則在這個區(qū)間上f(x)必有原函數(shù)

f(x)的原函數(shù)，則F(x)C（C

定理：如果函數(shù)F(x)是為任意常數(shù)）也是f(x)的原函

數(shù)，且f(x)的任一個原函數(shù)與F(x)相差為一個常數(shù)不定積分的定義：

定義：函數(shù)f(x)的全體原函數(shù)稱為f(x)的不定積分，記做f(x)dx

不定積分的性質(zhì)：

性質(zhì)一：(

及f(x)dx)f(x)或d(f(x)dx)f(x)dx"

f(x)dxf(x)C"或df(x)f(x)C性質(zhì)二：有限個函數(shù)的和的不定積分等于各個函數(shù)的不定積分的和。即

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[f1(x)f2(x)fn(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx性質(zhì)三：被積函數(shù)中不為零的常數(shù)因子可以提到積分號外面來，即kf(x)dxkf(x)dx（k為常數(shù)，且k0基本積分表：（同課本211頁）（1）kdx（3）1xkxC（k是常數(shù)）（2）xadxxa1a1xC(a1)dxln|x|C（4）exdx（6）sin（8）coseC（5）axdxaxlnaC(a0,a1)xdxcosxC12（7）cos（9）1sinxdxsinxCdxxdxsec2xdxtanxC2xcsc2xdxcotxC（10）sec（12）xtanxdxsecxC（11）cscxcot（13）11x2xdxcscxC11x2dxarcsinxCdxarctanxC第一類換元法（湊微分法）f[(x)](x)dxF[(x)]C"tanxdxln|cosx|Ccotxdxln|sinx|C第二類換元法：變量代換被積函數(shù)若函數(shù)有無理式，一般情況下導用第二類換元法。將無理式化為有理式基本積分表添加公式：結(jié)論：如果被積函數(shù)含有a2x2，則進行變量代換xasint化去根式

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如果被積函數(shù)含有x2a2，則進行變量代換x如果被積函數(shù)含有x2a2，則進行變量代換x分部積分法：對應于兩個函數(shù)乘積的微分法，可推另一種基本微分法---------分部積分法atant化去根式化去根式asectudvuvvdu分部積分公式三角函數(shù)指數(shù)函數(shù)1、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與令u等于冪函數(shù)的積，可以利用分部積分法2、如果被積函數(shù)是冪函數(shù)與對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)對數(shù)函數(shù)反三角函數(shù)的積，可使用分部積分法令u=3、如果被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的積，也可用分部積分法。定積分

定積分的定義（見課本251頁）

定理：如果函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，則f(x)在[a,b]上可積

定理：如果函數(shù)在[a,b]上只有有限個第一類間斷點，則f(x)在[a,b]上可積定積分的幾何意義：

1、在[a,b]上

f(x)0，這時f(x)dxab的值在幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二

直線x=a、x=b所圍成的曲邊梯形的面積

2、在[a,b]上f(x)0，其表示曲邊梯形面積的負值3、在[a,b]上，f(x)既取得正值又取得負值

幾何上表示由曲線yf(x)、x軸及二直線x=a、x=b所圍成平面圖形位于

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x軸上方部分的面積減去x軸下方部分的面積定積分的性質(zhì)：性質(zhì)一、函數(shù)和（差）的定積分等于他們的定積分的和（差），即ba[f(x)g(x)]dxbaf(x)dxbag(x)dx性質(zhì)二、被積函數(shù)中的常數(shù)因子可以提到積分號外面，即bakf(x)dxkf(x)dxab（k是常數(shù)）性質(zhì)三、如果將區(qū)間[a,b]分成兩部分[a,c]和[c,b]，那么baf(x)dxcaf(x)dxbcf(x)dx、ba性質(zhì)四、如果在[a,b]上，f(x)1，那么f(x)dxbabadxba性質(zhì)五、如果在[a,b]上，f(x)0，那么f(x)dx0性質(zhì)六、如果在[a,b]上，f(x)g(x)，那么baf(x)dxbag(x)dx性質(zhì)七、設M及m，分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的最大值及最小值，則m(b-a)baf(x)dxM(b-a)(a北雁高數(shù)知識點總結(jié)QQ:760722085E_mail:heblyd@163.com

牛頓萊布尼茨公式如果函數(shù)baf(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，且F(x)是f(x)的任意一個原函數(shù)，那么f(x)dxF(b)F(a)定積分的換元法假設（1）函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)；（2）函數(shù)x(t)在區(qū)間[,]上單值，且具有連續(xù)導數(shù)；（3）當t在區(qū)間[,]上變化時，x(t)的值在[a,b]上變化，且（）baa，（）b，則有定積分的換元公式f(x)dxf[(t)](t)dt"設f(x)在區(qū)間[a,a]上連續(xù)，則（1）如果函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(x)dx0aaa（2）如果函數(shù)f(x)為偶函數(shù)，則f(x)dx2f(x)dxa0a20sinnxdx20cosnxdx定積分的分部積分法設u(x)、v(x)在[a,b]上具有連續(xù)導數(shù)u"(x)、v"(x)，那么(uv)"bababuvvu""，在等式的兩邊分別求a到b的定積分得(uv)buvdx"bavudx"……定積分的分部積分公式即auv"dx(uv)babavudx"或audv(uv)babavdu無窮區(qū)間上的廣義積分定義：設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,]上連續(xù)，取b>a，如果極限limabf(x)bf(x)dx存在，則稱此極限為函數(shù)在區(qū)間[a,]上的廣義積分，記做af(x)dx即af(x)dxlimbbaf(x)dx

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無界函數(shù)的廣義積分（見書279頁）定積分的應用（見書286頁）

元素法

在極坐標系中的計算法（見書291頁）

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