八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第18章勾股定理知識(shí)點(diǎn)與常見題型總結(jié)復(fù)習(xí) 人教新課標(biāo)版

第18章勾股定理復(fù)習(xí)

一．知識(shí)歸納１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2

勾股定理的由來：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理．我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦．早在三千多年前，周朝數(shù)學(xué)家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后來人們進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)并證明了直角三角形的三邊關(guān)系為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方

２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是

①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變

②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：

方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，412ab(ba)2c2，化簡(jiǎn)可證．

DCHEFGbaAcB

方法二：

baaccbbccaab

四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S412abc22abc2

大正方形面積為S(ab)2a22abb2所以a2b2c2

方法三：S1梯形2(ab)(ab)，S梯形2SADESABE21122ab2c，化簡(jiǎn)得證

用心愛心專心

AaDbccBbEaC

３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明了所考察的對(duì)象是直角三角形４.勾股定理的應(yīng)用

①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊

在ABC中，C90，則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊

①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是銳角三角形；

②定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊

③勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)

②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）

mn,2mn,mn2222（mn,m，n為正整數(shù)）

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．

８.．勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體

用心愛心專心

推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．

９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問題的解決．常見圖形：

CCC30°ABADBBDA

CBDA

題型一：直接考查勾股定理例１.在ABC中，C90．

⑴已知AC6，BC8．求AB的長(zhǎng)⑵已知AB17，AC15，求BC的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2

題型二：應(yīng)用勾股定理建立方程例２.

⑴在ABC中，ACB90，AB5cm，BC3cm，CDAB于D，CD＝⑵已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)之比為3:4，斜邊長(zhǎng)為15，則這個(gè)三角形的面積為⑶已知直角三角形的周長(zhǎng)為30cm，斜邊長(zhǎng)為13cm，則這個(gè)三角形的面積為

分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高的乘積．有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解

例３.如圖ABC中，C90，12，CD1.5，BD2.5，求AC的長(zhǎng)

CD12EAB

分析：此題將勾股定理與全等三角形的知識(shí)結(jié)合起來

用心愛心專心

例4.如圖RtABC，C90AC3,BC4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積

CAB

題型三：實(shí)際問題中應(yīng)用勾股定理

例5.如圖有兩棵樹，一棵高8cm，另一棵高2cm，兩樹相距8cm，一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了m

AEBDC

分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，

題型四：應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三邊長(zhǎng)為a，b，c，判定ABC是否為Rt①a1.5，b2，c2.5②a54，b1，c23

例7.三邊長(zhǎng)為a，b，c滿足ab10，ab18，c8的三角形是什么形狀？

題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用

例8.已知ABC中，AB13cm，BC10cm，BC邊上的中線AD12cm，求證：ABAC

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新人教版八年級(jí)下冊(cè)勾股定理全章知識(shí)點(diǎn)和典型例習(xí)題

一、基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)：１．勾股定理

內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；

表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么a2b2c2２.勾股定理的證明

勾股定理的證明方法很多，常見的是拼圖的方法用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理的思路是①圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變②根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式，推導(dǎo)出勾股定理常見方法如下：

DHEFbAcGaC1方法一：4SS正方形EFGHS正方形ABCD，4ab(ba)2c2，化簡(jiǎn)可證．

2方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積．四個(gè)直角1三角形的面積與小正方形面積的和為S4abc22abc2大正方形面積為

2BbacabS(ab)a2abb所以abc

bc222222c111方法三：S梯形(ab)(ab)，S梯形2SADESABE2abc2，化簡(jiǎn)得證

222３.勾股定理的適用范圍

勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所存在的數(shù)量關(guān)系，它只適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角三角形的三邊就不具有這一特征。４.勾股定理的應(yīng)用①已知直角三角形的任意兩邊長(zhǎng)，求第三邊在ABC中，C90，

BcbaaAaDbccbEaC則ca2b2，bc2a2，ac2b2②知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系③可運(yùn)用勾股定理解決一些實(shí)際問題５.勾股定理的逆定理

如果三角形三邊長(zhǎng)a，b，c滿足a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形，其中c為斜邊。①勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”

來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2b2與較長(zhǎng)邊的平方c2作

比較，若它們相等時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；

②若a2b2c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2b2c2，時(shí)，以a，b，

c為三邊的三角形是銳角三角形；③定理中a，b，c及a2b2c2只是一種表現(xiàn)形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長(zhǎng)a，b，

c滿足a2c2b2，那么以a，b，c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊６.勾股數(shù)

①能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長(zhǎng)的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2b2c2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a，b，c為一組勾股數(shù)②記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代數(shù)式表示n組勾股數(shù)：

n21,2n,n21（n2,n為正整數(shù)）；2n1,2n22n,2n22n1（n為正整數(shù)）m2n2,2mn,m2n2（mn,m，n為正整數(shù)）

1

７．勾股定理的應(yīng)用

勾股定理能夠幫助我們解決直角三角形中的邊長(zhǎng)的計(jì)算或直角三角形中線段之間的關(guān)系的證明問題．在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線（通常作垂線），構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解．８.勾股定理逆定理的應(yīng)用

勾股定理的逆定理能幫助我們通過三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系判斷一個(gè)三角形是否是直角三角形，在具體推算過程中，應(yīng)用兩短邊的平方和與最長(zhǎng)邊的平方進(jìn)行比較，切不可不加思考的用兩邊的平方和與第三邊的平方比較而得到錯(cuò)誤的結(jié)論．９.勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

勾股定理及其逆定理在解決一些實(shí)際問題或具體的幾何問題中，是密不可分的一個(gè)整體．通常既要通過逆定理判定一個(gè)三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出邊的長(zhǎng)度，二者相輔相成，完成對(duì)問題

CCC30°的解決．常見圖形：

ABADBBDA

10、互逆命題的概念

如果一個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個(gè)命題的結(jié)論和題設(shè)，這樣的兩個(gè)命題叫做互逆命題。如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題。

C二、經(jīng)典例題精講

題型一：直接考查勾股定理

例題1例１.在ABC中，C90．

ADB⑴已知AC6，BC8．求AB的長(zhǎng)

⑵已知AB17，AC15，求BC的長(zhǎng)分析：直接應(yīng)用勾股定理a2b2c2

題型二：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度

例題2如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！

例題3如圖（8），水池中離岸邊D點(diǎn)1.5米的C處，直立長(zhǎng)著一根蘆葦，出水部分BC的長(zhǎng)是0.5米，把蘆葦拉到岸邊，它的頂端B恰好落到D點(diǎn)，并求水池的深度AC.

解析：x+1.5=（x+0.5）解之得x=2.題型三：勾股定理和逆定理并用

2222

例題4如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且FB是直角三角形嗎？為什么？設(shè)：B長(zhǎng)度為4a，那么FB=a。注：本題利用了四次勾股定理，是掌握勾股定理的必練習(xí)題。題型四：利用勾股定理求線段長(zhǎng)度例題5如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。∴x=3(cm),即CE=3cm注：本題接下來還可以折痕的長(zhǎng)度和求重疊部分的面積。題型五：利用勾股定理逆定理判斷垂直1AB那么△DEF4例題6如圖5，王師傅想要檢測(cè)桌子的表面AD邊是否垂直與AB邊和CD邊，他測(cè)得AD=80cm，AB=60cm，BD=100cm，AD邊與AB邊垂直嗎？怎樣去驗(yàn)證AD邊與CD邊是否垂直？（于實(shí)物一般比較大，長(zhǎng)度不容易用直尺來方便測(cè)量。我們通常截取部分長(zhǎng)度來驗(yàn)證。）例題7有一個(gè)傳感器控制的燈，安裝在門上方，離地高4.5米的墻上，任何東西只要移至5米以內(nèi)，燈就自動(dòng)打開，一個(gè)身高1.5米的學(xué)生，要走到離門多遠(yuǎn)的地方燈剛好打開？解析：首先要弄清楚人走過去，是頭先距離燈5米還是腳先距離燈5米，可想而知應(yīng)該是頭先距離燈5米。轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，如圖6所示，A點(diǎn)表示控制燈，BM表示人的高度，BC∥MN,BC⊥AN當(dāng)頭（B點(diǎn)）距離A有5米時(shí)，求BC的長(zhǎng)度。已知AN=4.5米,所以AC=3米，由勾股定理，可計(jì)算BC=4米.即使要走到離門4米的時(shí)候燈剛好打開。題型六：旋轉(zhuǎn)問題：變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2,PB=23,PC=4,求△ABC的邊長(zhǎng).分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.

變式2、如圖，△ABC為等腰直角三角形，∠BAC=90°，E、F是BC上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，試探究BE、CF、EF間的關(guān)系，并說明理由.

3

2題型七：關(guān)于翻折問題

例1、如圖，矩形紙片ABCD的邊AB=10cm，BC=6cm，E為BC上一點(diǎn)，將矩形紙片沿AE折疊，點(diǎn)B恰好落在CD邊上的點(diǎn)G處，求BE的長(zhǎng).變式：如圖，AD是△ABC的中線，∠ADC=45°，把△ADC沿直線AD翻折，點(diǎn)C落在點(diǎn)C’的位置，BC=4,求BC’的長(zhǎng).

題型八：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：例1、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？

題型九：關(guān)于最短性問題

例5、如右圖1－19，壁虎在一座底面半徑為2米，高為4米的油罐的下底邊沿A處，它發(fā)現(xiàn)在自己的正上方油罐上邊緣的B處有一只害蟲，便決定捕捉這只害蟲，為了不引起害蟲的注意，它故意不走直線，而是繞著油罐，沿一條螺旋路線，從背后對(duì)害蟲進(jìn)行突然襲擊．結(jié)果，壁虎的偷襲得到成功，獲得了一頓美餐．請(qǐng)問壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害蟲?（π取3.14，結(jié)果保留1位小數(shù)，可以用計(jì)算器計(jì)算）變式：如圖為一棱長(zhǎng)為3cm的正方體，把所有面都分為9個(gè)小正方形，其邊長(zhǎng)都是1cm，假設(shè)一只螞蟻每秒爬行2cm，則它從下地面A點(diǎn)沿表面爬行至右側(cè)面的B點(diǎn)，最少要花幾秒鐘？

4

勾股定理測(cè)試題

一、選擇題

1.下列各數(shù)組中，不能作為直角三角形三邊長(zhǎng)的是()A.9,12,15B.5,12,13C.6,8,10D.3,5,7

2.分別以下列五組數(shù)為一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)：①6，8，10；②13，5，12③1，2，3；④9，40，41；

111⑤32，42，52.其中能構(gòu)成直角三角形的有（）組

A.2B.3C.4D.5

3.將直角三角形的各邊都縮小或擴(kuò)大同樣的倍數(shù)后，得到的三角形()A.可能是銳角三角形B.不可能是直角三角形C.仍然是直角三角形D.可能是鈍角三角形

4.在測(cè)量旗桿的方案中，若旗桿高為21m，目測(cè)點(diǎn)到桿的距離為15m，則目測(cè)點(diǎn)到桿頂?shù)木嚯x為（設(shè)目高為1m）()

A.20mB.25mC.30mD.35m

5.一等腰三角形底邊長(zhǎng)為10cm，腰長(zhǎng)為13cm，則腰上的高為()

A.12cmB.

C.D.

6．已知直角三角形一個(gè)銳角60°，斜邊長(zhǎng)為1，那么此直角三角形的周長(zhǎng)是（）A.

533B.3C.3+2D.22

二、填空題

7.如圖,64、400分別為所在正方形的面積，則圖中字母A所代表的正方形面積是_______.

(第5題)（第6題)_

8.如圖，一根樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離底部12米處.樹折斷之前有______米.9.已知甲往東走了4km，乙往南走了3km，這時(shí)甲、乙兩人相距.

10.一個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為12cm，對(duì)角線長(zhǎng)為13cm，則該長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為.

11.以直角三角形的三邊為邊向形外作正方形P、Q、K，若SP＝4，SQ＝9，則Sk＝.12.直角三角形兩條直角邊的長(zhǎng)分別為5、12，則斜邊上的高為.13．在△ABC中，AB＝8cm，BC＝15cm，要使∠B＝90°，則AC的長(zhǎng)必為______cm.

三、解答題

10.假期中，小明和同學(xué)們到某海島上去探寶旅游，按照探寶圖，他們登陸后先往東走8千米，又往北走2千米，遇到障礙后又往西走了3千米，再折向北走了6千米處往東一拐，僅走了1千米就找到寶藏，問登陸點(diǎn)A到寶藏埋藏點(diǎn)B的距離是多少千米？

5

11.P為正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，將△ABP繞B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△CBEBP＝a.求：以PE為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

的位置，若

12.已知:如圖13,△ABC中,AB=10,BC=9,AC=17.求BC邊上的高.

13.從旗桿的頂端系一條繩子，垂到地面還多2米，小敏拉起繩子下端繃緊，剛好接觸地面，發(fā)現(xiàn)繩子下端距離旗桿底部8米，小敏馬上計(jì)算出旗桿的高度，你知道她是如何解的嗎？

13.如下圖，一個(gè)牧童在小河的南4km的A處牧馬，而他的小屋位于他的南7km東8km處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家.他要完成這件事情所走的最短路程是多少？

小河北A牧童東

B小屋

6

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