北師大版八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(A3排版A4打印,便于記憶)

數(shù)學(xué)知識(shí)必須經(jīng)過(guò)自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會(huì)，學(xué)以致用！

《數(shù)學(xué)》（八年級(jí)上冊(cè)）知識(shí)點(diǎn)總結(jié)（北師大版）

1．勾股定理

1、勾股定理

直角三角形兩直角邊a，b的平方和等于斜邊c的平方，即a2b2c22、勾股定理的逆定理

如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c有關(guān)系a2b2c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。（3）勾股數(shù)：滿足a2b2c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。

2．實(shí)數(shù)

一、實(shí)數(shù)的概念及分類

1、實(shí)數(shù)的分類正有理數(shù)有理數(shù)零有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)正無(wú)理數(shù)無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)2、無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。

在理解無(wú)理數(shù)時(shí)，要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)之，歸納起來(lái)有四類：（1）開方開不盡的數(shù)，如7,32等；π（2）有特定意義的數(shù)，如圓周率π，或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù)，如+8等；

3（3）有特定結(jié)構(gòu)的數(shù)，如0.1010010001等；

o

（4）某些三角函數(shù)值，如sin60等二、實(shí)數(shù)的倒數(shù)、相反數(shù)和絕對(duì)值1、相反數(shù)

實(shí)數(shù)與它的相反數(shù)時(shí)一對(duì)數(shù)（只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù)，零的相反數(shù)是零），從數(shù)軸上看，互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如果a與b互為相反數(shù)，則有a+b=0，a=b，反之亦成立。2、絕對(duì)值

在數(shù)軸上，一個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離，叫做該數(shù)的絕對(duì)值。（|a|≥0）。零的絕對(duì)值是它本身，也可看成它的相反數(shù)，若|a|=a，則a≥0；若|a|=-a，則a≤0。3、倒數(shù)

如果a與b互為倒數(shù)，則有ab=1，反之亦成立。倒數(shù)等于本身的數(shù)是1和-1。零沒有倒數(shù)。4、數(shù)軸

規(guī)定了原點(diǎn)、正方向和單位長(zhǎng)度的直線叫做數(shù)軸（畫數(shù)軸時(shí)，要注意上述規(guī)定的三要素缺一不可）。

解題時(shí)要真正掌握數(shù)形結(jié)合的思想，理解實(shí)數(shù)與數(shù)軸的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)的，并能靈活運(yùn)用。5、估算

三、平方根、算數(shù)平方根和立方根

1、算術(shù)平方根：一般地，如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地，0的算術(shù)平方根是0。

表示方法：記作“a”，讀作根號(hào)a。

性質(zhì)：正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè)，零的算術(shù)平方根是零。

2、平方根：一般地，如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根（或二次方根）。

表示方法：正數(shù)a的平方根記做“a”，讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；零的平方根是零；負(fù)數(shù)沒有平方根。開平方：求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算，叫做開平方。a0注意a的雙重非負(fù)性：a0

3、立方根

3

一般地，如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a，即x=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根（或三次方根）。

表示方法：記作3a

性質(zhì)：一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根；一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根；零的立方根是零。注意：3a3a，這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。四、實(shí)數(shù)大小的比較

1、實(shí)數(shù)比較大小：正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于一切負(fù)數(shù)；數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)，右邊的總比左邊的大；兩個(gè)負(fù)數(shù)，絕對(duì)值大的反而小。

2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法

（1）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。（2）求差比較：設(shè)a、b是實(shí)數(shù)，

ab0ab,ab0ab,ab0ab

（3）求商比較法：設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù)，1ab;baab1ab;ab1ab;

（4）絕對(duì)值比較法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則abab。（5）平方法：設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù)，則abab。五、算術(shù)平方根有關(guān)計(jì)算（二次根式）

1、含有二次根號(hào)“2、性質(zhì)：

2（1）(a)a(a0)

22”；被開方數(shù)a必須是非負(fù)數(shù)。

a(a0)

（2）a2aa(a0)

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（3）abababab(a0,b0)（

abab(a0,b0)）n(n3)6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，則多邊形的對(duì)角線共有

（4）

(a0,b0)（

abab(a0,b0)）

2條。從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出

3、運(yùn)算結(jié)果若含有“a”形式，必須滿足：（1）被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

式；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式

六、實(shí)數(shù)的運(yùn)算

（1）六種運(yùn)算：加、減、乘、除、乘方、開方（2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序

先算乘方和開方，再算乘除，最后算加減，如果有括號(hào)，就先算括號(hào)里面的。（3）運(yùn)算律

加法交換律abba

加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba

乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對(duì)加法的分配律a(bc)abac

3．圖形的平移與旋轉(zhuǎn)

一、平移1、定義

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形整體沿某方向移動(dòng)一定的距離，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為平移。2、性質(zhì)

平移前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等，對(duì)應(yīng)線段平行且相等，對(duì)應(yīng)角相等。二、旋轉(zhuǎn)1、定義

在平面內(nèi)，將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱為旋轉(zhuǎn)，這個(gè)定點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。

2、性質(zhì)

旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。

4．四邊形性質(zhì)探索

一、四邊形的相關(guān)概念1、四邊形

在同一平面內(nèi)，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。2、四邊形具有不穩(wěn)定性

3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理

四邊形的內(nèi)角和定理：四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理：四邊形的外角和等于360°。

推論：多邊形的內(nèi)角和定理：n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180°；多邊形的外角和定理：任意多邊形的外角和等于360°。

發(fā)能引（n-3）條對(duì)角線，將n邊形分成（n-2）個(gè)三角形。二、平行四邊形

1、平行四邊形的定義

兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)

（1）平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。

（2）平行四邊形相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等（3）平行四邊形的對(duì)角線互相平分。

（4）平行四邊形是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。常用點(diǎn)：（1）若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn)，并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。

（2）推論：夾在兩條平行線間的平行線段相等。3、平行四邊形的判定

（1）定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形（2）定理1：兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形（3）定理2：兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形（4）定理3：對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形（5）定理4：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形4、兩條平行線的距離

兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線的距離。

平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah三、矩形

1、矩形的定義

有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)

（1）矩形的對(duì)邊平行且相等（2）矩形的四個(gè)角都是直角

（3）矩形的對(duì)角線相等且互相平分

（4）矩形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。

3、矩形的判定

（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形（2）定理1：有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形（3）定理2：對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長(zhǎng)×寬=ab四、菱形

1、菱形的定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形

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2、菱形的性質(zhì)

（1）菱形的四條邊相等，對(duì)邊平行（2）菱形的相鄰的角互補(bǔ)，對(duì)角相等

（3）菱形的對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角

（4）菱形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)（對(duì)稱中心到菱形四條邊的距離相等）；對(duì)稱軸有兩條，是對(duì)角線所在的直線。

3、菱形的判定

（1）定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形（2）定理1：四邊都相等的四邊形是菱形

（3）定理2：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積

S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半五、正方形（3~10分）

1、正方形的定義有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。

2、正方形的性質(zhì)

（1）正方形四條邊都相等，對(duì)邊平行（2）正方形的四個(gè)角都是直角

（3）正方形的兩條對(duì)角線相等，并且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角（4）正方形既是中心對(duì)稱圖形又是軸對(duì)稱圖形；對(duì)稱中心是對(duì)角線的交點(diǎn)；對(duì)稱軸有四條，是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。

3、正方形的判定

判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義，途徑有兩種：先證它是矩形，再證它是菱形。先證它是菱形，再證它是矩形。4、正方形的面積

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，對(duì)角線長(zhǎng)為b，S正方形=a2（三）等腰梯形1、等腰梯形的定義

兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)

（1）等腰梯形的兩腰相等，兩底平行。

（2）等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等，同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。（3）等腰梯形的對(duì)角線相等。

（4）等腰梯形是軸對(duì)稱圖形，它只有一條對(duì)稱軸，即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定

（1）定義：兩腰相等的梯形是等腰梯形

（2）定理：在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形

（3）對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。（選擇題和填空題可直接用）

（四）梯形的面積

（1）如圖，S梯形ABCD12(CDAB)DE

（2）梯形中有關(guān)圖形的面積：

①SABDSBAC；②SAODSBOC；③SADCSBCD

七、有關(guān)中點(diǎn)四邊形問題的知識(shí)點(diǎn)：

（1）順次連接任意四邊形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形；（2）順次連接矩形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；（3）順次連接菱形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；

（4）順次連接等腰梯形的四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

（5）順次連接對(duì)角線相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形；

（6）順次連接對(duì)角線互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形；

（7）順次連接對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是正方形；八、中心對(duì)稱圖形1、定義

在平面內(nèi)，一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合，那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱中心。

2、性質(zhì)

（1）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等形。

（2）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱中心，并且被對(duì)稱中心平分。（3）關(guān)于中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)應(yīng)線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定

如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn)，并且被這一點(diǎn)平分，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱。

九、四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形、直角梯形的關(guān)系圖：

b22

六、梯形

（一）1、梯形的相關(guān)概念

一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。

梯形中平行的兩邊叫做梯形的底，通常把較短的底叫做上底，較長(zhǎng)的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。2、梯形的判定

（1）定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。（2）一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。

（二）直角梯形的定義：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地，梯形的分類如下：一般梯形

梯形直角梯形特殊梯形

等腰梯形

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5．位置的確定

一、在平面內(nèi)，確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念1、平面直角坐標(biāo)系

在平面內(nèi)，兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸，組成平面直角坐標(biāo)系。其中，水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸，取向上為正方向；x軸和y軸統(tǒng)稱坐標(biāo)軸。它們的公共原點(diǎn)O稱為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)；建立了直角坐標(biāo)系的平面，叫做坐標(biāo)平面。

2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置，把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。

注意：x軸和y軸上的點(diǎn)（坐標(biāo)軸上的點(diǎn)），不屬于任何一個(gè)象限。3、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念

對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線，垂足在上x軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)a，b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)，有序數(shù)對(duì)（a，b）叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。

點(diǎn)的坐標(biāo)用（a，b）表示，其順序是橫坐標(biāo)在前，縱坐標(biāo)在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì)，當(dāng)ab時(shí)，（a，b）和（b，a）是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。

平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。4、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征（1）、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一象限x0,y0

點(diǎn)P(x,y)在第二象限x0,y0點(diǎn)P(x,y)在第三象限x0,y0點(diǎn)P(x,y)在第四象限x0,y0（2）、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征

點(diǎn)P(x,y)在x軸上y0，x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上x0，y為任意實(shí)數(shù)

點(diǎn)P(x,y)既在x軸上，又在y軸上x，y同時(shí)為零，即點(diǎn)P坐標(biāo)為（0，0）即原點(diǎn)（3）、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線（直線y=x）上x與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x與y互為相反數(shù)（4）、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。（5）、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征

點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于x軸對(duì)稱橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’（x，-y）

點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于y軸對(duì)稱縱坐標(biāo)相等，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為P’（-x，y）

點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù)，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為P’（-x，-y）

(6)、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離：（1）點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于y（2）點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于x

（3）點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律：

坐標(biāo)（x，y）的變化x×a或y×ax×a，y×ax×（-1）或y×（-1）x×（-1），y×（-1）x+a或y+ax+a，y+axy22

圖形的變化被橫向或縱向拉長(zhǎng)（壓縮）為原來(lái)的a倍放大（縮�。�為原來(lái)的a倍關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱沿x軸或y軸平移a個(gè)單位沿x軸平移a個(gè)單位，再沿y軸平移a個(gè)單6．一次函數(shù)

一、函數(shù)：

一般地，在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y，如果給定一個(gè)x值，相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值，那么我們稱y是x的函數(shù)，其中x是自變量，y是因變量。二、自變量取值范圍

使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取值范圍。一般從整式（取全體實(shí)數(shù)），分式（分母不為0）、二次根式（被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)）、實(shí)際意義幾方面考慮。三、函數(shù)的三種表示法及其優(yōu)缺點(diǎn)

（1）關(guān)系式（解析）法

兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系，有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示，這種表示法叫做關(guān)系式（解析）法。

（2）列表法

把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系，這種表示法叫做列表法。

（3）圖象法

用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、由函數(shù)關(guān)系式畫其圖像的一般步驟

（1）列表：列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值

（2）描點(diǎn)：以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)，在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)

（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)

1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念

一般地，若兩個(gè)變量x，y間的關(guān)系可以表示成ykxb（k，b為常數(shù)，k0）的形式，則稱y是x的一次函數(shù)（x為自變量，y為因變量）。

特別地，當(dāng)一次函數(shù)ykxb中的b=0時(shí)（即ykx）（k為常數(shù)，k0），稱y是x的正比例函數(shù)。

2、一次函數(shù)的圖像:所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征：

一次函數(shù)ykxb的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，b）的直線；正比例函數(shù)ykx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)（0，0）的直線。

第4頁(yè)共5頁(yè)數(shù)學(xué)知識(shí)必須經(jīng)過(guò)自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會(huì)，學(xué)以致用！

k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像y0x圖像特征b>0圖像經(jīng)過(guò)一、二、三象限，y隨x的增大而增大。k>0yb00x圖像經(jīng)過(guò)一、二、四象限，y隨x的增大而減小K

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數(shù)學(xué)知識(shí)必須經(jīng)過(guò)自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會(huì)，學(xué)以致用！

北師大版八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

第一章一元一次不等式和一元一次不等式組

一.不等關(guān)系

※1.一般地,用符號(hào)“”(或“≥”)連接的式子叫做不等式.¤2.要區(qū)別方程與不等式:方程表示的是相等的關(guān)系;不等式表示的是不相等的關(guān)系.

※3.準(zhǔn)確“翻譯”不等式,正確理解“非負(fù)數(shù)”、“不小于”等數(shù)學(xué)術(shù)語(yǔ).

非負(fù)數(shù)大于等于0(≥0)0和正數(shù)不小于0非正數(shù)小于等于0(≤0)0和負(fù)數(shù)不大于0二.不等式的基本性質(zhì)

※1.掌握不等式的基本性質(zhì),并會(huì)靈活運(yùn)用:

(1)不等式的兩邊加上(或減去)同一個(gè)整式,不等號(hào)的方向不變,即:

如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.

(2)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變,即

ab如果a>b,并且c>0,那么ac>bc,.

cc(3)不等式的兩邊都乘以(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變,即:

ab如果a>b,并且cb;

如果a=b,那么a-b等于0;反過(guò)來(lái),如果a-b等于0,那么a=b;如果a0；a=ba-b=0；a數(shù)學(xué)知識(shí)必須經(jīng)過(guò)自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會(huì)，學(xué)以致用！

第二章分解因式

一.分解因式

1.把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.※2.因式分解與整式乘法是互逆關(guān)系.

因式分解與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系:

(1)整式乘法是把幾個(gè)整式相乘,化為一個(gè)多項(xiàng)式;(2)因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式化為幾個(gè)因式相乘.二.提公共因式法

※1.如果一個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)含有公因式,那么就可以把這個(gè)公因式提出來(lái),從而將

多項(xiàng)式化成兩個(gè)因式乘積的形式.這種分解因式的方法叫做提公因式法.如:abaca(bc)※2.概念內(nèi)涵:

(1)因式分解的最后結(jié)果應(yīng)當(dāng)是“積”;(2)公因式可能是單項(xiàng)式,也可能是多項(xiàng)式;

(3)提公因式法的理論依據(jù)是乘法對(duì)加法的分配律,即:mambmcm(abc)※3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):

(1)注意項(xiàng)的符號(hào)與冪指數(shù)是否搞錯(cuò);(2)公因式是否提“干凈”;(3)多項(xiàng)式中某一項(xiàng)恰為公因式,提出后,括號(hào)中這一項(xiàng)為+1,不漏掉.三.運(yùn)用公式法

※1.如果把乘法公式反過(guò)來(lái),就可以用來(lái)把某些多項(xiàng)式分解因式.這種分解因式的方法叫做運(yùn)用公式法.※2.主要公式:

(1)平方差公式:a2b2(ab)(ab)

(2)完全平方公式:a22abb2(ab)2；a22abb2(ab)2¤3.易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)評(píng):

因式分解要分解到底.如x4y4(x2y2)(x2y2)就沒有分解到底.※4.運(yùn)用公式法:

(1)平方差公式:

①應(yīng)是二項(xiàng)式或視作二項(xiàng)式的多項(xiàng)式;

②二項(xiàng)式的每項(xiàng)(不含符號(hào))都是一個(gè)單項(xiàng)式(或多項(xiàng)式)的平方;③二項(xiàng)是異號(hào).(2)完全平方公式:①應(yīng)是三項(xiàng)式;

②其中兩項(xiàng)同號(hào),且各為一整式的平方;

③還有一項(xiàng)可正負(fù),且它是前兩項(xiàng)冪的底數(shù)乘積的2倍.

※5.因式分解的思路與解題步驟:

(1)先看各項(xiàng)有沒有公因式,若有,則先提取公因式;(2)再看能否使用公式法;

(3)用分組分解法,即通過(guò)分組后提取各組公因式或運(yùn)用公式法來(lái)達(dá)到分解的目的;

(4)因式分解的最后結(jié)果必須是幾個(gè)整式的乘積,否則不是因式分解;

(5)因式分解的結(jié)果必須進(jìn)行到每個(gè)因式在有理數(shù)范圍內(nèi)不能再分解為止.

四.分組分解法:

※1.分組分解法:利用分組來(lái)分解因式的方法叫做分組分解法.如:amanbmbna(mn)b(mn)(ab)(mn)※2.概念內(nèi)涵:

分組分解法的關(guān)鍵是如何分組,要嘗試通過(guò)分組后是否有公因式可提,并且可繼續(xù)分解,分組后是否可利用公式法繼續(xù)分解因式.※3.注意:分組時(shí)要注意符號(hào)的變化.

第三章分式

一.分式

※1.兩個(gè)整數(shù)不能整除時(shí),出現(xiàn)了分?jǐn)?shù);類似地,當(dāng)兩個(gè)整式不能整除時(shí),就出現(xiàn)了分式.

AA整式A除以整式B,可以表示成的形式.如果除式B中含有字母,那么稱為

BB分式,對(duì)于任意一個(gè)分式,分母都不能為零.

整式※2.整式和分式統(tǒng)稱為有理式,即有:有理式

分式※3.進(jìn)行分?jǐn)?shù)的化簡(jiǎn)與運(yùn)算時(shí),常要進(jìn)行約分和通分,其主要依據(jù)是分?jǐn)?shù)的基本性

質(zhì):

分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式,分式的值不變.

AAMAAM,(M0)BBMBBM※4.一個(gè)分式的分子、分母有公因式時(shí),可以運(yùn)用分式的基本性質(zhì),把這個(gè)分式的

分子、分母同時(shí)除以它的們的公因式,也就是把分子、分母的公因式約去,這叫做約分.

二.分式的乘除法

※1.分式乘以分式,用分子的積做積的分子,分母的積做積的分母;分式除以以分

式,把除式的分子、分母顛倒位置后,與被除式相乘.

ACACACADAD即:,

BDBDBDBCBC※2.分式乘方,把分子、分母分別乘方.

AnA即:nBBn(n為正整數(shù))

nnAnAAnA逆向運(yùn)用n,當(dāng)n為整數(shù)時(shí),仍然有n成立.

BBBB※3.分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡(jiǎn)分式.

三.分式的加減法

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※1.分式與分?jǐn)?shù)類似,也可以通分.根據(jù)分式的基本性質(zhì),把幾個(gè)異分母的分式分

別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.※2.分式的加減法:

分式的加減法與分?jǐn)?shù)的加減法一樣,分為同分母的分式相加減與異分母的分式相

加減.

(1)同分母的分式相加減,分母不變,把分子相加減;

ABAB上述法則用式子表示是:

CCC(2)異號(hào)分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥�分母的分�?然后再加減;

ACADBCADBC上述法則用式子表示是:

BDBDBDBD※3.概念內(nèi)涵:

通分的關(guān)鍵是確定最簡(jiǎn)分母,其方法如下:最簡(jiǎn)公分母的系數(shù),取各分母系數(shù)的最小公倍數(shù);最簡(jiǎn)公分母的字母,取各分母所有字母的最高次冪的積,如果分母是多項(xiàng)式,則首先對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解.四.分式方程

※1.解分式方程的一般步驟:

①在方程的兩邊都乘最簡(jiǎn)公分母,約去分母,化成整式方程;②解這個(gè)整式方程;

③把整式方程的根代入最簡(jiǎn)公分母,看結(jié)果是不是零,使最簡(jiǎn)公母為零的根是原方程的增根,必須舍去.

※2.列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:

①審清題意;②設(shè)未知數(shù);

③根據(jù)題意找相等關(guān)系,列出(分式)方程;④解方程,并驗(yàn)根;⑤寫出答案.

第四章相似圖形

一.線段的比

※1.如果選用同一個(gè)長(zhǎng)度單位量得兩條線段AB,CD的長(zhǎng)度分別是m、n,那么就說(shuō)

Am這兩條線段的比AB:CD=m:n,或?qū)懗?

Bnac※2.四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四

bd條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡(jiǎn)稱比例線段.※3.注意點(diǎn):

①a:b=k,說(shuō)明a是b的k倍;②由于線段a、b的長(zhǎng)度都是正數(shù),所以k是正數(shù);

③比與所選線段的長(zhǎng)度單位無(wú)關(guān),求出時(shí)兩條線段的長(zhǎng)度單位要一致;

④除了a=b之外,a:b≠b:a,⑤比例的基本性質(zhì):若二.黃金分割

ba與互為倒數(shù);baacac,則ad=bc;若ad=bc,則bdbdACBC,那么稱線段ABABAC※1.如圖1,點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果

被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.

AC:AB510.618:12_A

_圖1

_C_B

※2.黃金分割點(diǎn)是最優(yōu)美、最令人賞心悅目的點(diǎn).

四.相似多邊形

¤1.一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.

※2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.五.相似三角形

※1.在相似多邊形中,最為簡(jiǎn)簡(jiǎn)單的就是相似三角形.

※2.對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

※3.全等三角形是相似三角的特例,這時(shí)相似比等于1.注意:證兩個(gè)相似三角形,

與證兩個(gè)全等三角形一樣,應(yīng)把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.※4.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)中線的比與對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.※5.相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

※6.相似三角形面積的比等于相似比的平方.六.探索三角形相似的條件※1.相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交

的直線,所截得的三角形與原三角形相似.①兩角對(duì)應(yīng)相等;②兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等;③三邊對(duì)應(yīng)成比例.①一個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等;②兩條邊對(duì)應(yīng)成比例:a.兩直角邊對(duì)應(yīng)成比例;b.斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例.A_B_C_D_E_F__l_1_l_2_l_3

_圖2

第3頁(yè)共4頁(yè)數(shù)學(xué)知識(shí)必須經(jīng)過(guò)自己的加工、創(chuàng)造，才能真正領(lǐng)會(huì)，學(xué)以致用！

※2.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

ABBC如圖2,l1//l2//l3,則.DEEF※3.平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.

八.相似的多邊形的性質(zhì)

※相似多邊形的周長(zhǎng)等于相似比;面積比等于相似比的平方.九.圖形的放大與縮小

※1.如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形,而且每組對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過(guò)同一點(diǎn),那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形;這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心;這時(shí)的相似比又稱為位似比.

※2.位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于位似比.◎3.位似變換:

①變換后的圖形,不僅與原圖相似,而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn),并且對(duì)應(yīng)點(diǎn)到這一交點(diǎn)的距離成比例.像這種特殊的相似變換叫做位似變換.這個(gè)交點(diǎn)叫做位似中心.

②一個(gè)圖形經(jīng)過(guò)位似變換后得到另一個(gè)圖形,這兩個(gè)圖形就叫做位似形.③利用位似的方法,可以把一個(gè)圖形放大或縮小.

第五章數(shù)據(jù)的收集與處理

一.每周干家務(wù)活的時(shí)間

※1.所要考察的對(duì)象的全體叫做總體;

把組成總體的每一個(gè)考察對(duì)象叫做個(gè)體;

從總體中取出的一部分個(gè)體叫做這個(gè)總體的一個(gè)樣本.※2.為一特定目的而對(duì)所有考察對(duì)象作的全面調(diào)查叫做普查;

為一特定目的而對(duì)部分考察對(duì)象作的調(diào)查叫做抽樣調(diào)查.二.數(shù)據(jù)的收集

※1.抽樣調(diào)查的特點(diǎn):調(diào)查的范圍小、節(jié)省時(shí)間和人力物力優(yōu)點(diǎn).但不如普查得到

的調(diào)查結(jié)果精確,它得到的只是估計(jì)值.

而估計(jì)值是否接近實(shí)際情況還取決于樣本選得是否有代表性.

第六章證明(一)

二.定義與命題

※1.一般地,能明確指出概念含義或特征的句子,稱為定義.

定義必須是嚴(yán)密的.一般避免使用含糊不清的術(shù)語(yǔ),例如“一些”、“大概”、“差不多”等不能在定義中出現(xiàn).

※2.可以判斷它是正確的或是錯(cuò)誤的句子叫做命題.

正確的命題稱為真命題,錯(cuò)誤的命題稱為假命題.

※3.數(shù)學(xué)中有些命題的正確性是人們?cè)陂L(zhǎng)期實(shí)踐中總結(jié)出來(lái)的,并且把它們作為

判斷其他命題真假的原始依據(jù),這樣的真命題叫做公理.

※4.有些命題可以從公理或其他真命題出發(fā),用邏輯推理的方法判斷它們是正確

的,并且可以進(jìn)一步作為判斷其他命題真假的依據(jù),這樣的真命題叫做定理.¤5.根據(jù)題設(shè)、定義以及公理、定理等,經(jīng)過(guò)邏輯推理,來(lái)判斷一個(gè)命題是否正確,

這樣的推理過(guò)程叫做證明.三.為什么它們平行

※1.平行判定公理:同位角相等,兩直線平行.(并由此得到平行的判定定理)※2.平行判定定理:同旁內(nèi)互補(bǔ),兩直線平行.※3.平行判定定理:同錯(cuò)角相等,兩直線平行.四.如果兩條直線平行

※1.兩條直線平行的性質(zhì)公理:兩直線平行,同位角相等;※2.兩條直線平行的性質(zhì)定理:兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等;※3.兩條直線平行的性質(zhì)定理:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).五.三角形和定理的證明

※1.三角形內(nèi)角和定理:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°¤2.一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)直角¤3.一個(gè)三角形中至多只有一個(gè)鈍角¤4.一個(gè)三角形中至少有兩個(gè)銳角六.關(guān)注三角形的外角

※1.三角形內(nèi)角和定理的兩個(gè)推論:

推論1:三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和;推論2:三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角.

（注：※表示重點(diǎn)部分；¤表示了解部分；◎表示僅供參閱部分；）

第4頁(yè)共4頁(yè)

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