新人教數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
新人教八年級(jí)上冊(cè)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)第十一章三角形
1定理三角形兩邊的和大于第三邊2推論三角形兩邊的差小于第三邊
3三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°4推論1直角三角形的兩個(gè)銳角互余
5推論2三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和6推論3三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角7定理四邊形的內(nèi)角和等于360°8四邊形的外角和等于360°
9多邊形內(nèi)角和定理n邊形的內(nèi)角的和等于(n-2)×180°10推論任意多邊的外角和等于360°
第十二章三角形全等
1全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相等
2邊角邊公理(SAS)有兩邊和它們的夾角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等3角邊角公理(ASA)有兩角和它們的夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等4推論(AAS)有兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等5邊邊邊公理(SSS)有三邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等
6斜邊、直角邊公理(HL)有斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等7定理1在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
8定理2到一個(gè)角的兩邊的距離相同的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上9角的平分線是到角的兩邊距離相等的所有點(diǎn)的集合
第十三章軸對(duì)稱(chēng)
1定理1關(guān)于某條直線對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形
2定理2如果兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng),那么對(duì)稱(chēng)軸是對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的垂直平分線
3定理3兩個(gè)圖形關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng),如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)線相交,那么交點(diǎn)在對(duì)稱(chēng)軸上
4逆定理如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線被同一條直線垂直平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這條直線對(duì)稱(chēng)
5定理線段垂直平分線上的點(diǎn)和這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
6逆定理和一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn),在這條線段的垂直平分線上7線段的垂直平分線可看作和線段兩端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合
8等腰三角形的性質(zhì)定理等腰三角形的兩個(gè)底角相等(即等邊對(duì)等角)9推論1等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊
10等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線和底邊上的高互相重合11推論3等邊三角形的各角都相等,并且每一個(gè)角都等于60°
12等腰三角形的判定定理如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等,那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)
13推論1三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形14推論2有一個(gè)角等于60°的等腰三角形是等邊三角形15在直角三角形中,如果一個(gè)銳角等于30°那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半
第十四章整式的乘除與因式分解1整式的乘法:aaamnmnmn(m,n都是正整數(shù))(m,n都是正整數(shù))
n(a)anmn(ab)ab(n都是正整數(shù))(ab)(ab)ab(ab)a2abb(ab)a2abb2整式的除法:aaamnmn22222222n(m,n都是正整數(shù),a0)
注意:(1)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的結(jié)果仍然是單項(xiàng)式。
(2)單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘,結(jié)果是一個(gè)多項(xiàng)式,其項(xiàng)數(shù)與因式中多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同。
(3)計(jì)算時(shí)要注意符號(hào)問(wèn)題,多項(xiàng)式的每一項(xiàng)都包括它前面的符號(hào),同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào)。
(4)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的展開(kāi)式中,有同類(lèi)項(xiàng)的要合并同類(lèi)項(xiàng)。(5)公式中的字母可以表示數(shù),也可以表示單項(xiàng)式或多項(xiàng)式。
(6)a1(a0);a0p1(a0,p為正整數(shù))pa(7)多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式,先把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)除以這個(gè)單項(xiàng)式,再把所得
的商相加,單項(xiàng)式除以多項(xiàng)式是不能這么計(jì)算的。
3因式分解
(1)因式分解:把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式,叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。(2)因式分解的常用方法
(a)提公因式法:abaca(bc)(b)運(yùn)用公式法:ab(ab)(ab)a2abb(ab)a2abb(ab)
(c)分組分解法:acadbcbda(cd)b(cd)(ab)(cd)(d)十字相乘法:a(pq)apq(ap)(aq)(3)因式分解的一般步驟:
2222222(a)如果多項(xiàng)式的各項(xiàng)有公因式,那么先提取公因式。
(b)在各項(xiàng)提出公因式以后或各項(xiàng)沒(méi)有公因式的情況下,觀察多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù):二項(xiàng)式可
以嘗試運(yùn)用公式法分解因式;3項(xiàng)式可以嘗試運(yùn)用公式法、十字相乘法分解因式;4項(xiàng)式及4項(xiàng)式以上的可以嘗試分組分解法分解因式(c)分解因式必須分解到每一個(gè)因式都不能再分解為止。
第十五章分式分式的乘除法
1.把一個(gè)分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分.2.分式進(jìn)行約分的目的是要把這個(gè)分式化為最簡(jiǎn)分式.
3.如果分式的分子或分母是多項(xiàng)式,可先考慮把它分別分解因式,得到因式乘積形式,再約去分子與分母的公因式.如果分子或分母中的多項(xiàng)式不能分解因式,此時(shí)就不能把分子、分母中的某些項(xiàng)單獨(dú)約分.
4.分式約分中注意正確運(yùn)用乘方的符號(hào)法則,如xy(yx),(xy)(yx)
22(xy)3(xy)3
5.分式的分子或分母帶符號(hào)的n次方,可按分式符號(hào)法則,變成整個(gè)分式的符號(hào),然后再按-1的偶次方為正、奇次方為負(fù)來(lái)處理.當(dāng)然,簡(jiǎn)單的分式之分子分母可直接乘方.6.注意混合運(yùn)算中應(yīng)先算括號(hào),再算乘方,然后乘除,最后算加減.分?jǐn)?shù)的加減法
1.通分與約分雖都是針對(duì)分式而言,但卻是兩種相反的變形.約分是針對(duì)一個(gè)分式而言,而通分是針對(duì)多個(gè)分式而言;約分是把分式化簡(jiǎn),而通分是把分式化繁,從而把各分式的分母統(tǒng)一起來(lái).
2.通分和約分都是依據(jù)分式的基本性質(zhì)進(jìn)行變形,其共同點(diǎn)是保持分式的值不變.
3.一般地,通分結(jié)果中,分母不展開(kāi)而寫(xiě)成連乘積的形式,分子則乘出來(lái)寫(xiě)成多項(xiàng)式,為進(jìn)一步運(yùn)算作準(zhǔn)備.
4.通分的依據(jù):分式的基本性質(zhì).
5.通分的關(guān)鍵:確定幾個(gè)分式的公分母.
通常取各分母的所有因式的最高次冪的積作公分母,這樣的公分母叫做最簡(jiǎn)公分母.6.類(lèi)比分?jǐn)?shù)的通分得到分式的通分:
把幾個(gè)異分母的分式分別化成與原來(lái)的分式相等的同分母的分式,叫做分式的通分.7.同分母分式的加減法的法則是:同分母分式相加減,分母不變,把分子相加減。
同分母的分式加減運(yùn)算,分母不變,把分子相加減,這就是把分式的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為整式運(yùn)算。8.異分母的分式加減法法則:異分母的分式相加減,先通分,變?yōu)橥帜傅姆质,然后再加減.
9.同分母分式相加減,分母不變,只須將分子作加減運(yùn)算,但注意每個(gè)分子是個(gè)整體,要適時(shí)添上括號(hào).
10.對(duì)于整式和分式之間的加減運(yùn)算,則把整式看成一個(gè)整體,即看成是分母為1的分式,以便通分.
11.異分母分式的加減運(yùn)算,首先觀察每個(gè)公式是否最簡(jiǎn)分式,能約分的先約分,使分式簡(jiǎn)化,然后再通分,這樣可使運(yùn)算簡(jiǎn)化.
12.作為最后結(jié)果,如果是分式則應(yīng)該是最簡(jiǎn)分式.(九)含有字母系數(shù)的一元一次方程1.含有字母系數(shù)的一元一次方程引例:一數(shù)的a倍(a≠0)等于b,求這個(gè)數(shù)。用x表示這個(gè)數(shù),根據(jù)題意,可得方程ax=b(a≠0)
在這個(gè)方程中,x是未知數(shù),a和b是用字母表示的已知數(shù)。對(duì)x來(lái)說(shuō),字母a是x的系數(shù),b是常數(shù)項(xiàng)。這個(gè)方程就是一個(gè)含有字母系數(shù)的一元一次方程。
含有字母系數(shù)的方程的解法與以前學(xué)過(guò)的只含有數(shù)字系數(shù)的方程的解法相同,但必須特別注意:用含有字母的式子去乘或除方程的兩邊,這個(gè)式子的值不能等于零。
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蘇教版《數(shù)學(xué)》(八年級(jí)上冊(cè))知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第一章軸對(duì)稱(chēng)圖形
軸對(duì)稱(chēng)圖形線段角等腰三角形軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)等腰梯形軸對(duì)稱(chēng)的應(yīng)用軸對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)軸對(duì)稱(chēng)圖案第二章勾股定理與平方根
一.勾股定理
1、勾股定理
直角三角形兩直角邊a,b的平方和等于斜邊c的平方,即abc2、勾股定理的逆定理
如果三角形的三邊長(zhǎng)a,b,c有關(guān)系abc,那么這個(gè)三角形是直角三角形。3、勾股數(shù):滿足abc的三個(gè)正整數(shù),稱(chēng)為勾股數(shù)。
222222222二、實(shí)數(shù)的概念及分類(lèi)
1、實(shí)數(shù)的分類(lèi)
正有理數(shù)
有理數(shù)零有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)實(shí)數(shù)負(fù)有理數(shù)
正無(wú)理數(shù)
無(wú)理數(shù)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)
2、無(wú)理數(shù):無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)。
在理解無(wú)理數(shù)時(shí),要抓住“無(wú)限不循環(huán)”這一時(shí)之,歸納起來(lái)有四類(lèi):(1)開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù),如7,32等;
(2)有特定意義的數(shù),如圓周率π,或化簡(jiǎn)后含有π的數(shù),如(3)有特定結(jié)構(gòu)的數(shù),如0.1010010001等;(4)某些三角函數(shù)值,如sin60等
oπ3+8等;
三、平方根、算數(shù)平方根和立方根
1、算術(shù)平方根:一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x=a,那么這個(gè)正數(shù)x就叫做a的算術(shù)平方根。特別地,0的算術(shù)平方根是0。
表示方法:記作“a”,讀作根號(hào)a。
性質(zhì):正數(shù)和零的算術(shù)平方根都只有一個(gè),零的算術(shù)平方根是零。
2、平方根:一般地,如果一個(gè)數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的平方根(或二次方根)。
表示方法:正數(shù)a的平方根記做“a”,讀作“正、負(fù)根號(hào)a”。
2性質(zhì):一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù);零的平方根是零;負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。
開(kāi)平方:求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算,叫做開(kāi)平方。注意a的雙重非負(fù)性:
a03、立方根
一般地,如果一個(gè)數(shù)x的立方等于a,即x3=a那么這個(gè)數(shù)x就叫做a的立方根(或三次方根)。
表示方法:記作3a
性質(zhì):一個(gè)正數(shù)有一個(gè)正的立方根;一個(gè)負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)的立方根;零的立方根是零。注意:3a3a,這說(shuō)明三次根號(hào)內(nèi)的負(fù)號(hào)可以移到根號(hào)外面。
a0四、實(shí)數(shù)大小的比較
1、實(shí)數(shù)比較大小:正數(shù)大于零,負(fù)數(shù)小于零,正數(shù)大于一切負(fù)數(shù);數(shù)軸上的兩個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù),右邊的總比左邊的大;兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小。
2、實(shí)數(shù)大小比較的幾種常用方法
(1)數(shù)軸比較:在數(shù)軸上表示的兩個(gè)數(shù),右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。(2)求差比較:設(shè)a、b是實(shí)數(shù),
ab0ab,ab0ab,ab0ab(3)求商比較法:設(shè)a、b是兩正實(shí)數(shù),1ab;baab1ab;ab1ab;
(4)絕對(duì)值比較法:設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù),則abab。(5)平方法:設(shè)a、b是兩負(fù)實(shí)數(shù),則a2b2ab。
五、實(shí)數(shù)的運(yùn)算
(1)六種運(yùn)算:加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方
(2)實(shí)數(shù)的運(yùn)算順序
先算乘方和開(kāi)方,再算乘除,最后算加減,如果有括號(hào),就先算括號(hào)里面的。(3)運(yùn)算律
加法交換律abba
加法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法交換律abba乘法結(jié)合律(ab)ca(bc)乘法對(duì)加法的分配律a(bc)abac
第三章中心對(duì)稱(chēng)圖形(一)
一、平移
1、定義
在平面內(nèi),將一個(gè)圖形整體沿某方向移動(dòng)一定的距離,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為平移。2、性質(zhì)
平移前后兩個(gè)圖形是全等圖形,對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行且相等,對(duì)應(yīng)線段平行且相等,對(duì)應(yīng)角相等。
二、旋轉(zhuǎn)
1、定義
在平面內(nèi),將一個(gè)圖形繞某一定點(diǎn)沿某個(gè)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度,這樣的圖形運(yùn)動(dòng)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn),這個(gè)定點(diǎn)稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)中心,轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫做旋轉(zhuǎn)角。
2、性質(zhì)
旋轉(zhuǎn)前后兩個(gè)圖形是全等圖形,對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等,對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所成的角等于旋轉(zhuǎn)角。
三、四邊形的相關(guān)概念
1、四邊形
在同一平面內(nèi),由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形。
2、四邊形具有不穩(wěn)定性
3、四邊形的內(nèi)角和定理及外角和定理
四邊形的內(nèi)角和定理:四邊形的內(nèi)角和等于360°。四邊形的外角和定理:四邊形的外角和等于360°。
推論:多邊形的內(nèi)角和定理:n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180°;多邊形的外角和定理:任意多邊形的外角和等于360°。6、設(shè)多邊形的邊數(shù)為n,則多邊形的對(duì)角線共有
n(n3)2條。從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出
發(fā)能引(n-3)條對(duì)角線,將n邊形分成(n-2)個(gè)三角形。
四.平行四邊形
1、平行四邊形的定義
兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。2、平行四邊形的性質(zhì)
(1)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等。
(2)平行四邊形相鄰的角互補(bǔ),對(duì)角相等
(3)平行四邊形的對(duì)角線互相平分。
(4)平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形,對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn)。
常用點(diǎn):(1)若一直線過(guò)平行四邊形兩對(duì)角線的交點(diǎn),則這條直線被一組對(duì)邊截下的線段的中點(diǎn)是對(duì)角線的交點(diǎn),并且這條直線二等分此平行四邊形的面積。
(2)推論:夾在兩條平行線間的平行線段相等。
3、平行四邊形的判定
(1)定義:兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形(2)定理1:兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形(3)定理2:兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形(4)定理3:對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形
(5)定理4:一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
4、兩條平行線的距離
兩條平行線中,一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離,叫做這兩條平行線的距離。
平行線間的距離處處相等。5、平行四邊形的面積
S平行四邊形=底邊長(zhǎng)×高=ah
五、矩形
1、矩形的定義
有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做矩形。2、矩形的性質(zhì)
(1)矩形的對(duì)邊平行且相等(2)矩形的四個(gè)角都是直角
(3)矩形的對(duì)角線相等且互相平分
(4)矩形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形;對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn)(對(duì)稱(chēng)中心到矩形四個(gè)頂點(diǎn)的距離相等);對(duì)稱(chēng)軸有兩條,是對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。
3、矩形的判定
(1)定義:有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形(2)定理1:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形(3)定理2:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形4、矩形的面積S矩形=長(zhǎng)×寬=ab
六、菱形
1、菱形的定義
有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形
2、菱形的性質(zhì)
(1)菱形的四條邊相等,對(duì)邊平行(2)菱形的相鄰的角互補(bǔ),對(duì)角相等
(3)菱形的對(duì)角線互相垂直平分,并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角
(4)菱形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形;對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn)(對(duì)稱(chēng)中心到菱形四條邊的距離相等);對(duì)稱(chēng)軸有兩條,是對(duì)角線所在的直線。
3、菱形的判定
(1)定義:有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形(2)定理1:四邊都相等的四邊形是菱形
(3)定理2:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形4、菱形的面積
S菱形=底邊長(zhǎng)×高=兩條對(duì)角線乘積的一半
七.正方形
1、正方形的定義
有一組鄰邊相等并且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形。2、正方形的性質(zhì)
(1)正方形四條邊都相等,對(duì)邊平行
(2)正方形的四個(gè)角都是直角
(3)正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角(4)正方形既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形;對(duì)稱(chēng)中心是對(duì)角線的交點(diǎn);對(duì)稱(chēng)軸有四條,是對(duì)角線所在的直線和對(duì)邊中點(diǎn)連線所在的直線。
3、正方形的判定
判定一個(gè)四邊形是正方形的主要依據(jù)是定義,途徑有兩種:先證它是矩形,再證它是菱形。先證它是菱形,再證它是矩形。4、正方形的面積
設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a,對(duì)角線長(zhǎng)為bS正方形=a2b22
八、梯形
(一)1、梯形的相關(guān)概念
一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫做梯形。
梯形中平行的兩邊叫做梯形的底,通常把較短的底叫做上底,較長(zhǎng)的底叫做下底。梯形中不平行的兩邊叫做梯形的腰。梯形的兩底的距離叫做梯形的高。
2、梯形的判定
(1)定義:一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形是梯形。(2)一組對(duì)邊平行且不相等的四邊形是梯形。
(二)直角梯形的定義:一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。一般地,梯形的分類(lèi)如下:一般梯形
梯形直角梯形特殊梯形
等腰梯形(三)等腰梯形1、等腰梯形的定義
兩腰相等的梯形叫做等腰梯形。2、等腰梯形的性質(zhì)
(1)等腰梯形的兩腰相等,兩底平行。
(2)等腰梯形同一底上的兩個(gè)角相等,同一腰上的兩個(gè)角互補(bǔ)。
(3)等腰梯形的對(duì)角線相等。
(4)等腰梯形是軸對(duì)稱(chēng)圖形,它只有一條對(duì)稱(chēng)軸,即兩底的垂直平分線。3、等腰梯形的判定
(1)定義:兩腰相等的梯形是等腰梯形
(2)定理:在同一底上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形
(3)對(duì)角線相等的梯形是等腰梯形。(選擇題和填空題可直接用)(四)梯形的面積(1)如圖,S梯形ABCD12(CDAB)DE
(2)梯形中有關(guān)圖形的面積:①SABDSBAC;②SAODSBOC;③SADCSBCD八、中心對(duì)稱(chēng)圖形1、定義
在平面內(nèi),一個(gè)圖形繞某個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)前后的圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱(chēng)圖形,這個(gè)點(diǎn)叫做它的對(duì)稱(chēng)中心。
2、性質(zhì)
(1)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是全等形。
(2)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形,對(duì)稱(chēng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心,并且被對(duì)稱(chēng)中心平分。(3)關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形,對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等。3、判定
如果兩個(gè)圖形的對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線都經(jīng)過(guò)某一點(diǎn),并且被這一點(diǎn)平分,那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。
第四章數(shù)量、位置的變化
一、在平面內(nèi),確定物體的位置一般需要兩個(gè)數(shù)據(jù)。二、平面直角坐標(biāo)系及有關(guān)概念1、平面直角坐標(biāo)系
在平面內(nèi),兩條互相垂直且有公共原點(diǎn)的數(shù)軸,組成平面直角坐標(biāo)系。其中,水平的數(shù)軸叫做x軸或橫軸,取向右為正方向;鉛直的數(shù)軸叫做y軸或縱軸,取向上為正方向;x軸和y軸統(tǒng)稱(chēng)坐標(biāo)軸。它們的公共原點(diǎn)O稱(chēng)為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn);建立了直角坐標(biāo)系的平面,叫做坐標(biāo)平面。
2、為了便于描述坐標(biāo)平面內(nèi)點(diǎn)的位置,把坐標(biāo)平面被x軸和y軸分割而成的四個(gè)部分,分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意:x軸和y軸上的點(diǎn)(坐標(biāo)軸上的點(diǎn)),不屬于任何一個(gè)象限。3、點(diǎn)的坐標(biāo)的概念
對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P分別x軸、y軸向作垂線,垂足在上x(chóng)軸、y軸對(duì)應(yīng)的數(shù)a,b分別叫做點(diǎn)P的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo),有序數(shù)對(duì)(a,b)叫做點(diǎn)P的坐標(biāo)。
點(diǎn)的坐標(biāo)用(a,b)表示,其順序是橫坐標(biāo)在前,縱坐標(biāo)在后,中間有“,”分開(kāi),橫、縱坐標(biāo)的位置不能顛倒。平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)是有序?qū)崝?shù)對(duì),當(dāng)ab時(shí),(a,b)和(b,a)是兩個(gè)不同點(diǎn)的坐標(biāo)。
平面內(nèi)點(diǎn)的與有序?qū)崝?shù)對(duì)是一一對(duì)應(yīng)的。4、不同位置的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征(1)、各象限內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)的特征點(diǎn)P(x,y)在第一象限x0,y0
點(diǎn)P(x,y)在第二象限x0,y0點(diǎn)P(x,y)在第三象限x0,y0點(diǎn)P(x,y)在第四象限x0,y0(2)、坐標(biāo)軸上的點(diǎn)的特征
點(diǎn)P(x,y)在x軸上y0,x為任意實(shí)數(shù)點(diǎn)P(x,y)在y軸上x(chóng)0,y為任意實(shí)數(shù)
點(diǎn)P(x,y)既在x軸上,又在y軸上x(chóng),y同時(shí)為零,即點(diǎn)P坐標(biāo)為(0,0)即原點(diǎn)(3)、兩條坐標(biāo)軸夾角平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征
點(diǎn)P(x,y)在第一、三象限夾角平分線(直線y=x)上x(chóng)與y相等點(diǎn)P(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x(chóng)與y互為相反數(shù)(4)、和坐標(biāo)軸平行的直線上點(diǎn)的坐標(biāo)的特征位于平行于x軸的直線上的各點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同。位于平行于y軸的直線上的各點(diǎn)的橫坐標(biāo)相同。(5)、關(guān)于x軸、y軸或原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)的坐標(biāo)的特征
點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)橫坐標(biāo)相等,縱坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P’(x,-y)
點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)縱坐標(biāo)相等,橫坐標(biāo)互為相反數(shù),即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P’(-x,y)
點(diǎn)P與點(diǎn)p’關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)橫、縱坐標(biāo)均互為相反數(shù),即點(diǎn)P(x,y)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為P’(-x,-y)
(6)、點(diǎn)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離
點(diǎn)P(x,y)到坐標(biāo)軸及原點(diǎn)的距離:(1)點(diǎn)P(x,y)到x軸的距離等于y(2)點(diǎn)P(x,y)到y(tǒng)軸的距離等于x(3)點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)的距離等于x2y2三、坐標(biāo)變化與圖形變化的規(guī)律:
坐標(biāo)(x,y)的變化x×a或y×ax×a,y×ax×(-1)或y×(-1)x×(-1),y×(-1)x+a或y+ax+a,y+a圖形的變化被橫向或縱向拉長(zhǎng)(壓縮)為原來(lái)的a倍放大(縮小)為原來(lái)的a倍關(guān)于y軸或x軸對(duì)稱(chēng)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)沿x軸或y軸平移a個(gè)單位沿x軸平移a個(gè)單位,再沿y軸平移a個(gè)單第五章一次函數(shù)
一、函數(shù):
一般地,在某一變化過(guò)程中有兩個(gè)變量x與y,如果給定一個(gè)x值,相應(yīng)地就確定了一個(gè)y值,那么我們稱(chēng)y是x的函數(shù),其中x是自變量,y是因變量。二、自變量取值范圍
使函數(shù)有意義的自變量的取值的全體,叫做自變量的取值范圍。一般從整式(取全體實(shí)數(shù)),分式(分母不為0)、二次根式(被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù))、實(shí)際意義幾方面考慮。三、函數(shù)的三種表示法
(1)關(guān)系式(解析)法
兩個(gè)變量間的函數(shù)關(guān)系,有時(shí)可以用一個(gè)含有這兩個(gè)變量及數(shù)字運(yùn)算符號(hào)的等式表示,這種表示法叫做關(guān)系式(解析)法。
(2)列表法
把自變量x的一系列值和函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值列成一個(gè)表來(lái)表示函數(shù)關(guān)系,這種表示法叫做列表法。(3)圖象法
用圖象表示函數(shù)關(guān)系的方法叫做圖象法。四、由函數(shù)關(guān)系式畫(huà)其圖像的一般步驟
(1)列表:列表給出自變量與函數(shù)的一些對(duì)應(yīng)值
(2)描點(diǎn):以表中每對(duì)對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo),在坐標(biāo)平面內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)
(3)連線:按照自變量由小到大的順序,把所描各點(diǎn)用平滑的曲線連接起來(lái)。五、正比例函數(shù)和一次函數(shù)1、正比例函數(shù)和一次函數(shù)的概念
一般地,若兩個(gè)變量x,y間的關(guān)系可以表示成ykxb(k,b為常數(shù),k0)的形式,則稱(chēng)y是x的一次函數(shù)(x為自變量,y為因變量)。
特別地,當(dāng)一次函數(shù)ykxb中的b=0時(shí)(即ykx)(k為常數(shù),k0),稱(chēng)y是x的正比例函數(shù)。
2、一次函數(shù)的圖像:所有一次函數(shù)的圖像都是一條直線3、一次函數(shù)、正比例函數(shù)圖像的主要特征:
一次函數(shù)ykxb的圖像是經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0,b)的直線;正比例函數(shù)ykx的圖像是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)(0,0)的直線。
k的符號(hào)b的符號(hào)函數(shù)圖像yb>00xyb0xyb0時(shí),圖像經(jīng)過(guò)第一、三象限,y隨x的增大而增大;(2)當(dāng)k0時(shí),y隨x的增大而增大(2)當(dāng)k(1)平均數(shù):一般地,對(duì)于n個(gè)數(shù)x1,x2,,xn,我們把個(gè)數(shù)的算術(shù)平均數(shù),簡(jiǎn)稱(chēng)平均數(shù),記為x。
(2)加權(quán)平均數(shù):
1n(x1x2xn)叫做這n
3、眾數(shù)
一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)。
4、中位數(shù)
一般地,將一組數(shù)據(jù)按大小順序排列,處于最中間位置的一個(gè)數(shù)據(jù)(或最中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。
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