課外輔導---立體幾何總結

你的習慣決定你的一生千秋

201*年文科---------立體幾何

【知識提要】

1．熟悉以下幾何定理：

（1）直線和平面平行的判定定理（2）直線和平面平行的性質定理（3）平面和平面平行的判定定理（4）平面和平面平行的性質定理（5）直線和平面垂直的判定定理（6）直線和平面垂直的性質定理（7）平面和平面垂直的判定定理（8）平面和平面垂直的性質定理2．證明線線平行常用方法：（1）三角形中位線（2）平行四邊形對邊平行3．證明線線垂直常用方法：（1）勾股定理（2）等腰三角形三線合一（3）線面垂直4．證明題中常用的輔助線：（1）作線段中點（2）連結（平行四邊形）對角線

（3）作平行線（在求三視圖中用）

5．求棱錐的體積常用方法：（1）直接法（2）切割法（3）填補法（4）等積法6．求棱錐的高常有方法：（1）直接作高（2）利用已知或已證的線面垂直

（3）線面平行中，平行線上任何一點到平面距離處處相等

特別說明：棱錐的高的長度是頂點到底面的距離（點面距離）D1C1【考題回顧】（201*廣州調研）如圖，在棱長為1的正方體

E是CD的中點．ABCDA1BC11D1中，

（1）求證：AC1A1B1平面AD1E；

ADECBP，使得DP平面AD1E？若存在，（2）在對角線AC1上是否存在點

求出CP的長；若不存在，請說明理由．

AB2．【變式訓練】（調研理科）如圖，在長方體ABCDA1BC11D1中，ADAA11，

（1）當點E在棱AB上移動時，結論D1EA1D是否保持，請說明理由．

D1C1B11解：

A

【考題回顧】（201*廣州一模）如圖6，正方形ABCD所在平面與三角形CDE

所在平面相交于CD，AE平面CDE，且AE3，AB6．

（1）求證：AB平面ADE；（2）求凸多面體ABCDE的體積．【變式訓練】（一模理科）如圖6，正方形ABCD所在平面與圓O所在平面相交

于CD，線段CD為圓O的弦，AE垂直于圓O所在平面，垂足E是圓O上異于C、D的點，AE3，圓O的直徑為9．

（1）求證：平面ABCD平面ADE；證明：

ADECBBACD圖5E-1-請保持良好的學習習慣你的習慣決定你的一生千秋

【考題回顧】（201*廣州二模）在長方體ABCDA,AA12,1BC11D1中,ABBC1點M是BC的中點,點N是AA1的中點.

B1A1C1ND1（1）求證:MN//平面ACD；1（2）過N,C,D三點的平面把長方體ABCDA1BC11D1截成

ADBCM兩部分幾何體,求所截成的兩部分幾何體的體積的比值.【高考訓練】1．（09江西文）

如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，PAAD4，AB2．以

BD的中點O為球心、BD為直徑的球面交PD于點M．

P（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求點O到平面ABM的距離．

M

DAOBC2．（09山東文）

如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB//CD，AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E、

E1分別是棱AD、AA1的中點.

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

A1D1C1B1（1）設F是棱AB的中點,證明：直線EE1//平面FCC1；（2）證明:平面D1AC⊥平面BB1C1C.

-2-

請保持良好的學習習慣

E1EADFCB你的習慣決定你的一生千秋

3．（08山東）

如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，AB∥DC，△PAD是等邊三角形，

已知BD2AD8，AB2DC45．

（1）設M是PC上的一點，證明：平面MBD平面PAD；（2）求四棱錐PABCD的體積．

D

A4．（201*揭陽二模）

如圖，已知△ABC內接于圓O,AB是圓O的直徑，四邊形DCBE為平行四邊形，

DC平面ABC,AB2，tanEAB（1）證明：平面ACD平面ADE；

PMCB3．2V(x)表示三棱錐A－CBE體積，（2）記ACx，求V(x)的表達式；

（3）當V(x)取得最大值時，求證：AD=CE．

-3-

請保持良好的學習習慣你的習慣決定你的一生千秋

5．（201*江門二模）

如圖5(1)是一個正三棱柱ABCA1B1C1，D是棱BC的中點．正三棱柱的正（主）視圖如圖5(2)．⑴求正三棱柱ABCA1B1C1的體積；⑵證明：A1B//平面ADC1；

⑶圖5(1)中垂直于平面BCC1B1的平面有哪幾個？（直接寫出符合要求的平面即可，不必說明或證明）

A1AA1A3C1CDB1(C1)3B1B

圖5(1)圖5(2)

【幾何客觀題精選】（201*揭陽二模）

3．如圖是一正方體被過棱的中點M、N和頂點A、D截去兩個角后所得的幾何體，則該幾何體的主視圖（或稱

C1正視圖）為（）

N

B1M

CDDCABAB

（201*湛江二模）

7．右圖是一個空間幾何體的三視圖，其中左視圖是等腰三角形，

22求該幾何體的體積（）A．2B．4C．

2B(C)2D．13-4-請保持良好的學習習慣

擴展閱讀：高考立體幾何知識點詳細總結1

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

八、立體幾何

一、立體幾何網(wǎng)絡圖：

⑹公理4⑴線線平行⑵⑶⑾三垂線定理⑺線線垂直三垂線逆定理⑻⑿⑼⑽線面垂直線面平行⑷⑸⒀⒂⒃面面平行⒁面面垂直

（1）線線平行的判斷：

⑴平行于同一直線的兩直線平行。

⑶如果一條直線和一個平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線和交線平行。

⑹如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。⑿垂直于同一平面的兩直線平行。（2）線線垂直的判斷：

⑺在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

⑻在平面內的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么它和這條斜線的射影垂直。

⑽若一直線垂直于一平面，這條直線垂直于平面內所有直線。

補充：一條直線和兩條平行直線中的一條垂直，也必垂直平行線中的另一條。（3）線面平行的判斷：

⑵如果平面外的一條直線和平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。⑸兩個平面平行，其中一個平面內的直線必平行于另一個平面。（4）線面垂直的判斷：

⑼如果一直線和平面內的兩相交直線垂直，這條直線就垂直于這個平面。⑾如果兩條平行線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面。⒁一直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，它也垂直于另一個平面。

⒃如果兩個平面垂直，那么在個平面內垂直于交線的直線必垂直于另個平面。（5）面面平行的判斷：

⑷一個平面內的兩條相交直線分別平行于另一個平面，這兩個平面平行。⒀垂直于同一條直線的兩個平面平行。（6）面面垂直的判斷：

⒂一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，這兩個平面互相垂直。二、其他定理：

（1）確定平面的條件：①不公線的三點；②直線和直線外一點；③相交直線；（2）直線與直線的位置關系：相交；平行；異面；

直線與平面的位置關系：在平面內；平行；相交（垂直是它的特殊情況）；平面與平面的位置關系：相交；；平行；

（3）等角定理：如果兩個角的兩邊分別平行且方向相同，那么這兩個角相等；

如果兩條相交直線和另外兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；

（4）射影定理（斜線長、射影長定理）：從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，

射影相等的兩條斜線段相等；射影較長的斜線段也較長；反之，斜線段相等的射影相等；斜線段較長的射影也較長；垂線段比任何一條斜線段都短。

（5）最小角定理：斜線與平面內所有直線所成的角中最小的是與它在平面內射影所成的角。（6）異面直線的判定：①反證法；

②過平面外一點與平面內一點的直線，和平面內不過該點的直線是異面直

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

線。

（7）過已知點與一條直線垂直的直線都在過這點與這條直線垂直平面內。（8）如果直線平行于兩個相交平面，那么這條直線平行于兩個平面的交線。（9）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線也垂直于第三個平面。三、唯一性定理：

（1）過已知點，有且只能作一直線和已知平面垂直。

（2）過已知平面外一點，有且只能作一平面和已知平面平行。（3）過兩條異面直線中的一條能且只能作一平面與另一條平行。

四、空間角的求法：（所有角的問題最后都要轉化為解三角形的問題，尤其是直角三角形）（1）異面直線所成的角：通過直線的平移，把異面直線所成的角轉化為平面內相交直線所

成的角。異面直線所成角的范圍：0o90o；

注意：若異面直線中一條直線是三角形的一邊，則平移時可找三角形的中位線。有的

還可以通過補形，如：將三棱柱補成四棱柱；將正方體再加上三個同樣的正方體，補成一個底面是正方形的長方體。

（2）線面所成的角：①線面平行或直線在平面內：線面所成的角為0o；②線面垂直：線面所成的角為90o；

③斜線與平面所成的角：范圍0o90o；即也就是斜線與它在平面內的射影所成的角。

（3）二面角：關鍵是找出二面角的平面角。方法有：①定義法；②三垂線定理法；③垂面法；

注意：還可以用射影法：cosS"S；其中為二面角l的大小，S為內的

一個封閉幾何圖形的面積；S"為內的一個封閉幾何圖形在內射影圖形的面積。一般用于解選擇、填空題。

五、距離的求法：

（1）點點、點線、點面距離：點與點之間的距離就是兩點之間線段的長、點與線、面間的

距離是點到線、面垂足間線段的長。求它們首先要找到表示距離的線段，然后再計算。

注意：求點到面的距離的方法：

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

①直接法：直接確定點到平面的垂線段長（垂線段一般在二面角所在的平面上）；②轉移法：轉化為另一點到該平面的距離（利用線面平行的性質）；③體積法：利用三棱錐體積公式。

（2）線線距離：

關于異面直線的距離，常用方法有：①定義法，關鍵是確定出a,b的公垂線段；

②轉化為線面距離，即轉化為a與過b而平行于a的平面之間的距離，關鍵是找出或構造出這個平面；③轉化為面面距離；

（3）線面、面面距離：線面間距離面面間距離與線線間、點線間距離常常相互轉化；六、常用的結論：

（1）若直線l在平面內的射影是直線l，直線m是平面內經(jīng)過l的斜足的一條直線，l與l所成的角為1，l與m所成的角為2,l與m所成的角為，則這三個角之間的關系是coscos1cos2；（2）如何確定點在平面的射影位置：

①Ⅰ、如果一個角所在平面外一點到角兩邊距離相等，那么這點在平面上的射影在這個角的平分線上；

Ⅱ、經(jīng)過一個角的頂角引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角的兩邊夾角相等，那么斜線上的點在平面上的射影在這個角的平分線所在的直線上；Ⅲ、如果平面外一點到平面上兩點的距離相等，則這一點在平面上的射影在以這兩點為端點的線段的垂直平分線上。

②垂線法：如果過平面外一點的斜線與平面內的一條直線垂直，那么這一點在這平面上

的射影在過斜足且垂直于平面內直線的直線上(三垂線定理和逆定理)；③垂面法：如果兩平面互相垂直，那么一個平面內任一點在另一平面上的射影在這兩面

的交線上(面面垂直的性質定理)；④整體法：確定點在平面的射影，可先確定過一點的斜線這一整體在平面內的射影。（3）在四面體ABCD中：

①若ABCD,BCAD，則ACBD；且A在平面BCD上的射影是BCD的垂心。

②若ABACAD，則A在平面BCD上的射影是BCD的外心。

③若A到BC,CD,BD邊的距離相等，則A在平面BCD上的射影是BCD的內心。（4）異面直線上兩點間的距離公式：若異面直線所成的角為，它們公垂

線段AA"的長為d，在a,b上分別取一點E,F，設A"Em，

AFn；

E

A’a

A

E’bF

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

則EF七、多面體：

（1）棱柱：

①定義：有兩個面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個四邊形的公共邊都

互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱。

側棱不垂直于底面

側棱垂直于底面

底面是正多邊形

d2mn2mncos

22（如果E"AF為銳角，公式中取負號，如果E"AF為鈍，公式中取正號）

棱柱

柱；

斜棱柱直正棱

底面是平行四邊形側棱垂直于底面

四棱柱

底面是矩形

平行六面體

底面是正方形

直平行六面體

棱長都相等

長方體正四棱柱正方體。

②性質：Ⅰ、側面都是平行四邊形；Ⅱ、兩底面是全等多邊形；

Ⅲ、平行于底面的截面和底面全等；對角面是平行四邊形；

Ⅳ、長方體一條對角線長的平方等于一個頂點上三條棱的長的平方和。

③面積：S直棱柱側ch（c是底周長，h是高）④體積：V棱柱Sh12S側面d（S為底面積，h為高，d為已知側面與它對棱的距離）

（2）棱錐：

①定義：有一個面是多邊形，其余各面是有一個公共頂點的三角形，由這些面圍成的幾

何體叫做棱錐；

正棱錐：底面是正多邊形，并且頂點在底面內的射影是底面中心，這樣的棱錐叫做正棱錐；

②性質：

Ⅰ、平行于底面的截面和底面相似，

截面的邊長和底面的對應邊邊長的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的比；它們面積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的平方比；

截得的棱錐的體積與原棱錐的體積的比等于截得的棱錐的高與原棱錐的高的立方比；

Ⅱ、正棱錐性質：各側面都是全等的等腰三角形；通過四個直角三角形RtPOH，

RtPOB，RtPBH，RtBOH實現(xiàn)邊，高，斜高間的換算

③面積：S正棱錐④體積：V棱錐

（3）正四面體：

對于棱長為a正四面體的問題可將它補成一個邊長為

221312ch"（c為底周長，h"為斜高）

P

Sh（S為底面積，h為高）

DO

ABa的正方體問題。

HC

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

對棱間的距離為

2263a（正方體的邊長）

正四面體的高a（23l正方體體對角線）

正四面體的體積為

212a（V正方體4V小三棱錐313V正方體）11l正方體體對角線：l正方體體對角線6212l正方體體對角線正四面體的中心到底面與頂點的距離之比為1:3（64612）

外接球的半徑為a（是正方體的外接球，則半徑）

內切球的半徑為

（4）正多面體：

a（是正四面體中心到四個面的距離，則半徑16l正方體體對角線）

①定義：每個面都是有相同邊數(shù)的正多邊形，且以每個頂點為其一端都有相同數(shù)目的棱

的多面體叫做正多面體。

面數(shù)F頂點數(shù)V棱數(shù)E面的形狀頂點的棱數(shù)正四面體446正三角形3正六面體6812正方形3正八面體8612正三角形4正十二面體正二十面體122030正五邊形3201*30正三角形5②歐拉公式：VFE2（V為簡單多面體的頂點數(shù)，F(xiàn)為面數(shù)，E為棱數(shù)）En1n2nF2m1m2mV2

（ni表示各個面上的棱數(shù)，mi表示過各個頂點的棱數(shù)）

八、球

（1）定義：①球面：半圓以它的直徑為旋轉軸，旋轉所成的曲面。②球體：球面所圍成的幾何體。（2）性質：

①任意截面是圓面（經(jīng)過球心的平面，截得的圓叫大圓，不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫小

圓）

兩點的球面距離，是指經(jīng)過球面上這兩點的大圓在這兩點間的一段劣弧的長。

②球心和截面圓心的連線垂直于截面，并且rRd22，其中R為球半徑，r為截面

重慶天星金考教育，專業(yè)高考文化課輔導編制

半徑，d為球心的到截面的距離。

（3）面積公式：S球面4R（R為球半徑）；（4）體積公式：V球徑）

2433R（R為球半

友情提示：本文中關于《課外輔導---立體幾何總結》給出的范例僅供您參考拓展思維使用，課外輔導---立體幾何總結：該篇文章建議您自主創(chuàng)作。

來源：網(wǎng)絡整理 免責聲明：本文僅限學習分享，如產生版權問題，請聯(lián)系我們及時刪除。

《課外輔導---立體幾何總結》由互聯(lián)網(wǎng)用戶整理提供,轉載分享請保留原作者信息,謝謝!
鏈接地址：http://www.taixiivf.com/gongwen/519958.html

• 上一篇：二年級數(shù)學工作總結
• 下一篇：課外教學活動總結報告