22章二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及其應(yīng)用

二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及應(yīng)用

一、基本知識點(diǎn)

1.二次根式的有關(guān)概念：

（1）形如的式子叫做二次根式.（即一個(gè)的算術(shù)平方根叫做二次根式二次根式有意義的條件:被開方數(shù)大于或等于零

（2）滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；

(3）幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

2.二次根式的性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：a0(a)

(2)a)2(a0)

(3)a2

(4)ab(a0,b0)

a(5)(a0b0)

b3.二次根式的運(yùn)算：二次根式乘法法則ab(a0,b0)

a二次根式除法法則

(a0,b0)b二次根式的加減：(一化，二找，三合并)（1）將每個(gè)二次根式化為最簡二次根式；（2）找出其中的同類二次根式；（3）合并同類二次根式。

Ps:類似于合并同類項(xiàng)，關(guān)鍵是把同類二次根式合并。

二次根式的混合運(yùn)算：原來學(xué)習(xí)的運(yùn)算律（結(jié)合律、交換律、分配律）仍然適用二、二次根式的應(yīng)用1、非負(fù)性的運(yùn)用例：1.已知：

2、根據(jù)二次根式有意義的條件確定未知數(shù)的值例1：使3xx42xy0,求x-y的值.

1有意義的x的取值范圍x12例2.若x11x(xy)，則xy=_____________。

3、，進(jìn)行二次根式化簡

例如：.已知x,y都是實(shí)數(shù),且滿足y

x11x0.5,化簡

1yy1.

例如、如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化簡：

a2b2(ab)2

例如、先化簡，再求值：

515111b，其中a=，b=．22abba(ab)4、二次根式的大小比較例：設(shè)a32，b23,c52,比較a、b、c的大小關(guān)系

5、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式例.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。（1）

6、規(guī)律性問題

例1.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：

，驗(yàn)證：

；

；（2）

驗(yàn)證:

.

（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想44的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)15證；

（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.

例2.已知

發(fā)展：已知

，則a______。

，則a_________

二次根式提高測試題

一、選擇題

1有意義的x的取值范圍是x12．一個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根為aa0，則與這個(gè)自然數(shù)相鄰的兩個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根

1．使3x為（）

（A）a1,a1（B）a1,a1（C）a21,a21（D）a21,a21

3．若x0，則x2x等于（）

（A）0（B）2x（C）2x（D）0或2x4．若a0,b0，則a3b化簡得（）

（A）aab（B）aab（C）aab（D）aab5．若y1ym，則1y2y的結(jié)果為（）

（A）m22（B）m22（C）m2（D）m2

6．已知a,b是實(shí)數(shù)，且a22abb2ba，則a與b的大小關(guān)系是（）（A）ab（B）ab（C）ab（D）ab

7．已知下列命題：

①25225；②3236；

③a232a3a3；④a2b2ab．

其中正確的有（）

（A）0個(gè)（B）1個(gè)（C）2個(gè)（D）3個(gè)

8．若42m6與2m34化成最簡二次根式后的被開方數(shù)相同，則m的值為（（A）203（B）5126（C）13158（D）8

9．當(dāng)a12時(shí)，化簡14a4a22a1等于（）

（A）2（B）24a（C）a（D）0

10．化簡4x24x12x32得（）

（A）2（B）4x4（C）2（D）4x4二、填空題

11．若2x1的平方根是5，則4x1_____．12．當(dāng)x_____時(shí)，式子

53xx4有意義．13．已知：最簡二次根式4ab與ab23的被開方數(shù)相同，則ab_____．14．若x是8的整數(shù)部分，y是8的小數(shù)部分，則x____，y_____．15．已知201*xy，且0xy，則滿足上式的整數(shù)對x,y有_____．

）

16．若1x1，則x12x1_____．

3217．若xy0，且xyxyx成立的條件是_____．

1118．若0x1，則x4x4等于_____．

xx三、解答題

19．計(jì)算下列各題：（1）15

20．已知a25

21．已知x,y是實(shí)數(shù)，且y

22．若2xy4與x2y1互為相反數(shù)，求代數(shù)式xxy22213a431323a108a.（2）27aa206；

3a3353201*52201*252022，求a24a的值．

x299x22，求5x6y的值.

x33213y的值.4

23．若a、b、S滿足3a5b7,S2a3b，求S的最大值和最小值.

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二次根式知識點(diǎn)總結(jié)及應(yīng)用

一、基本知識點(diǎn)

1.二次根式的有關(guān)概念：

（1）形如的式子叫做二次根式.（即一個(gè)的算術(shù)平方根叫做二次根式例：下列哪些是二次根式?5;2;x21;x27;－5;二次根式有意義的條件：。（2）滿足下列兩個(gè)條件的二次根式，叫做最簡二次根式：

①被開方數(shù)不含分母；②被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式；例：下列哪些不是最簡二次根式，并將它們化簡。

15；x2y2；

49；9a2。

(3）幾個(gè)二次根式化成最簡二次根式后，如果被開方數(shù)相同，那么這幾個(gè)二次根式叫做同類二次根式。

例：下列哪些與2是同類二次根式（）。

A.14;B、12，C、－12，D、4

2.二次根式的性質(zhì)：

（1）非負(fù)性：a0(a)

(2)a)2(a0)(3)a2

(4)ab(a0,b0)(5)a(a0bb0)

3.二次根式的運(yùn)算：

二次根式乘法法則ab(a0,b0)

二次根式除法法則

ab(a0,b0)二次根式的加減：(一化，二找，三合并)（1）將每個(gè)二次根式化為最簡二次根式；（2）找出其中的同類二次根式；（3）合并同類二次根式。

注:類似于合并同類項(xiàng)，關(guān)鍵是把同類二次根式合并。

二次根式的混合運(yùn)算：原來學(xué)習(xí)的運(yùn)算律（結(jié)合律、交換律、分配律）仍然適用二、二次根式的應(yīng)用1、非負(fù)性的運(yùn)用

例：1.已知：

x42xy0,求x-y的值.

2、根據(jù)二次根式有意義的條件確定未知數(shù)的值例1：使3x1x1有意義的x的取值范圍

例2.若x11x(xy)2，則xy=_____________。3、進(jìn)行二次根式化簡

例如：.已知x,y都是實(shí)數(shù),且滿足yx11x0.5,化簡

1yy1.

例如、如圖，實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置，化

簡：a2b2(ab)例如、先化簡，再求值：

1ab1bba(ab)，其中a=51512，b=2．

4、二次根式的大小比較例：設(shè)a32，b23,c52,比較a、b、c的大小關(guān)系

5、在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式例.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)分解因式。（1）

；（2）

6、規(guī)律性問題

例1.觀察下列各式及其驗(yàn)證過程：

驗(yàn)證：

；驗(yàn)證:

.

（1）按照上述兩個(gè)等式及其驗(yàn)證過程的基本思路，猜想4415的變形結(jié)果，并進(jìn)行驗(yàn)證；

（2）針對上述各式反映的規(guī)律，寫出用n(n≥2，且n是整數(shù))表示的等式，并給出驗(yàn)證過程.

例2.已知，則a_________

發(fā)展：已知，則

a______。

7、計(jì)算：（1）1531132352036；

（2）327aaa3aa343108a.

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