高考復(fù)習(xí)文科導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

導(dǎo)數(shù)知識(shí)點(diǎn)

一．考綱要求

考試內(nèi)容8A導(dǎo)數(shù)概念及其幾何意義導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yc，yx，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用yx2要求層次BC√△√，y1x√的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算導(dǎo)數(shù)公式表◇導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）函數(shù)的極值、最值（其中多項(xiàng)式函數(shù)不超過三次）利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問題√√☆√☆√√二．知識(shí)點(diǎn)

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為

yy0f(x)(xx0).

"2.、幾種常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

"n"n1""①C0；②(x)nx；③(sinx)cosx；④(cosx)sinx；

⑤(a)alna；⑥(e)e；⑦(log3.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

x"xx"xax)"1xlna"；⑧(lnx)1x

(v0).（1）(uv)uv.（2）(uv)uvuv.（3）()2vv4.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的

""""""u"uvuv""極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn)②.當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f(x)"=0，但x0不是極值點(diǎn).

是函數(shù)的極小值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0極值與最值區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.5.導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性

（1）一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間可導(dǎo)，如果f′(x)>0，則f(x)為增函數(shù)；如果f′(x)<0，則f(x)為減函數(shù)；如果在某區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)=0，則f(x)為常數(shù)；（2）對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)y=f(x)來說，f′(x)>0是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)的充分非必要條件，f′(x)<0是f(x)在某個(gè)區(qū)間上為減函數(shù)的充分非必要條件；（3）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性的步驟：

①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)；②令f′(x)>0解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間；③令f′(x)<0解不等式，得x的范圍，就是遞增區(qū)間。

擴(kuò)展閱讀：文科導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)與題型歸納

導(dǎo)數(shù)復(fù)習(xí)

知識(shí)點(diǎn)

一、導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)f"(x0)limyxx0。

二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義

函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，就是曲線y=(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率．由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程．具體求法分兩步：

(1)求出函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，即曲線y=f(x)在點(diǎn)P(x0,y0)處的切線的斜率；(2)在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為

yy0f"(x0)(xx0)

三、常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及運(yùn)算法則(1)八個(gè)基本求導(dǎo)公式(C)＝；(x)＝；(n∈Q)

n(sinx)x＝，(cosxx)＝(e)＝，(a)＝(lnx)＝，(logax)＝(2)導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算(uv)＝[Cf(x)]＝(uv)＝，(u)v＝(v0)(3)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)u(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo)，yf(u)在點(diǎn)uf(x)＝，即yxyuux

(x)處可導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)

f[(x)]在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且

四、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用（要求：明白解題步驟）1．函數(shù)的單調(diào)性

（1）設(shè)函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，若f(x)f(x)0，則f(x)為減函數(shù)。

//0，則

f(x)為增函數(shù)；若

（2）求可導(dǎo)函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟和方法。①分析yf(x)的定義域；②求導(dǎo)數(shù)yf(x)③解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為區(qū)間解不等式f(x)0，解集在定義域內(nèi)的部分為區(qū)間

例如：求函數(shù)yx1x的減區(qū)間

2．可導(dǎo)函數(shù)的極值（采用表格或畫函數(shù)圖象）

（1）極值的概念

設(shè)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0附近有定義，且若對(duì)x0附近所有的點(diǎn)都有f(x)f(x0)（或f(x)f(x0)），則稱f(x0)為函數(shù)的一個(gè)極大（�。┲�，稱x0為極大（�。┲迭c(diǎn)。（2）求可導(dǎo)函數(shù)f(x)極值的步驟①求導(dǎo)數(shù)f(x)；②求方程③檢驗(yàn)

f(x)＝0的；

f(x)f(x)在方程＝0的根左右的符號(hào)，如果在根的左側(cè)附近為正，右側(cè)附近為

f(x)負(fù)(先增后減)，那么函數(shù)y＝在這個(gè)根處取得；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，

右側(cè)為正(先減后增)，那么函數(shù)y＝f(x)在這個(gè)根處取得.3．函數(shù)的最大值與最小值⑴設(shè)y＝f(x)是定義在區(qū)間[a,b]上的函數(shù)，y＝f(x)在(a,b)內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則函數(shù)y＝

f(x)在[a,b]上必有最大值與最小值；但在開區(qū)間內(nèi)未必有最大值與最小值．(2)求最值可分兩步進(jìn)行：

①求y＝f(x)在(a,b)內(nèi)的值；

②將y＝f(x)的各值與f(a)、f(b)比較，其中最大的一個(gè)為最大值，最小的一個(gè)為最小值.

(3)若函數(shù)y＝f(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，則f(a)為函數(shù)的，f(b)為函數(shù)的；若函數(shù)y＝f(x)在[a,b]上單調(diào)遞減，則f(a)為函數(shù)的，f(b)為函數(shù)的.

4.求過函數(shù)上一點(diǎn)的切線的斜率或方程

例題1：分析函數(shù)yx33x（單調(diào)性，極值，最值，圖象）

例題2：函數(shù)yx3ax在(,1)上為增函數(shù)，在(1,1)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a

例題3：求證方程xlgx1在區(qū)間(2,3)內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根.（分析解本題要用的知識(shí)點(diǎn)）

3一．求值

1．f(x)是f(x)13x2x1的導(dǎo)函數(shù)，則f(1)的值是3．

2.f(x)=ax3+3x2+2，f(1)4，則a=

3.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x),且滿足f(x)=3x+2xf(2),則f(5)=.4.設(shè)f(x)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù),當(dāng)x0且g(－3)=0,則不等式f(x)g(x)110．（08海南理）曲線ye2在點(diǎn)(4，e2)處的切線與坐標(biāo)軸所圍三角形的面積為三．單調(diào)性

2

1.（1）設(shè)f(x)=x(2-x),則f(x)的單調(diào)增區(qū)間是（）A.(0,

43)xB.(

43,+∞)C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪(

43,+∞）

（2）函數(shù)y=(x+1)(x2－1)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）

A.(-∞,－1)B.（－1,+∞）

C.(-∞,－1)與（－1,+∞）D.(-∞,－1)∪（－1,+∞）(3)函數(shù)f(x)x33x21是減函數(shù)的區(qū)間為（）A．(2,)B．(,2)C．(,0)D．（0，2）

2.（1）若函數(shù)f(x)=x-ax+1在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（2）設(shè)a0,函數(shù)f(x)x3ax在[1,)上是單調(diào)函數(shù).則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；（3）函數(shù)y=ax3－x在(－∞,+∞)上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為；3．（1）若函數(shù)f（x）=ax3－x2+x－5在R上單調(diào)遞增，則a的范圍是．（2）已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù)，則a的取值范圍是：．4.若f(x)ax3bx2cxd(a0)在R上是增函數(shù)，則（）

（A）b24ac0（B）b0,c0（C）b0,c0（D）b23ac05、函數(shù)yx3axb在(1,1)上為減函數(shù)，在(1,)上為增函數(shù)，則（）（A）a1,b1（B）a1,bR（C）a3,b3（D）a3,bR四．極值

1、函數(shù)y13xx的極大值，極小值分別是

A.極小值-1，極大值1B.極小值-2，極大值3C.極小值-2，極大值2D.極小值-1，極大值3

2．函數(shù)f(x)x3ax23x9，已知f(x)在x3時(shí)取得極值，則a=（）（A）2（B）3（C）4（D）5

3.函數(shù)f(x)=x3-ax2-bx+a2,在x=1時(shí)有極值10，則a、b的值為（）A.a=3,b=-3，或a=-4,b=11B.a=-4,b=11C.a=3,b=-3D.以上都不正確

34、已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)為f(x)4x4x，且圖象過點(diǎn)（0，-5），當(dāng)函數(shù)f(x)取得極

332

大值-5時(shí)，x的值應(yīng)為

A.1B.0C.1D.±1

3

5.若函數(shù)f(x)=x-3bx+3b在（0，1）內(nèi)有極小值，則（）A.0A.(2,3)B.(3,+∞)C.(2,+∞)D.(－∞,3)8.（201*遼寧卷文）若函數(shù)f(x)五．最值

1．函數(shù)y2x33x212x5在[0，3]上的最大值、最小值分別是（）

A．5，－15

B．5，－4

C．－4，－15

D．5，－16

xax12在x1處取極值，則a

2.（06浙江文）f(x)x33x22在區(qū)間1,1上的最大值是（）

(A)-2(B)0(C)2(D)4

3函數(shù)y=x3+

3x在(0，+∞)上的最小值為

B.5

C.3

D.1

A.4

4．（07湖南理）函數(shù)f(x)12xx3在區(qū)間[3，3]上的最小值是．

5（07江蘇）已知函數(shù)f(x)x312x8在區(qū)間[3,3]上的最大值與最小值分別為M,m，則Mm____________

變式、函數(shù)f(x)x33xa在區(qū)間0,3上的最大值、最小值分別為M，N，則M－N的值為。6.（201*安徽文）設(shè)函數(shù)f(x)2xA．有最大值B．有最小值六．綜合

1x1(x0),則f(x)（）

C．是增函數(shù)D．是減函數(shù)

1．（07福建理、文）已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)，且x0時(shí)，

f(x)0，g(x)0，則x0時(shí)（）

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)0

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

"2．對(duì)于R上可導(dǎo)的任意函數(shù)f(x)，若滿足(x1)f(x)0，則必有（）A．f(0)f(2)2f(1)B.f(0)f(2)2f(1)C.

f(0)f(2)2f(1)D.

n1f(0)f(2)2f(1)*

3.（201*陜西卷文）設(shè)曲線yx為xn,則x1x2xn的值為(A)

1n(nN)在點(diǎn)（1，1）處的切線與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)

(B)

1n1(C)

nn1(D)1

1所示，

4設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo)，yf(x)的圖象如右圖

則導(dǎo)函數(shù)y=f(x)可能為（）

yyyyO（A）

xOxO（C）

xOx（B）

5．（浙江卷11）設(shè)f"(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，

y（D）

y=f"(x)的圖象如右圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是

O12x

yyyyO12xO122x1xO12x(A)(B)(C)(D)6.（201*湖南卷文）若函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[a,b]上是增函數(shù)，．．．則函數(shù)yf(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象可能是【】yyyyoabxoa

obxa

obxa

bx

A．B．C．D．

7、已知函數(shù)f(x)xmx(m6)x1既有極大值又存在最小值，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

8、若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?,，且f(x)0,f(x)0，那么函數(shù)yxf(x)（）

/32（A）存在極大值（B）存在最小值（C）是增函數(shù)（D）是減函數(shù)

9、當(dāng)x0,2時(shí)，函數(shù)f(x)ax4(a1)x3在x=2時(shí)取得最大值，則a的取值范圍

2是。

七．解答題（重點(diǎn)）

題型一：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值。

1.已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc,過曲線yf(x)上的點(diǎn)P(1,f(1))的切線方程為

y=3x+1

（Ⅰ）若函數(shù)f(x)在x2處有極值，求f(x)的表達(dá)式；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求函數(shù)yf(x)在[－3，1]上的最大值；（Ⅲ）若函數(shù)yf(x)在區(qū)間[－2，1]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)b的取值范圍

2：已知三次函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x1和x1時(shí)取極值，且f(2)4．(1)求函數(shù)yf(x)的表達(dá)式；

(2)求函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(3)若函數(shù)g(x)f(xm)4m(m0)在區(qū)間[m3,n]上的值域?yàn)閇4,16]，試求m、n應(yīng)滿足的條件．3．（海南文本小題滿分12分）設(shè)函數(shù)f(x)ln(2x3)x2（Ⅰ）討論f(x)的單調(diào)性；

31（Ⅱ）求f(x)在區(qū)間，的最大值和最小值．

44

324、已知f(x)axbxcx(a0)在x1取得極值，且f(1)1。

（1）試求常數(shù)a,b,c的值；

（2）試判斷x1是函數(shù)的極大值還是極小值，并說明理由。

5．已知函數(shù)f(x)=－x3＋3x2＋ax＋b在x＝(1，f(1))處的切線與直線12x－y－1＝0平行．（1）求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（3）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

題型二：利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立。

1.已知兩個(gè)函數(shù)f(x)7x228x，g(x)2x34x240xc.

（Ⅰ）F(x)圖像與f(x)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,解不等式F(x)f(x)x3

（Ⅱ）若對(duì)任意x[－3，3]，都有f(x)g(x)成立，求實(shí)數(shù)c的取值范圍；

2.已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+c.

21

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函數(shù)，求b的取值范圍;

(2)若f(x)在x=1處取得極值，且x∈［-1,2］時(shí)，f(x)

2.設(shè)函數(shù)fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函數(shù)。

32(1)（Ⅰ）求b、c的值。

(2)（Ⅱ）求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

3.（201*北京理科、文科）已知函數(shù)f(x)=－x3＋3x2＋9x＋a.（I）求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；

（II）若f(x)在區(qū)間[－2，2]上的最大值為20，求它在該區(qū)間上的最小值．

4.（201*安徽文）設(shè)函數(shù)fxxbxcx(xR)，已知g(x)f(x)f(x)是奇函

32數(shù)。

（Ⅰ）求b、c的值。（Ⅱ）求g(x)的單調(diào)區(qū)間與極值。

5．(201*全國(guó)Ⅱ卷文)設(shè)aR，函數(shù)f(x)ax33x2．（Ⅰ）若x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0處取得最大值，求a的取值范圍．

6.(201*湖北文)已知函數(shù)f(x)xmxmx1（m為常數(shù)，且m>0）有極大值9.（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）若斜率為-5的直線是曲線yf(x)的切線，求此直線方程.

7已知函數(shù)f(x)x3ax1．

（Ⅰ）若f(x)在實(shí)數(shù)集R上單調(diào)遞增，求a的范圍；

9

3（Ⅱ）是否存在實(shí)數(shù)a使明理由．09福建理科

f(x)在(1,1)上單調(diào)遞減．若存在求出a的范圍，若不存在說

14.若曲線f(x)ax3lnx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a取值范圍是_____________.20、（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)1332xaxbx,且f"(1)0w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

(1)試用含a的代數(shù)式表示b,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（2）令a1,設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值，記點(diǎn)M(x1,f(x1))，N(x2,f(x2))，P(m,f(m)),x1mx2,請(qǐng)仔細(xì)觀察曲線f(x)在點(diǎn)P處的切線與線段MP的位置變化趨勢(shì)，并解釋以下問題：

（I）若對(duì)任意的m(x1,x2)，線段MP與曲線f(x)均有異于M,P的公共點(diǎn)，試確定t的最小值，并證明你的結(jié)論；

（II）若存在點(diǎn)Q(n,f(n)),xn

直接寫出m的取值范圍（不必給出求解過程）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m09福建文科

15.若曲線fxaxInx存在垂直于y軸的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

221．（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)13xaxbx,且f"(1)0

32（I）試用含a的代數(shù)式表示b；

（Ⅱ）求f(x)的單調(diào)區(qū)間；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅲ）令a1，設(shè)函數(shù)f(x)在x1,x2(x1x2)處取得極值，記點(diǎn)

M(x1,f(x1)),N(x2,f(x2))，證明：線段MN與曲線f(x)存在異于M、N的公共點(diǎn)；

08福建理科（11）如果函數(shù)y=f(x)的圖象如右圖，那么導(dǎo)函數(shù)y=f(x)的圖象可能是

（19）（本小題滿分12分）已知函數(shù)f(x)13xx2.

322（Ⅰ）設(shè){an}是正數(shù)組成的數(shù)列，前n項(xiàng)和為Sn，其中a1=3.若點(diǎn)(an,an12an1)(n∈N*)

在函數(shù)y=f′(x)的圖象上，求證：點(diǎn)（n,Sn）也在y=f′(x)的圖象上；

（Ⅱ）求函數(shù)f(x)在區(qū)間（a-1,a）內(nèi)的極值.文科

(21)（本小題滿分12分）

已知函數(shù)f(x)xmxnx2的圖象過點(diǎn)（-1，-6），且函數(shù)g(x)f(x)6x的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱.

(Ⅰ)求m、n的值及函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(Ⅱ)若a＞0，求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間（a-1,a+1）內(nèi)的極值.07福建

11．已知對(duì)任意實(shí)數(shù)x，有f(x)f(，x)f(x)，0g(x)，則x0時(shí)（）

g(x)32，且gxx0時(shí)，

A．f(x)0，g(x)0C．f(x)0，g(x)022．（本小題滿分14分）

B．f(x)0，g(x)0D．f(x)0，g(x)0

已知函數(shù)f(x)ekx，xR

11

x（Ⅰ）若ke，試確定函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若k0，且對(duì)于任意xR，f(x)0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；

n（Ⅲ）設(shè)函數(shù)F(x)f(x)f(x)，求證：F(1)F(2)F(n)(e

（全國(guó)一文20）

設(shè)函數(shù)f(x)2x33ax23bx8c在x1及x2時(shí)取得極值．

（Ⅰ）求a、b的值；

n12)2(nN)．

2（Ⅱ）若對(duì)于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范圍．

(陜西文21)

已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間(,0),(1,)上是減函數(shù),又

13f().22(Ⅰ)求f(x)的解析式;

(Ⅱ)若在區(qū)間[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,求m的取值范圍.12．已知函數(shù)f(x)13x312(b1)xcx，①若f(x)在x1,x3處取得極值，試求

2常數(shù)b,c的值；②若f(x)在,x1,x2,上都是單調(diào)遞增，在x1,x2上單調(diào)遞減，

2且滿足x2x11，求證：b2(b2c)

3214．設(shè)t0，點(diǎn)P（t，0）是函數(shù)f(x)xax與g(x)bxc的圖象的一個(gè)公共點(diǎn)，兩函數(shù)的圖象在點(diǎn)P處有相同的切線.（Ⅰ）用t表示a，b，c；

（Ⅱ）若函數(shù)yf(x)g(x)在（－1，3）上單調(diào)遞減，求t的取值范圍.

例1]已知曲線S:y23xx4x及點(diǎn)P(0,0)，求過點(diǎn)P的曲線S的切線方程.

32正解：設(shè)過點(diǎn)P的切線與曲線S切于點(diǎn)Q(x0,y0)，則過點(diǎn)P的曲線S的切線斜率

ky2x02x04，又kPQ2y0x0xx0，2x02x042y0x0。①點(diǎn)

Q在曲線S上，

y023x0x04x0.②，②代入①得

322x02x044332232x0x04x0x032

34化簡(jiǎn)，得

x0x00，x00或x0.若x00，則k4，過點(diǎn)P的切線

358x.過點(diǎn)P的曲線S方程為y4x；若x034，則k358x.

358，過點(diǎn)P的切線方程為y的切線方程為y4x或y[例2]已知函數(shù)f(x)ax33x2x1在R上是減函數(shù)，求a的取值范圍.錯(cuò)解：f(x)3ax26x1,f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)0在R上恒成立，

3ax26x10對(duì)一切xR恒成立，0，即3612a0，a3.

正解:f(x)3ax26x1，f(x)在R上是減函數(shù)，f(x)0在R上恒成立，

0且a0，即3612a0且a0，a3.

例5]函數(shù)f(x)3x33ax1,g(x)f"(x)ax5，其中f"(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù).（1）對(duì)滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)(x)＜0，求實(shí)數(shù)x的取值范圍；

（2）設(shè)a＝－m2，當(dāng)實(shí)數(shù)m在什么范圍內(nèi)變化時(shí)，函數(shù)y＝f(x)的圖象與直線y＝3只有一個(gè)公共點(diǎn).

解：（1）由題意gx3xax3a5

2令x3xa3x5，1a1

2對(duì)1a1，恒有g(shù)x0，即a0

3x2x201*∴即2

103xx80解得223x1

故x（2）f",1時(shí)，對(duì)滿足－1≤a≤1的一切a的值，都有g(shù)x0.3x3x23m2

3①當(dāng)m0時(shí)，fxx1的圖象與直線y3只有一個(gè)公共點(diǎn)

②當(dāng)m0時(shí)，列表：xf",mmm,mmm,x00fx極大2極小∴fx極小fx2mm11

又∵fx的值域是R，且在m,上單調(diào)遞增

∴當(dāng)xm時(shí)函數(shù)yfx的圖象與直線y3只有一個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)xm23時(shí)，恒有

fxf3由題意得mfm33即

2.

2mm12m13解得m32,00,2綜上，m的取值范圍是32,例6、（1）是否存在這樣的k值，使函數(shù)

區(qū)間（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增，若存在，求出這樣的k值；

（2）若間。

解：（1）由題意，當(dāng)∴由函數(shù)即整理得

時(shí)的連續(xù)性可知

，當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí)

，，

恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，試確定

在

的取值范圍，并求出這三個(gè)單調(diào)區(qū)

解得驗(yàn)證：

或

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，

∴若

，則；若，則，符合題意；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，

顯然不合題意。

，

于是綜上可知，存在

（2）若若

，則，則

使在（1，2）上遞減，在（2，+∞）上遞增。

，此時(shí)

，此時(shí)

只有一個(gè)增區(qū)間，與題設(shè)矛盾；

，與題設(shè)矛盾；

只有一個(gè)增區(qū)間

若，則

并且當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)

∴綜合可知，當(dāng)

時(shí)，時(shí)，

恰有三個(gè)單調(diào)區(qū)間：

減區(qū)間

點(diǎn)評(píng)：對(duì)于（1），由已知條件得

；增區(qū)間

，并由此獲得k的可能取值，進(jìn)而再利用已知

條件對(duì)所得k值逐一驗(yàn)證，這是開放性問題中尋求待定系數(shù)之值的基本策略。

例7、已知函數(shù)并且極大值比極小值大4.（1）求常數(shù)

的值；

，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)，

取得極值，

（2）求

解：（1）令∵∴

在或得方程

處取得極值為上述方程的根，

，

的極值。

故有∴

，即

①

∴又∵∴方程∴方程∴

僅當(dāng)

時(shí)取得極值，的根只有

或，

無實(shí)根，

即

而當(dāng)∴

時(shí)，

的正負(fù)情況只取決于

與

恒成立，

的取值情況

當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：

+010(1，+∞)+

∴在

極大值極小值處取得極大值

②

，在處取得極小值。

由題意得整理得

于是將①，②聯(lián)立，解得

（2）由（1）知，

點(diǎn)評(píng)：循著求函數(shù)極值的步驟，利用題設(shè)條件與的關(guān)系，立足研究的根

的情況，乃是解決此類含參問題的一般方法，這一解法體現(xiàn)了方程思想和分類討論的數(shù)學(xué)方法，突出了“導(dǎo)數(shù)

”與“

在

處取得極值”的必要關(guān)系。

1．已知函數(shù)f(x)ax3(2a1)x22，若x1是yf(x)的一個(gè)極值點(diǎn)，則a值為（）

A．2B.-2C.

27D.4

3222.已知函數(shù)f(x)xaxbxa在x1處有極值為10，則f(2)=.3．給出下列三對(duì)函數(shù)：①f(x)1x1x,g(x)x12②f(x)ax(a0)，g(x)xa

③f(x)()，g(x)log(x)；其中有且只有一對(duì)函數(shù)“既互為反函數(shù)，又同

3是各自定義域上的遞增函數(shù)”，則這樣的兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)分別是

f(x)，g(x).324．已知函數(shù)f(x)x3ax3(a2)x1有極大值和極小值，求a的取值范圍.

25．已知拋物線yx2，過其上一點(diǎn)P引拋物線的切線l，使l與兩坐標(biāo)軸在第一象限

圍成的三角形的面積最小，求l的方程.

6．設(shè)g(y)1x24xy3y4在y1,0上的最大值為f(x)，xR，

（1）求f(x)的表達(dá)式；（2）求f(x)的最大值.

設(shè)aR，函數(shù)f(x)ax33x2．

（Ⅰ）若x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，求a的值；

（Ⅱ）若函數(shù)g(x)f(x)f(x)，x[0，2]，在x0處取得最大值，求a的取值范圍．

解：（Ⅰ）f(x)3ax26x3x(ax2)．

因?yàn)閤2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)，所以f(2)0，即6(2a因此a1．2)0，經(jīng)驗(yàn)證，當(dāng)a1時(shí)，x2是函數(shù)yf(x)的極值點(diǎn)．4分（Ⅱ）由題設(shè)，g(x)ax33x23ax26xax2(x3)3x(x2)．當(dāng)g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)時(shí)，

g(0)≥g(2)，

即0≥20a24．故得a≤時(shí)，對(duì)任意x[0，2]，

65．9分

反之，當(dāng)a≤g(x)≤3x5652265x(x3)3x(x2)

3x5(2x5)(x2)≤0，

(2xx10)而g(0)0，故g(x)在區(qū)間[0，2]上的最大值為g(0)．

綜上，a的取值范圍為，．12分

53已知

是函數(shù)

與的關(guān)系表達(dá)式；

的一個(gè)極值點(diǎn)，其中

6（Ⅰ）求

（Ⅱ）求

（Ⅲ）當(dāng)取值范圍。

的單調(diào)區(qū)間；

時(shí)，函數(shù)的圖象上任意一點(diǎn)的切線斜率恒大于3m，求的

解析：（1）本小題主要考查了導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的基本方法以及函數(shù)與方程的思想，第2小題要根據(jù)

的符號(hào)，分類討論

的單調(diào)區(qū)間；第3小題

是二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上恒成立的問題，用區(qū)間端點(diǎn)處函數(shù)值的符號(hào)來表示二次三項(xiàng)式在一個(gè)區(qū)間上的符號(hào)，體現(xiàn)出將一般性問題特殊化的數(shù)學(xué)思想。

解答：（Ⅰ）∴∴

（Ⅱ）

；，

是函數(shù)

的一個(gè)極值點(diǎn)

令

，得

與

的變化如下表：

0+0極大值1單調(diào)遞減極小值

單調(diào)遞增單調(diào)遞減因此，的單調(diào)遞減區(qū)間是和；的單調(diào)遞增區(qū)間是

；

（Ⅲ）由（Ⅱ）即令

，且

19

，

即m的取值范圍是4

。

已知函數(shù)（Ⅰ）求

（Ⅱ）設(shè)在

，函數(shù)

。

的單調(diào)區(qū)間和值域；

，若對(duì)于任意

成立，求

的取值范圍。

，總存

，使得

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的綜合運(yùn)用，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題能力，考查思維及推理能力以及運(yùn)算能力，本題入手點(diǎn)容易，

（Ⅰ）中對(duì)分式函數(shù)定區(qū)間內(nèi)單調(diào)性與值域問題，往往以導(dǎo)數(shù)為工具，

（Ⅱ）是三次函數(shù)問題，因而導(dǎo)數(shù)法也是首選，若滿足

解：

關(guān)系，從而達(dá)到求解目的。

成立，則二次函數(shù)值域必

（Ⅰ）由得或。

∵則，

∴，

（舍去）變化情況表為：

020

10+

因而當(dāng)當(dāng)

（Ⅱ）因此因此當(dāng)又任給則

，當(dāng)

時(shí)時(shí)，

為減函數(shù)；當(dāng)?shù)闹涤驗(yàn)?/p>；

時(shí)為增函數(shù)；

時(shí)

為減函數(shù)，從而當(dāng)

，即當(dāng)

，

，存在

時(shí)有時(shí)有使得

時(shí)

由（1）得又

或，由（2）得

故

的取值范圍為。

5已知，函數(shù)

取得最小值？證明你的結(jié)論；

（1）當(dāng)為何值時(shí)，

（2）設(shè)

在

上是單調(diào)函數(shù)，求的取值范圍。

解析：本題考查導(dǎo)數(shù)的概念和計(jì)算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的方法及推理和運(yùn)算能力，本題（Ⅰ）常規(guī)題型，方法求（Ⅱ）由（Ⅰ）

在

，解上單調(diào)，而

的根，列表，確定單調(diào)性，并判斷極值點(diǎn)，對(duì)

，因此只要

即滿足題設(shè)條件，從中解出

解答：（Ⅰ）令從而

當(dāng)變化時(shí),

，則

的范圍。

，其中

的變化情況如下表

∴當(dāng)而當(dāng)∴當(dāng)（Ⅱ）當(dāng)

在時(shí)時(shí)+0極大值0極小值+處取得極大值，

，

處取得極小值

在，當(dāng)

時(shí)

為減函數(shù)，在

為增函數(shù)

，且

時(shí)時(shí)在

取最小值；

上為單調(diào)函數(shù)的充要條件是

，解得

綜上，在上為單調(diào)函數(shù)的充要條件為,

即

的取值范圍為）。

6.已知，函數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)

（Ⅱ）求函數(shù)

答案：

時(shí)，求使成立的成立的的集合；

在區(qū)間上的最小值。

（Ⅰ）｛0，1，

｝

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