高中數(shù)學(xué)第十四章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)(精華版) 導(dǎo) 數(shù)

高中數(shù)學(xué)第十四章導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．

多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實(shí)際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會(huì)求多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)求多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．

（5）會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求某些簡(jiǎn)單實(shí)際問題的最大值和最小值．

14.導(dǎo)數(shù)知識(shí)要點(diǎn)導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的極值函數(shù)的最值導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡(jiǎn)稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點(diǎn)，如果自變量x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0到x0x之間的平均變化率；如果極限xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做limx0xx0xlimyf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因?yàn)閤可正，可負(fù)，但不為零.

②以知函數(shù)yf(x)定義域?yàn)锳，yf"(x)的定義域?yàn)锽，則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)與點(diǎn)x0處可導(dǎo)的關(guān)系：⑴函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)是yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù).事實(shí)上，令xx0x，則xx0相當(dāng)于x0.

于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0x0xx⑵如果yf(x)點(diǎn)x0處連續(xù)，那么yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，是不成立的.lim[例：f(x)|x|在點(diǎn)x00處連續(xù)，但在點(diǎn)x00處不可導(dǎo)，因?yàn)閥yy不存在.1；當(dāng)x＜0時(shí)，1，故limx0xxxy|x|，當(dāng)x＞0時(shí)，xx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(diǎn)(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).

4.求導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)v2v"注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個(gè)函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個(gè)函數(shù)均不可導(dǎo)，則它們的和、差、

積、商不一定不可導(dǎo).

22例如：設(shè)f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們和

xxf(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個(gè)中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).⑵常數(shù)的判定方法；如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個(gè)點(diǎn)例外即x=0時(shí)f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個(gè)點(diǎn)處為零，在其余各點(diǎn)均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點(diǎn)，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）

當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點(diǎn)的充分條件是x0點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號(hào)，而不是f"(x)=0.此外，函數(shù)不

①

可導(dǎo)的點(diǎn)也可能是函數(shù)的極值點(diǎn).當(dāng)然，極值是一個(gè)局部概念，極值點(diǎn)的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點(diǎn)附近的點(diǎn)不同）.

②

注①：若點(diǎn)x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，其一點(diǎn)x0是極值點(diǎn)的必要條件是若函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點(diǎn).

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點(diǎn)x0處不可導(dǎo)，但點(diǎn)x0是函數(shù)的極小值點(diǎn).

8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對(duì)函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點(diǎn)一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

"I.C"0（C為常數(shù)）(sinx)cosx(arcsinx)"11x2

(xn)"nxn1（nR）(cosx)"sinx(arccosx)"11x2

1"11"(arctanx)II.(lnx)(logax)logae

xxx21"(ex)"ex(ax)"axlna(arccotx)"III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)"1.x1x②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y求代數(shù)和形式.

(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對(duì)數(shù)，可轉(zhuǎn)化

(xb1)(xb2)...(xbn)③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對(duì)數(shù)之后可變形為lnyxlnx，對(duì)兩邊

y"1求導(dǎo)可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx

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吃得苦中苦方為人上人！

高中數(shù)學(xué)第一章-集合

榆林教學(xué)資源網(wǎng)考試內(nèi)容：

集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集．

邏輯聯(lián)結(jié)詞．四種命題．充分條件和必要條件．考試要求：榆林教學(xué)資源網(wǎng)

（1）理解集合、子集、補(bǔ)集、交集、并集的概念；了解空集和全集的意義；了解屬于、包含、相等關(guān)系的意義；掌握有關(guān)的術(shù)語和符號(hào)，并會(huì)用它們正確表示一些簡(jiǎn)單的集合．（2）理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”的含義理解四種命題及其相互關(guān)系；掌握充分條件、必要條件及充要條件的意義．

01.集合與簡(jiǎn)易邏輯知識(shí)要點(diǎn)

一、知識(shí)結(jié)構(gòu):

本章知識(shí)主要分為集合、簡(jiǎn)單不等式的解法（集合化簡(jiǎn)）、簡(jiǎn)易邏輯三部分：

二、知識(shí)回顧：

（一）集合

1.基本概念：集合、元素；有限集、無限集；空集、全集；符號(hào)的使用.2.集合的表示法：列舉法、描述法、圖形表示法.集合元素的特征：確定性、互異性、無序性.集合的性質(zhì)：

①任何一個(gè)集合是它本身的子集，記為AA；②空集是任何集合的子集，記為A；③空集是任何非空集合的真子集；如果AB，同時(shí)BA，那么A=B.如果AB，BC，那么AC.

[注]：①Z={整數(shù)}（√）Z={全體整數(shù)}（）

②已知集合S中A的補(bǔ)集是一個(gè)有限集，則集合A也是有限集.（）（例：S=N；A=N，則CsA={0}）③空集的補(bǔ)集是全集.

第1頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

④若集合A=集合B，則CBA=，CAB=CS（CAB）=D（注：CAB=）.3.①{（x，y）|xy=0，x∈R，y∈R}坐標(biāo)軸上的點(diǎn)集.②{（x，y）|xy＜0，x∈R，y∈R

二、四象限的點(diǎn)集.

③{（x，y）|xy＞0，x∈R，y∈R}一、三象限的點(diǎn)集.[注]：①對(duì)方程組解的集合應(yīng)是點(diǎn)集.例：xy3解的集合{(2，1)}.

2x3y1②點(diǎn)集與數(shù)集的交集是.（例：A={(x，y)|y=x+1}B={y|y=x2+1}則A∩B=）4.①n個(gè)元素的子集有2n個(gè).②n個(gè)元素的真子集有2n－1個(gè).③n個(gè)元素的非空真子

集有2n－2個(gè).

5.①一個(gè)命題的否命題為真，它的逆命題一定為真.否命題逆命題.②一個(gè)命題為真，則它的逆否命題一定為真.原命題逆否命題.例：①若ab5，則a2或b3應(yīng)是真命題.

解：逆否：a=2且b=3，則a+b=5，成立，所以此命題為真.②x1且y2，xy3.解：逆否：x+y=3

x1且y2x=1或y=2.

xy3,故xy3是x1且y2的既不是充分，又不是必要條件.

小范圍推出大范圍；大范圍推不出小范圍.3.例：若x5，x5或x2.4.集合運(yùn)算：交、并、補(bǔ).

交：AB{x|xA,且xB}并：AB{x|xA或xB}補(bǔ)：CUA{xU,且xA}5.主要性質(zhì)和運(yùn)算律（1）包含關(guān)系：

AA,A,AU,CUAU,AB,BCAC;ABA,ABB;ABA,ABB.（2）等價(jià)關(guān)系：ABABAABBCUABU（3）集合的運(yùn)算律：

交換律：ABBA;ABBA.

結(jié)合律:(AB)CA(BC);(AB)CA(BC)分配律:.A(BC)(AB)(AC);A(BC)(AB)(AC)0-1律：A,AA,UAA,UAU

第2頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

等冪律：AAA,AAA.

求補(bǔ)律：A∩CUA=φA∪CUA=UCUU=φCUφ=U

反演律：CU(A∩B)=(CUA)∪(CUB)CU(A∪B)=(CUA)∩(CUB)

6.有限集的元素個(gè)數(shù)

定義：有限集A的元素的個(gè)數(shù)叫做集合A的基數(shù)，記為card(A)規(guī)定card(φ)=0.

基本公式：

(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)(2)card(ABC)card(A)card(B)card(C)

card(AB)card(BC)card(CA)card(ABC)(3)card(UA)=card(U)-card(A)

(二)含絕對(duì)值不等式、一元二次不等式的解法及延伸1.整式不等式的解法根軸法（零點(diǎn)分段法）

①將不等式化為a0(x-x1)(x-x2)(x-xm)>0(0”,則找“線”在x軸上方的區(qū)間；若不等式是“b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+box>0(a>0)解的討論.00二次函數(shù)0yax2bxc（a0）的圖象一元二次方程有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根ax2bxc0a0的根x1,x2(x1x2)bx1x22a第3頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

ax2bxc0(a0)的解集ax2bxc0(a0)的解集xxx或xx12bxx2aRxx1xx2

2.分式不等式的解法（1）標(biāo)準(zhǔn)化：移項(xiàng)通分化為

f(x)f(x)f(x)f(x)>0(或吃得苦中苦方為人上人！

5、四種命題之間的相互關(guān)系：

一個(gè)命題的真假與其他三個(gè)命題的真假有如下三條關(guān)系：(原命題逆否命題)①、原命題為真，它的逆命題不一定為真。②、原命題為真，它的否命題不一定為真。③、原命題為真，它的逆否命題一定為真。

6、如果已知pq那么我們說，p是q的充分條件，q是p的必要條件。若pq且qp,則稱p是q的充要條件，記為pq.

7、反證法：從命題結(jié)論的反面出發(fā)（假設(shè)），引出(與已知、公理、定理)矛盾，從而否定假設(shè)證明原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法。

高中數(shù)學(xué)第二章-函數(shù)

考試內(nèi)容：

映射、函數(shù)、函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性．反函數(shù)．互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系．

指數(shù)概念的擴(kuò)充．有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)．指數(shù)函數(shù)．對(duì)數(shù)．對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)．對(duì)數(shù)函數(shù)．函數(shù)的應(yīng)用．考試要求：

（1）了解映射的概念，理解函數(shù)的概念．

（2）了解函數(shù)單調(diào)性、奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的方法．（3）了解反函數(shù)的概念及互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系，會(huì)求一些簡(jiǎn)單函數(shù)的反函數(shù)．（4）理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念，掌握有理指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)，掌握指數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．

（5）理解對(duì)數(shù)的概念，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖像和性質(zhì)．（6）能夠運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決某些簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

02.

一、本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)：

定義F:AB反函數(shù)映射函數(shù)具體函數(shù)一般研究圖像性質(zhì)二次函數(shù)指數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

二、知識(shí)回顧：

第5頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

（一）映射與函數(shù)1.映射與一一映射

2.函數(shù)

函數(shù)三要素是定義域，對(duì)應(yīng)法則和值域，而定義域和對(duì)應(yīng)法則是起決定作用的要素，因?yàn)檫@二者確定后，值域也就相應(yīng)得到確定，因此只有定義域和對(duì)應(yīng)法則二者完全相同的函數(shù)才是同一函數(shù).3.反函數(shù)

反函數(shù)的定義

設(shè)函數(shù)

yf(x)(xA)的值域是C，根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x,y的關(guān)系，用y把x表

示出，得到x=(y).若對(duì)于y在C中的任何一個(gè)值，通過x=(y)，x在A中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=(y)就表示y是自變量，x是自變量y的函數(shù)，這樣的函數(shù)x=(y)(yC)叫做函數(shù)

yf(x)(xA)的反函數(shù)，記作xf1(y),習(xí)慣上改寫成

yf1(x)

（二）函數(shù)的性質(zhì)⒈函數(shù)的單調(diào)性

定義：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2,若當(dāng)x1吃得苦中苦方為人上人！

正確理解奇、偶函數(shù)的定義。必須把握好兩個(gè)問題：（1）定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)f(x)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件；（2）f(x)f(x)或f(x)f(x)是定義域上的恒等式。2．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸成軸對(duì)稱圖形。反之亦真，因此，也可以利用函數(shù)圖象的對(duì)稱性去判斷函數(shù)的奇偶性。3.奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間同增同減；偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間增減性相反.4．如果f(x)是偶函數(shù)，則f(x)f(|x|)，反之亦成立。若奇函數(shù)在x0時(shí)有意義，則f(0)0。

7.奇函數(shù)，偶函數(shù)：偶函數(shù)：f(x)f(x)

設(shè)（a,b）為偶函數(shù)上一點(diǎn)，則（a,b）也是圖象上一點(diǎn).偶函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于y軸對(duì)稱，例如：yx21在[1,1)上不是偶函數(shù).②滿足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0時(shí)，奇函數(shù)：f(x)f(x)

設(shè)（a,b）為奇函數(shù)上一點(diǎn)，則（a,b）也是圖象上一點(diǎn).奇函數(shù)的判定：兩個(gè)條件同時(shí)滿足

①定義域一定要關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，例如：yx3在[1,1)上不是奇函數(shù).②滿足f(x)f(x)，或f(x)f(x)0，若f(x)0時(shí)，

y軸對(duì)稱8.對(duì)稱變換：①y=f（x）yf（x）f(x)1.f(x)f(x)1.f(x)x軸對(duì)稱②y=f（x）yf（x）③y=f（x）原點(diǎn)對(duì)稱yf（x）9.判斷函數(shù)單調(diào)性（定義）作差法：對(duì)帶根號(hào)的一定要分子有理化，例如：

(x1x2)f(x)f(x)x2b2x2b2（x1x2）121222xxb2x1b2在進(jìn)行討論.

10.外層函數(shù)的定義域是內(nèi)層函數(shù)的值域.例如：已知函數(shù)f（x）=1+

x的定義域?yàn)锳，函數(shù)f[f（x）]的定義域是B，則集合A與1xBA集合B之間的關(guān)系是.

解：f(x)的值域是f(f(x))的定義域B，f(x)的值域R，故BR，而Ax|x1，故BA.

11.常用變換：

①f(xy)f(x)f(y)f(xy)f(x).f(y)第7頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

證：f(xy)xyf(y)f(x)f[(xy)y]f(xy)f(y)f(x)②f()f(x)f(y)f(xy)f(x)f(y)證：f(x)f(y)f()f(y)12.熟悉常用函數(shù)圖象：

1例：y2→|x|關(guān)于y軸對(duì)稱.y2|x|▲▲xyxy|x2|11→y→y22▲|x||x2|

yyy(0,1)x(-2,1)xx

y|2x2x1|→|y|關(guān)于x軸對(duì)稱.

2

▲y

熟悉分式圖象：

2x17例：y定義域{x|x3,xR}，2x3x3值域{y|y2,yR}→值域x前的系數(shù)之比.（三）指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

指數(shù)函數(shù)圖象x▲y2x3yax(a0且a1)的圖象和性質(zhì)

00時(shí)，y>1;x吃得苦中苦方為人上人！

a>1對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax的圖象和性質(zhì):對(duì)數(shù)運(yùn)算：

0吃得苦中苦方為人上人！

yy=logaxa>1圖象Oxx=1a0（5）在（0，+∞）上是增函數(shù)

x(1,)時(shí)y0在（0，+∞）上是減函數(shù)注：當(dāng)a,b0時(shí)，log(ab)log(a)log(b).

：當(dāng)M0時(shí)，取“+”，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)且M0時(shí)，Mn0，而M0，故取“”.

2例如：logax2logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.

yax（a0,a1）與ylogax互為反函數(shù).

當(dāng)a1時(shí)，ylogax的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0a1時(shí)，則相反.

（四）方法總結(jié)

.相同函數(shù)的判定方法：定義域相同且對(duì)應(yīng)法則相同.對(duì)數(shù)運(yùn)算：

第10頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

loga(MN)logaMlogaN(1)logaMlogaMlogaNN1logaMn

logaMnnlogaM12)loganMalogaNNlogbNlogba換底公式：logaN推論：logablogbclogca1loga1a2loga2a3...logan1anloga1an（以上M0,N0,a0,a1,b0,b1,c0,c1,a1,a2...an0且1）

注：當(dāng)a,b0時(shí)，log(ab)log(a)log(b).

：當(dāng)M0時(shí)，取“+”，當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)且M0時(shí)，Mn0，而M0，故取“”.例如：logax22logax(2logax中x＞0而logax2中x∈R）.yax（a0,a1）與ylogax互為反函數(shù).

當(dāng)a1時(shí)，ylogax的a值越大，越靠近x軸；當(dāng)0a1時(shí)，則相反.

.函數(shù)表達(dá)式的求法：①定義法；②換元法；③待定系數(shù)法.

.反函數(shù)的求法：先解x,互換x、y，注明反函數(shù)的定義域(即原函數(shù)的值域)..函數(shù)的定義域的求法：布列使函數(shù)有意義的自變量的不等關(guān)系式，求解即可求得函數(shù)的定義域.常涉及到的依據(jù)為①分母不為0；②偶次根式中被開方數(shù)不小于0；③對(duì)數(shù)的真數(shù)大于0，底數(shù)大于零且不等于1；④零指數(shù)冪的底數(shù)不等于零；⑤實(shí)際問題要考慮實(shí)際意義等.

.函數(shù)值域的求法：①配方法(二次或四次)；②“判別式法”；③反函數(shù)法；④換元法；⑤不等式法；⑥函數(shù)的單調(diào)性法.

.單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個(gè)自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較.

.奇偶性的判定法：首先考察定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再計(jì)算f(-x)與f(x)之間的關(guān)系：①f(-x)=f(x)為偶函數(shù)；f(-x)=-f(x)為奇函數(shù)；②f(-x)-f(x)=0為偶；f(x)+f(-x)=0為奇；③f(-x)/f(x)=1是偶；f(x)÷f(-x)=-1為奇函數(shù).

第11頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

.圖象的作法與平移：①據(jù)函數(shù)表達(dá)式，列表、描點(diǎn)、連光滑曲線；②利用熟知函數(shù)的圖象的平移、翻轉(zhuǎn)、伸縮變換；③利用反函數(shù)的圖象與對(duì)稱性描繪函數(shù)圖象.

高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)列

考試內(nèi)容：數(shù)列．

等差數(shù)列及其通項(xiàng)公式．等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．等比數(shù)列及其通項(xiàng)公式．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式．考試要求：

（1）理解數(shù)列的概念，了解數(shù)列通項(xiàng)公式的意義了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，并能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)．

（2）理解等差數(shù)列的概念，掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，并能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

（3）理解等比數(shù)列的概念，掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式，井能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題．

03.數(shù)列知識(shí)要點(diǎn)數(shù)列的定義項(xiàng)數(shù)列的有關(guān)概念項(xiàng)數(shù)數(shù)列數(shù)列的通項(xiàng)通項(xiàng)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系等比數(shù)列的定義等差數(shù)列的定義等比數(shù)列的通項(xiàng)等差數(shù)列的通項(xiàng)等比數(shù)列等差數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)等差數(shù)列的性質(zhì)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等差數(shù)列的前n項(xiàng)和定義遞推公式等差數(shù)列an1andanan1d；anamnmd等比數(shù)列an1q(q0)ananan1q；anamqnm第12頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

通項(xiàng)公式中項(xiàng)ana1(n1)dana1qn1（a1,q0）Aankank2Gankank(ankank0)（n,kN*,nk0）前n項(xiàng)和Snn(a1an)2n(n1)d2（n,kN*,nk0）na1(q1)Sna11qna1anq(q2)1q1qSnna1重要性質(zhì)*amanapaq(m,n,p,qN,mnpq)1.等差、等比數(shù)列：定義等差數(shù)列amanapaq(m,n,p,qN*,mnpq)等比數(shù)列{an}為APan1and(常數(shù)）{an}為GPan1anq(常數(shù)）通項(xiàng)公式求和公式（n-1）d=ak+（n-k）d=dn+a1-dana1qn1akqnkan=a1+n(a1an)n(n1)na1d22d2dn(a1)n22snA=(q1)na1sna1(1qn)a1anq

(q1)1q1q中項(xiàng)公式ab2推廣：2an=anmanmG2ab。推廣：ananmanm2若m+n=p+q，則amanapaq。若{kn}成等比數(shù)列（其中knN），則{akn}成等比數(shù)列。性質(zhì)1若m+n=p+q則aaaamnpq2若{k}成A.P（其中knN）則{akn}n也為A.P。34．sn,s2nsn,s3ns2n成等差數(shù)列。sn,s2nsn,s3ns2n成等比數(shù)列。aa1amandn(mn)n1mnqn1ana1，qnmanam(mn)5

第13頁(yè)共75頁(yè)

吃得苦中苦方為人上人！

看數(shù)列是不是等差數(shù)列有以下三種方法：①anan1d(n2,d為常數(shù))②2anan1an1(n2)③anknb(n,k為常數(shù)).

看數(shù)列是不是等比數(shù)列有以下四種方法：①anan1q(n2,q為常數(shù),且0)

2②anan1an1(n2，anan1an10)

①

注①：i.bac，是a、b、c成等比的雙非條件，即bacii.bac（ac＞0）→為a、b、c等比數(shù)列的充分不必要.iii.bac→為a、b、c等比數(shù)列的必要不充分.iv.bac且ac0→為a、b、c等比數(shù)列的充要.

a、b、c等比數(shù)列.

注意：任意兩數(shù)a、c不一定有等比中項(xiàng)，除非有ac＞0，則等比中項(xiàng)一定有兩個(gè).③ancqn(c,q為非零常數(shù)).

④正數(shù)列{an}成等比的充要條件是數(shù)列{logxan}（x1）成等比數(shù)列.

s1a1(n1)a數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與通項(xiàng)an的關(guān)系：n

ss(n2)nn1[注]：①ana1n1dnda1d（d可為零也可不為零→為等差數(shù)列充要條件（即常數(shù)列也是等差數(shù)列）→若d不為0，則是等差數(shù)列充分條件）.ddd②等差{an}前n項(xiàng)和SnAn2Bnn2a1n→可以為零也可不為零→為等差

222的充要條件→若d為零，則是等差數(shù)列的充分條件；若d不為零，則是等差數(shù)列的充分條件.

③非零常數(shù)列既可為等比數(shù)列，也可為等差數(shù)列.（不是非零，即不可能有等比數(shù)列）．．2.①等差數(shù)列依次每k項(xiàng)的和仍成等差數(shù)列，其公差為原公差的k2倍Sk,S2kSk,S3kS2k...；

②若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2nnN，則S偶S奇nd，S奇S偶anan1；

S偶nn1③若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n1nN，則S2n12n1an，且S奇S偶an，S奇代入n到2n1得到所求項(xiàng)數(shù).3.常用公式：①1+2+3+n=②122232n2nn12nn12n1

6第14頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

nn1③132333n322[注]：熟悉常用通項(xiàng)：9，99，999，…an10n1；5，55，555，…an5n101.94.等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式的常見應(yīng)用題：

生產(chǎn)部門中有增長(zhǎng)率的總產(chǎn)量問題.例如，第一年產(chǎn)量為a，年增長(zhǎng)率為r，則每年的產(chǎn)量成等比數(shù)列，公比為1r.其中第n年產(chǎn)量為a(1r)n1，且過n年后總產(chǎn)量為：

2n1aa(1r)a(1r)...a(1r)a[a(1r)n].

1(1r)銀行部門中按復(fù)利計(jì)算問題.例如：一年中每月初到銀行存a元，利息為r，每月利息按復(fù)利計(jì)算，則每月的a元過n個(gè)月后便成為a(1r)n元.因此，第二年年初可存款：

121110a(1r)a(1r)a(1r)a(1r)[1(1r)12]....a(1r)=

1(1r)分期付款應(yīng)用題：a為分期付款方式貸款為a元；m為m個(gè)月將款全部付清；r為年利率.

a1rx1rmm1x1rm2......x1rxa1rmx1rm1ar1rmxmr1r15.數(shù)列常見的幾種形式：

an2pan1qan（p、q為二階常數(shù)）用特證根方法求解.

具體步驟：①寫出特征方程x2Pxq（x2對(duì)應(yīng)an2，x對(duì)應(yīng)an1），并設(shè)二根x1,x2②若x1x2nn可設(shè)an.c1xn1c2x2，若x1x2可設(shè)an(c1c2n)x1；③由初始值a1,a2確定c1,c2.

anPan1r（P、r為常數(shù)）用①轉(zhuǎn)化等差，等比數(shù)列；②逐項(xiàng)選代；③消去常數(shù)n轉(zhuǎn)化為an2Pan1qan的形式，再用特征根方法求an；④anc1c2Pn1（公式法），c1,c2由a1,a2確定.

①轉(zhuǎn)化等差，等比：an1xP(anx)an1PanPxxx②選代法：anPan1rP(Pan2r)ran(a1Pn1a1Pn2rPrr.

r.P1rr)Pn1(a1x)Pn1xP1P1③用特征方程求解：

an1Panr（P1）anPan1.an1anPanPan1an1相減，anPan1r④由選代法推導(dǎo)結(jié)果：c1rrrr.，c2a1，anc2Pn1c1（a1）Pn11PP1P11P6.幾種常見的數(shù)列的思想方法：

第15頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn，在d0時(shí)，有最大值.如何確定使Sn取最大值時(shí)的n值，有兩種方法：

一是求使an0,an10，成立的n值；二是由Snd2dn(a1)n利用二次函數(shù)的性質(zhì)求n22的值.

如果數(shù)列可以看作是一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)乘積，求此數(shù)列前n項(xiàng)和可依

111照等比數(shù)列前n項(xiàng)和的推倒導(dǎo)方法：錯(cuò)位相減求和.例如：1,3,...(2n1)n,...

242兩個(gè)等差數(shù)列的相同項(xiàng)亦組成一個(gè)新的等差數(shù)列，此等差數(shù)列的首項(xiàng)就是原兩個(gè)數(shù)列的第

一個(gè)相同項(xiàng)，公差是兩個(gè)數(shù)列公差d1，d2的最小公倍數(shù).

2.判斷和證明數(shù)列是等差（等比）數(shù)列常有三種方法：(1)定義法:對(duì)于n≥2的任意自然數(shù),驗(yàn)證anan1(an)為同一常數(shù)。(2)通項(xiàng)公式法。(3)中項(xiàng)公式法:驗(yàn)證an122an1anan2(an1anan2)nN都成立。

am03.在等差數(shù)列｛an｝中,有關(guān)Sn的最值問題：(1)當(dāng)a1>0,d吃得苦中苦方為人上人！

5）

1111111()

n(n1)nn1n(n2)2nn21111()(pq)pqqppq6）

高中數(shù)學(xué)第四章-三角函數(shù)

考試內(nèi)容：

角的概念的推廣．弧度制．

任意角的三角函數(shù)．單位圓中的三角函數(shù)線．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式.正弦、余弦的誘導(dǎo)公式．

兩角和與差的正弦、余弦、正切．二倍角的正弦、余弦、正切．

正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖像和性質(zhì)．周期函數(shù)．函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖像．正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)．已知三角函數(shù)值求角．正弦定理．余弦定理．斜三角形解法．考試要求：

（1）理解任意角的概念、弧度的意義能正確地進(jìn)行弧度與角度的換算．

（2）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定義；了解余切、正割、余割的定義；掌握同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式；掌握正弦、余弦的誘導(dǎo)公式；了解周期函數(shù)與最小正周期的意義．（3）掌握兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式．（4）能正確運(yùn)用三角公式，進(jìn)行簡(jiǎn)單三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．

（5）理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像和性質(zhì)，會(huì)用“五點(diǎn)法”畫正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的簡(jiǎn)圖，理解A.ω、φ的物理意義．

（6）會(huì)由已知三角函數(shù)值求角，并會(huì)用符號(hào)arcsinx\\arc-cosx\\arctanx表示．（7）掌握正弦定理、余弦定理，并能初步運(yùn)用它們解斜三角形．

（8）“同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：sin2α+cos2α=1，sinα/cosα=tanα,tanαcosα=1”．

04.三角函數(shù)知識(shí)要點(diǎn)

1.①與（0°≤＜360°）終邊相同的角的集合（角與角的終邊重合）：

|k360,kZ

▲y2sinx1cosxcosx②終邊在x軸上的角的集合：|k180,kZ③終邊在y軸上的角的集合：|k18090,kZ④終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合：|k90,kZ

3sinx4cosxcosx1sinx2sinx3x4SIN\\COS三角函數(shù)值大小關(guān)系圖第17頁(yè)共75頁(yè)1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在區(qū)域吃得苦中苦方為人上人！

⑤終邊在y=x軸上的角的集合：|k18045,kZ⑥終邊在yx軸上的角的集合：|k18045,kZ

⑦若角與角的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：360k⑧若角與角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，則角與角的關(guān)系：360k180⑨若角與角的終邊在一條直線上，則角與角的關(guān)系：180k⑩角與角的終邊互相垂直，則角與角的關(guān)系：360k902.角度與弧度的互換關(guān)系：360°=2180°=1°=0.017451=57.30°=57°18′注意：正角的弧度數(shù)為正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)為負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)為零.

、弧度與角度互換公式：1rad＝180°≈57.30°=57°18．1°＝≈0.01745（rad）

1803、弧長(zhǎng)公式：l||r.扇形面積公式：s扇形11lr||r222ya的終邊P（x,y)r4、三角函數(shù)：設(shè)是一個(gè)任意角，在的終邊上任�。ó愑谠�點(diǎn)的）一點(diǎn)P（x,y）P與原點(diǎn)的距離為r，則siny；ryxcos；tanxr；cotx；secr；.cscr.yxyox5、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：（一全二正弦，三切四余弦）++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

6、三角函數(shù)線

正弦線：MP;余弦線：OM;正切線：AT.

7.三角函數(shù)的定義域：

16.幾個(gè)重要結(jié)論:(1)y(2)y|sinx|>|cosx|sinx>cosxOx|cosx|>|sinx|O|cosx|>|sinx|xcosx>sinx|sinx|>|cosx|(3)若o吃得苦中苦方為人上人！

f(x)tanxf(x)cotxf(x)secxf(x)cscx1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZ1x|xR且xk,kZ2x|xR且xk,kZcoscoscotsin8、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式：sintan

cos1tancot1cscsin1sec

sin2cos21sec2tan21csc2cot21

9、誘導(dǎo)公式：

把k的三角函數(shù)化為的三角函數(shù)，概括為：2“奇變偶不變，符號(hào)看象限”三角函數(shù)的公式：（一）基本關(guān)系

公式組一公式組二公式組三sinxsin(2kx)sinxsin(x)sinxsinxcscx=1tanx=sin2x+cos2x=1cosxcos(2kx)cosxcos(x)cosxcosx22x=cosxsecx=11+tanx=secxtan(2kx)tanxtan(x)tanxsinxcot(2kx)cotxcot(x)coxttanxcotx=11+cot2x=csc2x公式組四公式組五公式組六sin(x)sinxsin2(x)sinxsin(x)sinxcos(x)cosxcos2(x)cosxcos(x)cosx

tan(x)tanxtan2(x)tanxtan(x)tanxcot(x)cotxcot2(x)coxtcot(x)coxt（二）角與角之間的互換

公式組一公式組二

coscos()coscossinsinsin22sinsco2ssi2n2co2s112si2ncos()coscossinsinco2sin()sincoscossintan22tan1tan2

sin()sincoscossinsin21cos2tan()tantan1coscos

1tantan22tantan1cossin1costan1tantan21cos1cossintan()公式組三公式組四1公式組五sincossinsin21第19頁(yè)共75頁(yè)cossinsinsin21coscoscoscos吃得苦中苦方為人上人！

2tansin21tan21tan2cos1tan22

1cos()sin21sin()cos21tan()cot21cos()sin21tan()cot222sinsin2sin2cos2sin222tan2coscos2coscostan2211tan2sin()coscoscos2sinsin222262,tan15cot7523,tan75cot1523.62,sin75cos15sin15cos75sinsin2cos44

10.正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的圖象的性質(zhì)：定義域值域周期性奇偶性單調(diào)性ysinxR[1,1]ycosxR[1,1]ytanx1x|xR且xk,kZ2ycotxx|xR且xk,kZRyAsinx（A、＞0）RRA,A22奇函數(shù)2偶函數(shù)奇函數(shù)奇函數(shù)當(dāng)0,非奇非偶當(dāng)0,奇函數(shù)2k2k2(A),12(A)[22k,[2k1,；k,k22k]2k,k1上為減函數(shù)（kZ）22k]上為增函數(shù)；[上為增函數(shù)[2k,2k1]上為減函數(shù)（kZ）上為增函數(shù)（kZ）232k]22k,上為增函數(shù)；2k上為減函數(shù)（kZ）2(A),32k2(A)上為減函數(shù)（kZ）注意：①ysinx與ysinx的單調(diào)性正好相反；ycosx與ycosx的單調(diào)性也同樣相反.一般地，若yf(x)在[a,b]上遞增（減），則yf(x)在[a,b]上遞減（增）.

▲y第20頁(yè)共75頁(yè)xO吃得苦中苦方為人上人！

②ysinx與ycosx的周期是.

x)或ycos(x)（0）的周期T③ysin(ytan2.

x的周期為2（TT2，如圖，翻折無效）.

2x)的對(duì)稱軸方程是xk④ysin(2（kZ），對(duì)稱中心（k,0）；ycos(x)的

k對(duì)稱軸方程是xk（kZ），對(duì)稱中心（k1,0）；yt（.an(x)的對(duì)稱中心,0）

22ycos2x原點(diǎn)對(duì)稱ycos(2x)cos2x

tan1,k⑤當(dāng)tan

2tan1,k(kZ)；tan

2(kZ).

⑥ycosx與ysinx2k是同一函數(shù),而y(x)是偶函數(shù)，則

21y(x)sin(xk)cos(x).

2⑦函數(shù)ytanx在R上為增函數(shù).（×）[只能在某個(gè)單調(diào)區(qū)間單調(diào)遞增.若在整個(gè)定義域，

ytanx為增函數(shù)，同樣也是錯(cuò)誤的].

⑧定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是f(x)具有奇偶性的必要不充分條件.（奇偶性的兩個(gè)條件：一是定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（奇偶都要），二是滿足奇偶性條件，偶函數(shù)：f(x)f(x)，奇函數(shù)：f(x)f(x)）

1奇偶性的單調(diào)性：奇同偶反.例如：ytanx是奇函數(shù)，ytan(x)是非奇非偶.（定

3義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

奇函數(shù)特有性質(zhì)：若0x的定義域，則f(x)一定有f(0)0.（0x的定義域，則無此性質(zhì)）

▲⑨ysinx不是周期函數(shù)；ysinx為周期函數(shù)（T）；ycosx是周期函數(shù)（如圖）；ycosx為周期函數(shù)（T）；y▲yx1/2xy=cos|x|圖象1ycos2x的周期為（如圖），并非所有周期函數(shù)都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|圖象yf(x)5f(xk),kR.

⑩yacosbsina2b2sin()cosb有a2b2y.a11、三角函數(shù)圖象的作法：

１）、幾何法：

２）、描點(diǎn)法及其特例五點(diǎn)作圖法（正、余弦曲線），三點(diǎn)二線作圖法（正、余切

第21頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

曲線）.

３）、利用圖象變換作三角函數(shù)圖象．

三角函數(shù)的圖象變換有振幅變換、周期變換和相位變換等．

函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T2，頻率f1||，相位x;初相||T2（即當(dāng)x＝0時(shí)的相位）．（當(dāng)A＞0，ω＞0時(shí)以上公式可去絕對(duì)值符號(hào)），

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)|A|＞1）或縮短（當(dāng)0＜|A|＜1）到原來的|A|倍，得到y(tǒng)＝Asinx的圖象，叫做振幅變換或叫沿y軸的伸縮變換．（用y/A替換y）

由y＝sinx的圖象上的點(diǎn)的縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)（0＜|ω|＜1）或縮短（|ω|＞1）到原來的|1|倍，得到y(tǒng)＝sinωx的圖象，叫做周期變換或叫做沿x軸的伸縮變換．(用ωx

替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0）或向右（當(dāng)φ＜0）平行移動(dòng)｜φ｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sin（x＋φ）的圖象，叫做相位變換或叫做沿x軸方向的平移．(用x＋φ替換x)

由y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向上（當(dāng)b＞0）或向下（當(dāng)b＜0）平行移動(dòng)｜b｜個(gè)單位，得到y(tǒng)＝sinx＋b的圖象叫做沿y軸方向的平移．（用y+(-b)替換y）

由y＝sinx的圖象利用圖象變換作函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的圖象，要特別注意：當(dāng)周期變換和相位變換的先后順序不同時(shí)，原圖象延x軸量伸縮量的區(qū)別。

4、反三角函數(shù)：函數(shù)y＝sinx，的反函數(shù)叫做反正弦函數(shù)，記作x2，222y＝arcsinx，它的定義域是［－1，

1］，值域是－，．

函數(shù)y＝cosx，（x∈［0，π］）的反應(yīng)函數(shù)叫做反余弦函數(shù)，記作y＝arccosx，它的定義域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函數(shù)y＝tanx，記作的反函數(shù)叫做反正切函數(shù)，x2，222y＝arctanx，它的定義域是（－

∞，＋∞），值域是，．

函數(shù)y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函數(shù)叫做反余切函數(shù)，記作y＝arcctgx，它的定義域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II.競(jìng)賽知識(shí)要點(diǎn)

一、反三角函數(shù).

1.反三角函數(shù)：反正弦函數(shù)yarcsinx是奇函數(shù)，故arcsin(x)arcsinx，x1,1（一定要注明定義域，若x,，沒有x與y一一對(duì)應(yīng)，故ysinx無反函數(shù)）

第22頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

注：sin(arcsinx)x，x1,1，arcsinx,.

22反余弦函數(shù)yarccosx非奇非偶，但有arccos(x)arccos(x)2k，x1,1.注：①cos(arccosx)x，x1,1，arccosx0,.

②ycosx是偶函數(shù)，yarccosx非奇非偶，而ysinx和yarcsinx為奇函數(shù).反正切函數(shù)：yarctanx，定義域(,)，值域（arctan(x)arctanx，x(,).

,），yarctanx是奇函數(shù)，22注：tan(arctanx)x，x(,).

反余切函數(shù)：yarccotx，定義域(,)，值域（,），yarccotx是非奇非22偶.

arccot(x)arccot(x)2k，x(,).注：①cot(arccotx)x，x(,).

1x)互為奇函數(shù)，yarctanx同理為奇而yarccosx與yarccotx②yarcsinx與yarcsin(非奇非偶但滿足arccos(x)arccosx2k,x[1,1]arccotxarccot(x)2k,x[1,1].正弦、余弦、正切、余切函數(shù)的解集：

a的取值范圍解集a的取值范圍解集①sinxa的解集②cosxa的解集

a＞1a＞1

a=1x|x2karcsina,kZa=1x|x2karccosa,kZ

a＜1

x|xk1karcsina,kZ

a＜1x|xkarccosa,kZ

③tanxa的解集：x|xkarctana,kZ③cotxa的解集：x|xkarccota,kZ

二、三角恒等式.

sin2n1組一ncoscos2cos4...cos2n12sin

組二

sin33sin4sin3cos34cos33cossin2sin2sinsincos2cos2cos2k1nkcos2cos4cos8cos2nsin2nsin2n

k0nncos(xkd)cosxcos(xd)cos(xnd)sin((n1)d)cos(xnd)

sindsin(xkd)sinxsin(xd)sin(xnd)k0sin((n1)d)sin(xnd)

sind第23頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

tan()tantantantantantan

1tantantantantantan組三三角函數(shù)不等式

sinx＜x＜tanx,x(0,2)f(x)sinx在(0,)上是減函數(shù)x若ABC，則x2y2z22yzcosA2xzcosB2xycosC

高中數(shù)學(xué)第五章-平面向量

考試內(nèi)容：

向量．向量的加法與減法．實(shí)數(shù)與向量的積．平面向量的坐標(biāo)表示．線段的定比分點(diǎn)．平面向量的數(shù)量積．平面兩點(diǎn)間的距離、平移．考試要求：

（1）理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念．（2）掌握向量的加法和減法．

（3）掌握實(shí)數(shù)與向量的積，理解兩個(gè)向量共線的充要條件．

（4）了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐標(biāo)的概念，掌握平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．（5）掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．

（6）掌握平面兩點(diǎn)間的距離公式，以及線段的定比分點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，并且能熟練運(yùn)用掌握平移公式．

05.平面向量知識(shí)要點(diǎn)

1.本章知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)

2.向量的概念

(1)向量的基本要素：大小和方向.(2)向量的表示：幾何表示法AB；字母表示：a；坐標(biāo)表示法a＝ｘｉ＋ｙj＝（ｘ，ｙ）.

(3)向量的長(zhǎng)度：即向量的大小，記作｜a｜.(4)特殊的向量：零向量a＝O｜a｜＝O.

單位向量aO為單位向量｜aO｜＝1.

x1x2(5)相等的向量：大小相等，方向相同(ｘ1，ｙ1)＝（ｘ2，ｙ2）

yy21(6)相反向量：a=-bb=-aa+b=0

(7)平行向量(共線向量)：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作a∥b.平行向量也稱為共線向量.

第24頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

3.向量的運(yùn)算運(yùn)算類型幾何方法坐標(biāo)方法運(yùn)算性質(zhì)abba向量的加法1.平行四邊形法則2.三角形法則ab(x1x2,y1y2)(ab)ca(bc)ABBCAC向量的減法三角形法則ab(x1x2,y1y2)aba(b)ABBA,OBOAAB1.a是一個(gè)向量,滿數(shù)乘向量足:|a||||a|2.>0時(shí),a與a同向;1圖吃得苦中苦方為人上人！

OP＝

xy11＋OPOP2(線段的定比分點(diǎn)的向量公式)111x1x2,1(線段定比分點(diǎn)的坐標(biāo)公式)y1y2.1當(dāng)λ＝1時(shí)，得中點(diǎn)公式：

x1x2x,12OP＝（OP1＋OP2）或yy22y1.2(5)平移公式

設(shè)點(diǎn)P(x，y)按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后得到點(diǎn)P′（x′，y′），則OP＝OP+a或xxh,

yyk.曲線y＝f（x）按向量a＝（ｈ，ｋ）平移后所得的曲線的函數(shù)解析式為：

y－ｋ＝f（x－ｈ)

(6)正、余弦定理正弦定理：

abc2R.sinAsinBsinC2

22

余弦定理：a＝b＋c－2bccosA，222

b＝c＋a－2cacosB，222

c＝a＋b－2abcosC.

（7）三角形面積計(jì)算公式：

設(shè)△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為ha，hb，hc，半周長(zhǎng)為P，外接圓、內(nèi)切圓的半徑為R，r.

①S△=1/2aha=1/2bhb=1/2chc②S△=Pr③S△=abc/4R

④S△=1/2sinCab=1/2acsinB=1/2cbsinA⑤S△=PPaPbPc[海倫公式]⑥S△=1/2（b+c-a）ra[如下圖]=1/2（b+a-c）rc=1/2（a+c-b）rb

A[注]：到三角形三邊的距離相等的點(diǎn)有4個(gè)，一個(gè)是內(nèi)心，其余3個(gè)是旁心.如圖：AAEcAcbbOacDBNbCFBEDBaCrFIrCraEIaaaFCB圖2圖3圖4

圖1中的I為S△ABC的內(nèi)心，S△=Pr

第26頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

圖2中的I為S△ABC的一個(gè)旁心，S△=1/2（b+c-a）ra

附：三角形的五個(gè)“心”；重心：三角形三條中線交點(diǎn).

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn).內(nèi)心：三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn).垂心：三角形三邊上的高相交于一點(diǎn).

旁心：三角形一內(nèi)角的平分線與另兩條內(nèi)角的外角平分線相交一點(diǎn).

已知⊙O是△ABC的內(nèi)切圓，若BC=a，AC=b，AB=c[注：s為△ABC的半周長(zhǎng),即

abc]2則：①AE=sa=1/2（b+c-a）②BN=sb=1/2（a+c-b）③FC=sc=1/2（a+b-c）

綜合上述：由已知得，一個(gè)角的鄰邊的切線長(zhǎng)，等于半周長(zhǎng)減去對(duì)邊（如圖4）.

abcab特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內(nèi)切圓半徑r=（如圖3）.2abc在△ABC中，有下列等式成立tanAtanBtanCtanAtanBtanC.tanAtanB證明：因?yàn)锳BC,所以tanABtanC，所以tanC，結(jié)論！

1tanAtanBAC2BDAB2BCBDDC.在△ABC中，D是BC上任意一點(diǎn)，則ADBC2證明：在△ABCD中，由余弦定理，有AD2AB2BD22ABBDcosB①

AB2BC2AC2②，②代入①，化簡(jiǎn)在△ABC中，由余弦定理有cosB2ABBCAC2BDAB2BCBDDC（斯德瓦定理）可得，ADBC2A圖5①若AD是BC上的中線，ma②若AD是∠A的平分線，ta③若AD是BC上的高，ha△ABC的判定：

2a12b22c2a2；2DC2Bbcppa，其中p為半周長(zhǎng)；bcppapbpc，其中p為半周長(zhǎng).

c2a2b2△ABC為直角△∠A+∠B=

2c2＜a2b2△ABC為鈍角△∠A+∠B＜c2＞a2b2△ABC為銳角△∠A+∠B＞

22222附：證明：cosCabc，得在鈍角△ABC中，cosC0a2b2c20,a2b2c2

2ab平行四邊形對(duì)角線定理：對(duì)角線的平方和等于四邊的平方和.

ab2ab22(a2b2)

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空間向量

1．空間向量的概念：

具有大小和方向的量叫做向量注：空間的一個(gè)平移就是一個(gè)向量向量一般用有向線段表示同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量空間的兩個(gè)向量可用同一平面內(nèi)的兩條有向線段來表示2．空間向量的運(yùn)算

定義：與平面向量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運(yùn)算如下

OBOAABabBAOAOBab

OPa(R)

運(yùn)算律：加法交換律：abba

加法結(jié)合律：(ab)ca(bc)

數(shù)乘分配律：(ab)ab

3共線向量

表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平

行向量．a(chǎn)平行于b記作a//b．

當(dāng)我們說向量a、b共線（或a//b）時(shí)，表示a、b的有向線段所在的直線可能是

同一直線，也可能是平行直線．4．共線向量定理及其推論：

共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，

使a＝λb.

推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量a的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式

OPOAta．

其中向量a叫做直線l的方向向量.5．向量與平面平行：

已知平面和向量a，作OAa，如果直線OA平行于或在內(nèi)，那么我們說向量a平行于平面，記作：a//．

通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：空間任意的兩向量都是共面的6．共面向量定理：

如果兩個(gè)向量a,b不共線，p與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)x,y使

第28頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

pxaybMPxMAyMB或?qū)�空間任一點(diǎn)O，有OPOMxMAyMB①

①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x,y，使

7空間向量基本定理：

如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組

x,y,z，使pxaybzc推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)

有序?qū)崝?shù)x,y,z，使OPxOAyOBzOC8空間向量的夾角及其表示：

已知兩非零向量a,b，在空間任取一點(diǎn)O，作OAa,OBb，則AOB叫做向量a與b的夾角，記作a,b；且規(guī)定0a,b，顯然有a,bb,a；若

a,b，則稱a與b互相垂直，記作：ab.

29．向量的模：

設(shè)OAa，則有向線段OA的長(zhǎng)度叫做向量a的長(zhǎng)度或模，記作：|a|.10．向量的數(shù)量積：ab|a||b|cosa,b．

已知向量ABa和軸l，e是l上與l同方向的單位向量，作點(diǎn)A在l上的射影A，

作點(diǎn)B在l上的射影B，則AB叫做向量AB在軸l上或在e上的正射影.

AB可以證明的長(zhǎng)度|AB||AB|cosa,e|ae|．

11．空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：

2（1）ae|a|cosa,e．（2）abab0．（3）|a|aa．

12．空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：

（1）(a)b(ab)a(b)．（2）abba（交換律）（3）a(bc)abac（分配律）．

空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算

一．知識(shí)回顧：

（1）空間向量的坐標(biāo)：空間直角坐標(biāo)系的x軸是橫軸（對(duì)應(yīng)為橫坐標(biāo)），y軸是縱軸（對(duì)應(yīng)為縱軸），z軸是豎軸（對(duì)應(yīng)為豎坐標(biāo)）.

第29頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

①令a=(a1,a2,a3),b(b1,b2,b3)，則ab(a1b1,a2b2,a3b3)a(a1,a2,a3)(R)aba1b1a2b2a3b3

a∥ba1b1,a2b2,a3b3(R)a1a2a3aba1b1a2b2a3b30b1b2b3aaaa12a22a32(用到常用的向量模與向量之間的轉(zhuǎn)化：a2aaaaa)

a1b1a2b2a3b3abcosa,b222222|a||b|a1a2a3b1b2b3②空間兩點(diǎn)的距離公式：d(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2.

（2）法向量：若向量a所在直線垂直于平面，則稱這個(gè)向量垂直于平面，記作a，如果a那么向量a叫做平面的法向量.

（3）用向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條射線，其中A，則點(diǎn)B到平面的距離為|ABn||n|.

②利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)n1,n2分別是二面角l中平面,的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大�。╪1,n2方向相同，則為補(bǔ)角，n1,n2反方，則為其夾角）.

③證直線和平面平行定理：已知直線a平面，ABa,CD，且CDE三點(diǎn)不共線，則a∥的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)使ABCDCE.（常設(shè)ABCDCE求解,若,存在即證畢，若,不存在，則直線AB與平面相交）.

An▲BBCA▲n1CDEn2

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高中數(shù)學(xué)第六章-不等式

考試內(nèi)容：

不等式．不等式的基本性質(zhì)．不等式的證明．不等式的解法．含絕對(duì)值的不等式．考試要求：

（1）理解不等式的性質(zhì)及其證明．

（2）掌握兩個(gè)（不擴(kuò)展到三個(gè)）正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)的定理，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．

（3）掌握分析法、綜合法、比較法證明簡(jiǎn)單的不等式．（4）掌握簡(jiǎn)單不等式的解法．

（5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│

06.不等式知識(shí)要點(diǎn)

1.不等式的基本概念

（1）不等（等）號(hào)的定義：ab0ab;ab0ab;ab0ab.（2）不等式的分類：絕對(duì)不等式；條件不等式；矛盾不等式.（3）同向不等式與異向不等式.

（4）同解不等式與不等式的同解變形.2.不等式的基本性質(zhì)

（1）abba（對(duì)稱性）

（2）ab,bcac（傳遞性）

（3）abacbc（加法單調(diào)性）

（4）ab,cdacbd（同向不等式相加）（5）ab,cdacbd（異向不等式相減）（6）a.b,c0acbc

（7）ab,c0acbc（乘法單調(diào)性）

（8）ab0,cd0acbd（同向不等式相乘）

(9)ab0,0cdabcd（異向不等式相除）

(10)ab,ab011（倒數(shù)關(guān)系）ab（11）ab0anbn(nZ,且n1)（平方法則）（12）ab0nanb(nZ,且n1)（開方法則）

3.幾個(gè)重要不等式

（1）若aR,則|a|0,a20

（2）若a、bR,則a2b22ab(或a2b22|ab|2ab)（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）（3）如果a,b都是正數(shù)，那么abab.（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

2極值定理：若x,yR,xyS,xyP,則：1如果P是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，S的值最��；○

2如果S是定值,那么當(dāng)x=y時(shí)，P的值最大.○

利用極值定理求最值的必要條件：一正、二定、三相等.

(4)若a、b、cR,則abc3abc（當(dāng)僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)）3第31頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

ba(5)若ab0,則2（當(dāng)僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)）

ab(6)a0時(shí)，|x|ax2a2xa或xa;|x|ax2a2axa

（7）若a、bR,則||a||b|||ab||a||b|4.幾個(gè)著名不等式

（1）平均不等式：如果a,b都是正數(shù)，那么

211abababa2b2（當(dāng)僅當(dāng)

.22a=b時(shí)

取等號(hào)）即：平方平均≥算術(shù)平均≥幾何平均≥調(diào)和平均（a、b為正數(shù)）：

2222abababab22特別地，ab(（當(dāng)a=b時(shí)，())ab）

2222a2b2c2abc(a,b,cR,abc時(shí)取等)3322...an冪平均不等式：a12a221(a1a2...an)2n注：例如：(acbd)2(a2b2)(c2d2).

1111111常用不等式的放縮法：①2(n2)nn1n(n1)nn(n1)n1n②n1n1nn112n1nn1nn1(n1)

（2）柯西不等式：若a1,a2,a3,,anR,b1,b2,b3,bnR;則（a1b1a2b2a3b3anbn)aaaa當(dāng)且僅當(dāng)123n時(shí)取等號(hào)b1b2b3bn22(a12a22a32an)(b122b22b32bn)

（3）琴生不等式（特例）與凸函數(shù)、凹函數(shù)

若定義在某區(qū)間上的函數(shù)f(x),對(duì)于定義域中任意兩點(diǎn)x1,x2(x1x2),有

f(x1x2f(x1)f(x2))或22f(x1x2f(x1)f(x2)

).22則稱f(x)為凸（或凹）函數(shù).

5.不等式證明的幾種常用方法

比較法、綜合法、分析法、換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法.

6.不等式的解法

（1）整式不等式的解法（根軸法）.

步驟：正化，求根，標(biāo)軸，穿線（偶重根打結(jié)），定解.特例①一元一次不等式ax>b解的討論；

2

②一元二次不等式ax+bx+c>0(a≠0)解的討論.

（2）分式不等式的解法：先移項(xiàng)通分標(biāo)準(zhǔn)化，則

f(x)0f(x)g(x)0;g(x)f(x)g(x)0f(x)0g(x)g(x)0（3）無理不等式：轉(zhuǎn)化為有理不等式求解

第32頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

○1f(x)g(x)g(x)0定義域

f(x)g(x)f(x)0○2

f(x)0f(x)0○3f(x)g(x)g(x)0或g(x)02f(x)[g(x)]f(x)0f(x)g(x)g(x)02f(x)[g(x)]（4）.指數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

af(x)ag(x)(a1)f(x)g(x);af(x)ag(x)(0a1)f(x)g(x)

af(x)b(a0,b0)f(x)lgalgb（5）對(duì)數(shù)不等式：轉(zhuǎn)化為代數(shù)不等式

f(x)0logaf(x)logag(x)(a1)g(x)0;f(x)g(x)f(x)0logaf(x)logag(x)(0a1)g(x)0f(x)g(x)（6）含絕對(duì)值不等式

1應(yīng)用分類討論思想去絕對(duì)值；○2應(yīng)用數(shù)形思想；○

3應(yīng)用化歸思想等價(jià)轉(zhuǎn)化○

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)f(x)g(x)

g(x)0|f(x)|g(x)g(x)0(f(x),g(x)不同時(shí)為0)或f(x)g(x)或f(x)g(x)

注：常用不等式的解法舉例（x為正數(shù)）：①x(1x)211242x(1x)(1x)()32232722x2(1x2)(1x2)123423②yx(1x)y()y2232792類似于ysinxcosxsinx(1sinx)，③|x1||x||1|(x與1同號(hào)，故取等)2

22xxx第33頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

高中數(shù)學(xué)第七章-直線和圓的方程

考試內(nèi)容：

直線的傾斜角和斜率，直線方程的點(diǎn)斜式和兩點(diǎn)式．直線方程的一般式．兩條直線平行與垂直的條件．兩條直線的交角．點(diǎn)到直線的距離．用二元一次不等式表示平面區(qū)域．簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題．曲線與方程的概念．由已知條件列出曲線方程．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程．圓的參數(shù)方程．考試要求：

（1）理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點(diǎn)的直線的斜率公式，掌握直線方程的點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程．

（2）掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點(diǎn)到直線的距離公式能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系．（3）了解二元一次不等式表示平面區(qū)域．（4）了解線性規(guī)劃的意義，并會(huì)簡(jiǎn)單的應(yīng)用．（5）了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法．

（6）掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念。理解圓的參數(shù)方程．

07.直線和圓的方程知識(shí)要點(diǎn)

一、直線方程.

1.直線的傾斜角：一條直線向上的方向與x軸正方向所成的最小正角叫做這條直線的傾斜角，其中直線與x軸平行或重合時(shí)，其傾斜角為0，故直線傾斜角的范圍是0180(0).

注：①當(dāng)90或x2x1時(shí)，直線l垂直于x軸，它的斜率不存在.

②每一條直線都存在惟一的傾斜角，除與x軸垂直的直線不存在斜率外，其余每一條直線都有惟一的斜率，并且當(dāng)直線的斜率一定時(shí)，其傾斜角也對(duì)應(yīng)確定.2.直線方程的幾種形式：點(diǎn)斜式、截距式、兩點(diǎn)式、斜切式.特別地，當(dāng)直線經(jīng)過兩點(diǎn)(a,0),(0,b)，即直線在x軸，y軸上的截距分別為a,b(a0,b0)時(shí)，直線方程是：注：若yyxy1.ab22x2是一直線的方程，則這條直線的方程是yx2，但若332x2(x0)則不是這條線.3附：直線系：對(duì)于直線的斜截式方程ykxb，當(dāng)k,b均為確定的數(shù)值時(shí)，它表示一條確定

的直線，如果k,b變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的直線也會(huì)變化.①當(dāng)b為定植，k變化時(shí)，它們表示過定點(diǎn)（0，b）的直線束.②當(dāng)k為定值，b變化時(shí)，它們表示一組平行直線.3.兩條直線平行：

l1∥l2k1k2兩條直線平行的條件是：①l1和l2是兩條不重合的直線.②在l1和l2的斜率都存在的前提下得到的.因此，應(yīng)特別注意，抽掉或忽視其中任一個(gè)—前提‖都會(huì)導(dǎo)致結(jié)論的錯(cuò)誤.

（一般的結(jié)論是：對(duì)于兩條直線l1,l2，它們?cè)趛軸上的縱截距是b1,b2，則l1∥l2k1k2，

第34頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

且b1b2或l1,l2的斜率均不存在，即A1B2B1A2是平行的必要不充分條件，且C1C2）推論：如果兩條直線l1,l2的傾斜角為1,2則l1∥l212.兩條直線垂直：

兩條直線垂直的條件：①設(shè)兩條直線l1和l2的斜率分別為k1和k2，則有l(wèi)1l2k1k21這里的前提是l1,l2的斜率都存在.②l1l2k10，且l2的斜率不存在或k20，且l1的斜率不存在.（即A1B2A2B10是垂直的充要條件）

4.直線的交角：

直線l1到l2的角（方向角）；直線l1到l2的角，是指直線l1繞交點(diǎn)依逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到與l2重合時(shí)所轉(zhuǎn)動(dòng)的角，它的范圍是(0,)，當(dāng)90時(shí)tank2k1.

1k1k2兩條相交直線l1與l2的夾角：兩條相交直線l1與l2的夾角，是指由l1與l2相交所成的四

個(gè)角中最小的正角，又稱為l1和l2所成的角，它的取值范圍是0,2，當(dāng)90，則有

tank2k1.

1k1k2l1:A1xB1yC10的交點(diǎn)的直線系方程A1xB1yC1(A2xB2yC2)0(l:AxByC022225.過兩直線為參數(shù)，A2xB2yC20不包括在內(nèi)）

6.點(diǎn)到直線的距離：

點(diǎn)到直線的距離公式：設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)，直線l:AxByC0,P到l的距離為d，則有

dAx0By0CAB22.

注：

1.兩點(diǎn)P1(x1,y1)、P2(x2,y2)的距離公式：|P1P2|(x2x1)2(y2y1)2.

特例：點(diǎn)P(x,y)到原點(diǎn)O的距離：|OP|x2y22.定比分點(diǎn)坐標(biāo)分式。若點(diǎn)P(x,y)分有向線段PP,其中12所成的比為即PP1PP2x1x2yy2,y111特例，中點(diǎn)坐標(biāo)公式；重要結(jié)論，三角形重心坐標(biāo)公式。

3.直線的傾斜角（0°≤＜180°）、斜率:ktan

P1(x1,y1),P2(x2,y2).則x4.過兩點(diǎn)Pk1(x1,y1),P2(x2,y2)的直線的斜率公式：當(dāng)x1y2y1.

x2x1(x1x2)

x2,y1y2（即直線和x軸垂直）時(shí)，直線的傾斜角＝90，沒有斜率王新敞

兩條平行線間的距離公式：設(shè)兩條平行直線l1:AxByC10,l2:AxByC20(C1C2)，

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它們之間的距離為d，則有dC1C2AB22.

注；直線系方程

1.與直線：Ax+By+C=0平行的直線系方程是：Ax+By+m=0.(mR,C≠m).2.與直線：Ax+By+C=0垂直的直線系方程是：Bx-Ay+m=0.(mR)

3.過定點(diǎn)（x1,y1）的直線系方程是：A(x-x1)+B(y-y1)=0(A,B不全為0)

4.過直線l1、l2交點(diǎn)的直線系方程：（A1x+B1y+C1）+λ(A2x+B2y+C2）=0(λR）注：該直線系不含l2.

7.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱和關(guān)于某直線對(duì)稱：

關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的兩條直線一定是平行直線，且這個(gè)點(diǎn)到兩直線的距離相等.

關(guān)于某直線對(duì)稱的兩條直線性質(zhì)：若兩條直線平行，則對(duì)稱直線也平行，且兩直線到對(duì)稱直線距離相等.

若兩條直線不平行，則對(duì)稱直線必過兩條直線的交點(diǎn)，且對(duì)稱直線為兩直線夾角的角平分線.點(diǎn)關(guān)于某一條直線對(duì)稱，用中點(diǎn)表示兩對(duì)稱點(diǎn)，則中點(diǎn)在對(duì)稱直線上（方程①），過兩對(duì)稱點(diǎn)的直線方程與對(duì)稱直線方程垂直（方程②）①②可解得所求對(duì)稱點(diǎn).

注：①曲線、直線關(guān)于一直線（yxb）對(duì)稱的解法：y換x，x換y.例：曲線f(x,y)=0關(guān)于直線y=x2對(duì)稱曲線方程是f(y+2,x2)=0.

②曲線C:f(x,y)=0關(guān)于點(diǎn)(a,b)的對(duì)稱曲線方程是f(ax,2by)=0.二、圓的方程.

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的與一個(gè)二元方程f(x,y)0的實(shí)數(shù)建立了如下關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解.②以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).

那么這個(gè)方程叫做曲線方程；這條曲線叫做方程的曲線（圖形）.

曲線和方程的關(guān)系，實(shí)質(zhì)上是曲線上任一點(diǎn)M(x,y)其坐標(biāo)與方程f(x,y)0的一種關(guān)系，曲線上任一點(diǎn)(x,y)是方程f(x,y)0的解；反過來，滿足方程f(x,y)0的解所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是曲線上的點(diǎn).

注：如果曲線C的方程是f(x,y)=0，那么點(diǎn)P0(x0,y)線C上的充要條件是f(x0,y0)=02.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：以點(diǎn)C(a,b)為圓心，r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(xa)2(yb)2r2.特例：圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為r的圓的方程是：x2y2r2.

注：特殊圓的方程：①與x軸相切的圓方程(xa)2(yb)2b2[rb,圓心(a,b)或(a,b)]②與y軸相切的圓方程(xa)2(yb)2a2[ra,圓心(a,b)或(a,b)]③與x軸y軸都相切的圓方程(xa)2(ya)2a2[ra,圓心(a,a)]3.圓的一般方程：x2y2DxEyF0.

DE當(dāng)DE4F0時(shí)，方程表示一個(gè)圓，其中圓心C,，半徑r2222D2E24F.

2第36頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程表示一個(gè)點(diǎn)DE,.22當(dāng)D2E24F0時(shí)，方程無圖形（稱虛圓）.

xarcos注：①圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)）.

ybrsin②方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圓的充要條件是：B0且AC0且

D2E24AF0.

③圓的直徑或方程：已知A(x1,y1)B(x2,y2)(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)0（用向量可征）.4.點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：給定點(diǎn)M(x0,y0)及圓C:(xa)2(yb)2r2.

①M(fèi)在圓C內(nèi)(x0a)2(y0b)2r2②M在圓C上（x0a)2(y0b)2r2③M在圓C外(x0a)2(y0b)2r25.直線和圓的位置關(guān)系：

設(shè)圓圓C：(xa)2(yb)2r2(r0)；直線l：AxByC0(A2B20)；圓心C(a,b)到直線l的距離d①dr時(shí)，l與C相切；

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相切，則相減為公切線方程.

22xyDxEyF0222AaBbCAB22.

②dr時(shí)，l與C相交；

C1:x2y2D1xE1yF10附：公共弦方程：設(shè)

C2:x2y2D2xE2yF20

有兩個(gè)交點(diǎn)，則其公共弦方程為(D1D2)x(E1E2)y(F1F2)0.

③dr時(shí)，l與C相離.

22xyD1xE1yF10附：若兩圓相離，則相減為圓心O1O2的連線的中與線方程.

22xyD2xE2yF20(xa)2(yb)2r2由代數(shù)特征判斷：方程組用代入法，得關(guān)于x（或y）的一元二次方

AxBxC0程，其判別式為，則：

0l與C相切；0l與C相交；0l與C相離.

注：若兩圓為同心圓則x2y2D1xE1yF10，x2y2D2xE2yF20相減，不表示直

第37頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

線.

6.圓的切線方程：圓x2y2r2的斜率為k的切線方程是ykx1k2r過圓

x2y2DxEyF0

上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為：x0xy0yDxx0yy0EF0.22①一般方程若點(diǎn)(x0,y0)在圓上，則(xa)(x0a)+(yb)(y0b)=R2.特別地，過圓x2y2r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的切線方程為x0xy0yr2.

y1y0k(x1x0)by1k(ax1)，聯(lián)立求出k切線方程.B②若點(diǎn)(x0,y0)不在圓上，圓心為(a,b)則RR21ACD(a,b)7.求切點(diǎn)弦方程：方法是構(gòu)造圖，則切點(diǎn)弦方程即轉(zhuǎn)化為公共弦方程.如圖：ABCD四類共圓.已知O的方程x2y2DxEyF0…①又以ABCD為圓為方程為

(xxA)(xa)(yyA)(xb)k2…②

(xAa)2(yAb)2…③，所以BC的方程即③代②，①②相切即為所求.R42

三、曲線和方程

1.曲線與方程：在直角坐標(biāo)系中，如果曲線C和方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系：1）曲線C上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程f(x,y)=0的解（純粹性）；

2）方程f(x,y)=0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線C上（完備性）。則稱方程f(x,y)=0為曲線C的方程，曲線C叫做方程f(x,y)=0的曲線。2.求曲線方程的方法：.

1）直接法：建系設(shè)點(diǎn)，列式表標(biāo),簡(jiǎn)化檢驗(yàn);2）參數(shù)法;3）定義法，4）待定系數(shù)法.

第38頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

高中數(shù)學(xué)第八章-圓錐曲線方程

考試內(nèi)容：

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程．橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．橢圓的參數(shù)方程．雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程．拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．考試要求：

（1）掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，了解橢圓的參數(shù)方程．（2）掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．（3）掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．（4）了解圓錐曲線的初步應(yīng)用． 08.

圓錐曲線方程知識(shí)要點(diǎn)

一、橢圓方程.

1.橢圓方程的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為橢圓,PF1PF22aF1F2無軌跡,PF1PF22aF1F2以F1,F2為端點(diǎn)的線段

①橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

i.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上：

y2a2x2a2y2b21(ab0).

ii.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上：

x2b21(ab0).

2②一般方程：AxBy1(A0,B0).③橢圓的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程：

2x2a2y2b21的參數(shù)方程為

xacos（一象限應(yīng)是屬于0）.2ybsin①頂點(diǎn)：(a,0)(0,b)或(0,a)(b,0).②軸：對(duì)稱軸：x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a，短軸長(zhǎng)2b.③(c,0)(c,0)或(0,c)(0,c).④焦點(diǎn)：焦距：F1F2a2a2x準(zhǔn)線：或y.⑥2c,cab.⑤

cc22離心率：ec焦點(diǎn)半徑：(0e1).⑦

ax2a2i.設(shè)P(x0,y0)為橢圓

y2b2PF1a1(ab0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為左、右焦點(diǎn)，則ex0,PF2aex0由橢圓方程的第二定義可以推出.ii.設(shè)P(x0,y0)為橢圓

x2b2y2a2PF11(ab0)上的一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2為上、下焦點(diǎn)，則aey0,PF2aey0由橢圓方程的第二定義可以推出.

由橢圓第二定義可知：pF1e(x0a)aex0(x00),pF2e(ax0)ex0a(x00)歸結(jié)起來為

cc22—左加右減‖.

注意：橢圓參數(shù)方程的推導(dǎo)：得N(acos,bsin)方程的軌跡為橢圓.⑧通徑：垂直于x軸且過焦點(diǎn)的弦叫做通經(jīng).坐標(biāo)：d2b2a2b2b2(c,)和(c,)

aa第39頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

共離心率的橢圓系的方程：橢圓程

x2a2y2b2x2a2y2b21(ab0)的離心率是ec(ca2b2)，方at(t是大于0的參數(shù)，ab0)的離心率也是ec我們稱此方程為共離心率的a橢圓系方程.若P是橢圓：b2tanx2a2y2b21上的點(diǎn).F1,F2為焦點(diǎn)，若F1PF2，則PF1F2的面積為

2（用余弦定理與PF1PF22a可得）.若是雙曲線，則面積為b2cot▲y2.

二、雙曲線方程.

1.雙曲線的第一定義：

PF1PF22aF1F2方程為雙曲線PF1PF22aF1F2無軌跡(bcos,bsin)(acos,asin)Nx

N的軌跡是橢圓PF1PF22aF1F2以F1,F2的一個(gè)端點(diǎn)的一條射線①雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：Ax2Cy21(AC0).

x2a2y2b21(a,b0),y2a2x2b21(a,b0).一般方程：

①i.焦點(diǎn)在x軸上：

a2xy頂點(diǎn)：(a,0),(a,0)焦點(diǎn)：(c,0),(c,0)準(zhǔn)線方程x漸近線方程：0或

cabx2a2y2b20

a2ii.焦點(diǎn)在y軸上：頂點(diǎn)：(0,a),(0,a).焦點(diǎn)：(0,c),(0,c).準(zhǔn)線方程：y.漸近線

cxasecxbtany2x2yx方程：0或220，參數(shù)方程：或.

ababybtanyasec2a2c②軸x,y為對(duì)稱軸，實(shí)軸長(zhǎng)為2a,虛軸長(zhǎng)為2b，焦距2c.③離心率e.④準(zhǔn)線距（兩ca2b2c準(zhǔn)線的距離）；通徑.⑤參數(shù)關(guān)系c2a2b2,e.⑥焦點(diǎn)半徑公式：對(duì)于雙曲線方

aa程

x2a2y2b21（F1,F2分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)或分別為雙曲線的上下焦點(diǎn)）

“長(zhǎng)加短減”原則：MF1ex0aMF2ex0a構(gòu)成滿足MF1MF22a

▲MF1ex0aMF2ex0ay（與橢圓焦半徑不同，橢圓焦半

徑要帶符號(hào)計(jì)算，而雙曲線不帶符號(hào)）M"▲yF1MMxF1F2M"F2x第40頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

MF1ey0aMF2ey0aMF1ey0aMF2ey0a等軸雙曲線：雙曲線x2y2a2稱為等軸雙曲線，其漸近線方程為yx，離心率e2.共軛雙曲線：以已知雙曲線的虛軸為實(shí)軸，實(shí)軸為虛軸的雙曲線，叫做已知雙曲線的共軛

x2y2x2y2x2y2雙曲線.22與22互為共軛雙曲線，它們具有共同的漸近線：220.

ababab共漸近線的雙曲線系方程：

x2a2y2b2(0)的漸近線方程為

x2a2y2b20如果雙曲線的

▲x2y2xy漸近線為0時(shí)，它的雙曲線方程可設(shè)為22(0).

ababy4321F2x例如：若雙曲線一條漸近線為y211x且過p(3,)，求雙曲線的方程？2222F1533解：令雙曲線的方程為：

yx1x1.y2(0)，代入(3,)得8224直線與雙曲線的位置關(guān)系：

區(qū)域①：無切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；

區(qū)域②：即定點(diǎn)在雙曲線上，1條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)3條；區(qū)域③：2條切線，2條與漸近線平行的直線，合計(jì)4條；

區(qū)域④：即定點(diǎn)在漸近線上且非原點(diǎn)，1條切線，1條與漸近線平行的直線，合計(jì)2條；區(qū)域⑤：即過原點(diǎn)，無切線，無與漸近線平行的直線.

小結(jié)：過定點(diǎn)作直線與雙曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，可以作出的直線數(shù)目可能有0、2、3、4條.

（2）若直線與雙曲線一支有交點(diǎn)，交點(diǎn)為二個(gè)時(shí)，求確定直線的斜率可用代入法與漸“”近線求交和兩根之和與兩根之積同號(hào).若P在雙曲線離比為mn.

PF1x2a2y2b21，則常用結(jié)論1：P到焦點(diǎn)的距離為m=n，則P到兩準(zhǔn)線的距

簡(jiǎn)證：

d1me=.d2PF2ne常用結(jié)論2：從雙曲線一個(gè)焦點(diǎn)到另一條漸近線的距離等于b.

三、拋物線方程.

3.設(shè)p0，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、類型及其幾何性質(zhì)：

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圖形y22px▲y22px▲x22pyy▲x22py▲yyyxOxOxOxO焦點(diǎn)準(zhǔn)線范圍對(duì)稱軸頂點(diǎn)離心率焦點(diǎn)PF2F(xp,0)2F(0,p)2F(0,yp)2F(p,0)2p2x0,yRxp2x0,yRp2xR,y0yp2xR,y0x軸y軸e1（0，0）px12px12py12py12PFPFPF4acb2b).注：①aybycx頂點(diǎn)(4a2a②y22px(p0)則焦點(diǎn)半徑PFxP;x22py(p0)則焦點(diǎn)半徑為PFyP.

22③通徑為2p，這是過焦點(diǎn)的所有弦中最短的.

x2pt2x2pt④y2px（或x2py）的參數(shù)方程為（或）（t為參數(shù)）.2y2pty2pt22四、圓錐曲線的統(tǒng)一定義..

4.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡.當(dāng)0e1時(shí)，軌跡為橢圓；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為拋物線；當(dāng)e1時(shí)，軌跡為雙曲線；

c當(dāng)e0時(shí)，軌跡為圓（e，當(dāng)c0,ab時(shí)）.

a5.圓錐曲線方程具有對(duì)稱性.例如：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)原點(diǎn)的一條直線與雙曲線的交點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的.

因?yàn)榫哂袑?duì)稱性，所以欲證AB=CD,即證AD與BC的中點(diǎn)重合即可.

注：橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)橢圓雙曲線拋物線第42頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

定義1．到兩定點(diǎn)F1,F2的距離之和為定值2a(2a>|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡2．與定點(diǎn)和直線的距離之比為定值e的點(diǎn)的軌跡.（00)a2b2xacosybsin(參數(shù)為離心角）─axa，─byb原點(diǎn)O（0，0）(a,0),(─a,0),(0,b),(0,─b)x軸，y軸；長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a,短軸長(zhǎng)2bF1(c,0),F2(─c,0)2c（c=a2b2）xasecybtan(參數(shù)為離心角）|x|a，yR原點(diǎn)O（0，0）(a,0),(─a,0)x軸，y軸;實(shí)軸長(zhǎng)2a,虛軸長(zhǎng)2b.F1(c,0),F2(─c,0)2c（c=a2b2）x2pt2(t為參數(shù))y2ptx0(0,0)x軸pF(,0)2e=1ec(0e1)aec(e1)aac2x=acbxa2xp2y=±raexr(exa)rx2pPp22b2aa2c2b2aa2c焦參數(shù)1.橢圓、雙曲線、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的其他形式及相應(yīng)性質(zhì).2.等軸雙曲線3.共軛雙曲線

5.方程y2=ax與x2=ay的焦點(diǎn)坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程.6.共漸近線的雙曲線系方程.

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高中數(shù)學(xué)第九章-立體幾何

考試內(nèi)容

平面及其基本性質(zhì)．平面圖形直觀圖的畫法．平行直線．對(duì)應(yīng)邊分別平行的角．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．直線和平面平行的判定與性質(zhì)．直線和平面垂直的判定與性質(zhì)．點(diǎn)到平面的距離．斜線在平面上的射影．直線和平面所成的角．三垂線定理及其逆定理．

平行平面的判定與性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)．

多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．考試要求

（1）掌握平面的基本性質(zhì)，會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖;能夠畫出空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形，能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系．（2）掌握兩條直線平行與垂直的判定定理和性質(zhì)定理，掌握兩條直線所成的角和距離的概念，對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線時(shí)的距離．

（3）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；掌握直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理；掌握斜線在平面上的射影、直線和平面所成的角、直線和平面的距離的概念掌握三垂線定理及其逆定理．

（4）掌握兩個(gè)平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，掌握二面角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念，掌握兩個(gè)平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．（5）會(huì)用反證法證明簡(jiǎn)單的問題．

（6）了解多面體、凸多面體的概念，了解正多面體的概念．（7）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖．（8）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)，會(huì)畫正棱錐的直觀圖．（9）了解球的概念，掌握球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式．9（B）．直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體考試內(nèi)容：

平面及其基本性質(zhì)．平面圖形直觀圖的畫法．平行直線．

直線和平面平行的判定與性質(zhì)．直線和平面垂直的判定．三垂線定理及其逆定理．兩個(gè)平面的位置關(guān)系．

空間向量及其加法、減法與數(shù)乘．空間向量的坐標(biāo)表示．空間向量的數(shù)量積．直線的方向向量．異面直線所成的角．異面直線的公垂線．異面直線的距離．

直線和平面垂直的性質(zhì)．平面的法向量．點(diǎn)到平面的距離．直線和平面所成的角．向量在平面內(nèi)的射影．

平行平面的判定和性質(zhì)．平行平面間的距離．二面角及其平面角．兩個(gè)平面垂直的判定和性質(zhì)．

多面體．正多面體．棱柱．棱錐．球．考試要求：

（1）掌握平面的基本性質(zhì)。會(huì)用斜二測(cè)的畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖：能夠畫出

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空間兩條直線、直線和平面的各種位置關(guān)系的圖形.能夠根據(jù)圖形想像它們的位置關(guān)系．（2）掌握直線和平面平行的判定定理和性質(zhì)定理；理解直線和平面垂直的概念.掌握直線和平面垂直的判定定理；掌握三垂線定理及其逆定理．

（3）理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘．

（4）了解空間向量的基本定理；理解空間向量坐標(biāo)的概念.掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算．（5）掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)：掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積的公式；掌握空間兩點(diǎn)間距離公式．

（6）理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念．

（7）掌握直線和直線、直線和平面、平面和平面所成的角、距離的概念.對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)計(jì)算已給出公垂線或在坐標(biāo)表示下的距離掌握直線和平面垂直的性質(zhì)定理掌握兩個(gè)平面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理．

（8）了解多面體、凸多面體的概念。了解正多面體的概念．（9）了解棱柱的概念，掌握棱柱的性質(zhì)，會(huì)畫直棱柱的直觀圖．（10）了解棱錐的概念，掌握正棱錐的性質(zhì)。會(huì)畫正棱錐的直觀圖．（11）了解球的概念.掌握球的性質(zhì).掌握球的表面積、體積公式．（考生可在9（A）和9（B）中任選其一）

09.立體幾何知識(shí)要點(diǎn)

一、

平面.

1.經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個(gè)面.

注：兩兩相交且不過同一點(diǎn)的四條直線必在同一平面內(nèi).

2.兩個(gè)平面可將平面分成3或4部分.（①兩個(gè)平面平行，②兩個(gè)平面相交）

3.過三條互相平行的直線可以確定1或3個(gè)平面.（①三條直線在一個(gè)平面內(nèi)平行，②三條直線不在一個(gè)平面內(nèi)平行）

[注]：三條直線可以確定三個(gè)平面，三條直線的公共點(diǎn)有0或1個(gè).4.三個(gè)平面最多可把空間分成8部分.（X、Y、Z三個(gè)方向）二、空間直線.

1.空間直線位置分三種：相交、平行、異面.相交直線共面有反且有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線共面沒有公共點(diǎn)；異面直線不同在任一平面內(nèi)[注]：①兩條異面直線在同一平面內(nèi)射影一定是相交的兩條直線.（）（可能兩條直線平行，也可能是點(diǎn)和直線等）

②直線在平面外，指的位置關(guān)系：平行或相交

③若直線a、b異面，a平行于平面，b與的關(guān)系是相交、平行、在平面內(nèi).④兩條平行線在同一平面內(nèi)的射影圖形是一條直線或兩條平行線或兩點(diǎn).

⑤在平面內(nèi)射影是直線的圖形一定是直線.（）（射影不一定只有直線，也可以是其他圖形）

⑥在同一平面內(nèi)的射影長(zhǎng)相等，則斜線長(zhǎng)相等.（）（并非是從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所．．引的垂線段和斜線段）

⑦a,b是夾在兩平行平面間的線段，若ab，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.2.異面直線判定定理：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.（不在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線）

3.平行公理：平行于同一條直線的兩條直線互相平行.

4.等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等（如下圖）.

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（二面角的取值范圍0,180）（直線與直線所成角0,90）112（斜線與平面成角0,90）2（直線與平面所成角0,90）

方向相同方向不相同（向量與向量所成角[0,180])

推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成銳角（或直角）相等.

5.兩異面直線的距離：公垂線的長(zhǎng)度.

空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.

l1,l2是異面直線，則過l1,l2外一點(diǎn)P，過點(diǎn)P且與l1,l2都平行平面有一個(gè)或沒有，但與l1,l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（L1或L2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫L1與L2平行的平面）三、

直線與平面平行、直線與平面垂直.

1.空間直線與平面位置分三種：相交、平行、在平面內(nèi).

2.直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行，線面平行”）

[注]：①直線a與平面內(nèi)一條直線平行，則a∥.（）（平面外一條直線）②直線a與平面內(nèi)一條直線相交，則a與平面相交.（）（平面外一條直線）③若直線a與平面平行，則內(nèi)必存在無數(shù)條直線與a平行.（√）（不是任意一條直線，可利用平行的傳遞性證之）

④兩條平行線中一條平行于一個(gè)平面，那么另一條也平行于這個(gè)平面.（）（可能在此平面內(nèi)）

⑤平行于同一直線的兩個(gè)平面平行.（）（兩個(gè)平面可能相交）

⑥平行于同一個(gè)平面的兩直線平行.（）（兩直線可能相交或者異面）⑦直線l與平面、所成角相等，則∥.（）（、可能相交）

3.直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行，線線平行”）

4.直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)平

P面垂直，過一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.若PA⊥，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理），aO得不出⊥PO.因?yàn)閍⊥PO，但PO不垂直O(jiān)A.三垂線定理的逆定理亦成立.

A直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直，線面垂直”）直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.

推論：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.[注]：①垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.（）（可能相交，垂直于同一條直線的兩個(gè)平．．．．．．．．．面平行）

②垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.（√）（一條直線垂直于平行的一個(gè)平面，必垂直于另一個(gè)平面）

③垂直于同一平面的兩條直線平行.（√）5.垂線段和斜線段長(zhǎng)定理：從平面外一點(diǎn)向這個(gè)平面所引的垂線段和斜線段中，①射影．．相等的兩條斜線段相等，射影較長(zhǎng)的斜線段較長(zhǎng)；②相等的斜線段的射影相等，較長(zhǎng)的斜線

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段射影較長(zhǎng)；③垂線段比任何一條斜線段短.

[注]：垂線在平面的射影為一個(gè)點(diǎn).[一條直線在平面內(nèi)的射影是一條直線.（）]射影定理推論：如果一個(gè)角所在平面外一點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，那么這點(diǎn)在平面內(nèi)的射影在這個(gè)角的平分線上

四、平面平行與平面垂直.

1.空間兩個(gè)平面的位置關(guān)系：相交、平行.

2.平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，哪么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行，面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.[注]：一平面間的任一直線平行于另一平面.

3.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行，線線平行”）

4.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)判定二：如果一個(gè)平面與一條直線垂直，那么經(jīng)過這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直，面面垂直”）

注：如果兩個(gè)二面角的平面對(duì)應(yīng)平面互相垂直，則兩個(gè)二面角沒有什么關(guān)系.

5.兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線

P也垂直于另一個(gè)平面.

推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.BMA證明：如圖，找O作OA、OB分別垂直于l1,l2，

O因?yàn)镻M,OA,PM,OB則PMOA,PMOB.θ6.兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：lm2n2d22mncos（為銳角取加，為

鈍取減，綜上，都取加則必有0,）

27.最小角定理：coscos1cos2（1為最小角，如圖）

最小角定理的應(yīng)用（∠PBN為最小角）

圖1簡(jiǎn)記為：成角比交線夾角一半大，且又比交線夾角補(bǔ)角一半長(zhǎng)，一定有4條.成角比交線夾角一半大，又比交線夾角補(bǔ)角小，一定有2條.

成角比交線夾角一半大，又與交線夾角相等，一定有3條或者2條.成角比交線夾角一半小，又與交線夾角一半小，一定有1條或者沒有.五、棱錐、棱柱.

θθ1θ2圖21.棱柱.

①直棱柱側(cè)面積：SCh（C為底面周長(zhǎng)，h是高）該公式是利用直棱柱的側(cè)面展開圖為矩形得出的.

②斜棱住側(cè)面積：SC1l（C1是斜棱柱直截面周長(zhǎng)，l是斜棱柱的側(cè)棱長(zhǎng)）該公式是利用斜棱柱的側(cè)面展開圖為平行四邊形得出的.

{四棱柱}{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}.{直四棱柱}{平行六面體}={直平行六面體}.四棱柱底面是側(cè)棱垂直底面是平行六面體直平行六面體底面矩形平行四邊形長(zhǎng)方體底面是正方形正四棱柱側(cè)面與正方體底面邊長(zhǎng)相等

棱柱具有的性質(zhì)：

①棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，所有的側(cè)棱都相等；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形；正棱．．．．．．．．

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柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.．．．．．

②棱柱的兩個(gè)底面與平行于底面的截面是對(duì)應(yīng)邊互相平行的全等多邊形.．．③過棱柱不相鄰的兩條側(cè)棱的截面都是平行四邊形.

注：①棱柱有一個(gè)側(cè)面和底面的一條邊垂直可推測(cè)是直棱柱.（）（直棱柱不能保證底面是鉅形可如圖）

②（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.平行六面體：

定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.．．．．．．．．．．．．．

[注]：四棱柱的對(duì)角線不一定相交于一點(diǎn).

定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.

推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為,,，則

co2sco2sco2s1.

推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為,,，則

co2sco2sco2s2.

[注]：①有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱.（）（斜四面體的兩個(gè)平行的平面可以為矩形）②各側(cè)面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.（）（應(yīng)是各側(cè)面都是正方形的直棱柱才行）．③對(duì)角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是長(zhǎng)方體.（）（只能推出對(duì)角線相等，推不出底面為矩形）

④棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要不充分條件是棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直.（兩條邊可能相交，可能不相交，若兩條邊相交，則應(yīng)是充要條件）

2.棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.[注]：①一個(gè)棱錐可以四各面都為直角三角形.

②一個(gè)棱柱可以分成等體積的三個(gè)三棱錐；所以V棱柱Sh3V棱柱.

①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面的中心.[注]：i.正四棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形.（不是等邊三角形）ii.正四面體是各棱相等，而正三棱錐是底面為正△側(cè)棱與底棱不一定相等

iii.正棱錐定義的推論：若一個(gè)棱錐的各個(gè)側(cè)面都是全等的等腰三角形（即側(cè)棱相等）；底面為正多邊形.②正棱錐的側(cè)面積：S1Ch"（底面周長(zhǎng)為C，斜高為h"）2S底cos（側(cè)面與底面成的二面角為）

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S側(cè)附：c以知c⊥l，cosab，為二面角alb.

a則S1lb11al①，S2lb②，cosab③①②③22得S側(cè)S底cos.

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注：S為任意多邊形的面積（可分別多個(gè)三角形的方法）.棱錐具有的性質(zhì)：

①正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.

②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.特殊棱錐的頂點(diǎn)在底面的射影位置：

①棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.

②棱錐的側(cè)棱與底面所成的角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形的外心.③棱錐的各側(cè)面與底面所成角均相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.④棱錐的頂點(diǎn)到底面各邊距離相等，則頂點(diǎn)在底面上的射影為底面多邊形內(nèi)心.⑤三棱錐有兩組對(duì)棱垂直，則頂點(diǎn)在底面的射影為三角形垂心.

⑥三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則頂點(diǎn)在底面上的射影為三角形的垂心.⑦每個(gè)四面體都有外接球，球心0是各條棱的中垂面的交點(diǎn)，此點(diǎn)到各頂點(diǎn)的距離等于球半徑；

⑧每個(gè)四面體都有內(nèi)切球，球心I是四面體各個(gè)二面角的平分面的交點(diǎn)，到各面的距離等于半徑.

[注]：i.各個(gè)側(cè)面都是等腰三角形，且底面是正方形的棱錐是正四棱錐.（）（各個(gè)側(cè)面的

A等腰三角形不知是否全等）baii.若一個(gè)三角錐，兩條對(duì)角線互相垂直，則第三對(duì)角線必然垂直.c簡(jiǎn)證：AB⊥CD，AC⊥BDBC⊥AD.令A(yù)Ba,ADc,ACb

BCDEF得BCACABba,ADcBCADbcac，已知acb0,bac0

ADO"HBGCacbc0則BCAD0.

iii.空間四邊形OABC且四邊長(zhǎng)相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊形一定是矩形.iv.若是四邊長(zhǎng)與對(duì)角線分別相等，則順次連結(jié)各邊的中點(diǎn)的四邊是一定是正方形.

簡(jiǎn)證：取AC中點(diǎn)O"，則ooAC,BOACAC平面OOBACBOFGH90°易知EFGH為平行四邊形EFGH為長(zhǎng)方形.若對(duì)角線等，則EFFGEFGH為正方形.3.球：球的截面是一個(gè)圓面.①球的表面積公式：S4R2.

4O②球的體積公式：VR3.r3緯度、經(jīng)度：

①緯度：地球上一點(diǎn)P的緯度是指經(jīng)過P點(diǎn)的球半徑與赤道面所成的角的度數(shù).②經(jīng)度：地球上A,B兩點(diǎn)的經(jīng)度差，是指分別經(jīng)過這兩點(diǎn)的經(jīng)線與地軸所確定的二個(gè)半平面的二面角的度數(shù)，特別地，當(dāng)經(jīng)過點(diǎn)A的經(jīng)線是本初子午線時(shí)，這個(gè)二面角的度數(shù)就是B點(diǎn)的經(jīng)度.

附：①圓柱體積：Vr2h（r為半徑，h為高）

1②圓錐體積：Vr2h（r為半徑，h為高）

31③錐形體積：VSh（S為底面積，h為高）

3RO第49頁(yè)共75頁(yè)吃得苦中苦方為人上人！

4.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，h得

63232a，S底a，S側(cè)a344326321322426aaaRaRRa/3a3a.43434434411VSR3S底R(shí)S底h注：球內(nèi)切于四面體：BACD側(cè)33②外接球：球外接于正四面體，可如圖建立關(guān)系式.

六.空間向量.

1.（1）共線向量：共線向量亦稱平行向量，指空間向量的有向線段所在直線互相平行或重合.

注：①若a與b共線，b與c共線，則a與c共線.（）[當(dāng)b0時(shí)，不成立]②向量a,b,c共面即它們所在直線共面.（）[可能異面]

③若a∥b，則存在小任一實(shí)數(shù)，使ab.（）[與b0不成立]④若a為非零向量，則0a0.（√）[這里用到b(b0)之積仍為向量]

（2）共線向量定理：對(duì)空間任意兩個(gè)向量a,b(b0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)（具有唯一性），使ab.

（3）共面向量：若向量a使之平行于平面或a在內(nèi)，則a與的關(guān)系是平行，記作a∥.（4）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,b不共線，則向量P與向量a,b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使Pxayb.

②空間任一點(diǎn)、B、C，則OPxOAyOBzOC(xyz1)是PABC四．．．O．和不共線三點(diǎn)．．．．．．A．．．．．點(diǎn)共面的充要條件.（簡(jiǎn)證：OP(1yz)OAyOBzOCAPyABzACP、A、B、C四點(diǎn)共面）注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.

2.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量，那么對(duì)空間任一向量P，存在一個(gè)唯一．．．．a(chǎn),b,c不共面．．．的有序?qū)崝?shù)組x、y、z，使pxaybzc.

推論：設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x、y、z使OPxOAyOBzOC(這里隱含x+y+z≠1).

ADBG第50頁(yè)共75頁(yè)MC

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