高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)_導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、復(fù)數(shù)

1.用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性。yf(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，若f"(x)>0，則yf(x)在

(a,b)上遞增;若f"(x)[鞏固2設(shè)f(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，將yf(x)和yf(x)的圖象畫(huà)在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中，不可能正確的是（）（07浙江理8）

OA．

xOB．

xOC．

xOD．

xyyyy

//

[鞏固3]函數(shù)f(x)、g(x)在R上可導(dǎo)，且f(x)>g(x),若a>b，則（）A．f(a)>g(b)B．g(a)解析：f"(x)3x22axb0，∴f/(1)=2ab30①

2f(1)1abaa4a3或10②由①②得：b3b11a3當(dāng)時(shí)，f"(x)3x26x33(x1)20，此時(shí)函數(shù)f(x)無(wú)極值，舍去；b3當(dāng)a4b11時(shí)f/(x)3x28x11，函數(shù)f(x)在x1處左減右增，有極小值；

此時(shí)∴f(2)18。注：在解決“已知函數(shù)的極值點(diǎn)求參變量”的問(wèn)題時(shí)，為避免“增根”，需將求出的參變量的值代入f/(x)檢驗(yàn)其是否為完全平方式，若是則函數(shù)無(wú)極值（單調(diào)），否則有極值；也可以對(duì)f/(x)再次求導(dǎo)，看f為負(fù)則有極大值。

[鞏固1]已知f(x)ax3bx2cx在區(qū)間[0,1]上是增函數(shù),在區(qū)間(,0),(1,)上是減函數(shù),又f()2132.(Ⅰ)求f(x)的解析式;(Ⅱ)若在區(qū)間[0,m](m＞0)上恒有f(x)≤x成立,

//為0則無(wú)極值，為正則有極小值，(x0)的值，

求m的取值范圍.

[舉例2]設(shè)函數(shù)f(x)ax2blnx，其中ab0．證明：當(dāng)ab0時(shí)，函數(shù)f(x)沒(méi)有極值點(diǎn)；當(dāng)ab0時(shí)，函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值．（07高考山東文21）3.求yf(x)在閉區(qū)間內(nèi)的最值的步驟：（1）求導(dǎo)數(shù)f"(x)（2）求導(dǎo)數(shù)方程f"(x)=0的根（3）檢查f"(x)在根的左右值的符號(hào)，列表求得極值；也可通過(guò)解不等式f"(x)≥0及再確定函數(shù)的極值；最后將極值與f"(x)≤0確定函數(shù)yf(x)在給定區(qū)間內(nèi)的單調(diào)情況，區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值比較以確定最值。

32[舉例1]設(shè)函數(shù)f(x)2x3ax3bx8c在x1及x2時(shí)取得極值．

（Ⅰ）求a、b的值；（Ⅱ）若對(duì)于任意的x[0，3]，都有f(x)c成立，求c的取值范圍．

2解析：（Ⅰ）f(x)6x6ax3b，由f(1)0，f(2)0．解得a3，b4．

222（Ⅱ）f(x)c在[0，3]上恒成立即cfmax(x)，x[0，3]

由（Ⅰ）可知，f(x)2x9x12x8c，f(x)6x18x126(x1)(x2)．當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，2)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(2，3)時(shí)，f(x)0．

3即f(x)在[0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得極大值

3時(shí)，f(x)的最大值為f(3)98c．f(1)58c，又f(3)98c．故當(dāng)x0，于是有：98cc2，解得c1或c9，因此c的取值范圍為(，1)(9，)。[舉例2]已知定義在正實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)12x2ax，g(x)3alnxb，其中

22a0．設(shè)兩曲線(xiàn)yf(x)，yg(x)有公共點(diǎn)，且在該點(diǎn)處的切線(xiàn)相同．用a表示b，

并求b的最大值；

解析：設(shè)yf(x)與yg(x)(x0)在公共點(diǎn)(x0，y0)處的切線(xiàn)相同．

3ax2∵f(x)x2a，g(x)，由題意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)．

122x2ax3alnx0b，00223a即由x02a得：x0a，或x03a（舍去）．23ax0x2a，0x0即有b1252a2a3alna22252a3alna．

122令h(t)t3tlnt(t0)，則h()t2(1t3nl)t22．于是當(dāng)t(13lnt)0，即0te31時(shí)，h(t)0；當(dāng)t(13lnt)0，即te時(shí)，h(t)0．故h(t)在0，e3為增函數(shù)，

131213∞為減函數(shù)，∴h(t)在(0，在e3，∞)的最大值為he3e3．2[鞏固1]設(shè)函數(shù)f(x)ln(2x3)x，求f(x)在區(qū)間，的最大值和最小值．

44231[鞏固2]已知函數(shù)f(x)ax6axb，其圖象為曲線(xiàn)C

（1）直線(xiàn)l:y=x+1與曲線(xiàn)C相切于x軸上一點(diǎn)，求的a、b的值

（2）是否存在實(shí)數(shù)a、b，使f(x)在［-1、2］上取得最大值為3，最小值為-29。若存在，求出a、b的值，并指出函數(shù)y=f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

324．復(fù)數(shù)包括實(shí)數(shù)和虛數(shù)，實(shí)數(shù)是虛部為0的復(fù)數(shù)；-1的“平方根”為i，i=-1，ii，

32i=1，(1i)2i；復(fù)數(shù)運(yùn)算遵循有理式的運(yùn)算法則；復(fù)數(shù)的商一般將分母“實(shí)數(shù)化”

（分子分母同乘分母的共扼復(fù)數(shù)）；兩個(gè)虛數(shù)不能比較大��；兩個(gè)復(fù)數(shù)相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的實(shí)部相等，虛部也相等；復(fù)數(shù)abi（a∈R，b∈R）在復(fù)平面內(nèi)唯一對(duì)應(yīng)點(diǎn)（a，b）。[舉例1]設(shè)a是實(shí)數(shù)，且A．

12a1i1i2322是實(shí)數(shù)，則a（）

D．2

a1(1a)i2

a1iB．1

1i2C．

=

解析：=

a(1i)21i∈R，則a1

[舉例2]已知a，bR，且2ai,bi（i是虛數(shù)單位）是實(shí)系數(shù)一元二次方程

x2pxq0的兩個(gè)根，那么p，q的值分別是（）AＡ．p4，q5Ｃ．p4，q5解析：分別將2ai,2

Ｂ．p4，q3Ｄ．p4，q3

2bi代入方程得：(2ai)p(2ai)q0①

(bi)p(bi)q0②對(duì)①②整理得：

2pqa240(p4)a0；解得：p4，q5。本題也可以用“韋達(dá)定理”求解：2pbqb10p2b02aibip③，(2ai)(bi)q④對(duì)③④整理得：

2bpa1a10b2。2baqp4ab20q5[鞏固1]在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=

12i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于

（A）第一象限（B）第二象限（C）第在象限（D）第四象限[鞏固2]設(shè)復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足A．2i

12izi，則z（）

B．2iC．2iD．2i答案

1、[鞏固1]a2，[鞏固2]D，[鞏固3]D，2、[鞏固1]f(x)2x33x2．0m≤12．

[鞏固2]；3、[鞏固1]f17171[鞏固2]（1）a=,b=(2)a=2，b=3f(x)在(-1,0)ln15152416上單調(diào)遞增;a=-2，b=-29f(x)在(0、2)上單調(diào)遞增。4、[鞏固1]D，[鞏固2]C

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數(shù)學(xué)選修2-2導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)必記

1．函數(shù)的平均變化率是什么？答：平均變化率為

f(x2)f(x1)f(x1x)f(x1)yfx2x1xxx注1：其中x是自變量的改變量，可正，可負(fù)，可零。

注2：函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運(yùn)動(dòng)的平均速度。2、導(dǎo)函數(shù)的概念是什么？

答：函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率是limf(x0x)f(x0)y，則稱(chēng)limx0xx0x函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處可導(dǎo)，并把這個(gè)極限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即f"(x0)=limf(x0x)f(x0)y.limx0xx0x3.平均變化率和導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？

答：函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線(xiàn)的斜率；函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是切線(xiàn)的斜率。

4導(dǎo)數(shù)的背景是什么？

答：（1）切線(xiàn)的斜率；（2）瞬時(shí)速度；（3）邊際成本。5、常見(jiàn)的函數(shù)導(dǎo)數(shù)和積分公式有哪些？函數(shù)導(dǎo)函數(shù)不定積分ycy"0xn1xdxn1nyxnnN*y"nxn1yaxa0,a1y"alnay"exxaxadxlnaxyexedxexxylogaxa0,a1,x0ylnxy"1xlna1x1xdxlnxy"ysinxy"cosxcosxdxsinxsinxdxcosxycosxy"sinx6、常見(jiàn)的導(dǎo)數(shù)和定積分運(yùn)算公式有哪些？答：若fx，gx均可導(dǎo)（可積），則有：和差的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)g(x)f(x)g(x)""f"(x)g"(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)積的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算特別地：Cfx"Cf"x商的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算f(x)f"(x)g(x)f(x)g"(x)(g(x)0)g(x)2g(x)"1g"(x)特別地："2gxgx復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)yxyuux微積分基本定理fxdxab（其中F"xfx）和差的積分運(yùn)算ba[f1(x)f2(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxaabb特別地：積分的區(qū)間可加性bakf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))abbaf(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)accb6.用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟是什么？答：①求函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f"(x)

②令f"(x)>0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.③令f"(x)8.利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值的步驟是什么？

答：求f(x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：⑴求f(x)在a,b上的極值；

⑵將f(x)的各極值與f(a),f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。

注：實(shí)際問(wèn)題的開(kāi)區(qū)間唯一極值點(diǎn)就是所求的最值點(diǎn)；9．求曲邊梯形的思想和步驟是什么？

答：分割近似代替求和取極限（“以直代曲”的思想）10.定積分的性質(zhì)有哪些？

根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì)：性質(zhì)1

1dxba

ababbbbb性質(zhì)5若f(x)0,xa,b，則f(x)dx0

①推廣：[f1(x)f2(x)fm(x)]dxf1(x)dxf2(x)dxfm(x)

aaaa②推廣:f(x)dxf(x)dxf(x)dxf(x)dx

aac1ckbc1c2b11定積分的取值情況有哪幾種？

答：定積分的值可能取正值，也可能取負(fù)值，還可能是0.

(l）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸上方時(shí)，定積分的值取正值，且等于x軸上方的圖形面積；

（2）當(dāng)對(duì)應(yīng)的曲邊梯形位于x軸下方時(shí)，定積分的值取負(fù)值，且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù)；

（3）當(dāng)位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方的曲邊梯形面積時(shí)，定積分的值為0，且等于x軸上方圖形的面積減去下方的圖形的面積．

12．物理中常用的微積分知識(shí)有哪些？答：（1）位移的導(dǎo)數(shù)為速度，速度的導(dǎo)數(shù)為加速度。（2）力的積分為功。

數(shù)學(xué)選修2-2推理與證明知識(shí)點(diǎn)必記

13.歸納推理的定義是什么？答：從個(gè)別事實(shí)中推演出一般性的結(jié)論，像這樣的推理通常稱(chēng)為歸納推理。．．．．．．．歸納推理是由部分到整體，由個(gè)別到一般的推理。．．．．14.歸納推理的思維過(guò)程是什么？答：大致如圖：

實(shí)驗(yàn)、觀察概括、推廣猜測(cè)一般性結(jié)論15.歸納推理的特點(diǎn)有哪些？

答：①歸納推理的前提是幾個(gè)已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。

②由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)，結(jié)論是否真實(shí)，還需經(jīng)過(guò)邏輯證明和實(shí)驗(yàn)檢驗(yàn)，因此，它不能作為數(shù)學(xué)證明的工具。③歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過(guò)歸納推理的猜想，可以作為進(jìn)一步研究的起點(diǎn)，幫助人們發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題。16.類(lèi)比推理的定義是什么？

答：根據(jù)兩個(gè)（或兩類(lèi)）對(duì)象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們?cè)谄渌�方面也相似或相同，這樣的推理稱(chēng)為類(lèi)比推理。類(lèi)比推理是由特殊到特殊的推理。．．．．17.類(lèi)比推理的思維過(guò)程是什么？答：

觀察、比較聯(lián)想、類(lèi)推推測(cè)新的結(jié)論18.演繹推理的定義是什么？

答：演繹推理是根據(jù)已有的事實(shí)和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴(yán)格的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過(guò)程。演繹推理是由一般到特殊的推理。．．．．19．演繹推理的主要形式是什么？答：三段論20.“三段論”可以表示為什么？

答：①大前題：M是P②小前提：S是M③結(jié)論：S是P。

其中①是大前提，它提供了一個(gè)一般性的原理；②是小前提，它指出了一個(gè)特殊對(duì)象；③是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對(duì)特殊情況做出的判斷。21.什么是直接證明？它包括哪幾種證明方法？

答：直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實(shí)性。直接證明包括綜合法和分析法。22.什么是綜合法？

答：綜合法就是“由因?qū)Ч�”，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié)論。23.什么是分析法？答：分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱(chēng)為“由果索因”。

要注意敘述的形式：要證A，只要證B，B應(yīng)是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開(kāi)。24什么是間接證明？

答：即反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾，證實(shí)結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟是什么？

答：（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；

（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設(shè)不正確，即所求證命題正確。．．．26常見(jiàn)的“結(jié)論詞”與“反義詞”有哪些？原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞至少有一個(gè)至多有一個(gè)至少有n個(gè)至多有n個(gè)一個(gè)也沒(méi)有至少有兩個(gè)至多有n-1個(gè)至少有n+1個(gè)對(duì)任意x不成立p或qp且q反義詞存在x使成立p且qp或q對(duì)所有的x都成立存在x使不成立27.反證法的思維方法是什么？答：正難則反．．．．

28.如何歸繆矛盾？

答：（1）與已知條件矛盾；（2）與已有公理、定理、定義矛盾；（3）自相矛．．．．．．．．．．．．．．．．盾．

29．?dāng)?shù)學(xué)歸納法（只能證明與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題）的步驟是什么？．．．nnN答：(1)證明：當(dāng)n取第一個(gè)值時(shí)命題成立；00．．．．(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*，且k≥n0)時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立.．．．．．由(1)，(2)可知，命題對(duì)于從n0開(kāi)始的所有正整數(shù)n都正確注：常用于證明不完全歸納法推測(cè)所得命題的正確性的證明。

數(shù)學(xué)選修2-2數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念知識(shí)點(diǎn)必記

30.復(fù)數(shù)的概念是什么？答：形如a+bi的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中i叫虛數(shù)單位，a叫實(shí)部，b叫虛部，數(shù)集．．．．

Cabi|a,bR叫做復(fù)數(shù)集。

規(guī)定：abicdia=c且，強(qiáng)調(diào)：兩復(fù)數(shù)不能比較大小，只有相等或不相．．．．b=d．．．等。

實(shí)數(shù)(b0)31．?dāng)?shù)集的關(guān)系有哪些？答：復(fù)數(shù)Z一般虛數(shù)(a0)

虛數(shù)(b0)純虛數(shù)(a0)32.復(fù)數(shù)的幾何意義是什么？答：復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)或有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)。

33.什么是復(fù)平面？

答：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，任何一個(gè)復(fù)數(shù)zabi，都可以由一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)

(a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)，因此

復(fù)數(shù)集與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)集之間可以建立一一對(duì)應(yīng)。這個(gè)建立了直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做實(shí)軸，y軸叫做虛軸。實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)。34.如何求復(fù)數(shù)的模(絕對(duì)值)？答：與復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的向量OZ的模r叫做復(fù)數(shù)zabi的模(也叫絕對(duì)值)記作

z或abi。由模的定義可知：zabia2b2

35.復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算及幾何意義是什么？

答：①?gòu)?fù)數(shù)的加、減法法則：z1abi與z2cdi，則z1z2ac(bd)i。

注：復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算也可以按向量的加、減法來(lái)進(jìn)行。．．②復(fù)數(shù)的乘法法則：(abi)(cdi)acbdadbci。③復(fù)數(shù)的除法法則：

abi(abi)(cdi)acbdbcadicdi(cdi)(cdi)c2d2c2d2其中cdi叫做實(shí)數(shù)化因子36.什么是共軛復(fù)數(shù)？

答：兩復(fù)數(shù)abi與abi互為共軛復(fù)數(shù)，當(dāng)b0時(shí)，它們叫做共軛虛數(shù)。

常見(jiàn)的運(yùn)算規(guī)律

(1)zz;2(2)zz2a,zz2bi;

2(3)zzzza2b2;(4)zz;(5)zzzR

(6)i4n1i,i24n21,i4n3i,i4n41;

2(7)1i1i1i1ii;(8)i,i,i1i1i213i23n1,3n2,3n31是1的立方虛根，則10，2(9)設(shè)

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