函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)

函數(shù)與導(dǎo)數(shù)

1．映射：注意①第一個集合中的元素必須有象；②一對一，或多對一。

2．函數(shù)值域的求法：①分析法；②配方法；③判別式法；④利用函數(shù)單調(diào)性；

⑤換元法；⑥利用均值不等式；⑦利用數(shù)形結(jié)合或幾何意義（斜率、距離、絕對值的意義等）；⑧利用函數(shù)有界性（、、等）；⑨導(dǎo)數(shù)法3．復(fù)合函數(shù)的有關(guān)問題（1）復(fù)合函數(shù)定義域求法：①若f(x)的定義域為〔a，b〕,則復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的定義域由不等式a≤g(x)≤b解出②若f[g(x)]的定義域為[a,b],求f(x)的定義域，相當(dāng)于x∈[a,b]時，求g(x)的值域。（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判定：

①首先將原函數(shù)分解為基本函數(shù)：內(nèi)函數(shù)與外函數(shù)；②分別研究內(nèi)、外函數(shù)在各自定義域內(nèi)的單調(diào)性；

③根據(jù)“同性則增，異性則減”來判斷原函數(shù)在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。注意：外函數(shù)的定義域是內(nèi)函數(shù)的值域。4．分段函數(shù)：值域（最值）、單調(diào)性、圖象等問題，先分段解決，再下結(jié)論。5．函數(shù)的奇偶性

⑴函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件；⑵是奇函數(shù)；⑶是偶函數(shù)；

⑷奇函數(shù)在原點有定義，則；

⑸在關(guān)于原點對稱的單調(diào)區(qū)間內(nèi)：奇函數(shù)有相同的單調(diào)性，偶函數(shù)有相反的單調(diào)性；（6）若所給函數(shù)的解析式較為復(fù)雜，應(yīng)先等價變形，再判斷其奇偶性；6．函數(shù)的單調(diào)性⑴單調(diào)性的定義：

①在區(qū)間上是增函數(shù)當(dāng)時有；②在區(qū)間上是減函數(shù)當(dāng)時有；⑵單調(diào)性的判定1定義法：

注意：一般要將式子化為幾個因式作積或作商的形式，以利于判斷符號；②導(dǎo)數(shù)法（見導(dǎo)數(shù)部分）；③復(fù)合函數(shù)法（見2（2））；④圖像法。

注：證明單調(diào)性主要用定義法和導(dǎo)數(shù)法。7．函數(shù)的周期性(1)周期性的定義：

對定義域內(nèi)的任意，若有（其中為非零常數(shù)），則稱函數(shù)為周期函數(shù)，為它的一個周期。

所有正周期中最小的稱為函數(shù)的最小正周期。如沒有特別說明，遇到的周期都指最小正周（2）三角函數(shù)的周期：⑶函數(shù)周期的判定

①定義法（試值）②圖像法③公式法（利用（2）中結(jié)論）⑷與周期有關(guān)的結(jié)論

8．基本初等函數(shù)的圖像與性質(zhì)

⑴冪函數(shù)：（；⑵指數(shù)函數(shù)：；⑶對數(shù)函數(shù):；⑷正弦函數(shù):；⑸余弦函數(shù)：；（6）正切函數(shù)：；⑺一元二次函數(shù)：；⑻其它常用函數(shù)：

①正比例函數(shù)：；②反比例函數(shù)：9．二次函數(shù)：⑴解析式：

①一般式：；②頂點式：，為頂點；③零點式：。

⑵二次函數(shù)問題解決需考慮的因素：

①開口方向；②對稱軸；③端點值；④與坐標(biāo)軸交點；⑤判別式；⑥兩根符號。⑶二次函數(shù)問題解決方法：①數(shù)形結(jié)合；②分類討論。10．函數(shù)圖象：

⑴圖象作法：①描點法（特別注意三角函數(shù)的五點作圖）②圖象變換法③導(dǎo)數(shù)法⑵圖象變換：

①平移變換：“正左負(fù)右”“正上負(fù)下”；②伸縮變換：

，（縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的倍；，（橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的倍；③對稱變換：④翻轉(zhuǎn)變換：

右不動，右向左翻（在左側(cè)圖象去掉）；上不動，下向上翻（||在下面無圖象）；11．函數(shù)圖象（曲線）對稱性的證明

(1)證明函數(shù)圖像的對稱性，即證明圖像上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點仍在圖像上；

（2）證明函數(shù)與圖象的對稱性，即證明圖象上任意點關(guān)于對稱中心（對稱軸）的對稱點在的圖象上，反之亦然；注：

①曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于點（a,b）的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,2b－y)=0;②曲線C1:f(x,y)=0關(guān)于直線x=a的對稱曲線C2方程為：f(2a－x,y)=0;

③曲線C1：f(x,y)=0,關(guān)于y=x+a(或y=－x+a)的對稱曲線C2的方程為f(y－a,x+a)=0(或f(－y+a,－x+a)=0);

④f(a+x)=f(b－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=對稱；

特別地：f(a+x)=f(a－x)（x∈R）y=f(x)圖像關(guān)于直線x=a對稱；⑤函數(shù)y=f(x－a)與y=f(b－x)的圖像關(guān)于直線x=對稱；12．函數(shù)零點的求法：⑴直接法（求的根）；⑵圖象法；⑶二分法.13．導(dǎo)數(shù)

⑴導(dǎo)數(shù)定義：f(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)記作；⑵常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式:①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧。

⑶導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

⑷（理科）復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

⑸導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用：

①利用導(dǎo)數(shù)求切線：注意：所給點是切點嗎？所求的是“在”還是“過”該點的切線？②利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性：是增函數(shù)；為減函數(shù)；為常數(shù)；

③利用導(dǎo)數(shù)求極值：求導(dǎo)數(shù)；求方程的根；列表得極值。④利用導(dǎo)數(shù)最大值與最小值：求的極值；求區(qū)間端點值（如果有）；得最值。14．（理科）定積分⑴定積分的定義：⑵定積分的性質(zhì)：①（常數(shù)）；②；

③（其中。

⑶微積分基本定理（牛頓萊布尼茲公式）：

⑷定積分的應(yīng)用：①求曲邊梯形的面積：②求變速直線運動的路程：

；③求變力做功：。

擴(kuò)展閱讀：導(dǎo)數(shù)知識點總結(jié)

導(dǎo)數(shù)

考試內(nèi)容：導(dǎo)數(shù)的背影．導(dǎo)數(shù)的概念．

多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．

利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值．函數(shù)的最大值和最小值．考試要求：

（1）了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景．（2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義．

（3）掌握函數(shù)，y=c(c為常數(shù))、y=xn(n∈N+)的導(dǎo)數(shù)公式，會求多項式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．（4）理解極大值、極小值、最大值、最小值的概念，并會用導(dǎo)數(shù)求多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極大值、極小值及閉區(qū)間上的最大值和最小值．（5）會利用導(dǎo)數(shù)求某些簡單實際問題的最大值和最小值．

知識要點

導(dǎo)數(shù)的概念導(dǎo)數(shù)的幾何意義、物理意義常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)的運算導(dǎo)數(shù)的運算法則函數(shù)的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用函數(shù)的極值函數(shù)的最值限limf"(x0)=lim1.導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）的定義：設(shè)x0是函數(shù)yf(x)定義域的一點，如果自變量

x在x0處有增量x，則函數(shù)值y也引起相應(yīng)的增量yf(x0x)f(x0)；比值yf(x0x)f(x0)稱為函數(shù)yf(x)在點x0到x0x之間的平均變化率；如果極xxf(x0x)f(x0)y存在，則稱函數(shù)yf(x)在點x0處可導(dǎo)，并把這個極limx0xx0x限叫做yf(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f"(x0)或y"|xx0，即

f(x0x)f(x0)y.limx0xx0x

-1-

注：①x是增量，我們也稱為“改變量”，因為x可正，可負(fù)，但不為零.②以知函數(shù)yf(x)定義域為A，yf"(x)的定義域為B，則A與B關(guān)系為AB.2.函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)與點x0處可導(dǎo)的關(guān)系：

⑴函數(shù)yf(x)在點x0處連續(xù)是yf(x)在點x0處可導(dǎo)的必要不充分條件.可以證明，如果yf(x)在點x0處可導(dǎo)，那么yf(x)點x0處連續(xù).事實上，令xx0x，則xx0相當(dāng)于x0.于是limf(x)limf(x0x)lim[f(xx0)f(x0)f(x0)]

xx0x0x0lim[x0f(x0x)f(x0)f(x0x)f(x0)xf(x0)]limlimlimf(x0)f"(x0)0f(x0)f(x0).x0x0x0xx⑵如果yf(x)點x0處連續(xù)，那么yf(x)在點x0處可導(dǎo)，是不成立的.例：f(x)|x|在點x00處連續(xù)，但在點x00處不可導(dǎo)，因為時，

yyy不存在.1；當(dāng)x＜0時，1，故limx0xxxy|x|，當(dāng)x＞0xx注：①可導(dǎo)的奇函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù).

②可導(dǎo)的偶函數(shù)函數(shù)其導(dǎo)函數(shù)為奇函數(shù).3.導(dǎo)數(shù)的幾何意義：

函數(shù)yf(x)在點x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線yf(x)在點(x0,f(x))處的切線的斜率，也就是說，曲線yf(x)在點P(x0,f(x))處的切線的斜率是f"(x0)，切線方程為yy0f"(x)(xx0).4.求導(dǎo)數(shù)的四則運算法則：

(uv)"u"v"yf1(x)f2(x)...fn(x)y"f1"(x)f2"(x)...fn"(x)

(uv)"vu"v"u(cv)"c"vcv"cv"（c為常數(shù)）

vu"v"uu(v0)2vv"注：①u,v必須是可導(dǎo)函數(shù).

②若兩個函數(shù)可導(dǎo)，則它們和、差、積、商必可導(dǎo)；若兩個函數(shù)均不可導(dǎo)，則它

們的和、差、積、商不一定不可導(dǎo).

例如：設(shè)f(x)2sinx，g(x)cosx，則f(x),g(x)在x0處均不可導(dǎo)，但它們和

2x2x

f(x)g(x)

sinxcosx在x0處均可導(dǎo).

5.復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則：fx"((x))f"(u)"(x)或y"xy"uu"x復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可推廣到多個中間變量的情形.6.函數(shù)單調(diào)性：

⑴函數(shù)單調(diào)性的判定方法：設(shè)函數(shù)yf(x)在某個區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f"(x)＞0，則

yf(x)為增函數(shù)；如果f"(x)＜0，則yf(x)為減函數(shù).

⑵常數(shù)的判定方法；

如果函數(shù)yf(x)在區(qū)間I內(nèi)恒有f"(x)=0，則yf(x)為常數(shù).

注：①f(x)0是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如y2x3在(,)上并不是都有f(x)0，有一個點例外即x=0時f（x）=0，同樣f(x)0是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區(qū)間內(nèi)有限個點處為零，在其余各點均為正（或負(fù)），那么f（x）在該區(qū)間上仍舊是單調(diào)增加（或單調(diào)減少）的.

7.極值的判別方法：（極值是在x0附近所有的點，都有f(x)＜f(x0)，則f(x0)是函數(shù)f(x)的極大值，極小值同理）當(dāng)函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)時，

①如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＞0，右側(cè)f"(x)＜0，那么f(x0)是極大值；②如果在x0附近的左側(cè)f"(x)＜0，右側(cè)f"(x)＞0，那么f(x0)是極小值.

也就是說x0是極值點的充分條件是x0點兩側(cè)導(dǎo)數(shù)異號，而不是f"(x)=0①.此外，函數(shù)不可導(dǎo)的點也可能是函數(shù)的極值點②.當(dāng)然，極值是一個局部概念，極值點的大小關(guān)系是不確定的，即有可能極大值比極小值�。ê瘮�(shù)在某一點附近的點不同）.注①：若點x0是可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值點，則f"(x)=0.但反過來不一定成立.對于可導(dǎo)函數(shù)，其一點x0是極值點的必要條件是若函數(shù)在該點可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)值為零.例如：函數(shù)yf(x)x3，x0使f"(x)=0，但x0不是極值點.

②例如：函數(shù)yf(x)|x|，在點x0處不可導(dǎo)，但點x0是函數(shù)的極小值點.8.極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數(shù)值進(jìn)行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數(shù)值進(jìn)行比較.

注：函數(shù)的極值點一定有意義.9.幾種常見的函數(shù)導(dǎo)數(shù)：

n)"coxs(arcxs)i"nI.C"0（C為常數(shù)）(six11x2

"x)os(xn)"nxn1（nR）s"sinx(arcc(cox)11x2

1"11"(arctx)anII.(lnx)(loagx)loage

xxx21"(ex)"ex

(arcoxt)"1x21(ax)"axlna

III.求導(dǎo)的常見方法：①常用結(jié)論：(ln|x|)".

②形如y(xa1)(xa2)...(xan)或y化求代數(shù)和形式.

③無理函數(shù)或形如yxx這類函數(shù)，如yxx取自然對數(shù)之后可變形為lnyxlnx，

y"1對兩邊求導(dǎo)可得lnxxy"ylnxyy"xxlnxxx.

yx(xa1)(xa2)...(xan)兩邊同取自然對數(shù)，可轉(zhuǎn)

(xb1)(xb2)...(xbn)1x

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