二次函數(shù)圖象知識點(diǎn)總結(jié)

專題講解二次函數(shù)的圖象

知識點(diǎn)回顧：

1.二次函數(shù)解析式的幾種形式：①一般式：

yax2bxc（a、b、c

為常數(shù)，a≠0）

2ya(xh)k（a、②頂點(diǎn)式：h、k

為常數(shù)，a≠0），其中（h，

k）為頂點(diǎn)坐標(biāo)。

③交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)，其中x1，x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即一元二次方程ax2bxc0的兩個根，且a≠0，（也叫兩根式）。

2.二次函數(shù)

yax2bxc的圖象

yax2bxc的圖象是對稱軸平行于（包括重合）

①二次函數(shù)

y軸的拋物線，幾個不同的二次函數(shù)，如果a相同，那么拋物線的開口方向，開口大�。�即形狀）完全相同，只是位置不同。②任意拋物線

ya(xh)2k可以由拋物線yax2經(jīng)過適當(dāng)

的平移得到，移動規(guī)律可簡記為：[左加右減，上加下減]，具體平移方法如下表所示。

③在畫

yax2bxc的圖象時，可以先配方成ya(xh)2k的形式，然后將

yax2的圖象上（下）左（右）平移得到所求圖

2象，即平移法；也可用描點(diǎn)法：也是將yaxbxc配成

ya(xh)2k的形式，這樣可以確定開口方向，對稱軸及頂點(diǎn)坐

標(biāo)。然后取圖象與y軸的交點(diǎn)（0，c），及此點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)（2h，c）；如果圖象與x軸有兩個交點(diǎn)，就直接取這兩個點(diǎn)（x1，0），（x2，0）就行了；如果圖象與x軸只有一個交點(diǎn)或無交點(diǎn)，那應(yīng)該在對稱軸兩側(cè)取對稱點(diǎn)，（這兩點(diǎn)不是與y軸交點(diǎn)及其對稱點(diǎn)），一般畫圖象找5個點(diǎn)。3.二次函數(shù)的性質(zhì)函數(shù)圖象2二次函數(shù)yaxbxcya(xh)2k（a、h、ka、b、c為常數(shù)，a≠0a＞0a＜0為常數(shù)，a≠0）a＞0a＜(1)拋物線開口向(1)拋物線開口向(1)拋物線(1)拋物線上，并向上無限延下，并向下無限延開口向上，開口向下，伸伸并向上無限并向下無限延伸延伸性(2)對稱軸是x＝(2)對稱軸是x＝(2)對稱軸(2)對稱軸b2a，頂點(diǎn)是b4acb，2a4ax2b2a是x＝h，頂是x＝h，頂，頂點(diǎn)是b4acb，2a4a2點(diǎn)是（h，k）點(diǎn)是（h，k））(3)當(dāng)x＜h（質(zhì)）（(3)當(dāng)bb(3)當(dāng)xhx2a時，2a時，y(3)當(dāng)y時，y隨x時，y隨x隨x的增大而減隨x的增大而增��；當(dāng)xbbx2a時，2a時，大；當(dāng)��；當(dāng)?shù)脑龃蠖鴾p的增大而增x＞h大；當(dāng)x＞hy隨x的增大而增y隨x的增大而減時，y隨x時，y隨x大小的增大而增的增大而減大。小(4)拋物線有最低(4)拋物線有最高(4)拋物線(4)拋物線點(diǎn)，當(dāng)xb2a時，點(diǎn)，當(dāng)xb2a有最低點(diǎn)，有最高點(diǎn)，時，當(dāng)x＝h時，當(dāng)x＝h時，y有最小值y有最大值y有最小值，y最小值4acb24ay有最大值，y最大值4acb24ay最小值ky最大值k

4.求拋物線的頂點(diǎn)、對稱軸和最值的方法①配方法：將解析式

yax2bxc化為ya(xh)2k的形式，

頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k），對稱軸為直線xh，若a＞0，y有最小值，

y最小值ky最大值k當(dāng)x＝h時，；若a＜0，y有最大值，當(dāng)x＝h時，。

b4acb2，4a②公式法：直接利用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式（2axb2a），求其頂

點(diǎn)；對稱軸是直線，若

有最大值，

b4acb2a0，y有最小值，當(dāng)x時，y最小值；2a4a若a0，yb4acb2x時，y最大值2a4a當(dāng)

5.拋物線與x軸交點(diǎn)情況：對于拋物線

yax2bxc(a≠0)

①當(dāng)b24ac0時，拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)，反之也成立。

②當(dāng)b24ac0時，拋物線與x軸有一個交點(diǎn)，反之也成立，此交點(diǎn)即為頂點(diǎn)。

③當(dāng)b24ac0時，拋物線與x軸無交點(diǎn)，反之也成立。

擴(kuò)展閱讀：初中數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點(diǎn)總結(jié)

二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

二次函數(shù)開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)增減性最大（�。┲祔=ax2a>0時，開口向上；a0時，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大；

當(dāng)a0時，當(dāng)x=0時，=0；當(dāng)a0時，當(dāng)x=0時，=c；當(dāng)a0時，當(dāng)x=h時，y最小=0；當(dāng)a0時，當(dāng)x=h時，y最小=k；當(dāng)a0時，當(dāng)x=h時，y最小=k；當(dāng)a0時，開口方向向上；a1.二次函數(shù)圖像是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=h或者x=-b/2a對稱軸與二次函數(shù)圖像唯一的交點(diǎn)為二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)P。特別地，當(dāng)h=0時，

二次函數(shù)圖像的對稱軸是y軸（即直線x=0）a,b同號，對稱軸在y軸左側(cè)b=0,對稱軸是y軸a,b異號，對稱軸在y軸右側(cè)頂點(diǎn)

2.二次函數(shù)圖像有一個頂點(diǎn)P，坐標(biāo)為P(h,k)當(dāng)h=0時，P在y軸上；當(dāng)k=0時，P在x軸上。h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a開口

3.二次項(xiàng)系數(shù)a決定二次函數(shù)圖像的開口方向和大小。當(dāng)a>0時，二次函數(shù)圖像向上開口；當(dāng)a0），對稱軸在y軸左；因?yàn)閷ΨQ軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a0），對稱軸在y軸左；當(dāng)a與b異號時（即ab<0），對稱軸在y軸右。事實(shí)上，b有其自身的幾何意義：二次函數(shù)圖像與y軸的交點(diǎn)處的該二次函數(shù)圖像切線的函數(shù)解析式（一次函數(shù)）的斜率k的值。可通過對二次函數(shù)求導(dǎo)得到。

決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)的因素

5.常數(shù)項(xiàng)c決定二次函數(shù)圖像與y軸交點(diǎn)。二次函數(shù)圖像與y軸交于（0,C）注意：頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h,k)與y軸交于（0,C)二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個數(shù)

6.二次函數(shù)圖像與x軸交點(diǎn)個數(shù)a0或a>0;k0時，函數(shù)在x=h處取得最小值ymix=k，在xh范圍內(nèi)是增函數(shù)（即y隨x的變大而變�。�，二次函數(shù)圖像的開口向上，函數(shù)的值域是y>k當(dāng)ah范圍內(nèi)事增函數(shù)，在x且X（X1+X2）/2時Y隨X的增大而減小此時，x1、x2即為函數(shù)與X軸的兩個交點(diǎn)，將X、Y代入即可求出解析式（一般與一元二次方程連用）。交點(diǎn)式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點(diǎn)和另一個點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)交點(diǎn)式。兩交點(diǎn)X值就是相應(yīng)X1X2值。兩圖像對稱

①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關(guān)于y軸對稱；②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關(guān)于x軸對稱；③y=ax2+bx+c與y=-a(x-h2+k關(guān)于頂點(diǎn)對稱；④y=ax2+bx+c與y=-a(x+h2-k關(guān)于原點(diǎn)對稱。

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