二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一、二次函數(shù)概念：

1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yaxbxc（a，b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。注意：和一元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，c可以為零．二次函數(shù)的取值范圍是全體實(shí)數(shù)．2.二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．⑵a，b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。

222a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)0，00，0y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值0．x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．a(chǎn)02.

向下y軸yax2k的性質(zhì)：上加下減。

開(kāi)口方向向上向下2a的符號(hào)a0a0頂點(diǎn)坐標(biāo)(0,k)(0,k)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)y軸y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值k．x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值k．3.yaxh的性質(zhì)：左加右減。

a的符號(hào)a0a0開(kāi)口方向向上向下2頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=hX=h性質(zhì)h，0h，0xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值0．xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．4.yaxhk的性質(zhì)：

a的符號(hào)a0a0開(kāi)口方向向上向下頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=hX=h性質(zhì)h，kh，kxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y有最小值k．xh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值k．三、二次函數(shù)圖象的平移1.平移步驟：k；方法一：⑴將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k處，具體平移方法如下：⑵保持拋物線(xiàn)yax的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(hxb時(shí)，y隨x的增大而減��；2ab時(shí)，y隨x的增大而增大；2aa0向下b4acb2b，x4a2a2ax4acb2b．x時(shí)，y有最大值4a2a七、二次函數(shù)解析式的表示方法1.一般式：yaxbxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、

22y的值，通常選擇一般式.

2.頂點(diǎn)式：ya(xh)k（a，h，k為常數(shù)，a0）；已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.

3.交點(diǎn)式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2，通常選用交點(diǎn)式

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只

有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，即b4ac0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析

式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yaxbxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

22拋物線(xiàn)開(kāi)口向上。

（2）a0拋物線(xiàn)開(kāi)口向下。

（1）a0（3）a的大小決定開(kāi)口的大�。產(chǎn)越大，開(kāi)口越小；a越小，開(kāi)口越大．2.b和a共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.“左同右異”由于拋物線(xiàn)

yax2bxc的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)xb，2a故：（1）b0對(duì)稱(chēng)軸為y軸；

b0對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；ab（3）a、b異號(hào)，即0對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè).

a（2）a、b同號(hào)，即3.c的大小決定拋物線(xiàn)當(dāng)xyax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.

：0時(shí)，yc，∴拋物線(xiàn)yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，c）

（1）c0拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn);0與y軸交于正半軸；0與y軸交于負(fù)半軸.

（2）c（3）c九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有四種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

yaxbxc關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；

22yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

2.關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)

yaxbxc關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；

2222yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

222222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk．

根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式．十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

22220，Bx2，0(x1x2)，（1）當(dāng)b4ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，其中的x1，x22是一元二次方程axbxc0a0的兩根．

2（2）當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（即頂點(diǎn)）；

（3）當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

①當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

②當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．

十一、函數(shù)的應(yīng)用

剎車(chē)距離1、二次函數(shù)應(yīng)用的類(lèi)型何時(shí)獲得最大利潤(rùn)

最大面積是多少2、運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)求實(shí)際問(wèn)題的最大值和最小值的一般步驟:（1）恰當(dāng)選設(shè)自變量和因變量（2）求出函數(shù)解析式

（3）配方變形為頂點(diǎn)式或用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式求它的最大值或最小值

（4）檢查求得的最大值或最小值對(duì)應(yīng)的自變量的值必須在自變量的取值范圍內(nèi)十二、二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（�。┲敌枰�利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式或用頂點(diǎn)坐標(biāo)公式；⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

220拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.吳承恩是不會(huì)把一個(gè)人的性格特點(diǎn)寫(xiě)在表面上。每次唐僧趕送悟空走，都有豬八戒在旁煽風(fēng)點(diǎn)火。黃袍怪那一回，唐僧趕走了孫悟空，豬八戒反又去請(qǐng)他出山，把孫悟空騙了回來(lái)。這隨機(jī)應(yīng)變的能力有多強(qiáng)。人人都說(shuō)孫悟空聰明，那怎么會(huì)被豬八戒的幾句話(huà)玩弄掌故之間。

豬八戒總說(shuō)分行李散伙，可是這回他為什么去找孫悟空回來(lái)，如果他不去找豈不是稱(chēng)了他的心意，分分行李回高老莊了嗎，說(shuō)明他還是知道得正果的好處。

孫悟空遇到困難就回去找觀(guān)音菩薩，豬八戒為什么不去找呢，很顯然豬八戒知道孫悟空是少不得的。當(dāng)初煽風(fēng)點(diǎn)火趕他走，也只是幸災(zāi)樂(lè)禍的表現(xiàn)。如果說(shuō)少了孫悟空，各項(xiàng)工作都會(huì)轉(zhuǎn)嫁到豬八戒頭上，比如開(kāi)路，要抓妖怪。三個(gè)人的武功差不多，抓妖豬八戒確實(shí)不如孫悟空。原著說(shuō)：“當(dāng)年行者在日，老和尚要的就有，今日輪到我的身上，誠(chéng)所謂當(dāng)家才知柴米價(jià)�！必i八戒何嘗不想趕孫悟空走，孫悟空走了他就是大師兄，西天取經(jīng)的功臣，但豬八戒知道技不如孫悟空，只得退而求其次，這就是聰明人的表現(xiàn)，而不是一味的逞強(qiáng)。原著第44回，他們?nèi)ト�清觀(guān)偷貢品。元始天尊、靈寶天尊、道德天尊，道教最高的神明。豬八戒爬上高臺(tái)，將原像都推倒，扔進(jìn)茅坑。豬八戒和沙和尚并不一樣，他不想回天庭，他找到了更好的靠山，就是佛派，他才敢侮辱幾個(gè)天尊神像，告訴你們“我要和道教劃清界限�！币环矫嬲f(shuō)明當(dāng)初天庭道教禍害他，他恨之入骨，另一方面他也知道哪邊的靠山靠著更加舒服。佛教的人看到了一定很開(kāi)心，“呦，這個(gè)小子不錯(cuò)，有前途�！�

總的來(lái)說(shuō)豬八戒不是什么豬頭豬腦的人，相反，很聰明，顯然他非常非常聰明，顯然他聰明的也十分可愛(ài)。西游記里充滿(mǎn)了黑暗，那些道貌岸然的所謂好人，真的是好人嗎。

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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)

一、二次函數(shù)概念：

一切為了孩子美好的未來(lái)

b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。這里需要強(qiáng)調(diào)：和一1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yaxbxc（a，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)．元二次方程類(lèi)似，二次項(xiàng)系數(shù)a0，而b，2.二次函數(shù)yaxbxc的結(jié)構(gòu)特征：

⑴等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

22b，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)．⑵a，二、二次函數(shù)的基本形式

1.二次函數(shù)基本形式：yax的性質(zhì)：a的絕對(duì)值越大，拋物線(xiàn)的開(kāi)口越小。

2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

00，00，y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y有最小值0．a(chǎn)0向下y軸x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值0．2.yaxc的性質(zhì)：上加下減。

2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸性質(zhì)

c0，c0，y軸x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y隨x的增大而減小；x0時(shí)，y有最小值c．a(chǎn)0向下y軸x0時(shí)，y隨x的增大而減��；x0時(shí)，y隨x的增大而增大；x0時(shí)，y有最大值c．3.yaxh的性質(zhì)：

左加右減。4.

2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=h性質(zhì)0h，0h，xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減�。粁h時(shí)，y有最小值0．a(chǎn)0向下X=hxh時(shí)，y隨x的增大而減��；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y有最大值0．yaxhk的性質(zhì)：

2a的符號(hào)a0開(kāi)口方向向上頂點(diǎn)坐標(biāo)對(duì)稱(chēng)軸X=h性質(zhì)h，kxh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y有最小值k．廈門(mén)分校

三、二次函平移1.平移一切為了孩子美好的未來(lái)

X=ha0向下h，kxh時(shí)，y隨x的增大而減小；xh時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，數(shù)圖象的步驟：y有最大值k．方法一：⑴將拋物線(xiàn)解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)axhk，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h，k；⑵保持拋物線(xiàn)yax的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h，k處，具體平移方法如下：

22y=ax2向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k廈門(mén)分校

一切為了孩子美好的未來(lái)

bbb4acb2當(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)x時(shí)，y有最小值．

2a2a2a4ab4acb2bb2.當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x，頂點(diǎn)坐標(biāo)為時(shí)，y隨x的增大而增大；當(dāng)，．當(dāng)x2a4a2a2abb4acb2．x時(shí)，y隨x的增大而減�。划�(dāng)x時(shí)，y有最大值

2a2a4a七、二次函數(shù)解析式的表示方法

21.一般式：yaxbxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；22.頂點(diǎn)式：ya(xh)k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線(xiàn)與x軸兩交點(diǎn)的橫坐標(biāo)）.

注意：任何二次函數(shù)的解析式都可以化成一般式或頂點(diǎn)式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫(xiě)成交點(diǎn)式，只有拋物線(xiàn)與x軸有交點(diǎn)，即

b24ac0時(shí)，拋物線(xiàn)的解析式才可以用交點(diǎn)式表示．二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.

八、二次函數(shù)的圖象與各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系1.二次項(xiàng)系數(shù)a

二次函數(shù)yaxbxc中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a0．

⑴當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，a的值越大，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大；⑵當(dāng)a0時(shí)，拋物線(xiàn)開(kāi)口向下，a的值越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大．

總結(jié)起來(lái)，a決定了拋物線(xiàn)開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大�。�2.一次項(xiàng)系數(shù)b

在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸．⑴在a0的前提下，

當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，2b0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸左側(cè)；2ab0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；2ab0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的右側(cè)．2ab0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在y軸右側(cè)；2ab0，即拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸就是y軸；2ab0，即拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸在y軸的左側(cè)．2a⑵在a0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，當(dāng)b0時(shí)，總結(jié)起來(lái)，在a確定的前提下，b決定了拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置．

ab的符號(hào)的判定：對(duì)稱(chēng)軸x總結(jié)：3.常數(shù)項(xiàng)c

b在y軸左邊則ab0，在y軸的右側(cè)則ab0，概括的說(shuō)就是“左同右異”2ay軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正；

⑵當(dāng)c0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0；⑶當(dāng)c0時(shí)，拋物線(xiàn)與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)．總結(jié)起來(lái)，c決定了拋物線(xiàn)與y軸交點(diǎn)的位置．

⑴當(dāng)c0時(shí)，拋物線(xiàn)與

b，c都確定，那么這條拋物線(xiàn)就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數(shù)解析式的確定：

根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法．用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)男问剑?/p>

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才能使解題簡(jiǎn)便．一般來(lái)說(shuō)，有如下幾種情況：

1.已知拋物線(xiàn)上三點(diǎn)的坐標(biāo)，一般選用一般式；

2.已知拋物線(xiàn)頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸或最大（�。┲�，一般選用頂點(diǎn)式；3.已知拋物線(xiàn)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，一般選用兩根式；4.已知拋物線(xiàn)上縱坐標(biāo)相同的兩點(diǎn)，常選用頂點(diǎn)式．

九、二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)

二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)一般有五種情況，可以用一般式或頂點(diǎn)式表達(dá)1.關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)

yaxbxc關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；

22一切為了孩子美好的未來(lái)

yaxhk關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

2.關(guān)于

22y軸對(duì)稱(chēng)

2yaxbxc關(guān)于

2y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yax2bxc；

2yaxhk關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；

3.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

yaxbxc關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；yaxhk關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk；4.關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)（即：拋物線(xiàn)繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°）

2222b2yaxbxc關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxbxc；

2a22yaxhk關(guān)于頂點(diǎn)對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxhk．

n對(duì)稱(chēng)5.關(guān)于點(diǎn)m，22n對(duì)稱(chēng)后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關(guān)于點(diǎn)m，根據(jù)對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，顯然無(wú)論作何種對(duì)稱(chēng)變換，拋物線(xiàn)的形狀一定不會(huì)發(fā)生變化，因此a永遠(yuǎn)不變．求拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式時(shí)，可以依據(jù)題意或方便運(yùn)算的原則，選擇合適的形式，習(xí)慣上是先確定原拋物線(xiàn)（或表達(dá)式已知的拋物線(xiàn)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，再確定其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)及開(kāi)口方向，然后再寫(xiě)出其對(duì)稱(chēng)拋物線(xiàn)的表達(dá)式．

十、二次函數(shù)與一元二次方程：

1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系（二次函數(shù)與x軸交點(diǎn)情況）：

2一元二次方程axbxc0是二次函數(shù)yaxbxc當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)的特殊情況.

222圖象與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)：

0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程①當(dāng)b4ac0時(shí)，圖象與x軸交于兩點(diǎn)Ax1，2b24ac.axbxc0a0的兩根．這兩點(diǎn)間的距離ABx2x1a2②當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)；③當(dāng)0時(shí)，圖象與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

廈門(mén)分校

1"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的上方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0；

一切為了孩子美好的未來(lái)

2"當(dāng)a0時(shí)，圖象落在x軸的下方，無(wú)論x為任何實(shí)數(shù)，都有y0．

2.拋物線(xiàn)yaxbxc的圖象與3.二次函數(shù)常用解題方法總結(jié)：

⑴求二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，需轉(zhuǎn)化為一元二次方程；

⑵求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式；

⑶根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)yaxbxc中a，b，c的符號(hào)，或由二次函數(shù)中a，b，c的符號(hào)判斷圖象的位置，要數(shù)形結(jié)合；

⑷二次函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)，可利用這一性質(zhì)，求和已知一點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)坐標(biāo)，或已知與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，可由對(duì)稱(chēng)性求出另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo).

2⑸與二次函數(shù)有關(guān)的還有二次三項(xiàng)式，二次三項(xiàng)式axbxc(a0)本身就是所含字母x的二次函數(shù)；下面以a0時(shí)為例，揭示

22y軸一定相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，c)；

二次函數(shù)、二次三項(xiàng)式和一元二次方程之間的內(nèi)在聯(lián)系：

圖像參考：

y=2x2y=x20拋物線(xiàn)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)二次三項(xiàng)式的值可正、可零、可負(fù)二次三項(xiàng)式的值為非負(fù)一元二次方程有兩個(gè)不相等實(shí)根0拋物線(xiàn)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)拋物線(xiàn)與x軸無(wú)交點(diǎn)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根0二次三項(xiàng)式的值恒為正一元二次方程無(wú)實(shí)數(shù)根.y=x22y=-x22y=-x2y=-2x2

廈門(mén)分校

y=2x2+2y=2x2y=3(x+4)2y=3x2y=3(x-2)2一切為了孩子美好的未來(lái)

y=2x2-4y=-2(x+3)2y=-2x2y=-2(x-3)2

十一、函數(shù)的應(yīng)用

y=2x2y=2(x-4)2剎車(chē)距離二次函數(shù)應(yīng)用何時(shí)獲得最大利潤(rùn)

最大面積是多少

二次函數(shù)考查重點(diǎn)與常見(jiàn)題型

1．考查二次函數(shù)的定義、性質(zhì)，有關(guān)試題常出現(xiàn)在選擇題中，如：已知以x為自變量的二次函數(shù)值是

2．綜合考查正比例、反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像，習(xí)題的特點(diǎn)是在同一直

則m的y(m2)x2m2m2的圖像經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

y=2(x-4)2-3角坐標(biāo)系內(nèi)考查兩個(gè)函數(shù)的圖像，試題類(lèi)型為選擇題，如：

如圖，如果函數(shù)

ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykx2bx1的圖像大致是（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD3．考查用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，有關(guān)習(xí)題出現(xiàn)的頻率很高，習(xí)題類(lèi)型有中檔解答題和選拔性的綜合題，如：已知一條拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)(0,3)，(4,6)兩點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為x5，求這條拋物線(xiàn)的解析式。34．考查用配方法求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)坐標(biāo)、對(duì)稱(chēng)軸、二次函數(shù)的極值，有關(guān)試題為解答題，如：32已知拋物線(xiàn)yaxbxc（a≠0）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是－1、3，與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)是－2

（1）確定拋物線(xiàn)的解析式；（2）用配方法確定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸和頂點(diǎn)坐標(biāo).5．考查代數(shù)與幾何的綜合能力，常見(jiàn)的作為專(zhuān)項(xiàng)壓軸題。【例題經(jīng)典】

由拋物線(xiàn)的位置確定系數(shù)的符號(hào)

廈門(mén)分校

例1（1）二次函數(shù)yaxbxc的圖像如圖1，則點(diǎn)M(b,2一切為了孩子美好的未來(lái)

c)在（）aA．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限

（2）已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結(jié)論：①a、b同號(hào)；②當(dāng)x=1和x=3時(shí)，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當(dāng)y=-2時(shí)，x的值只能取0.其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)

2

(1)(2)

【點(diǎn)評(píng)】弄清拋物線(xiàn)的位置與系數(shù)a，b，c之間的關(guān)系，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．

例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)(-2，O)、(x1，0)，且1廈門(mén)分校

∴直線(xiàn)A，C解析式為y=6x-6直線(xiàn)A"C與拋物線(xiàn)交點(diǎn)為(0，-6)，(5，24)．∴符合題意的x的范圍為-1廈門(mén)分校一切為了孩子美好的未來(lái)

（2）要使每日的銷(xiāo)售利潤(rùn)最大，每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為多少元？此時(shí)每日銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少元？【解析】（1）設(shè)此一次函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b．則15kb25,解得k=-1，b=40，即一次函數(shù)表達(dá)式為y=-x+40．

2kb202

（2）設(shè)每件產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為x元，所獲銷(xiāo)售利潤(rùn)為w元w=（x-10）（40-x）=-x+50x-400=-（x-25）+225．

產(chǎn)品的銷(xiāo)售價(jià)應(yīng)定為25元，此時(shí)每日獲得最大銷(xiāo)售利潤(rùn)為225元．

【點(diǎn)評(píng)】解決最值問(wèn)題應(yīng)用題的思路與一般應(yīng)用題類(lèi)似，也有區(qū)別，主要有兩點(diǎn)：（1）設(shè)未知數(shù)在“當(dāng)某某為何值時(shí)，什么最大（或最小、最�。�”的設(shè)問(wèn)中，“某某”要設(shè)為自變量，“什么”要設(shè)為函數(shù)；（2）問(wèn)的求解依靠配方法或最值公式，而不是解方程．例3.你知道嗎?平時(shí)我們?cè)谔�大繩時(shí)，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線(xiàn)．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學(xué)生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學(xué)生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時(shí)剛好通過(guò)他們的頭頂．已知學(xué)生丙的身高是1．5m，則學(xué)生丁的身高為(建立的平面直角坐標(biāo)系如右圖所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m分析：本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用答案：B

2

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