二次函數(shù)知識點總結以及練習題--深圳大學郭治民.doc

二次函數(shù)知識點(25分鐘)

b，c是常數(shù)，a0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。1．二次函數(shù)的概念：一般地，形如yax2bxc（a，c可以為零．二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)．這里需強調(diào)：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)a0，而b，

2.二次函數(shù)yax2bxc的結構特征：

⑴等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2．

b，c是常數(shù)，a是二次項系數(shù)，b是一次項系數(shù)，c是常數(shù)項．⑵a，2.平移規(guī)律,概括成八個字“左加右減，上加下減”．

⑴yax2bxc沿y軸平移:向上（下）平移m個單位，yax2bxc變成

yax2bxcm（或yax2bxcm）

⑵yaxbxc沿x軸平移：向左（右）平移m個單位，yaxbxc變成

22ya(xm)2b(xm)c（或ya(xm)2b(xm)c）

3.二次函數(shù)yaxhk與yax2bxc的比較

從解析式上看，yaxhk與yax2bxc是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前b4acb2b4acb2者，即yax，其中h，．k2a4a2a4a2224、二次函數(shù)yax2bxc圖象的畫法

五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)yax2bxc化為頂點式y(tǒng)a(xh)2k，確定其開口方向、

對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點0，c、以及0，c關于對稱軸對稱的點2h，c、與x軸的交點x1，0，x2，0（若與x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.

畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.5、二次函數(shù)yax2bxc的性質(zhì)

b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

2a4a2a當xbbb時，y隨x的增大而減��；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a4acb2值．

4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減��；當x時，y有最大值

2a2a4a1

6、二次函數(shù)解析式的表示方法

1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數(shù)，a0）；

2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數(shù)，a0）；

3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.7、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系1.二次項系數(shù)a

二次函數(shù)yax2bxc中，a作為二次項系數(shù)，顯然a0．

⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a(chǎn)的值越小，開口越大；⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a(chǎn)的值越大，開口越大．

總結起來，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．2.一次項系數(shù)b

在二次項系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸xb2a3.常數(shù)項c決定了拋物線與y軸交點的位置．

8,二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與x軸交點情況）：

一元二次方程ax2bxc0是二次函數(shù)yax2bxc當函數(shù)值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數(shù)：

①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次方程ax2bxc0a0的兩根．.

②當0時，圖象與x軸只有一個交點；③當0時，圖象與x軸沒有交點.

1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數(shù)，都有y0；

2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數(shù)，都有y0．2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

二次函數(shù)考查重點(15分鐘)

1．已知以x為自變量的二次函數(shù)y(m2)xmm2的圖像經(jīng)過原點，則m的值是22．如圖，如果函數(shù)ykxb的圖像在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)ykxbx1的圖像大致是

22（）

yyyy110xo-1x0x0-1xABCD

2

3．已知一條拋物線經(jīng)過(0,3)，(4,6)兩點，對稱軸為x

5，求這條拋物線的解析式。33

4．已知拋物線yax2bxc（a≠0）與x軸的兩個交點的橫坐標是－1、3，與y軸交點的縱坐標是－

2（1）確定拋物線的解析式；

（2）用配方法確定拋物線的開口方向、對稱軸和頂點坐標.

經(jīng)典例題1(25分鐘)

ca例1（1）二次函數(shù)yax2bxc的圖像如圖1，則點M(b,)在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

2

（2）已知二次函數(shù)y=ax+bx+c（a≠0）的圖象如圖2所示，則下列結論：①a、b同號；②當x=1和x=3時，函數(shù)值相等；③4a+b=0；④當y=-2時，x的值只能取0.其中正確的個數(shù)是（）A．1個B．2個C．3個D．4個

(1)(2)

2

例2.已知二次函數(shù)y=ax+bx+c的圖象與x軸交于點(-2，O)、(x1，0)，且1

經(jīng)典例題2(25分鐘)

例1某產(chǎn)品每件成本10元，試銷階段每件產(chǎn)品的銷售價x（元）與產(chǎn)品的日銷售量y（件）之間的關系如下表：

x（元）152030y（件）25201*若日銷售量y是銷售價x的一次函數(shù)．（1）求出日銷售量y（件）與銷售價x（元）的函數(shù)關系式；

（2）要使每日的銷售利潤最大，每件產(chǎn)品的銷售價應定為多少元？此時每日銷售利潤是多少元？

例3.你知道嗎?平時我們在跳大繩時，繩甩到最高處的形狀可近似地看為拋物線．如圖所示，正在甩繩的甲、乙兩名學生拿繩的手間距為4m，距地面均為1m，學生丙、丁分別站在距甲拿繩的手水平距離1m、2．5m處．繩子在甩到最高處時剛好通過他們的頭頂．已知學生丙的身高是1．5m，則學生丁的身高為(建立的平面直角坐標系如右圖所示)()

A．1．5mB．1．625mC．1．66mD．1．67m

練習題(25分鐘)

1.拋物線y(x2)23的對稱軸是（）

A.直線x3

B.直線x3

C.直線x2

D.直線x2

2.已知二次函數(shù)yax2bxc，且a0，abc0，則一定有（）

A.b24ac0

B.b24ac0

C.b24ac0

4

D.b24ac≤

3.把拋物線yx2bxc向右平移3個單位，再向下平移2個單位，所得圖象的解析式是

yx23x5，則有（）

A.b3，c7C.b3，c3

B.b9，c15D.b9，c21

4.下面所示各圖是在同一直角坐標系內(nèi)，二次函數(shù)yax2(ac)xc與一次函數(shù)yaxc的大致圖

象，有且只有一個是正確的，正確的是（）yyyyOxOBxOCxODx

A

5.二次函數(shù)y(x1)22的最小值是（）

A.2

B.2

C.1

D.1

6.將二次函數(shù)yx22x3配方成y(xh)2k的形式，則y=______________________.7.已知拋物線yax2xc與x軸交點的橫坐標為1，則ac=_________.

8.拋物線的對稱軸是x1，與x軸交于A、B兩點，若B點坐標是(3,0)，則A點的坐標是

________________.

5

擴展閱讀：一次函數(shù)必做精選練習題集--深圳大學郭治民

一次函數(shù)必考題

一、相信你一定能填對！

1．下列函數(shù)中，自變量x的取值范圍是x≥2的是（）A．y=2xB．y=

1x2C．y=4x2D．y=x2x22．下列各曲線中不能表示y是x的函數(shù)是（）

yyOx(B)x3yOxyO(D)xO(A)x(C)3．下列函數(shù)中，y是x的正比例函數(shù)的是（）A．y=2x-1B．y=

C．y=2x2D．y=-2x+1

4．一次函數(shù)y=-5x+3的圖象經(jīng)過的象限是（）

A．一、二、三B．二、三、四C．一、二、四D．一、三、四5．若函數(shù)y=（2m+1）x2+（1-2m）x（m為常數(shù)）是正比例函數(shù)，則m的值為（）A．m>

12121212B．m=C．m3B．0

10．一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過點（2，-1）和（0，3），那么這個一次函數(shù)的解析式為（）A．y=-2x+3B．y=-3x+2C．y=3x-2D．y=

12x-3

1

11、A（5，y1）和B（2，y2）都在直線y=x上，則y1與y2的關系是（）

2

A、y1≤y2B、y1＝y(tǒng)2C、y1＜y2D、y1＞y2

12、函數(shù)y=k（xk）（k＜0＝的圖象不經(jīng)過（）

A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限

13、一水池蓄水20m3，打開閥門后每小時流出5m3，放水后池內(nèi)剩下的水的立方數(shù)Q(m3)與放水時間t(時)的函數(shù)關系用圖表示為()

14、已知一次函數(shù)y=kx+b,y隨著x的增大而減小,且kbxy30的解是________．2xy2021．已知一次函數(shù)y=-3x+1的圖象經(jīng)過點（a，1）和點（-2，b），則a=________，b=______．22．如果直線y=-2x+k與兩坐標軸所圍成的三角形面積是9，則k的值為_____．

23．如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象經(jīng)過A、B兩點，與x軸交于點C，則此一次函數(shù)的解析式為__________，△AOC的面積為_________．三、認真解答，一定要細心喲！24、已知一次函數(shù)的圖象與y=-

25、（本題10分）如圖，一次函數(shù)y135x8512x的圖像平行，且與y軸交點（0，-3），求此函數(shù)關系式？

和y22x1相交于點A，

(1)求交點A的坐標？(2)求兩函數(shù)與y軸所圍成的三角形的面積？

26、（本題12分）A市和B市分別庫存某種機器12臺和6臺，現(xiàn)決定支援給C市10臺和D市8臺．已知從A市調(diào)運一臺機器到C市和D市的運費分別為400元和800元；從B市調(diào)運一臺機器到C市和D市的運費分別為300元和500元．

（1）設B市運往C市機器x臺，求總運費Y（元）關于x的函數(shù)關系式．（2）若要求總運費不超過9000元，問共有幾種調(diào)運方案？（3）求出總運費最低的調(diào)運方案，最低運費是多少？

27、小文家與學校相距1000米．某天小文上學時忘

了帶一本書，走了一段時間才想起，于是返回家拿書，然后加快速度趕到學校．下圖是小文與家的距離y（米）關于時間x（分鐘）的函數(shù)圖象．請你根據(jù)圖象中給出的信息，解答下列問題：

（1）小文走了多遠才返回家拿書？

（2）求線段AB所在直線的函數(shù)解析式；（3）當x8分鐘時，求小文與家的距離。

28.為了加強公民的節(jié)水意識,合理利用水資源,各地采用價格調(diào)控手段達到節(jié)約用水的目的,某市規(guī)定如下用水收費標準:每戶每月的用水量不超過6立方米時,水費按每立方米a元收費,超過6立方米時,不超過的部分每立方米仍按a元收費,超過的部分每立方米按c元收費,該市某戶今年9、10月份的用水量和所交水費如下表所示:設某戶每月用水量x(立方米),應交水費y(元)月份用水量收費(元)(1)求a,c的值(m3)(2)當x≤6,x≥6時,分別寫出y于x的函數(shù)關系式957.5(3)若該戶11月份用水量為8立方米,求該戶11月10927份水費是多少元?

29.一農(nóng)民帶上若干千克自產(chǎn)的土豆進城出售,為了方便,他帶了一些零錢備用,按市場價售出一些后,又降價出售,售出的土豆千克數(shù)與他手中持有的錢數(shù)(含備用零錢)的關系,如圖所示,結合圖象回答下列問題.

(1)農(nóng)民自帶的零錢是多少?

(2)試求降價前y與x之間的關系式

(3)由表達式你能求出降價前每千克的土豆價格是多少?

(4)降價后他按每千克0.4元將剩余土豆售完,這時他手中的錢(含備用零錢)是26元,試問他一共帶了多少千克土豆?

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