二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目
二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目
第一部分基礎(chǔ)知識(shí)
1.直線與拋物線的交點(diǎn)
(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).
2(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ahbhc).
(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)
二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程
ax2bxc0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:
①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交;
②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)
同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為k,
則橫坐標(biāo)是axbxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn),由方程組
2ykxnyaxbxc2的解的數(shù)目來(lái)確定:①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有
一組解時(shí)l與G只有一個(gè)交點(diǎn);③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).
(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1,0,Bx2,0,由于x1、
x2是方程ax2bxc0的兩個(gè)根,故
bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2
aaaa2
第二部分典型習(xí)題
1、有一個(gè)運(yùn)算裝置,當(dāng)輸入值為x時(shí),其輸出值為y,且y是x的二次函數(shù),已知輸入值為2,0,1時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)輸入值x的取值范圍.
yOx4yax2(3a)x432、已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.是否存在實(shí)數(shù)a,使得△
ABC為直角三角形.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
2y=ax-2的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-1)3、已知二次函數(shù).求這個(gè)二次函數(shù)的解析式,并判斷該函數(shù)圖象與x
軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù).
4、已知拋物線y=-x2+mx-m+2.
(1)若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè),并且AB=5,試求m的值;
(2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn),若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.
5、已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),如圖.二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C(1)a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?
(2)如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng),試證a、c互為倒數(shù);(3)在(2)的條件下,如果b=-4,AB=43,求a、c的值.6、如圖,直線y3x3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,⊙E經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn).3(1)C是⊙E上一點(diǎn),連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D,若∠COD=∠CBO,求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式:
(3)若延長(zhǎng)BC到P,使DP=2,連結(jié)AP,試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
y2yaxbxc與x軸交于A、B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.1、已知:拋物線
其中點(diǎn)A在x軸的負(fù)半軸上,點(diǎn)C在y軸的負(fù)半軸上,線段OA、OC的長(zhǎng)(OA
課后習(xí)題:
1、15、(09湖南懷化)如圖11,已知二次函數(shù)y(xm)2km2的圖象與x軸相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A(x1,0)、
B(x2,0),與y軸的交點(diǎn)為C.設(shè)△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)P.
(1)求⊙P與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)D的坐標(biāo);
(2)如果AB恰好為⊙P的直徑,且△ABC的面積等于5,求m和k的值.
2、(201*年肇慶市)已知一元二次方程x2pxq10的一根為2.(1)求q關(guān)于p的關(guān)系式;
(2)求證:拋物線yx2pxq與x軸有兩個(gè)交點(diǎn);
(3)設(shè)拋物線yx2pxq的頂點(diǎn)為M,且與x軸相交于A(x1,0)、B(x2,0)兩點(diǎn),求使△AMB面積最小時(shí)的拋物線的解析式.
3、(201*年常德市)已知二次函數(shù)過(guò)點(diǎn)A(0,2),B(1,0),C(,).(1)求此二次函數(shù)的解析式;(2)判斷點(diǎn)M(1,(3)過(guò)點(diǎn)M(1,
59481)是否在直線AC上?21)作一條直線l與二次函數(shù)的圖象交于E、F兩點(diǎn)(不同于A,B,C三點(diǎn)),請(qǐng)自已給出E2點(diǎn)的坐標(biāo),并證明△BEF是直角三角形.
圖8
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二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目
第一部分基礎(chǔ)知識(shí)
1.定義:一般地,如果yax2bxc(a,b,c是常數(shù),a0),那么y叫做x的二次函數(shù).2.二次函數(shù)yax2的性質(zhì)
(1)拋物線yax2的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸.(2)函數(shù)yax2的圖像與a的符號(hào)關(guān)系.
①當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn);
②當(dāng)a0時(shí)拋物線開口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).
(a0)(3)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn),對(duì)稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為yax2.
3.二次函數(shù)yax2bxc的圖像是對(duì)稱軸平行于(包括重合)y軸的拋物線.
b4acb2,k4.二次函數(shù)yaxbxc用配方法可化成:yaxhk的形式,其中h.2a4a225.二次函數(shù)由特殊到一般,可分為以下幾種形式:①yax2;②yax2k;③yaxh;④yaxhk;
22⑤yaxbxc.
6.拋物線的三要素:開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn).
①a的符號(hào)決定拋物線的開口方向:當(dāng)a0時(shí),開口向上;當(dāng)a0時(shí),開口向下;
2a相等,拋物線的開口大小、形狀相同.
②平行于y軸(或重合)的直線記作xh.特別地,y軸記作直線x0.
7.頂點(diǎn)決定拋物線的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù),如果二次項(xiàng)系數(shù)a相同,那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同,只是頂點(diǎn)的位置不同.
8.求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法
bb4acb2b4acb22(,)(1)公式法:yaxbxcax,∴頂點(diǎn)是,對(duì)稱軸是直線x.2a2a4a2a4a(2)配方法:運(yùn)用配方的方法,將拋物線的解析式化為yaxhk的形式,得到頂點(diǎn)為(h,k),對(duì)稱軸是直線
22xh.
(3)運(yùn)用拋物線的對(duì)稱性:由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形,所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)
稱軸,對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn).
用配方法求得的頂點(diǎn),再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證,才能做到萬(wàn)無(wú)一失.9.拋物線yax2bxc中,a,b,c的作用
(1)a決定開口方向及開口大小,這與yax2中的a完全一樣.
(2)b和a共同決定拋物線對(duì)稱軸的位置.由于拋物線yax2bxc的對(duì)稱軸是直線
xbbb,故:①b0時(shí),對(duì)稱軸為y軸;②0(即a、b同號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸左側(cè);③0(即a、2aab異號(hào))時(shí),對(duì)稱軸在y軸右側(cè).
(3)c的大小決定拋物線yax2bxc與y軸交點(diǎn)的位置.
當(dāng)x0時(shí),yc,∴拋物線yax2bxc與y軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)(0,c):①c0,拋物線經(jīng)過(guò)原點(diǎn);②c0,與y軸交于正半軸;③c0,與y軸交于負(fù)半軸.以上三點(diǎn)中,當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí),仍成立.如拋物線的對(duì)稱軸在y軸右側(cè),則ba0.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下:函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)yax2x0(y軸)(0,0)yax2kx0(y軸)(0,k)yaxh2當(dāng)a0時(shí)xh(h,0)yaxh2k開口向上xh(h,k)當(dāng)a0時(shí)yax2bxcb開口向下x2a(b4acb22a,4a)11.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式
(1)一般式:yax2bxc.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)x、y的值,通常選擇一般式.(2)頂點(diǎn)式:yaxh2k.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸,通常選擇頂點(diǎn)式.
(3)交點(diǎn)式:已知圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)x1、x2,通常選用交點(diǎn)式:yaxx1xx2.12.直線與拋物線的交點(diǎn)
(1)y軸與拋物線yax2bxc得交點(diǎn)為(0,c).
-2-
a2(2)與y軸平行的直線xh與拋物線yax2bxc有且只有一個(gè)交點(diǎn)(h,ahbhc).
(3)拋物線與x軸的交點(diǎn)
二次函數(shù)yax2bxc的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2,是對(duì)應(yīng)一元二次方程axbxc0的兩
個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定:①有兩個(gè)交點(diǎn)0拋物線與x軸相交;
②有一個(gè)交點(diǎn)(頂點(diǎn)在x軸上)0拋物線與x軸相切;③沒(méi)有交點(diǎn)0拋物線與x軸相離.(4)平行于x軸的直線與拋物線的交點(diǎn)
同(3)一樣可能有0個(gè)交點(diǎn)、1個(gè)交點(diǎn)、2個(gè)交點(diǎn).當(dāng)有2個(gè)交點(diǎn)時(shí),兩交點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等,設(shè)縱坐標(biāo)為k,則橫
坐標(biāo)是axbxck的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.
(5)一次函數(shù)ykxnk0的圖像l與二次函數(shù)yax2bxca0的圖像G的交點(diǎn),由方程組
22ykxnyaxbxc2的解的數(shù)目來(lái)確定:①方程組有兩組不同的解時(shí)l與G有兩個(gè)交點(diǎn);②方程組只有一組解時(shí)
l與G只有一個(gè)交點(diǎn);③方程組無(wú)解時(shí)l與G沒(méi)有交點(diǎn).
(6)拋物線與x軸兩交點(diǎn)之間的距離:若拋物線yax2bxc與x軸兩交點(diǎn)為Ax1,0,Bx2,0,由于x1、x2是
方程axbxc0的兩個(gè)根,故
2bcx1x2,x1x2aaABx1x2x1x22x1x22b24acb4c4x1x2
aaaa2第二部分典型習(xí)題
1.拋物線y=x+2x-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)是(D)
A.(2,-2)B.(1,-2)C.(1,-3)D.(-1,-3)2.已知二次函數(shù)yax2bxc的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(C)
A.a(chǎn)b>0,c>0B.a(chǎn)b>0,c<0C.a(chǎn)b<0,c>0D.a(chǎn)b<0,c<0
AEFDC2
B第2,3題圖第4題圖
3.二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是(D)A.a(chǎn)>0,b<0,c>0B.a(chǎn)<0,b<0,c>0C.a(chǎn)<0,b>0,c<0D.a(chǎn)<0,b>0,c>0
4.如圖,已知ABC中,BC=8,BC上的高h(yuǎn)4,D為BC上一點(diǎn),EF//BC,交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F(EF不過(guò)A、B),設(shè)E到BC的距離為x,則DEF的面積y關(guān)于x的函數(shù)的圖象大致為(D)
4y444O2A4xO2B4O2C4O2D4
EF4xEF82x,yx24x845.拋物線yx22x3與x軸分別交于A、B兩點(diǎn),則AB的長(zhǎng)為4.
6.已知二次函數(shù)y=kx2+(2k-,則對(duì)于下列結(jié)論:①當(dāng)x=-2時(shí),y1)x-1與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2(x1<x2)=1;②當(dāng)x>x2時(shí),y>0;③方程kx2+(2k-1;⑤1)x1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1、x2;④x1<1,x2>-1+4k2,其中所有正確的結(jié)論是①③④(只需填寫序號(hào)).x2-x1=k7.已知直線y2xbb0與x軸交于點(diǎn)A,與y軸交于點(diǎn)B;一拋物線的解析式為yxb10xc.
2(1)若該拋物線過(guò)點(diǎn)B,且它的頂點(diǎn)P在直線y2xb上,試確定這條拋物線的解析式;
(2)過(guò)點(diǎn)B作直線BC⊥AB交x軸交于點(diǎn)C,若拋物線的對(duì)稱軸恰好過(guò)C點(diǎn),試確定直線y2xb的解析式.解:(1)yx10或yx4x6
22b10b216b100b10b216b100,),b(0,b)代入,將得cb.頂點(diǎn)坐標(biāo)為(由題意得2,2424解得b110,b26.(2)y2x2
8.有一個(gè)運(yùn)算裝置,當(dāng)輸入值為x時(shí),其輸出值為y,且y是x的二次函數(shù),已知輸入值為2,0,1時(shí),相應(yīng)的輸出值分別為5,3,4.
(1)求此二次函數(shù)的解析式;
(2)在所給的坐標(biāo)系中畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象,并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí)輸入值x的取值范圍.解:(1)設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc,
a(2)2b(2)c5a1c3則a02b0c3,即2ab4,解得b2abc4c3ab1故所求的解析式為:yx22x3.(2)函數(shù)圖象如圖所示.
由圖象可得,當(dāng)輸出值y為正數(shù)時(shí),輸入值x的取值范圍是x1或x3.
9.某生物興趣小組在四天的實(shí)驗(yàn)研究中發(fā)現(xiàn):駱駝的體溫會(huì)隨外部環(huán)境溫度的變化而變化,而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同.他們將一頭駱駝前兩晝圖.請(qǐng)根據(jù)圖象回答:
⑴第一天中,在什么時(shí)間范圍內(nèi)這頭駱駝從最低上升到最高需要多少時(shí)間?⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是多少?⑶興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn),圖中10時(shí)到22時(shí)的曲線是拋物線,求該拋物線的解析式.
解:⑴第一天中,從4時(shí)到16時(shí)這頭駱駝的
體溫是上升的
它的體溫從最低上升到最高需要12小時(shí)⑵第三天12時(shí)這頭駱駝的體溫是39℃
第9題
夜的體溫變化情況繪制成下
的體溫是上升的?它的體溫
12x2x2410x22164210.已知拋物線yax(3a)x4與x軸交于A、
3⑶yB兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C.是否存在實(shí)數(shù)a,使得△ABC為直角三角形.若存在,請(qǐng)求出a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
解:依題意,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4).
設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),
由ax(3a)x40,解得x13,x2∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-3,0),(∴AB|2434.3a4,0).3a43|,ACAO2OC25,3aBCBO2OC2|∴AB|242|42.3a41641683|2223929,3a9a3a9aa162216.AC25,BC29a〈〉當(dāng)ABACBC時(shí),∠ACB=90°.由ABACBC,
22222216816925(16).9a2a9a21解得a.
4116625400222∴當(dāng)a時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(,0),AB,AC25,BC.
4399得
于是ABACBC.∴當(dāng)a22221時(shí),△ABC為直角三角形.422〈〉當(dāng)ACABBC時(shí),∠ABC=90°.由ACABBC,得25(解得a222168169)(16).9a2a9a24.9444當(dāng)a時(shí),3,點(diǎn)B(-3,0)與點(diǎn)A重合,不合題意.
493a39〈〉當(dāng)BCACAB時(shí),∠BAC=90°.由BCACAB,得解得a222222161681625(9).22a9a9a4.不合題意.91時(shí),△ABC為直角三角形.4綜合〈〉、〈〉、〈〉,當(dāng)a11.已知拋物線y=-x2+mx-m+2.
(1)若拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B分別在原點(diǎn)的兩側(cè),并且AB=5,試求m的值;
(2)設(shè)C為拋物線與y軸的交點(diǎn),若拋物線上存在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)M、N,并且△MNC的面積等于27,試求m的值.解:(1)A(x1,0),B(x2,0).則x1,x2是方程x2-mx+m-2=0的兩根.∵x1+x2=m,x1x2=m-2<0即m<2;
2又AB=x1x2=(x1+x2)4x1x25,∴m2-4m+3=0.
解得:m=1或m=3(舍去),∴m的值為1.(2)M(a,b),則N(-a,-b).∵M(jìn)、N是拋物線上的兩點(diǎn),
∴yCamam2b,①
2amam2b.②2MOxN①+②得:-2a2-2m+4=0.∴a2=-m+2.∴當(dāng)m<2時(shí),才存在滿足條件中的兩點(diǎn)M、N.∴a2m.
這時(shí)M、N到y(tǒng)軸的距離均為2m,又點(diǎn)C坐標(biāo)為(0,2-m),而S△MNC=27,∴2
1(2-m)2m=27.2∴解得m=-7.
12.已知:拋物線y=ax+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0).(1)求拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo);
(2)D是拋物線與y軸的交點(diǎn),C是拋物線上的一點(diǎn),且以AB為求此拋物線的解析式;
(3)E是第二象限內(nèi)到x軸、y軸的距離的比為5∶2的點(diǎn),如果且它與點(diǎn)A在此拋物線對(duì)稱軸的同側(cè),問(wèn):在拋物線的對(duì)稱軸上長(zhǎng)最小?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解法一:
(1)依題意,拋物線的對(duì)稱軸為x=-2.∵拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),
∴由拋物線的對(duì)稱性,可得拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0).
(2)∵拋物線y=ax+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),
-7-
22一底的梯形ABCD的面積為9,
點(diǎn)E在(2)中的拋物線上,是否存在點(diǎn)P,使△APE的周∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.
∴D(0,3a).∴梯形ABCD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線y=ax2+4ax+3a上,∵C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面積為9,∴∴a±1.
∴所求拋物線的解析式為y=x2+4x+3或y=x24ax3.(3)設(shè)點(diǎn)E坐標(biāo)為(x0,y0).依題意,x0<0,y0<0,且
11(ABCD)OD=9.∴(2+4)3a=9.
2255=.∴y0=-x0.
2x02y0①設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x2+4x+3上,
2∴y0=x0+4x0+3.
15x=,x0=6,0y0=-x0,2解方程組得2y=15;50y=.y=x2+4x+300004∵點(diǎn)E與點(diǎn)A在對(duì)稱軸x=-2的同側(cè),∴點(diǎn)E坐標(biāo)為(15,).24設(shè)在拋物線的對(duì)稱軸x=-2上存在一點(diǎn)P,使△APE的周長(zhǎng)最。逜E長(zhǎng)為定值,∴要使△APE的周長(zhǎng)最小,只須PA+PE最。帱c(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x=-2的對(duì)稱點(diǎn)是B(-3,0),∴由幾何知識(shí)可知,P是直線BE與對(duì)稱軸x=-2的交點(diǎn).設(shè)過(guò)點(diǎn)E、B的直線的解析式為y=mx+n,
15m=,1m+n=,2∴24解得3n=.-3m+n=0.2∴直線BE的解析式為y=∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,
131x+.∴把x=-2代入上式,得y=.2221).222②設(shè)點(diǎn)E在拋物線y=x4x3上,∴y0=x04x03.
5y0=-x0,32解方程組消去y0,得x02x0+3=0.
2y=x24x3.000∴△<0.∴此方程無(wú)實(shí)數(shù)根.綜上,在拋物線的對(duì)稱軸上存在點(diǎn)P(-2,解法二:
(1)∵拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A(-1,0),∴a(-1)2+4a(-1)+t=0.∴t=3a.∴y=ax2+4ax+3a.令y=0,即ax+4ax+3a=0.解得x1=-1,x2=-3.∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-3,0).
(2)由y=ax2+4ax+3a,得D(0,3a).∵梯形ABCD中,AB∥CD,且點(diǎn)C在拋物線
21),使△APE的周長(zhǎng)最。2y=ax2+4ax+3a上,
∴C(-4,3a).∴AB=2,CD=4.∵梯形ABCD的面積為9,∴∴3a=3.∴a±1.
∴所求拋物線的解析式為y=x+4x+3或y=-x-4x-3.
(3)同解法一得,P是直線BE與對(duì)稱軸x=-2的交點(diǎn).∴如圖,過(guò)點(diǎn)E作EQ⊥x軸于點(diǎn)Q.設(shè)對(duì)稱軸與x軸的交
點(diǎn)為F.
221(AB+CD)OD=9.解得OD=3.21BFPF1PF=.∴=.∴PF=.
552BQEQ241∴點(diǎn)P坐標(biāo)為(-2,).
2由PF∥EQ,可得以下同解法一.
13.已知二次函數(shù)的圖象如圖所示.
(1)求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點(diǎn)M的坐標(biāo).
(2)若點(diǎn)N為線段BM上的一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作x軸的垂線,垂足為點(diǎn)Q.當(dāng)點(diǎn)N在線段BM上運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)N不與點(diǎn)B,點(diǎn)M
重合),設(shè)NQ的長(zhǎng)為l,四邊形NQAC的面積為S,求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t的取值范圍;
(3)在對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點(diǎn)P,使△PAC為直角三角形?若存在,求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(4)將△OAC補(bǔ)成矩形,使△OAC的兩個(gè)頂點(diǎn)成為矩形一邊的兩個(gè)頂形這一邊的對(duì)邊上,試直接寫出矩形的未知的頂點(diǎn)坐標(biāo)(不需要計(jì)算過(guò)解:(1)設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x1)(x2),
∴2a1(2).∴a1.∴yx2x2.其頂點(diǎn)M的坐標(biāo)是,點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩程).
129.4(2)設(shè)線段BM所在的直線的解析式為ykxb,點(diǎn)N的坐標(biāo)為N(t,h),
02kb,3∴91.解得k,b3.
2kb.423x3.231112321∴ht3,其中t2.∴s12(2t3)ttt1.
22223423211∴s與t間的函數(shù)關(guān)系式是Stt1,自變量t的取值范圍是t2.
422∴線段BM所在的直線的解析式為y(3)存在符合條件的點(diǎn)P,且坐標(biāo)是P1,,P2,設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為P(m,n),則nmm2.
25724325.4PA2(m1)2n2,PC2m2(n2)2,AC25.
分以下幾種情況討論:
i)若∠PAC=90°,則PCPAAC.
2nmm2,∴
2222m(n2)(m1)n5.222解得:m1557,m21(舍去).∴點(diǎn)P1,.224222ii)若∠PCA=90°,則PAPCAC.
2nmm2,∴
2222(m1)nm(n2)5.解得:m3353,m40(舍去).∴點(diǎn)P2,-.242iii)由圖象觀察得,當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸右側(cè)時(shí),PAAC,所以邊AC的對(duì)角∠APC不可能是直角.
(4)以點(diǎn)O,點(diǎn)A(或點(diǎn)O,點(diǎn)C)為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這邊OA(或邊OC)的對(duì)邊上,如圖a,此
時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是點(diǎn)D(-1,-2),
以點(diǎn)A,點(diǎn)C為矩形的兩個(gè)頂點(diǎn),第三個(gè)頂點(diǎn)落在矩形這一邊AC的對(duì)邊上,如圖b,此時(shí)未知頂點(diǎn)坐標(biāo)是E,,
1255F,.
4585
圖a圖b
14.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分.在大橋截面1∶11000的比例圖上,跨度AB=5cm,拱高OC=0.9cm,線段DE表示大橋拱內(nèi)橋長(zhǎng),DE∥AB,如圖(1).在比例圖上,以直線AB為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸,以1cm作為數(shù)軸的單位長(zhǎng)度,建立平面直角坐標(biāo)系,如圖(2).
(1)求出圖(2)上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式,寫出函數(shù)定義域;
(2)如果DE與AB的距離OM=0.45cm,求盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)(備用數(shù)據(jù):21.4,計(jì)算結(jié)果精確到1米).解:(1)由于頂點(diǎn)C在y軸上,所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為
9.105529185因?yàn)辄c(diǎn)A(,0)(或B(,0))在拋物線上,所以0=a()+,得a=-.
22210125y=ax+2182955x+(x).12510229918295-x+,得x=2.(2)因?yàn)辄c(diǎn)D、E的縱坐標(biāo)為,所以
20201*510459952,2,所以點(diǎn)D的坐標(biāo)為(-),點(diǎn)E的坐標(biāo)為().
442020因此所求函數(shù)解析式為y=-所以DE=555252.因此盧浦大橋拱內(nèi)實(shí)際橋長(zhǎng)為.2-(2)=110000.01=2752385(米)
442215.已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),O為坐標(biāo)原點(diǎn),A、B是x軸正半軸上的兩點(diǎn),點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè),如圖.二次函數(shù)
y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、B,與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)a、c的符號(hào)之間有何關(guān)系?
(2)如果線段OC的長(zhǎng)度是線段OA、OB長(zhǎng)度的比例中項(xiàng),試證
a、c互為倒數(shù);
(3)在(2)的條件下,如果b=-4,AB=43,求a、c的值.解:(1)a、c同號(hào).或當(dāng)a>0時(shí),c>0;當(dāng)a<0時(shí),c<0.
(2)證明:設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x2,0),則0<x1<x2.∴OAx1,OBx2,OCc.
2據(jù)題意,x1、x2是方程ax+bx+c0(a0)的兩個(gè)根.∴x1x22由題意,得OAOB=OC,即=c=c.
2c.a(chǎn)ca2所以當(dāng)線段OC長(zhǎng)是線段OA、OB長(zhǎng)的比例中項(xiàng)時(shí),a、c互為倒數(shù).(3)當(dāng)b4時(shí),由(2)知,x1+x2=-=>0,∴a>0.
2解法一:AB=OB-OA=x2-x1=(x1+x2)4x1x2,
ba4a∴AB()-4()4a2ca164ac23.2aa∵AB43,∴
123=43.得a.∴c=2.
2a解法二:由求根公式,x=4164ac416423==,
2a2aa∴x1=2323232-323-=,x2=.∴AB=OB-OA=x2-x1=.a(chǎn)aaaa∵AB=43,∴
123=43,得a=.∴c=2.
2a16.如圖,直線y3x3分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A、B,⊙E經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O及A、B兩點(diǎn).3(1)C是⊙E上一點(diǎn),連結(jié)BC交OA于點(diǎn)D,若∠COD=∠CBO,求點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo);(2)求經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式:
(3)若延長(zhǎng)BC到P,使DP=2,連結(jié)AP,試判斷直線PA與⊙E的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由.
解:(1)連結(jié)EC交x軸于點(diǎn)N(如圖).∵A、B是直線y
3x3分別與x軸、y軸的交點(diǎn).∴A(3,0),B(0,3).3又∠COD=∠CBO.∴∠CBO=∠ABC.∴C是∴ON13OB3OA,EN.2222的中點(diǎn).∴EC⊥OA.
連結(jié)OE.∴ECOE3.∴NCECEN333.∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).222(2)設(shè)經(jīng)過(guò)O、C、A三點(diǎn)的拋物線的解析式為yaxx3.333332a(3).∴a∵C(,).∴3.222229∴y23223xx為所求.98(3)∵tanBAO3,∴∠BAO=30°,∠ABO=50°.311由(1)知∠OBD=∠ABD.∴OBDABO6030.
22∴OD=OBtan30°-1.∴DA=2.∵∠ADC=∠BDO=60°,PD=AD=2.∴△ADP是等邊三角形.∴∠DAP=60°.
∴∠BAP=∠BAO+∠DAP=30°+60°=90°.即PA⊥AB.即直線PA是⊙E的切線.
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