初三圓的總結

初三圓的總結〖圓的相關量〗

圓周率：圓周長度與圓的直徑長度的比叫做圓周率，值是

3.1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679...，通常用π表示，計算中常取3.14為它的近似值(但奧數(shù)常取3或3.1416)。圓弧和弦：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧。大于半圓的弧稱為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為劣弧。連接圓上任意兩點的線段叫做弦。經過圓心的弦叫做直徑。

圓心角和圓周角：頂點在圓心上的角叫做圓心角。頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角。

內心和外心：過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，其圓心叫做三角形的外心。和三角形三邊都相切的圓叫做這個三角形的內切圓，其圓心稱為內心。

扇形：在圓上，由兩條半徑和一段弧圍成的圖形叫做扇形。圓錐側面展開圖是一個扇形。這個扇形的半徑成為圓錐的母線。

〖圓和圓的相關量字母表示方法〗圓⊙半徑r弧⌒直徑d

扇形弧長／圓錐母線l周長C面積S〖圓和其他圖形的位置關系〗

圓和點的位置關系：以點P與圓O的為例（設P是一點，則PO是點到圓心的距離），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O內，PO＜r。

直線與圓有3種位置關系：無公共點為相離；有兩個公共點為相交,這條直線叫做圓的割線；圓與直線有唯一公共點為相切，這條直線叫做圓的切線，這個唯一的公共點叫做切點。以直線AB與圓O為例（設OP⊥AB于P，則PO是AB到圓心的距離）：AB與⊙O相離，PO＞r；AB與⊙O相切，PO＝r；AB與⊙O相交，PO＜r。

兩圓之間有5種位置關系：無公共點的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內叫內含；有唯一公共點的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內叫內切；有兩個公共點的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為P：外離P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；內切P=R-r；內含P＜R-r。

【圓的平面幾何性質和定理】一有關圓的基本性質與定理

⑴圓的確定：不在同一直線上的三個點確定一個圓。

圓的對稱性質：圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形，其對稱中心是圓心。垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的2條弧。逆定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的2條弧。⑵有關圓周角和圓心角的性質和定理在同圓或等圓中，如果兩個圓心角，兩個圓周角，兩組弧，兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么他們所對應的其余各組量都分別相等。一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。⑶有關外接圓和內切圓的性質和定理

①一個三角形有唯一確定的外接圓和內切圓。外接圓圓心是三角形各邊垂直平分線的交點，到三角形三個頂點距離相等；

②內切圓的圓心是三角形各內角平分線的交點，到三角形三邊距離相等。③S三角=1/2*△三角形周長*內切圓半徑

④兩相切圓的連心線過切點（連心線：兩個圓心相連的線段）〖有關切線的性質和定理〗

圓的切線垂直于過切點的半徑；經過半徑的一端，并且垂直于這條半徑的直線，是這個圓的切線。

切線判定定理：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。

切線的性質：（1）經過切點垂直于這條半徑的直線是圓的切線。（2）經過切點垂直于切線的直線必經過圓心。（3）圓的切線垂直于經過切點的半徑。

切線長定理：從圓外一點到圓的兩條切線的長相等，那點與圓心的連線平分切線的夾角�！加嘘P圓的計算公式〗

1.圓的周長C=2πr=πd2.圓的面積S=πr^2;3.扇形弧長l=nπr/1804.扇形面積S=nπr^2;/360=rl/25.圓錐側面積S=πrl[編輯本段]【圓的解析幾何性質和定理】〖圓的解析幾何方程〗圓的標準方程：在平面直角坐標系中，以點O（a，b）為圓心，以r為半徑的圓的標準方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。

圓的一般方程：把圓的標準方程展開，移項，合并同類項后，可得圓的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和標準方程對比，其實D=-2a，E=-2b，F(xiàn)=a^2+b^2。圓的離心率e=0，在圓上任意一點的曲率半徑都是r�！紙A與直線的位置關系判斷〗

平面內，直線Ax+By+C=0與圓x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置關系判斷一般方法是：

1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成為一個關于x的一元二次方程f（x）=0。利用判別式b^2-4ac的符號可確定圓與直線的位置關系如下：如果b^2-4ac>0，則圓與直線有2交點，即圓與直線相交。如果b^2-4ac=0，則圓與直線有1交點，即圓與直線相切。如果b^2-4ac

圓冪定理（相交弦定理、切割線定理及其推論(割線定理)統(tǒng)稱為圓冪定理）

切線長定理

垂徑定理

圓周角定理

弦切角定理

四圓定理

3．在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等．

4．在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．

5．把整個圓周等分成360份，每一份弧是1°的�。畧A心角的度數(shù)和它所對的弧的度數(shù)相等．

6.圓是中心對稱圖形，即圓繞其對稱中心(圓心)旋轉180°后能夠與原來圖形重合，這一性質不難理解．圓和其他中心對稱圖形不同，它還具有旋轉不變性，即圍繞圓心旋轉任意一個角度，都能夠與原來的圖形重合．

7.垂徑定理垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧

8.（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧

（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

9.圓的兩條平行弦所夾的弧相等

10.(1)一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半.

(2)同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等.

(3)半圓(或直徑)所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.

(4)如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形.

11.(1)圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸.

(2)垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(3)平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.

(4)弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弦.

(5)平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧.

(6)圓的兩條平行弦所夾的弧度數(shù)相等.

12.圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸．

垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條�。�

13.平分弦(不是直徑)的直徑垂直與弦,并且平分弦所對的兩條弧.

14.在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦也相等,所對的弦的弦心距也相等.15.在同圓或等圓中,相等的弦所對的弧相等,所對的圓心角相等,所對的弦的弦心距也相等.16.同一個弧有無數(shù)個相對的圓周角.17.弧的比等于弧所對的圓心角的比.18.圓的內接四邊形的對角互補或相等.

19.不在同一條直線上的三個點能確定一個圓.20.直徑是圓中最長的弦.

21.一條弦把一個圓分成一個優(yōu)弧和一個劣弧.

補充：九點共圓定理

三角形三邊的中點，三條高的垂足，垂心與各頂點連線的中點這9點共圓.九點圓是幾何學史上的一個著名問題,最早提出九點圓的是英國的培亞敏.俾幾〔BenjaminBeven〕,問題發(fā)表在1804年的一本英國雜志上.第一個完全證明此定理的是法國數(shù)學家彭賽列〔1788-1867〕.也有說是1820-1821年間由法國數(shù)學家熱而工〔1771-1859〕與彭賽列首先發(fā)表的.一位高中教師費爾巴哈〔1800-1834〕也曾研究了九點圓,他的證明發(fā)表在1822年的《直邊三角形的一些特殊點的性質》一文里,文中費爾巴哈還獲得了九點圓的一些重要性質〔如下列的性質3〕,故有人稱九點圓為費爾巴哈圓.

九點圓具有許多有趣的性質,例如:

1.三角形的九點圓的半徑是三角形的外接圓半徑之半;

2.九點圓的圓心在歐拉線上,且恰為垂心與外心連線的中點;

3.三角形的九點圓與三角形的內切圓,三個旁切圓均相切〔費爾巴哈定理〕.

4.九點圓是一個垂心組共有的九點圓,所以九點圓共與四個內切圓,十二個旁切圓相切.5.九點圓心(V),重心(G),垂心(H),外心(O)四點共線且OG=2VGVO=2HO九點圓圓心的重心坐標的計算跟垂心、外心一樣麻煩。事先定義的變量與垂心、外心一樣：

d1,d2,d3分別是三角形三個頂點連向另外兩個頂點向量的點乘（句子很長^_^）。c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。

重心坐標：((2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c)。

擴展閱讀：初三《圓》章節(jié)知識點總結201*.11.4

《圓》章節(jié)知識點復習

《圓》章節(jié)知識點復習

一、圓的概念

集合形式的概念：1、圓可以看作是到定點的距離等于定長的點的集合；2、圓的外部：可以看作是到定點的距離大于定長的點的集合；3、圓的內部：可以看作是到定點的距離小于定長的點的集合軌跡形式的概念：

1、圓：到定點的距離等于定長的點的軌跡就是以定點為圓心，定長為半徑的圓；

（補充）2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫

中垂線）；

3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點的軌跡是這個角的平分線；

4、到直線的距離相等的點的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定長的兩條直線；

5、到兩條平行線距離相等的點的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離都相等的一條直線。

二、點與圓的位置關系

1、點在圓內dr點C在圓內；2、點在圓上dr點B在圓上；3、點在圓外dr點A在圓外；

三、直線與圓的位置關系

1、直線與圓相離dr無交點；2、直線與圓相切dr有一個交點；3、直線與圓相交dr有兩個交點；

ArBdCdOrdd=rrd

《圓》章節(jié)知識點復習

四、圓與圓的位置關系

外離（圖1）無交點dRr；外切（圖2）有一個交點dRr；相交（圖3）有兩個交點RrdRr；內切（圖4）有一個交點dRr；內含（圖5）無交點dRr；

dR圖1rRdr圖2dR圖3r

d

五、垂徑定理

圖4RrdrR圖5垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對的弧。

推論1：（1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條�。唬�2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧；

（3）平分弦所對的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧以上共4個定理，簡稱2推3定理：此定理中共5個結論中，只要知道其中2個即可推出其它3個結論，即：

①AB是直徑②ABCD③CEDE④弧BC弧BD⑤弧AC弧AD中任意2個條件推出其他3個結論。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即：在⊙O中，∵AB∥CD∴弧AC弧BD

COABCBADOED《圓》章節(jié)知識點復習

六、圓心角定理

圓心角定理：同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弦相等，所對的弧相等，弦心距相等。此定理也稱1推3定理，即上述四個結論中，

只要知道其中的1個相等，則可以推出其它的3個結論，即：①AOBDOE；②ABDE；

③OCOF；④弧BA弧BD

七、圓周角定理

1、圓周角定理：同弧所對的圓周角等于它所對的圓心的角的一半。即：∵AOB和ACB是弧AB所對的圓心角和圓周角∴AOB2ACB2、圓周角定理的推論：

推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧是等��；

即：在⊙O中，∵C、D都是所對的圓周角∴CD

推論2：半圓或直徑所對的圓周角是直角；圓周角是直角所對的弧是半圓，所對的弦是直徑。

即：在⊙O中，∵AB是直徑或∵C90∴C90∴AB是直徑

推論3：若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。

即：在△ABC中，∵OCOAOB

∴△ABC是直角三角形或C90

注：此推論實是初二年級幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半的逆定理。

BOACAODCEFBCBOADCBOACBOA《圓》章節(jié)知識點復習

八、圓內接四邊形

圓的內接四邊形定理：圓的內接四邊形的對角互補，外角等于它的內對角。即：在⊙O中，

CD∵四邊形ABCD是內接四邊形

∴CBAD180BD180DAEC

九、切線的性質與判定定理

（1）切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是切線；兩個條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即：∵MNOA且MN過半徑OA外端∴MN是⊙O的切線

OBAE（2）性質定理：切線垂直于過切點的半徑（如上圖）推論1：過圓心垂直于切線的直線必過切點。推論2：過切點垂直于切線的直線必過圓心。以上三個定理及推論也稱二推一定理：

即：①過圓心；②過切點；③垂直切線，三個條件中知道其中兩個條件就能推出最后一個。

十、切線長定理切線長定理：

從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角。

BMAN即：∵PA、PB是的兩條切線∴PAPB

POPO平分BPA

A《圓》章節(jié)知識點復習

十一、圓冪定理

（1）相交弦定理：圓內兩弦相交，交點分得的兩條線段的乘積相等。即：在⊙O中，∵弦AB、CD相交于點P，∴PAPBPCPD

（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項。

即：在⊙O中，∵直徑ABCD，∴CE2AEBE

（3）切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的兩條線段長的比例中項。即：在⊙O中，∵PA是切線，PB是割線∴PAPCPB

（4）割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等（如上圖）。

即：在⊙O中，∵PB、PE是割線∴PCPBPDPE

十二、兩圓公共弦定理

圓公共弦定理：兩圓圓心的連線垂直并且平分這兩個圓的公共弦。

如圖：O1O2垂直平分AB。

即：∵⊙O1、⊙O2相交于A、B兩點∴O1O2垂直平分AB十三、圓的公切線

兩圓公切線長的計算公式：

（1）公切線長：RtO1O2C中，AB2CO12O1O22CO22；

CO22BOPCADCBOEDAADPCOBEAO1BO2的

ABO1《圓》章節(jié)知識點復習

（2）外公切線長：CO2是半徑之差；內公切線長：CO2是半徑之和。十四、圓內正多邊形的計算（1）正三角形

在⊙O中△ABC是正三角形，有關計算在RtBOD中進行：

OD:BD:OB1:3:2；

BOACD

（2）正四邊形

同理，四邊形的有關計算在RtOAE中進行，OE:AE:OA1:1:2：

（3）正六邊形

同理，六邊形的有關計算在RtOAB中進行，AB:OB:OA1:3:2.

BOABODCE

十五、扇形、圓柱和圓錐的相關計算公式1、扇形：（1）弧長公式：lnR180AA；

OSl（2）扇形面積公式：SnR360212lR

Bn：圓心角R：扇形多對應的圓的半徑l：扇形弧長S：扇形面積

《圓》章節(jié)知識點復習

2、圓柱：

（1）圓柱側面展開圖

S表S側2S底=2rh2r2

（2）圓柱的體積：Vr2h

（2）圓錐側面展開圖

（1）S表S側S底=Rrr2（2）圓錐的體積：V13r2h

ADD1母線長底面圓周長BCC1B1ORCArB

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