七年級數(shù)學(xué)上冊第五章知識點歸納
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第五章、相交線與平行線知識點歸納
1.▲同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線之間的位置關(guān)系為_______或________(要注意:是“同一平面內(nèi)”)
2.兩條直線相交所成的四個角中,相鄰的兩個角叫做,特點是兩個角共用一條
邊,另一條邊互為反向延長線,性質(zhì)是;相對的兩個角叫做,特點是它們的兩條邊互為反向延長線,有一公共點。性質(zhì)是。P3例;P82題;P97題;P352(2);P353題3.▲兩條直線相交所成的四個角中,如果有一個角為90度,則稱這兩條直線互相。
其中一條直線叫做另外一條直線的,他們的交點稱為。直線a垂直于直線b,表示為。P3
4.做鈍角三角形的高:最長的邊上的高只要向最長邊引垂線即可,另外兩條邊上的高過邊所對的頂點向該邊的延長線做垂線。(要懂得怎么畫)
5.▲垂直公理:有且只有與已知直線垂直!咀⒁猓哼@里的“一點”可以是直線上,也可以是直線外】
6.▲連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,簡單地說成:垂線段最短;P67.點到直線的距離:。
8.兩條直線被第三條直線所截:(在兩條直線的同一旁,第三條直線的同一側(cè)),
(在兩條直線內(nèi)部,位于第三條直線兩側(cè)),(在兩條直線內(nèi)部,位于第三條直線同側(cè))。[選填:同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角]P7例、練習(xí)19.▲平行公理:有且只有一條直線與已知直線平行!咀⒁猓哼@里的
“一點”是直線外的一點】10.如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行。即:如果b//a,c//a,那么P174題11.▲平行線的判定。【注意:由兩角的關(guān)系推出兩直線的關(guān)系】
1),兩直線平行。
2),兩直線平行。
3),兩直線平行。P15例結(jié)論:在同一平面內(nèi),如果兩條直線都垂直于同一條直線,那么這兩條直線平行。
P15練習(xí);P177題;P368題。
12.▲平行線的性質(zhì)!咀⒁猓阂阎獌芍本的關(guān)系(平行)推出兩角的關(guān)系】
1)兩直線平行,。
2)兩直線平行,。
3)兩直線平行,。P21練習(xí)1,2;P236題13.★命題:“如果+題設(shè),那么+結(jié)論。”P22練習(xí)114.真命題、假命題(要理解。。㏄2411題;P3712題15.平移的性質(zhì):
1)把一個圖形整體沿某一直線方向移動,會得到一個新的圖形,新圖形與原圖形的形狀和大小完全相等。
2)新圖形中的每一點,都是原圖形的某一點移動后得到的,這兩個點是對應(yīng)點,連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等。P28歸納
擴展閱讀:第5章七年級數(shù)學(xué)(下)知識點整理
七年級數(shù)學(xué)(下)期末復(fù)習(xí)知識點整理
5.1相交線
1、鄰補角與對頂角
兩直線相交所成的四個角中存在幾種不同關(guān)系的角,它們的概念及性質(zhì)如下表:對頂角圖形21∠1與∠243∠3與∠4頂點有公共頂點邊的關(guān)系∠1的兩邊與∠2的兩邊互為反向延長線大小關(guān)系對頂角相等即∠1=∠2鄰補角有公共頂點∠3與∠4有一條邊公共,另一邊互為反向延長線!3+∠4=180°注意點:⑴對頂角是成對出現(xiàn)的,對頂角是具有特殊位置關(guān)系的兩個角;
⑵如果∠α與∠β是對頂角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α與∠β不一定是對頂角
⑶如果∠α與∠β互為鄰補角,則一定有∠α+∠β=180°;反之如果∠α+∠β=180°,則∠α與∠β不一定是鄰補角。
⑶兩直線相交形成的四個角中,每一個角的鄰補角有兩個,而對頂角只有一個。
2、垂線
⑴定義,當(dāng)兩條直線相交所成的四個角中,有一個角是直角時,就說這兩條直線互相垂直,其中的一條直線叫做另一條直線的垂線,它們的交點叫做垂足。符號語言記作:
C如圖所示:AB⊥CD,垂足為O
BAO
D⑵垂線性質(zhì)1:過一點有且只有一條直線與已知直線垂直(與平行公理相比較記)
⑶垂線性質(zhì)2:連接直線外一點與直線上各點的所有線段中,垂線段最短。簡稱:垂線段最短。
3、垂線的畫法:
⑴過直線上一點畫已知直線的垂線;⑵過直線外一點畫已知直線的垂線。
注意:①畫一條線段或射線的垂線,就是畫它們所在直線的垂線;②過一點作線段的垂線,垂足可在線段上,也可以在線段的延長線上。
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畫法:⑴一靠:用三角尺一條直角邊靠在已知直線上,⑵二移:移動三角尺使一點落在它的另一邊直角邊上,⑶三畫:沿著這條直角邊畫線,不要畫成給人的印象是線段的線。
4、點到直線的距離
直線外一點到這條直線的垂線段的長度,叫做點到直線的距離記得時候應(yīng)該結(jié)合圖形進(jìn)行記憶。P
BOA
如圖,PO⊥AB,同P到直線AB的距離是PO的長。PO是垂線段。PO是點P到直線AB所有線段中最短的一條。
現(xiàn)實生活中開溝引水,牽牛喝水都是“垂線段最短”性質(zhì)的應(yīng)用。
5、如何理解“垂線”、“垂線段”、“兩點間距離”、“點到直線的距離”這些相近而又相異的概念
分析它們的聯(lián)系與區(qū)別
⑴垂線與垂線段區(qū)別:垂線是一條直線,不可度量長度;垂線段是一條線段,可以度量長度。聯(lián)系:具有垂直于已知直線的共同特征。(垂直的性質(zhì))
⑵兩點間距離與點到直線的距離區(qū)別:兩點間的距離是點與點之間,點到直線的距離是點與直線之間。聯(lián)系:都是線段的長度;點到直線的距離是特殊的兩點(即已知點與垂足)間距離。
⑶線段與距離距離是線段的長度,是一個量;線段是一種圖形,它們之間不能等同。
5.2平行線
1、平行線的概念:
在同一平面內(nèi),不相交的兩條直線叫做平行線,直線a與直線b互相平行,記作a∥b。2、兩條直線的位置關(guān)系
在同一平面內(nèi),兩條直線的位置關(guān)系只有兩種:⑴相交;⑵平行。因此當(dāng)我們得知在同一平面內(nèi)兩直線不相交時,就可以肯定它們平行;反過來也一樣(這里,我們把重合的兩直線看成一條直線)
判斷同一平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系時,可以根據(jù)它們的公共點的個數(shù)來確定:①有且只有一個公共點,兩直線相交;②無公共點,則兩直線平行;
③兩個或兩個以上公共點,則兩直線重合(因為兩點確定一條直線)3、平行公理——平行線的存在性與惟一性
經(jīng)過直線外一點,有且只有一條直線與這條直線平行
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4、平行公理的推論:
如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線也互相平行
a如左圖所示,∵b∥a,c∥ab∴b∥c注意符號語言書寫,前提條件是兩直線都平行于第三條直線,才
c會結(jié)論,這兩條直線都平行。
5、三線八角
兩條直線被第三條直線所截形成八個角,它們構(gòu)成了同位角、內(nèi)錯角與同旁內(nèi)角。
l如圖,直線a,b被直線l所截
2134a
①∠1與∠5在截線l的同側(cè),同在被截直線a,b的上方,
65b78②∠5與∠3在截線l的兩旁(交錯),在被截直線a,b之間(內(nèi)),叫做內(nèi)錯角(位置在叫做同位角(位置相同)內(nèi)且交錯)
③∠5與∠4在截線l的同側(cè),在被截直線a,b之間(內(nèi)),叫做同旁內(nèi)角。
④三線八角也可以成模型中看出。同位角是“A”型;內(nèi)錯角是“Z”型;同旁內(nèi)角是“U”型。
6、如何判別三線八角
判別同位角、內(nèi)錯角或同旁內(nèi)角的關(guān)鍵是找到構(gòu)成這兩個角的“三線”,有時需要將有關(guān)的部分“抽出”或把無關(guān)的線略去不看,有時又需要把圖形補全。例如:
AD342
1567FBC89E
如圖,判斷下列各對角的位置關(guān)系:⑴∠1與∠2;⑵∠1與∠7;⑶∠1與∠BAD;⑷∠2與∠6;⑸∠5與∠8。
我們將各對角從圖形中抽出來(或者說略去與有關(guān)角無關(guān)的線),得到下列各圖。
如圖所示,不難看出∠1與∠2是同旁內(nèi)角;∠1與∠7是同位角;∠1與∠BAD是同旁內(nèi)角;∠2與∠6是內(nèi)錯角;∠5與∠8對頂角。
AAAD2AD26C1117BBBCFFB第3頁共7頁
AF58C
EB注意:圖中∠2與∠9,它們是同位角嗎?
不是,因為∠2與∠9的各邊分別在四條不同直線上,不是兩直線被第三條直線所截而成。
7、兩直線平行的判定方法
方法一兩條直線被第三條直線所截,如果同位角相等,那么這兩條直線平行簡稱:同位角相等,兩直線平行
方法二兩條直線被第三條直線所截,如果內(nèi)錯角相等,那么這兩條直線平行簡稱:內(nèi)錯角相等,兩直線平行
方法三兩條直線被第三條直線所截,如果同旁內(nèi)角互補,那么這兩條直線平行簡稱:同旁內(nèi)角互補,兩直線平行EA3B幾何符號語言:
4∵∠3=∠21∴AB∥CD(同位角相等,兩直線平行)C∵∠1=∠22D∴AB∥CD(內(nèi)錯角相等,兩直線平行)F∵∠4+∠2=180°
∴AB∥CD(同旁內(nèi)角互補,兩直線平行)
請同學(xué)們注意書寫的順序以及前因后果,平行線的判定是由角相等,然后得出平行。平行線的判定是寫角相等,然后寫平行。
注意:⑴幾何中,圖形之間的“位置關(guān)系”一般都與某種“數(shù)量關(guān)系”有著內(nèi)在的聯(lián)系,常由“位置關(guān)系”決定其“數(shù)量關(guān)系”,反之也可從“數(shù)量關(guān)系”去確定“位置關(guān)系”。上述平行線的判定方法就是根據(jù)同位角或內(nèi)錯角“相等”或同旁內(nèi)角“互補”這種“數(shù)量關(guān)系”,判定兩直線“平行”這種“位置關(guān)系”。
⑵根據(jù)平行線的定義和平行公理的推論,平行線的判定方法還有兩種:①如果兩條直線沒有交點(不相交),那么兩直線平行。②如果兩條直線都平行于第三條直線,那么這兩條直線平行。
典型例題:判斷下列說法是否正確,如果不正確,請給予改正:⑴不相交的兩條直線必定平行線。
⑵在同一平面內(nèi)不相重合的兩條直線,如果它們不平行,那么這兩條直線一定相交。⑶過一點可以且只可以畫一條直線與已知直線平行
解答:⑴錯誤,平行線是“在同一平面內(nèi)不相交的兩條直線”!霸谕黄矫鎯(nèi)”是一項重要條件,不能遺漏。⑵正確
⑶不正確,正確的說法是“過直線外一點”而不是“過一點”。因為如果這一點不在已知直線上,是作不出這條直線的平行線的。
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典型例題:如圖,根據(jù)下列條件,可以判定哪兩條直線平行,并說明判定的根據(jù)是什么?AD
123BFCE
解答:⑴由∠2=∠B可判定AB∥DE,根據(jù)是同位角相等,兩直線平行;⑵由∠1=∠D可判定AC∥DF,根據(jù)是內(nèi)錯角相等,兩直線平行;
⑶由∠3+∠F=180°可判定AC∥DF,根據(jù)同旁內(nèi)角互補,兩直線平行。
5.3平行線的性質(zhì)
1、平行線的性質(zhì):
性質(zhì)1:兩直線平行,同位角相等;性質(zhì)2:兩直線平行,內(nèi)錯角相等;性質(zhì)3:兩直線平行,同旁內(nèi)角互補。EA3B幾何符號語言:14∵AB∥CD
∴∠1=∠2(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)C∵AB∥CD2D∴∠3=∠2(兩直線平行,同位角相等)
F∵AB∥CD
∴∠4+∠2=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)2、兩條平行線的距離
如圖,直線AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,則稱線段EF的長度為兩平行線AB與CD間的距離。
GAEB
HDCF
注意:直線AB∥CD,在直線AB上任取一點G,過點G作CD的垂線段GH,則垂線段GH的長度也就是直線AB與CD間的距離。
3、命題:
⑴命題的概念:
判斷一件事情的語句,叫做命題。⑵命題的組成
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每個命題都是題設(shè)、結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項;結(jié)論是由已知事項推出的事項。命題常寫成“如果,那么”的形式。具有這種形式的命題中,用“如果”開始的部分是題設(shè),用“那么”開始的部分是結(jié)論。
有些命題,沒有寫成“如果,那么”的形式,題設(shè)和結(jié)論不明顯。對于這樣的命題,要經(jīng)過分析才能找出題設(shè)和結(jié)論,也可以將它們改寫成“如果,那么”的形式。注意:命題的題設(shè)(條件)部分,有時也可用“已知”或者“若”等形式表述;命題的結(jié)論部分,有時也可用“求證”或“則”等形式表述。
4、平行線的性質(zhì)與判定
①平行線的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系兩直線平行同位角相等;兩直線平行內(nèi)錯角相等;兩直線平行同旁內(nèi)角互補。
其中,由角的相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的條件,得到兩條直線平行(位置關(guān)系)這是平行線的判定;由平行線(位置關(guān)系)得到有關(guān)角相等或互補(數(shù)量關(guān)系)的結(jié)論是平行線的性質(zhì)。
典型例題:已知∠1=∠B,求證:∠2=∠C
A證明:∵∠1=∠B(已知)
∴DE∥BC(同位角相等,
2E兩直線平行)D1∴∠2=∠C(兩直線平行同位角相等)BC注意,在了DE∥BC,不需要再寫一次了,得到了DE∥BC,這可以把它當(dāng)作條件來用了。
典型例題:如圖,AB∥DF,DE∥BC,∠1=65°求∠2、∠3的度數(shù)
ADE23
1CFB解答:∵DE∥BC(已知)
∴∠2=∠1=65°(兩直線平行,內(nèi)錯角相等)∵AB∥DF(已知)∴AB∥DF(已知)
∴∠3+∠2=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補)∴∠3=180°-∠2=180°-65°=115°
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5.4平移
1、平移變換
①把一個圖形整體沿某一方向移動,會得到一個新的圖形,新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同。
②新圖形的每一點,都是由原圖形中的某一點移動后得到的,這兩個點是對應(yīng)點③連接各組對應(yīng)點的線段平行且相等2、平移的特征:
①經(jīng)過平移之后的圖形與原來的圖形的對應(yīng)線段平行(或在同一直線上)且相等,對應(yīng)角相等,圖形的形狀與大小都沒有發(fā)生變化。
②經(jīng)過平移后,對應(yīng)點所連的線段平行(或在同一直線上)且相等。
典型例題:如圖,△ABC經(jīng)過平移之后成為△DEF,那么:
⑴點A的對應(yīng)點是點_________;⑵點B的對應(yīng)點是點______。ADECFB⑶點_____的對應(yīng)點是點F;⑷線段AB的對應(yīng)線段是線段_______;⑸線段BC的對應(yīng)線段是線段_______;⑹∠A的對應(yīng)角是______。⑺____的對應(yīng)角是∠F。解答:
⑴D;⑵E;⑶C;⑷DE;⑸EF;⑹∠D;⑺∠ACB。
思維方式:利用平移特征:平移前后對應(yīng)線段相等,對應(yīng)點的連線段平行或在同一直線上解答。
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友情提示:本文中關(guān)于《七年級數(shù)學(xué)上冊第五章知識點歸納》給出的范例僅供您參考拓展思維使用,七年級數(shù)學(xué)上冊第五章知識點歸納:該篇文章建議您自主創(chuàng)作。
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