高中數(shù)學必修3知識點總結：第三章 概率

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高中數(shù)學必修3知識點總結

第三章概率

3.1.13.1.2隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件

nAA出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次

數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值n，它具有一定的穩(wěn)定

性，總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

3.1.3概率的基本性質

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A

∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

2、概率的基本性質：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事

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件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

3.2.13.2.2古典概型及隨機數(shù)的產生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；

②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P（A）=

A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個數(shù)

3.3.13.3.2幾何概型及均勻隨機數(shù)的產生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

（2）幾何概型的概率公式：

構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）的區(qū)域長度（面積或體積）P（A）=試驗的全部結果所構成；

（1）幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

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第三章概率

一、隨機事件的概率及概率的意義

1、基本概念：

（1）必然事件：在條件S下，一定會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的必然事件；（2）不可能事件：在條件S下，一定不會發(fā)生的事件，叫相對于條件S的不可能事件；（3）確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對于條件S的確定事件；

（4）隨機事件：在條件S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對于條件S的隨機事件；

（5）頻數(shù)與頻率：在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現(xiàn)，稱n次試驗中事件A出現(xiàn)的次數(shù)nA為事件

nAA出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件A出現(xiàn)的比例fn(A)=n為事件A出現(xiàn)的概率：對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次

數(shù)的增加，事件A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個常數(shù)上，把這個常數(shù)記作P（A），稱為事件A的概率。

nA（6）頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗總次數(shù)n的比值n，它具有一定的穩(wěn)定性，

總在某個常數(shù)附近擺動，且隨著試驗次數(shù)的不斷增多，這種擺動幅度越來越小。我們把這個常數(shù)叫做隨機事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率

二、概率的基本性質

1、基本概念：

（1）事件的包含、并事件、交事件、相等事件

（2）若A∩B為不可能事件，即A∩B=ф，那么稱事件A與事件B互斥；

（3）若A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，那么稱事件A與事件B互為對立事件；

（4）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A

∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)

2、概率的基本性質：

1）必然事件概率為1，不可能事件概率為0，因此0≤P(A)≤1；2）當事件A與B互斥時，滿足加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)；

3）若事件A與B為對立事件，則A∪B為必然事件，所以P(A∪B)=P(A)+P(B)=1，于是有P(A)=1P(B)；

4）互斥事件與對立事件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件A與事件B在一次試驗中不會同時發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時不發(fā)生，而對立事件是指事件A與事件B有且僅有一個發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對立事件互斥事件的特殊情形。

三、古典概型及隨機數(shù)的產生

1、（1）古典概型的使用條件：試驗結果的有限性和所有結果的等可能性。

（2）古典概型的解題步驟；①求出總的基本事件數(shù)；②求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式

P（A）=

A包含的基本事件數(shù)總的基本事件個數(shù)

四、幾何概型及均勻隨機數(shù)的產生

1、基本概念：

（1）幾何概率模型：如果每個事件發(fā)生的概率只與構成該事件區(qū)域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；

構成事件A的區(qū)域長度（面積或體積）（2）幾何概型的概率公式：P（A）=試驗的全部結果所構成的區(qū)域長度（面積或體積）；

幾何概型的特點：1）試驗中所有可能出現(xiàn)的結果（基本事件）有無限多個；2）每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等．

練習題一一、選擇題

1.給出下列四個命題：

①“三個球全部放入兩個盒子，其中必有一個盒子有一個以上的球”是必然事件②“當x為某一實數(shù)時可使x0”是不可能事件③“明天廣州要下雨”是必然事件

2④“從100個燈泡中取出5個，5個都是次品”是隨機事件，

其中正確命題的個數(shù)是（）A．0B.1C.2D.3

2.某人在比賽（沒有“和”局）中贏的概率為0.6，那么他輸?shù)母怕适?)A．0.4B.0.6C.0.36D.0.16

3.下列說法一定正確的是（）A．一名籃球運動員，號稱“百發(fā)百中”，若罰球三次，不會出現(xiàn)三投都不中的情況B．一枚硬幣擲一次得到正面的概率是

1，那么擲兩次一定會出現(xiàn)一次正面的情況2C．如買彩票中獎的概率是萬分之一，則買一萬元的彩票一定會中獎一元D．隨機事件發(fā)生的概率與試驗次數(shù)無關

4．某個班級內有40名學生，抽10名同學去參加某項活動，每個同學被抽到的概率是是（）A．4個人中必有一個被抽到B.每個人被抽到的可能性是C．由于抽到與不被抽到有兩種情況，不被抽到的概率為

1，其中解釋正確的4141D．以上說話都不正確45．投擲兩粒均勻的骰子，則出現(xiàn)兩個5點的概率為（）A．

1115B.C.D.

63618126．從{a,b,c,d,e}的所有子集中任取一個，這個集合恰是集合{a,b,c}的子集的概率是（）

A．

7、同時擲3枚硬幣，那么互為對立事件的是（）

3211B.C.D.5548

A.至少有1枚正面和最多有1枚正面B.最多1枚正面和恰有2枚正面

C.至多1枚正面和至少有2枚正面D.至少有2枚正面和恰有1枚正面

8.、某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個小組中任意選出一名組長，則其中一名女生小麗當選為組長的概率是___________

9、擲兩枚骰子，出現(xiàn)點數(shù)之和為3的概率是_____________

10、從含有兩件正品a,b和一件次品c的3件產品中每次任取一件，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產品中恰有一件是次品的概率.

（1）每次取出不放回；（2）每次取出后放回。

11、(10分)2．袋中有除顏色外完全相同的紅、黃、白三種顏色的球各一個，從中每次任取1個．有放回地抽取3次，求：

(1)、3個全是紅球的概率．(2)、3個顏色全相同的概率．(3)、3個顏色不全相同的概率．(4)、3個顏色全不相同的概率．12．（本題滿分15分）

某校從參加高一年級期中考試的學生中隨機抽取60名學生，將其數(shù)學成績（均為整數(shù)）分成六段

40,50，50,6090,100后得到如下部分頻率分布直方圖.觀察圖形的信息，回答下列問題：

(Ⅰ)求分數(shù)在70,80內的頻率，并補全這個頻率分布直方圖；

（Ⅱ）用分層抽樣的方法在分數(shù)段為

60,80的學生中抽取一個容量為6的樣本，

將該樣本看成一個總體，從中任取2人，求至多有1人在分數(shù)段70,80的概率.解析：（Ⅰ）分數(shù)在70,80內的頻率為：

第13題圖

1(0.0100.0150.0150.0250.005)10

10.70.3，故

0.30.03，10如圖所示：-----------------------6分（求頻率3分，作圖3分）

（Ⅱ）由題意，60,70分數(shù)段的人數(shù)為：0.156

人；----------------8分

70,80分數(shù)段的人數(shù)為：0.36018人；----------------10分

∵在60,80的學生中抽取一個容量為6的樣本，

∴60,70分數(shù)段抽取2人，分別記為m,n；70,80分數(shù)段抽取4人，分別記為a,b,c,d；設從樣本中任取2人，至多有1人在分數(shù)段70,80為事件A，則基本事件空間包含的基本事件有：(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、……、(c,d)共15種，則事件A包含的基本事件有：

(m,n)、(m,a)、(m,b)、(m,c)、(m,d)、(n,a)、(n,b)、(n,c)、(n,d)共9種，-----15分∴P(A)93．155

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