高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)總結(jié)歸納[1]
高中數(shù)學(xué)必修4知識(shí)點(diǎn)
14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移個(gè)單位長(zhǎng)度,得到函數(shù)再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮ysinx的圖象;短)到原來(lái)的
1倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)
ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮短)到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不
變),得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮短)到原來(lái)的得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx1倍(縱坐標(biāo)不變),
的圖象上所有點(diǎn)向左(右)平移
個(gè)單
位長(zhǎng)度,得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)(縮短)到原來(lái)的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì):
①振幅:;②周期:.
2;③頻率:f12;④相位:x;⑤初相:
函數(shù)ysinx,當(dāng)xx1時(shí),取得最小值為ymin;當(dāng)xx2時(shí),取得最大值為ymax,則周期問(wèn)題
yASinyACosyyyyASinACosASinACos12ymaxxymin,12ymaxymin,
2x2x1x1x2.
,A0,0,T,A0,0,T22
xx,A0,0,T2
xx,A0,0,Tb,A0,0,b0,Tb,A0,0,b0,TxyAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,T
yAtanx,A0,0,TyAcotx,A0,0,T15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):函
ycosx數(shù)ysinx性
質(zhì)ytanx
圖象定義域值域
RRxxk,k
2R1,1
當(dāng)x2k21,1
k當(dāng)x2kk時(shí),
ymax1;當(dāng)x2k
最值時(shí),ymax1;當(dāng)
x2k
21.
k時(shí),ymin1.
既無(wú)最大值也無(wú)最小
值k時(shí),ymin周期性奇偶性
22奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)
在2k2,2k2在2k,2kk單上是增函數(shù);在在k,k
22調(diào)k上是增函數(shù);在
2k,2k
性k上是增函數(shù).
3k上是減函數(shù).2k,2k
k上是減函數(shù).
對(duì)稱中心對(duì)
稱中心對(duì)稱中心對(duì)k,0k稱
對(duì)稱性
xk軸
k,0k2k,0k22k對(duì)稱軸xkk
無(wú)對(duì)稱軸
向量:
16、向量:既有大小,又有方向的量.?dāng)?shù)量:只有大小,沒(méi)有方向的量.
有向線段的三要素:起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度.
零向量:長(zhǎng)度為0的向量.
單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量.平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.17、向量加法運(yùn)算:
⑴三角形法則的特點(diǎn):首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn).
⑶三角形不等式:ababab.
⑷運(yùn)算性質(zhì):①交換律:abba;②結(jié)合律:abcabc;③
a00aa.
⑸坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.
C18、向量減法運(yùn)算:
⑴三角形法則的特點(diǎn):共起點(diǎn),連終點(diǎn),方向指向被減向量.
⑵坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.x,y設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為x1,y1","p":{"h":9.665,"w":4.429,"x":364.017,"y":977.426,⑵運(yùn)算律:①aa;②aaa;③abab.
⑶坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)ax,y,則ax,yx,y.
20、向量共線定理:向量aa0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù),使ba.
設(shè)ax1,y1,其中b0,則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時(shí),向量a、bb0bx2,y2,
共線.
21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)1、2,使a1e1(不共線的向量e1、e2作e.22為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)
22、分點(diǎn)坐標(biāo)公式:設(shè)點(diǎn)是線段12上的一點(diǎn),1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1,x2,y2,xx2y1y2當(dāng)12時(shí),點(diǎn)的坐標(biāo)是1,.
1123、平面向量的數(shù)量積:
⑴ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
abab;⑵性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①abab0.②當(dāng)a與b同向時(shí),22當(dāng)a與b反向時(shí),abab;aaaa或aaa.③abab.
⑶運(yùn)算律:①abba;②ababab;③abcacbc.
⑷坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè)兩個(gè)非零向量ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y2.
若ax,y,則a222xy,或axy.
22設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y20.
設(shè)a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a與b的夾角,則
abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222.
恒等變換:
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan(1tantantantantan1tantan)
;⑹tantantan(1tantantantantan1tantan).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincos.⑵
cos2cos2sin22cos2112sin2(cos2cos212sin21cos22).
⑶tan22tan1tan2.
26、sincos22sin,其中tan.
,
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高一數(shù)學(xué)必修1各章知識(shí)點(diǎn)總結(jié)
第一章集合與函數(shù)概念
一、集合有關(guān)概念1.集合的含義
2.集合的中元素的三個(gè)特性:
(1)元素的確定性如:世界上最高的山
(2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}(3)元素的無(wú)序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個(gè)集合3.集合的表示:{}如:{我校的籃球隊(duì)員},{太平洋,大西洋,印度洋,
北冰洋}
(1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊(duì)員},B={1,2,3,4,5}(2)集合的表示方法:列舉法與描述法。注意:常用數(shù)集及其記法:
非負(fù)整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N
正整數(shù)集N*或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實(shí)數(shù)集R
1)列舉法:{a,b,c}
2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來(lái),寫在大括號(hào)內(nèi)表示集合
的方法。{xR|x-3>2},{x|x-3>2}
3)語(yǔ)言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}4)Venn圖:
4、集合的分類:
(1)有限集含有有限個(gè)元素的集合(2)無(wú)限集含有無(wú)限個(gè)元素的集合
(3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2
=-5}二、集合間的基本關(guān)系1.“包含”關(guān)系子集
注意:AB有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。
反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)
實(shí)例:設(shè)A={x|x2
-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”即:①任何一個(gè)集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB,且AB那就說(shuō)集合A是集合B的真子集,記作AB(或
BA)
③如果AB,BC,那么AC④如果AB同時(shí)BA那么A=B
3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ
規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。
有n個(gè)元素的集合,含有2n個(gè)子集,2n-1
個(gè)真子集三、集合的運(yùn)算運(yùn)算交集并集補(bǔ)集類型定由所有屬于A且屬由所有屬于集合A或設(shè)S是一個(gè)集合,A是義于B的元素所組成屬于集合B的元素所S的一個(gè)子集,由S中的集合,叫做A,B的組成的集合,叫做A,B所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子交集.記作AB(讀的并集.記作:AB集A的補(bǔ)集(或余集)
1作‘A交B’),即(讀作‘A并B’),記作CSA,即AB={x|xA,且即AB={x|xA,xB}.或xB}).CSA={x|xS,且xA}韋恩ABABS圖A示圖1圖2性AA=AAA=A(CuA)(CuB)AΦ=ΦA(chǔ)Φ=A=Cu(AB)AB=BAAB=BAABAABA(CuA)(CuB)質(zhì)ABBABB=Cu(AB)A(CuA)=UA(CuA)=Φ.
例題:
1.下列四組對(duì)象,能構(gòu)成集合的是()
A某班所有高個(gè)子的學(xué)生B著名的藝術(shù)家C一切很大的書D倒數(shù)等于它自身的實(shí)數(shù)2.集合{a,b,c}的真子集共有個(gè)
3.若集合M={y|y=x2
-2x+1,xR},N={x|x≥0},則M與N的關(guān)系是.4.設(shè)集合A=x1x2,B=xxa,若AB,則a的取值范圍是5.50名學(xué)生做的物理、化學(xué)兩種實(shí)驗(yàn),已知物理實(shí)驗(yàn)做得正確得有人,化學(xué)實(shí)驗(yàn)做得正確得有31人,
兩種實(shí)驗(yàn)都做錯(cuò)得有4人,則這兩種實(shí)驗(yàn)都做對(duì)的有人。
6.用描述法表示圖中陰影部分的點(diǎn)(含邊界上的點(diǎn))組成的集合M=.
7.已知集合A={x|x2+2x-8=0},B={x|x2
-5x+6=0},C={x|x2-mx+m2
-19=0},若B∩C≠Φ,A∩C=Φ,求m的值
二、函數(shù)的有關(guān)概念
1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對(duì)應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個(gè)函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對(duì)應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.注意:
1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實(shí)數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。求函數(shù)的定義域時(shí)列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;
(2)偶次方根的被開(kāi)方數(shù)不小于零;(3)對(duì)數(shù)式的真數(shù)必須大于零;
(4)指數(shù)、對(duì)數(shù)式的底必須大于零且不等于1.
40(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過(guò)四則運(yùn)算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零,
(7)實(shí)際問(wèn)題中的函數(shù)的定義域還要保證實(shí)際問(wèn)題有意義.
相同函數(shù)的判斷方法:①表達(dá)式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無(wú)關(guān));②定義域一致(兩點(diǎn)必須同時(shí)具備)(見(jiàn)課本21頁(yè)相關(guān)例2)2.值域:先考慮其定義域(1)觀察法(2)配方法(3)代換法
3.函數(shù)圖象知識(shí)歸納
(1)定義:在平面直角坐標(biāo)系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標(biāo),函數(shù)值y為縱坐標(biāo)的點(diǎn)P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點(diǎn)的坐標(biāo)(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過(guò)來(lái),以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對(duì)x、y為坐標(biāo)的點(diǎn)(x,y),均在C上.(2)畫法A、描點(diǎn)法:B、圖象變換法
常用變換方法有三種1)平移變換2)伸縮變換3)對(duì)稱變換4.區(qū)間的概念
(1)區(qū)間的分類:開(kāi)區(qū)間、閉區(qū)間、半開(kāi)半閉區(qū)間(2)無(wú)窮區(qū)間
(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.5.映射
一般地,設(shè)A、B是兩個(gè)非空的集合,如果按某一個(gè)確定的對(duì)應(yīng)法則f,使對(duì)于集合A中的任意一個(gè)元素x,在集合B中都有唯一確定的元素y與之對(duì)應(yīng),那么就稱對(duì)應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個(gè)映射。記作“f(對(duì)應(yīng)關(guān)系):A(原象)B(象)”對(duì)于映射f:A→B來(lái)說(shuō),則應(yīng)滿足:
(1)集合A中的每一個(gè)元素,在集合B中都有象,并且象是唯一的;(2)集合A中不同的元素,在集合B中對(duì)應(yīng)的象可以是同一個(gè);(3)不要求集合B中的每一個(gè)元素在集合A中都有原象。6.分段函數(shù)
(1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達(dá)式的函數(shù)。(2)各部分的自變量的取值情況.
(3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.補(bǔ)充:復(fù)合函數(shù)
如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。
二.函數(shù)的性質(zhì)
1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))(1)增函數(shù)
設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1,x2,當(dāng)x1>f(x2),那么就說(shuō)f(x)在這個(gè)區(qū)間上是減函數(shù).區(qū)間D稱為y=f(x)的單調(diào)
減區(qū)間.
注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);(2)圖象的特點(diǎn)
如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說(shuō)函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴(yán)格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的.(3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法(A)定義法:
○1任取x1,x2∈D,且x1○
3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲担喝绻瘮(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最大值f(b);
如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);例題:
1.求下列函數(shù)的定義域:⑴yx22x15⑵x33y1(x12x1)2.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇0,1],則函數(shù)f(x2)的定義域?yàn)開(kāi)_
3.若函數(shù)f(x1)的定義域?yàn)閇2,3],則函數(shù)f(2x1)的定義域是
4.函數(shù)x2(x1)f(x)x2(1x2),若f(x)3,則x=2x(x2)5.求下列函數(shù)的值域:
⑴yx22x3(xR)⑵yx22x3x[1,2](3)yx12x(4)yx24x56.已知函數(shù)f(x1)x24x,求函數(shù)f(x),f(2x1)的解析式7.已知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f(x)3x4,則f(x)=。
8.設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù),且當(dāng)x[0,)時(shí),f(x)x(13x),則當(dāng)x(,0)時(shí)f(x)=f(x)在R上的解析式為9.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:
⑴yx22x3⑵yx22x3⑶yx26x110.判斷函數(shù)yx31的單調(diào)性并證明你的結(jié)論.
11.設(shè)函數(shù)2f(x)1x判斷它的奇偶性并且求證:x2f(1x)f(x).
1第二章基本初等函數(shù)
一、指數(shù)函數(shù)
(一)指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算
1.根式的概念:一般地,如果xna,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,
且n∈N*
.負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作n00。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),nana,當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),nan|a|a(a0)a(a0)
2.分?jǐn)?shù)指數(shù)冪
正數(shù)的分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:
mannam(a0,m,nN*,n1),
amn1m11)
anm(a0,m,nN*,nna0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義3.實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)
(1)ararars
(a0,r,sR);(2)(ar)sars
(a0,r,sR);
(3)
(ab)raras(a0,r,sR).(二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)
1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)yax(a0,且a1)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域?yàn)镽.
注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負(fù)數(shù)、零和1.2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10兩個(gè)重要對(duì)數(shù):
○1常用對(duì)數(shù):以10為底的對(duì)數(shù)lgN;○
2自然對(duì)數(shù):以無(wú)理數(shù)e2.71828為底的對(duì)數(shù)的對(duì)數(shù)lnN.指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化
冪值真數(shù)
ab=NlogaN=b
底數(shù)指數(shù)對(duì)數(shù)(二)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)
如果a0,且a1,M0,N0,那么:○
1loga(MN)logaM+logaN;○
2logMaNlogaM-logaN;○
3lognaMnlogaM(nR).注意:換底公式
logcbabloglog(a0,且a1;c0,且c1;b0).
ca利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論(1)logn1ambnmlogab;(2)logablog.ba(二)對(duì)數(shù)函數(shù)
1、對(duì)數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù)ylogax(a0,且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).注意:○1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:y2log2x,ylogx5都不是對(duì)數(shù)函數(shù),而只能稱其為對(duì)數(shù)型函數(shù).
5○
2對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)底數(shù)的限制:(a0,且a1).2、對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì):a>10(三)冪函數(shù)
1、冪函數(shù)定義:一般地,形如yx(aR)的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).
2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.
(1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過(guò)點(diǎn)(1,1);
(2)0時(shí),冪函數(shù)的圖象通過(guò)原點(diǎn),并且在區(qū)間[0,)上是增函數(shù).特別地,當(dāng)1時(shí),冪函數(shù)的圖象下凸;當(dāng)01時(shí),冪函數(shù)的圖象上凸;
(3)0時(shí),冪函數(shù)的圖象在區(qū)間(0,)上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當(dāng)x從右邊趨向原點(diǎn)時(shí),圖象在y軸右方無(wú)限地逼近y軸正半軸,當(dāng)x趨于時(shí),圖象在x軸上方無(wú)限地逼近x軸正半軸.例題:1.已知a>0,a
0,函數(shù)y=ax與y=loga(-x)的圖象只能是()
2.計(jì)算:①log1322;log272loglog;②24log3=253552=;
2764③0.06413(7)0[(2)3]413160.750.012=83.函數(shù)y=log2
1(2x-3x+1)的遞減區(qū)間為
24.若函數(shù)f(x)logax(0a1)在區(qū)間[a,2a]上的最大值是最小值的3倍,則a=5.已知f(x)log1x(a0且a1),(1)求f(x)的定義域(2)求使f(x)0的x的取值范圍a1x第三章函數(shù)的應(yīng)用
一、方程的根與函數(shù)的零點(diǎn)
1、函數(shù)零點(diǎn)的概念:對(duì)于函數(shù)yf(x)(xD),把使f(x)0成立的實(shí)數(shù)
x叫做函數(shù)yf(x)(xD)的零點(diǎn)。
2、函數(shù)零點(diǎn)的意義:函數(shù)yf(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)0實(shí)數(shù)根,亦即函數(shù)yf(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。
即:方程f(x)0有實(shí)數(shù)根函數(shù)yf(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)函數(shù)yf(x)有零點(diǎn).
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