高中數(shù)學(xué)人教版必修4知識點總結(jié)
高中數(shù)學(xué)必修4知識點
正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角
2、角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
k360第一象限角的集合為
k36090,k
k36090第二象限角的集合為
k360180,kk360180第三象限角的集合為
k360270,kk360270第四象限角的集合為
k360360,kk180,kx終邊在軸上的角的集合為
k18090,k
終邊在y軸上的角的集合為
k90,k
終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為
k360,k3、與角終邊相同的角的集合為
4、已知是第幾象限角,確定
nn*所在象限的方法:先把各象限均分n等份,再從x軸的正半軸的上方起,
依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為n終邊所落在的區(qū)域.
5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.
6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是
lr.
180157.31180,7、弧度制與角度制的換算公式:2360,.
8、若扇形的圓心角為
為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則
lr,C2rl,
11Slrr222.
9、設(shè)是一個任意大小的角,的終邊上任意一點的坐標(biāo)是
x,y,它與原點的距離是
rrx2y20,
sin則
yxycostanx0r,r,x.
110、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.11、三角函數(shù)線:sin,cos,tan.
yPTOMAx1sin2cos2112、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:
sin21cos,cos1sin2222cos;
sintan
sinsintancos,costan.13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:
1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.
5sincoscossin22,.
6sincoscossin22,.
口訣:正弦與余弦互換,符號看象限.
ysinx14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)的圖象;再將函數(shù)
1ysinxysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)的
圖象;再將函數(shù)
ysinx的圖象.
的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
ysinx1函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)
ysinxysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)
的圖象;再將函數(shù)數(shù)
ysinx的圖象.
的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函
ysinx函數(shù)
ysinx0,0的性質(zhì):
①振幅:;②周期:函數(shù)
2;③頻率:
,當(dāng)
f12;④相位:x;⑤初相:.
ymin;當(dāng)
ysinxxx1時,取得最小值為
xx2時,取得最大值為
ymax,則
1ymaxy2函數(shù)min,
1x2x1x1x2ymaxymin2,2.
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):性質(zhì)ysinxycosxytanx圖象定義域RRxxk,k2值域1,1x2k當(dāng)1,1當(dāng)R2k時,x2kk時,ymax1;當(dāng)x2k既無最大值也無最小值最值ymax1x2k;當(dāng)2k時,ymin1.k時,ymin1.周期性奇偶性2奇函數(shù)2偶函數(shù)奇函數(shù)2k,2k22在k上是增函數(shù);在單調(diào)性在2k,2kk上是32k,2k22增函數(shù);在2k,2kk,k22在k上是減函數(shù).k上是增函數(shù).k上是減函數(shù).對稱中心對稱性k,0k2k,0k2對稱中心對稱軸xk對稱軸
kk,0k2對稱中心無對稱軸3
xkk16、向量:既有大小,又有方向的量.?dāng)?shù)量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.零向量:長度為0的向量.
單位向量:長度等于1個單位的向量.
平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算:
⑴三角形法則的特點:首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點:共起點.
⑶三角形不等式:
ababababcabc⑷運算性質(zhì):①交換律:abba;②結(jié)合律:;③a00aa.
abx1x2,y1y2ax1,y1bx2,y2C
.⑸坐標(biāo)運算:設(shè),,則.
18、向量減法運算:
⑴三角形法則的特點:共起點,連終點,方向指向被減向量.⑵坐標(biāo)運算:設(shè)
ax1,y1,
bx2,y2,則
abx1x2,y1y2x1x2y,1y2a
.b設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為19、向量數(shù)乘運算:
x1,y1,x2,y2,則.
abCC
aa⑴實數(shù)與向量的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作.
①aa;
②當(dāng)0時,a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時,a的方向與a的方向相反;當(dāng)0時,a0.
⑵運算律:①
aaax,y;②
aaa;③.
abab.
⑶坐標(biāo)運算:設(shè),則
ax,yx,y20、向量共線定理:向量
aa0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù),使ba.
bb0x1y2x2y10b0a設(shè),,其中,則當(dāng)且僅當(dāng)時,向量、共線.e1e2a21、平面向量基本定理:如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量,有且
a1e12e2e1e212ax1,y1bx2,y2只有一對實數(shù)
、,使.(不共線的向量、作為這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)
22、分點坐標(biāo)公式:設(shè)點是線段
12上的一點,
1、
2的坐標(biāo)分別是
x1,y1,x2,y2,當(dāng)
12時,
x1x2y1y2,11.點的坐標(biāo)是
23、平面向量的數(shù)量積:⑴
ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
abab⑵性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①abab0.②當(dāng)a與b同向時,;當(dāng)a與b反向時,22ababababaaaaaaa;
或.③.
abcacbcababab⑶運算律:①abba;②;③.
ax1,y1bx2,y2abx1x2y1y2⑷坐標(biāo)運算:設(shè)兩個非零向量若
,,則.
ax,y,則
2ax2y2,或
ax2y2.設(shè)ax1,y1,
bx2,y2bx,yax,y2211設(shè)a、b都是非零向量,,,是a與b的夾角,則
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴⑶
abx1x2y1y20,則.x1x2y1y2abcos22abx12y12x2y2.
coscoscossinsinsinsincoscossin;⑵;⑷
coscoscossinsinsinsincoscossin;;
tan⑸
tantan1tantan(tantantan1tantan);tantan1tantan(tantantan1tantan).
tan⑹
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:⑴sin22sincos.
⑵cos2cos2sin22cos2112sin2(
cos2cos211cos2sin222,).
tan2⑶
2tan1tan2.
2226、
sincossintan,其中
.擴展閱讀:高一數(shù)學(xué)必修4知識點總結(jié)
高一數(shù)學(xué)必修4知識點
正角:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角1、任意角負(fù)角:按順時針方向旋轉(zhuǎn)形成的角
零角:不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角2、角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,終邊落在第幾象限,則稱為第幾象限角.
第一象限角的集合為k360k36090,k第二象限角的集合為k36090k360180,k第三象限角的集合為k360180k360270,k第四象限角的集合為k360270k360360,k終邊在x軸上的角的集合為k180,k終邊在y軸上的角的集合為k18090,k終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為k90,k3、與角終邊相同的角的集合為k360,k4、已知是第幾象限角,確定
nnn所在象限的方法:先把各象限均分n等
*份,再從x軸的正半軸的上方起,依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四,則原來是第幾象限對應(yīng)的標(biāo)號即為
終邊所落在的區(qū)域.
lr5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度.
6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l,則角的弧度數(shù)的絕對值是1807、弧度制與角度制的換算公式:2360,1,157.3.180.
8、若扇形的圓心角為為弧度制,半徑為r,弧長為l,周長為C,面積為S,則lr,C2rl,S12lr12r.
29、設(shè)是一個任意大小的角,的終邊上任意一點的坐標(biāo)是x,y,它與原點的距離是rrxy022,則sinyr,cosxr,tanyxx0.
10、三角函數(shù)在各象限的符號:第一象限全為正,第二象限正弦為正,第三象限正切為正,第四象限余弦為正.
11、三角函數(shù)線:sin,cos,tan.12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系:1sincos1
22yPTsin1cos,cos1sin2222;2sincostan
OvMAxsinsintancos,cos.
tan13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式:
1sin2ksin,cos2kcos,tan2ktank.2sinsin,coscos,tantan.3sinsin,coscos,tantan.4sinsin,coscos,tantan.
口訣:函數(shù)名稱不變,符號看象限.
5sincos2cos2,cossin2.
6sin,cossin2.
口訣:奇變偶不變,符號看象限.
14、函數(shù)ysinx的圖象上所有點向左(右)平移個單位長度,得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮
短)到原來的
1倍(縱坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)
ysinx的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),
得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的得到函數(shù)
ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx1倍(縱坐標(biāo)不變),
的圖象上所有點向左(右)平移
個單位
長度,得到函數(shù)ysinx的圖象;再將函數(shù)ysinx的圖象上所有點
的縱坐標(biāo)伸長(縮短)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變),得到函數(shù)ysinx的圖象.
函數(shù)ysinx0,0的性質(zhì):
①振幅:;②周期:.
2;③頻率:f12;④相位:x;⑤初相:
函數(shù)ysinx,當(dāng)xx1時,取得最小值為ymin;當(dāng)xx2時,取得最大值為ymax,則12ymaxymin,12ymaxymin,
2x2x1x1x2.
15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì):函ycosx
性質(zhì)
數(shù)ysinxytanx
圖象
定義域值域
RRxxk,k
2R1,1
當(dāng)x2k21,1
k當(dāng)x2kk時,
ymax1;當(dāng)x2k
最值時,ymax1;當(dāng)
x2k
既無最大值也無最小值
21.
k時,ymin1.
k時,ymin2周
期性奇奇函數(shù)偶性單
調(diào)在2k,2k
22性
2偶函數(shù)奇函數(shù)
在2k,2kk上是
增函-3-在k2,k數(shù);在
k上是增函數(shù);在2k,2k
32k,2k22k上是增函數(shù).
k上是減函數(shù).
k上是減函數(shù).
對稱中心k,0k對
對稱軸稱
性xkk
2對稱中心
對稱中心
k,0k
2k,0k2對稱軸xkk
無對稱軸
16、向量:既有大小,又有方向的量.?dāng)?shù)量:只有大小,沒有方向的量.
有向線段的三要素:起點、方向、長度.
零向量:長度為0的向量.
單位向量:長度等于1個單位的向量.平行向量(共線向量):方向相同或相反的非零向量.零向量與任一向量平行.相等向量:長度相等且方向相同的向量.17、向量加法運算:
⑴三角形法則的特點:首尾相連.⑵平行四邊形法則的特點:共起點.
⑶三角形不等式:ababab.
⑷運算性質(zhì):①交換律:abba;②結(jié)合律:abcabc;③
a00aa.
⑸坐標(biāo)運算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.
Ca18、向量減法運算:
⑴三角形法則的特點:共起點,連終點,方向指向被減向量.
⑵坐標(biāo)運算:設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2,y1y2.設(shè)、兩點的坐標(biāo)分別為x1,y1,x2,y2,則x1x2y,1y2
b.abCC
19、向量數(shù)乘運算:
⑴實數(shù)與向量a的積是一個向量的運算叫做向量的數(shù)乘,記作a.
①aa;
②當(dāng)0時,a的方向與a的方向相同;當(dāng)0時,a的方向與a的方向相反;當(dāng)0時,a0.
⑵運算律:①aa;②aaa;③abab.
⑶坐標(biāo)運算:設(shè)ax,y,則ax,yx,y.
20、向量共線定理:向量aa0與b共線,當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個實數(shù),使ba.
設(shè)ax1,y1,bx2,y2,其中b0,則當(dāng)且僅當(dāng)x1y2x2y10時,向量a、bb0共線.
21、平面向量基本定理:如果e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a,有且只有一對實數(shù)1、2,使a1e12e2.(不共線的向量e1、e2作為
這一平面內(nèi)所有向量的一組基底)
22、分點坐標(biāo)公式:設(shè)點是線段12上的一點,1、2的坐標(biāo)分別是x1,y1,x2,y2,xx2y1y2當(dāng)12時,點的坐標(biāo)是1,.
1123、平面向量的數(shù)量積:
⑴ababcosa0,b0,0180.零向量與任一向量的數(shù)量積為0.
⑵性質(zhì):設(shè)a和b都是非零向量,則①abab0.②當(dāng)a與b同向時,abab;22當(dāng)a與b反向時,abab;aaaa或aaa.③abab.
⑶運算律:①abba;②ababab;③abcacbc.
⑷坐標(biāo)運算:設(shè)兩個非零向量ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y2.
若ax,y,則a222xy,或axy.
22設(shè)ax1,y1,bx2,y2,則abx1x2y1y20.
設(shè)a、b都是非零向量,ax1,y1,bx2,y2,是a與b的夾角,則
abcosabx1x2y1y2xy2121xy2222.
24、兩角和與差的正弦、余弦和正切公式:⑴coscoscossinsin;
⑵coscoscossinsin;⑶sinsincoscossin;⑷sinsincoscossin;⑸tantantan1tantantantan1tantan(tantantan1tantan);
⑹tan(tantantan1tantan).
25、二倍角的正弦、余弦和正切公式:
⑴sin22sincos.⑵
2cos2cossin2cos112sin1cos222222(cos2cos212,
sin).
⑶tan22tan1tan2.
26、sincossin,其中tan22.
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