數(shù)學新課程數(shù)學標準必修4知識點總結
第一章三角函數(shù)(約16課時)1.任意角、弧度
了角任意角的概念和弧度制,能進行弧度與角度的互化。2.三角函數(shù)
(1)借助單位圓理解任意角三角函數(shù)(正弦、余弦、正切)的定義;(2)借助單位圓中的三角函數(shù)線推導出誘導公式(
2,的正弦、余
弦、正切),能畫出的圖象ysinx,ycosx,ytanx,了解三角函數(shù)的周期性;
(3)借助圖象理解正弦函數(shù)、余弦函數(shù)在[0,2],正切函數(shù)在(性質(即單調性、最大和最小值、圖象與軸交點)
(4)理解同角三角函數(shù)的基本關系式:
,)上的22sin2xcos2x1,sinxtanxcosx(5)結合具體實例,了解yAsin(x)的實際意義;能借助計算器或計
算機畫出yAsin(x)的圖象,觀察參數(shù)A,,對函數(shù)變化的影
響;
(6)會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題,體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)
象的重要函數(shù)模型。
第二章平面向量(約12課時)1.平面向量的實際背景及基本概念
通過力和力的分析等實例,了解向量的實際背景,理解平面向量和向量相等的含義,理解向量的幾何意義。2.向量的線性運算
(1)通過實例,掌握向量加、減法的運算,并理解其幾何意義;
(2)通過實例,掌握向量數(shù)乘的運算,并理解其幾何意義,以及兩個向量共
線的含義;
(3)了解向量的線性運算性質及其幾何意義;3.平面向量的基本定理及其幾何意義
(1)了解平面向量的基本定理及其意義;(2)掌握平面向量的正交分解及其坐標表示;(3)會用坐標表示平面向量的加、減與數(shù)乘運算;(4)理解用坐標表示的平面向量共線的條件。
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4.平面向量的數(shù)量積
(1)通過物理中“功”等實例,理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義;、(2)體會平面向量的數(shù)量積與向量投影的關系;
(3)掌握數(shù)量積的坐標表達式,會進行平面向量數(shù)量積的運算;
(4)能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角,會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂
直關系。
5.向量的應用
經歷用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題、力學問題與其他一些實際問題的過程,體會向量是一種處理幾何問題、物理問題等的工具,發(fā)展運算能力和解決實際問題的能力。
第三章三角恒等變換(約8課時)
1.經歷用向量的數(shù)量積推導出兩角關匠余弦公式的過程,進一步體會向量方法
的作用;
2.能從兩角差的余弦公式化導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式,二倍角
的正弦、余弦、正切公式,了解它們的內在聯(lián)系;
3.能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括引導導出積化和差、和差化積、
半角公式,但不要求記憶)參考例題
例1海水受日月的引力,在一定的時候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮,一般地早潮叫潮,晚潮叫汐。在通常情況下,船在漲潮時駛進航道,靠近船塢;卸貨后落潮時返回海洋。下面是某港口在某季節(jié)每天的時間與水深關系表:時刻0:003:006:00水深/米5.07.55.0時刻9:0012:0015:00水深/米2.55.07.5時刻18:0021:0024:00水深/米5.02.55.0(1)選用一個三角函數(shù)來近似描述這個港口的水深與時間的函數(shù)關系,給出
整點時的水深的近似數(shù)值;
(2)一條貨船的吃水深度(船底與水面的距離)為4米,安全條例規(guī)定至少
要有1.5米的安全間隙(船底與洋底的距離),該船何時能進入港口?在港口能呆多久?
(3)若某船的吃水深度為4米,安全間隙為1.5米,該船在2:00開始卸貨,
吃水深度以每小時0.3米的速度減少,那么該船在什么時間必須停止卸貨,將船駛向較深的水域?
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數(shù)學必修4知識小結
第一章《三角函數(shù)》
一,任意角與弧度制
1,角的定義:一條射線繞著頂點旋轉到另一個位置所成的圖形。逆時針方向旋轉為正角,順時針方向旋轉為負角,不作任何旋轉形成零角。2,角的象限:角的頂點與原點重合,角的始邊與x軸的非負半軸重合,則角的終邊落在哪一個象限,這個角就稱為哪一象限的角。第一象限的角2k,2k,kZ,第二象限的角2k,2k,kZ,22332k,kZ,第四象限的角2k,22k,kZ,22第三象限的角2k,3,所有與角終邊相同的角的集合:S|2k,kZ
4,弧度制:如果半徑為r的圓的圓心角所對的弧長為l,那么角的弧度數(shù)的絕對值是弧度與角度的互化:180radlr1180rad121801rad
12r其中,r,l分別為扇形的圓心角弧25,弧長公式:lr扇形的面積公式:S扇形=rl度、半徑、弧長
強化訓練:
1,已知角是第二象限角,試確定角2,
的終邊所在的位置22,(1)若角與角的終邊關于x軸對稱,則與的關系是_____________________
(2)若角與角的終邊關于原點對稱,則與的關系是_____________________
3,如圖所示,試分別表示終邊落在陰影區(qū)域的角
4,若角是第四象限角,則是第_______象限角
5,在扇形中,已知半徑為8,弧長為12,則圓心角是_________弧度,扇形面積是__________6,已知一扇形的周長為40cm,當它的半徑和圓心角各取多少時,才能使扇形的面積最大?最大面
積為多少?
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二,任意角的三角函數(shù)1,三角函數(shù)的第一定義:設是一個任意角,它的終邊與單位圓交于點Px,y則siny,cosx,tanyx2,三角函數(shù)的第二定義:設是一個任意角,在角的終邊上任取一點P(x,y),令OPr則sinyxy,cos,tanrrx113,三角函數(shù)線:有向線段MP,OM,AT分別為角的正弦線,余弦線,正切線,合稱三角函數(shù)線。
4,同角三角函數(shù)關系平方關系:sincos1商數(shù)關系:22PPTMOAT2OM4A264-1-1sintan(k,kZ)cos25,sina與cos,sina與cos的大小關系
角的終邊在陰影部分內,則sincos
角的終邊在陰影部分外,則sincos
角的終邊在陰影部分內,則sincos
角的終邊在陰影部分外,則sincos
強化訓練
1,已知角的終邊上有一點P3a,4a,分別求sin,cos,tan的值2,已知cos0,tan0,試判斷角所在的象限
3,在0,2內,使sincos成立的的取值范圍是_____________4,化簡:12sin5cos5_____________5,已知sin1,且角為鈍角,求cos,tan的值36,已知tan2,求sin,cos的值
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7,已知tan2,求下列各式的值
1)
sin2cos222)sin3cossin2cos
3cos4sin8,已知sincos7,0,求1)sincos2)sincos3)tan54
三,三角函數(shù)的誘導公式
公式一:sin2ksin,cos2kcos,tan2ktan公式二:sin+-sin,cos+-cos,tan+tan公式三:sinsin,coscos,tantan公式四:sinsin,coscos,tantan公式五:sincos,cossin
22公式六:sin+cos,cos+-sin
22誘導公式的規(guī)律:奇變偶不變,符號看象限。
k,kZ的三角函數(shù)值可化為角的三角函數(shù)值。(當k為奇數(shù)時,函數(shù)名改變;當k2k,kZ所在象為偶數(shù)時,函數(shù)名不變。角的函數(shù)值前面加上視為銳角時,原函數(shù)值在2意思是:限內的符號。)
強化訓練:
1,求下列各三角函數(shù)的值(1)sin(945)(2)tan35331(3)3sin1200coscos585tan346的值2,(1)已知sin15,求sin233(2)已知cos3,已知
4m,求sin的值631tan322,求cos2sincos2sin2的值
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四,三角函數(shù)的圖像和性質
1,正弦函數(shù):ysinx的性質
1)定義域為R,值域為1,12)最小正周期為23)單調性單調增區(qū)間4)奇偶性奇函數(shù)
5)對稱性對稱軸:直線x2,余弦函數(shù):ycosx的性質
1)定義域為R,值域為1,12)最小正周期為2
3)單調性單調增區(qū)間2k,2k,kZ,單調減區(qū)間2k,2k,kZ4)奇偶性偶函數(shù)
5)對稱性對稱軸:直線xk,kZ,對稱中心:點3,正切函數(shù):ytanx,x1)定義域為x|xR,x32k,2k,kZ,單調減區(qū)間2k,2k,kZ
22222k,kZ,對稱中心:點k,0,kZ
k,0,kZ22k,kZ的性質
k,kZ,值域為R2)最小正周期為23)單調性單調增區(qū)間4)奇偶性奇函數(shù)
k,k,kZ,
22k,0,kZ215)對稱性對稱中心:點4,三角函數(shù)的圖像變換三種基本變換:
1)周期變換:ysinysinx0,縱坐標不變,橫坐標變?yōu)樵瓉淼?/p>。
2)相位變換:ysinysin(x),向左0或向右0平移個單位!凹幼鬁p右”3)振幅變換:ysinyAsinxA0,橫坐標不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍。
ysinyAsin(x)0,A0,三個參數(shù)不同,所以要經過三個基本變換,每一個基
本變換改變一個參數(shù)。變換的步驟一般是先進行相位變換,再進行周期變換,最后進行振幅變換。
5,已知三角函數(shù)圖像求三角函數(shù)yAsin(x),A0,0解析式
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由最大(最。┲登蟪鯝,由周期求出,由特殊點的坐標代入求出。(注意,取零點時要注意是第一零點還是第二零點。)
相鄰的兩個最高點或最低點的間距為一個周期;相鄰的兩個最值點的間距為半個周期;相鄰的兩個對稱中心的間距為半個周期;最高點和與之相鄰的對稱中心的間距為四分之一個周期
強化訓練:
1,函數(shù)y2sin(1x)的周期,振幅,初相分別是_______,________,_______242,函數(shù)ycos(2xA.x2)的圖象的一條對稱軸方程是()
2B.x4C.x8D.x
3,要得到函數(shù)y=sin(2x-
)的圖象,只要將函數(shù)y=sin2x的圖象()3A.向左平行移動個單位B.向左平行移動個單位
36C.向右平行移動個單位D.向右平行移動個單位
365,,則值域是()664,若函數(shù)ycos2x2sinx的定義域為xA.,2B.2,2C.5,函數(shù)ycos(6,函數(shù)y177,D.2,444x)的單調遞增區(qū)間是_______________________234-2o-4y4x2lg12sinx的定義域為__________________7,如圖是函數(shù)yAsin(x)(A0,0,2)的圖象的
6x一部分。則函數(shù)的解析式是___________
18,函數(shù)y2sin(x)由y=sinx(xR)的圖象怎樣變換得到的?
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第二章《平面向量》
一,向量的基本概念
1,向量的定義:既有大小又有方向的量,叫做向量。2,向量的表示:
1)字母表示:a,AB
2)幾何表示:可以用有向線段表示向量,但有向線段不是向量。3,向量的基本概念
1)模:向量的大小,也就是向量的長度,也稱為模,記作a
2)零向量:長度為0的向量3)單位向量:長度為1的向量
4)共線向量:方向相同或相反的非零向量為共線向量,也稱平行向量,記作a//b。
5)相等向量:長度相等且方向相同的向量稱為相等向量。6)相反向量:長度相等且方向相反的向量稱為相反向量。
強化訓練
1,下列說法正確的是()
(A)長度相等的向量就是相等向量(B)共線向量就是在一條直線上的向量(C)零向量的長度是0(D)方向相同或相反的向量是平行向量
A2,如圖,三角形ABC的三邊均不相等,E,F(xiàn),D分別為AC,AB,BC的中點
1)寫出EF與共線的向量2)寫出所有與EF模相等的向量
FEBD二,平面的線性運算1,向量的加法1)加法法則
(1)平行四邊形法則:共起點(2)三角形法則:首尾相連
CCD
BABACABACADABBCAC
2)相關結論
(1)ababab(2)abba(3)abcabc
2,向量的減法
減法法則三角形法則:共起點。
CABACCB
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3,數(shù)乘運算
1)定義:規(guī)定實數(shù)與向量a的積是一個向量,這種運算叫做向量的數(shù)乘,記做a。
長度與方向規(guī)定如下:(1)aa(2)當0時,a的方向與a的方向相同;當0時,a的方向與a的方向相反
2)相關結論:
(1)aa(2)aaa(3)abab
(4)00
3)向量共線定理:a為非零向量,則a//bba(為唯一確定的實數(shù))
4)三點共線問題:若A、B、C三點共線AB//AC或AB//BC
推論:若OAmOBnOC,則A、B、C三點共線mn1
強化訓練:
1,在平行四邊形ABCD中OAa,OBb,OCc,ODd,則下列運算正確的是()
(A)abcd0(B)abcd0(C)abcd0(D)abcd0
2,化簡下列各式,結果為零向量的個數(shù)為________個
1)ABBCCA2)ABACBDCD3)OAODAD4)NQQPMNMP
DFCEA3,如圖,已知平行四邊形ABCD的邊BC,CD的中點分別為E,F(xiàn),且AEa,AFb,試用a,b表示BC,CD
B4,設P是三角形ABC所在平面內的一點,BCBA2BP,則()
(A)PAPB0(B)PBPC0(C)PCPA0(D)PAPBPC0
15,在三角形ABC中,已知D是AB邊上的一點,若AD2DB,CDCACB,則_____
36,已知兩非零向量a,b,設OAab,OBa2b,OCa3b,判斷A,B,C的位置關系
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三,平面向量基本定理及坐標表示1,平面向量基本定理
1)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面內的兩個不共線向量,那么對于這一平面內的任意
向量a,有且只有一對實數(shù),,使ae1e2
2)基底:不共線的兩個向量e1,e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底。
兩個向量成為基底的唯一限制是不共線。任意兩個不共線的向量都可以作為平面的基底。3)向量共線定理的推論:
若a1e11e2,b2e12e2,則a//b1221(交叉相乘,積相等)4)向量的夾角:作OAa,OBb,則AOB叫做向量a與b的夾角。
顯然0,180,當0時,a,b同向;當180時,a,b反向,當90時,稱a,
b垂直,記作ab。
2,平面向量的正交分解及坐標表示
1)正交分解:把一個向量分解成兩個相互垂直的兩個向量,叫做平面向量的正交分解。
2)坐標表示:取分別與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i、j作為基底,對于平面內的一個向
量a,則axiyj。我們將有序數(shù)對x,y叫做向量a的坐標,記作a=x,y。
3)向量的坐標運算
若a=x1,y1,b=x2,y2,則
abx1x2,y1y2,abx1x2,y1y2,ax1,y1
4)向量平行的坐標表示
若a=x1,y1,b=x2,y2,則a//bx1y2x2y10
強化訓練
1,設e1,e2為兩個不共線的向量,若ae1e2與b(2e13e2)共線,則_____
2,在三角形ABC中,設ABa,ACb,點D在線段BC上,且BD3DC,則把AD用a,b表示為。
3,ABCD的3個頂點為A(a,b),B(-b,a),C(0,0),則它的第4個頂點D的坐標是____________4,已知ΔABC的三個頂點A、B、C及所在平面內一點P滿足PAPBPCAB,則點P與ΔABC的關系是:()
A、P在ΔABC內部B、P在ΔABC外部
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C、P在直線AB上D、P在ΔABC的AC邊的一個三等分點上5,兩點P(4,-9),Q(-2,3),y軸與直線PQ交于M且PMMQ則為___________
6,如圖,直線PQ經過ΔABC的重心G,分別與AB,AC交于P,Q兩點,A11設APmAB,AQnAC,則_____
mn7,如圖,ΔABC中,D是BC的中點,E是AD的中點,試用
PQGBCAAB,AC表示CE
B8,若向量a(1,2),b(x,1),,當a2b與2ab平行時,則x=______
DEC9,如圖,平行四邊形ABCD中,點E,F(xiàn)分別是BC,DC的
中點,G為BF,DE的交點,若ABa,ADb,試以DFCa,b表示DE,BF,CG
四,平面向量的數(shù)量積
AGEBb,1,數(shù)量積的定義:兩個非零向量a,b,我們把數(shù)量abcos叫做向量a與b的數(shù)量積,記作a其中是向量a,b的夾角。特別地,我們把acos叫做a在b方向上的投影。
b等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos的乘積。2,數(shù)量積的幾何意義:數(shù)量積a3,運算律:
b=ab3)abc=acbcb=ba2)ab=a1)a4,相關結論:
22a02)abab03)aa4)abab1)05)ab22222a2abb6)ababab
5,數(shù)量積的坐標表示:
若a=x1,y1,b=x2,y2,則abx1x2y1y2
6,坐標運算的相關結論
221)若a=x,y,則axy2)若a=x1,y1,b=x2,y2,則abx1x2y1y20
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ab3)cosabx1x2y1y2xy2121x2y222
7,向量與三角形的“四心”
已知點P是三角形所在平面內的一點,
1)若PAPBPC0,則點P是三角形ABC的重心;
2)若PAPBPBPCPCPA,則點P是三角形ABC的垂心;
2223)若PAPBPC,則點P是三角形ABC的外心;;
4)令ABc,BCa,CAb,若aPAbPBcPC0,則點P是三角形ABC的內心。
強化訓練
121,若等邊三角形ABC的邊長是23,平面內一點M滿足CMCBCA,則MAMB_____。
63,b2,ab7,則a與b的夾角的余弦值為_________________2,若a13,a(2,1),b(3,4),則向量a在向量b方向上的投影為___________________4,若向量a(1,2),b(x,1),當a2b與2ab垂直時,求x.5,已知ab2,8,ab8,16,求ab及a與b的夾角的余弦。
6,已知||a4,|b|3,(2a-3b)(2ab)61,
(1)求ab的值;(2)求a與b的夾角;(3)求ab的值.
7,設a、b是兩個不共線的單位向量,且a與b夾角為120,那么實數(shù)x為何值時|axb|的值最
。
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第三章三角恒等變換
一,兩角和與差的公式
和角公式:sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantantan
1tantan差角公式:sinsincoscossin
coscoscossinsin
tantantan
1tantana2b2sinx(tanb,且的象限由a,b的符號確定)aasinxbcosx輔助角公式:
二,二倍角的正弦、余弦、正切公式
二倍角公式:sin22sincos
cos2cos2sin22cos2112sin2
2tan
1tan21cos21cos222降冪公式:sin,cos
22tan2
強化訓練
1,若cos(1),,,則cos________33362,化簡:1sin6___________
11,sincos,則sin()________323123,sin,則cos2=___________4,已知,且cos241353,已知cossin5,在三角形ABC中,A6,已知cos4,cosB10,則sinC_________10113,cos,且0,(1)求tan2的值;(2)求7142武漢市第十五中學高一數(shù)學組
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7,已知向量acosx3,sinx,bcosx,sinx3,fxa求函數(shù)fx的b,x2,3,
單調增區(qū)間。8,已知函數(shù)fx131cos2xsinxcosx,xR,該函數(shù)的圖象可由ysinxxR的圖224象經過怎樣的平移和伸縮變換得到?
9,求函數(shù)fx2sinxcosxsinxcosx2的最大(最。┲.
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