高中數(shù)學選修2-2知識點總結(jié)

數(shù)學選修2-2知識點總結(jié)導數(shù)及其應(yīng)用

一．導數(shù)概念的引入

1.導數(shù)的物理意義：瞬時速率。一般的，函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是

x0limf(x0x)f(x0)，

x我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即

f(x0)=limx0f(x0x)f(x0)

x例1．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：

s)存在函數(shù)關(guān)系

h(t)4.9t26.5t10

運動員在t=2s時的瞬時速度是多少？解：根據(jù)定義

vh(2)limh(2x)h(2)13.1

x0x即該運動員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下

2.導數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點Pn趨近于P時，直線PT與

曲線相切。容易知道，割線PPn的斜率是knf(xn)f(x0)，當點Pn趨近于P時，函

xnx0數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即

klimx0f(xn)f(x0)f(x0)

xnx03.導函數(shù)：當x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù).yf(x)的導函數(shù)有時也記作y,即

f(x)lim二.導數(shù)的計算

1.函數(shù)yf(x)c的導數(shù)2.函數(shù)yf(x)x的導數(shù)3.函數(shù)yf(x)x的導數(shù)

2x0f(xx)f(x)

x4.函數(shù)yf(x)1的導數(shù)x基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:

1若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0；2若f(x)x,則f(x)x1;

3若f(x)sinx,則f(x)cosx4若f(x)cosx,則f(x)sinx;5若f(x)a,則f(x)alna6若f(x)e,則f(x)e

xxxx1xlna18若f(x)lnx,則f(x)

x7若f(x)loga,則f(x)x導數(shù)的運算法則

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

3.[f(x)f(x)g(x)f(x)g(x)]g(x)[g(x)]2復合函數(shù)求導

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即yf(g(x))為一個復合函數(shù)yf(g(x))g(x)

三.導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù):

一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系：

在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.求函數(shù)yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值;4.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)

函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.

求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

（2）將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值.

四.生活中的優(yōu)化問題

利用導數(shù)的知識,,求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題

第二章推理與證明

考點一合情推理與類比推理

根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理,叫做類比推理.

類比推理的一般步驟:

(1)找出兩類事物的相似性或一致性;

(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想);

(3)一般的,事物之間的各個性質(zhì)并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在

某些性質(zhì)上相同或相似,那么他們在另一寫性質(zhì)上也可能相同或類似,類比的結(jié)論可能是真的.

(4)一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),那么類

比得出的命題越可靠.

考點二演繹推理(俗稱三段論)

由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.

考點三數(shù)學歸納法

1.它是一個遞推的數(shù)學論證方法.

2.步驟:A.命題在n=1（或n0）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時命題成立C.證明n=k+1時命題也成立,

完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(shù)(或n>=n0,且nN)結(jié)論都成立�？键c三證明1.反證法:2.分析法:3.綜合法:

第一章數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念考點一:復數(shù)的概念

(1)復數(shù):形如abi(aR,bR)的數(shù)叫做復數(shù)，a和b分別叫它的實部和虛部.(2)分類:復數(shù)ab(中,當b0,就是實數(shù);b0,叫做虛數(shù);當iaR,b)Ra0,b0時,叫做純虛數(shù).

(3)復數(shù)相等:如果兩個復數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復數(shù)相等.

(4)共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).

(5)復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的

部分叫做虛軸。

(6)兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小。

考點二：復數(shù)的運算

1.復數(shù)的加，減，乘，除按以下法則進行設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)則

z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)i

z1(acbd)(adbc)i(z20)22z2cd2,幾個重要的結(jié)論

(1)|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)(2)zz|z||z|(3)若z為虛數(shù),則|z|z3.運算律(1)zzzmnmn22222222;(2)(z)zmnmn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR)

nnn4.關(guān)于虛數(shù)單位i的一些固定結(jié)論：

（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in

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導數(shù)及其應(yīng)用

一．導數(shù)概念的引入

數(shù)學選修2-2知識點總結(jié)

1.導數(shù)的物理意義：瞬時速率。一般的，函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時變化率是

limf(x0x)f(x0)x，

x0我們稱它為函數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)，記作f(x0)或y|xx，即

0f(x0)=limf(x0x)f(x0)xx0

例1．在高臺跳水運動中，運動員相對于水面的高度h（單位：m）與起跳后的時間t(單位：

s)存在函數(shù)關(guān)系

h(t)4.9t6.5t10

2運動員在t=2s時的瞬時速度是多少？解：根據(jù)定義

vh(2)limh(2x)h(2)xx013.1

即該運動員在t=2s是13.1m/s,符號說明方向向下

2.導數(shù)的幾何意義：曲線的切線.通過圖像,我們可以看出當點Pn趨近于P時，直線PT與

曲線相切。容易知道，割線PPn的斜率是knf(xn)f(x0)xnx0，當點Pn趨近于P時，函

數(shù)yf(x)在xx0處的導數(shù)就是切線PT的斜率k，即

klimf(xn)f(x0)xnx0f(x0)

x03.導函數(shù)：當x變化時，f(x)便是x的一個函數(shù)，我們稱它為f(x)的導函數(shù).yf(x)的導函數(shù)有時也記作y,即

f(x)limf(xx)f(x)xx0

二.導數(shù)的計算

1.函數(shù)yf(x)c的導數(shù)2.函數(shù)yf(x)x的導數(shù)3.函數(shù)yf(x)x的導數(shù)

4.函數(shù)yf(x)1x的導數(shù)

基本初等函數(shù)的導數(shù)公式:

1若f(x)c(c為常數(shù))，則f(x)0；2若f(x)x,則f(x)x1;3若f(x)sinx,則f(x)cosx4若f(x)cosx,則f(x)sinx;5若f(x)ax,則f(x)axlna6若f(x)ex,則f(x)ex

x7若f(x)loga,則f(x)1xlna1x

8若f(x)lnx,則f(x)導數(shù)的運算法則

1.[f(x)g(x)]f(x)g(x)

2.[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x)

f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)[g(x)]23.[]

復合函數(shù)求導

yf(u)和ug(x),稱則y可以表示成為x的函數(shù),即yf(g(x))為一個復合函數(shù)yf(g(x))g(x)

三.導數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù):

一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系：

在某個區(qū)間(a,b)內(nèi)，如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；如果f(x)0，那么函數(shù)yf(x)在這個區(qū)間單調(diào)遞減.2.函數(shù)的極值與導數(shù)

極值反映的是函數(shù)在某一點附近的大小情況.求函數(shù)yf(x)的極值的方法是:

(1)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值;4.函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)

函數(shù)極大值與最大值之間的關(guān)系.

求函數(shù)yf(x)在[a,b]上的最大值與最小值的步驟（1）求函數(shù)yf(x)在(a,b)內(nèi)的極值；

（2）將函數(shù)yf(x)的各極值與端點處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的是一個

最大值，最小的是最小值.

四.生活中的優(yōu)化問題

利用導數(shù)的知識,,求函數(shù)的最大(小)值,從而解決實際問題

第二章推理與證明

考點一合情推理與類比推理

根據(jù)一類事物的部分對象具有某種性質(zhì),退出這類事物的所有對象都具有這種性質(zhì)的推理,叫做歸納推理,歸納是從特殊到一般的過程,它屬于合情推理

根據(jù)兩類不同事物之間具有某些類似(或一致)性,推測其中一類事物具有與另外一類事物類似的性質(zhì)的推理,叫做類比推理.

類比推理的一般步驟:

(1)找出兩類事物的相似性或一致性;

(2)用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì),得出一個明確的命題(猜想);

(3)一般的,事物之間的各個性質(zhì)并不是孤立存在的,而是相互制約的.如果兩個事物在某

些性質(zhì)上相同或相似,那么他們在另一寫性質(zhì)上也可能相同或類似,類比的結(jié)論可能是真的.

(4)一般情況下,如果類比的相似性越多,相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間越相關(guān),那么類比

得出的命題越可靠.

考點二演繹推理(俗稱三段論)

由一般性的命題推出特殊命題的過程,這種推理稱為演繹推理.

考點三數(shù)學歸納法

1.它是一個遞推的數(shù)學論證方法.

2.步驟:A.命題在n=1（或n0）時成立，這是遞推的基礎(chǔ)；B.假設(shè)在n=k時命題成立C.證明n=k+1時命題也成立,

完成這兩步,就可以斷定對任何自然數(shù)(或n>=n0,且nN)結(jié)論都成立�？键c三證明1.反證法:2.分析法:3.綜合法:

第一章數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念考點一:復數(shù)的概念

(1)復數(shù):形如abi(aR,bR)的數(shù)叫做復數(shù)，a和b分別叫它的實部和虛部.

(2)分類:復數(shù)abi(aR,bR)中,當b0,就是實數(shù);b0,叫做虛數(shù);當a0,b0時,

叫做純虛數(shù).

(3)復數(shù)相等:如果兩個復數(shù)實部相等且虛部相等就說這兩個復數(shù)相等.

(4)共軛復數(shù):當兩個復數(shù)實部相等,虛部互為相反數(shù)時,這兩個復數(shù)互為共軛復數(shù).(5)復平面:建立直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面,x軸叫做實軸，y軸除去原點的部

分叫做虛軸。

(6)兩個實數(shù)可以比較大小，但兩個復數(shù)如果不全是實數(shù)就不能比較大小。

考點二：復數(shù)的運算

1.復數(shù)的加，減，乘，除按以下法則進行設(shè)z1abi,z2cdi(a,b,c,dR)則

z1z2(ac)(bd)iz1z2(acbd)(adbc)i

z1z2(acbd)(adbc)icd22(z20)

2,幾個重要的結(jié)論

2222(1)|z1z2||z1z2|2(|z1||z2|)

(2)zz|z|2|z|2(3)若z為虛數(shù),則|z|z3.運算律

(1)zmznzmn;(2)(z)zmnmnnnn;(3)(z1z2)z1z2(m,nR)

224.關(guān)于虛數(shù)單位i的一些固定結(jié)論：

（1）i1（2）ii（3）i1（2）ii234nn2in3in

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